高三物理总复习：《有关曲线运动的几个小专题》

有关曲线运动的几个小专题

（一）曲线运动中值得注意的几个问题

问题一：曲线运动的条件

物体做曲线运动的条件：物体所受的合力方向（加速度的方向）跟它的速度方向不在同

的合运动是初速度等于0v 的匀变速直线运动。

（2）互成角度的两个直线运动的合运动

两个分运动都是匀速直线运动，其合运动也是匀速直线运动。

一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，其合运动是一个匀变速曲线运动。反之，一个匀变速曲线运动也可分解为一个方向上的匀速直线运动和另一个方向上的匀变速直线运动——为研究复杂的曲线运动提供了一种方法。

且为M 的两个分运动。

解析：如图4，将重物的速度v 分解，由几何关系得出小车的速度θcos v v ='

v

v'

θ

有关小船渡河问题是运动的合成与分解一节中典型实例，难度较大。小船渡河问题往往设置两种情况：（1）渡河时间最短；（2）渡河位移最短。现将有关问题讨论如下，供大家参考。

处理此类问题的方法常常有两种：

（1）将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动。

（2）将船的速度2v 沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图5，1v 为水流速度，则θcos 21v v -为船实际上沿水流方向的运动速度，θsin 2v 为船垂直于河岸方向的运动速度。

d

v 2

θ

v 1

图5

问题1：渡河位移最短

河宽d 是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短的一定是河宽d 呢？下面就这个问题进行如下讨论：

（1）水船v v >

要使渡河位移最小为河宽d ，只有使船垂直横渡，则应0cos =-θ船水v v ，即

水船v v >，因此只有水船v v >，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽d 。

渡河时间θ

sin 船合v d v d t ==

。

图6

（2）水船v v <

由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。

以水流速度的末端A 为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过O 点作该圆的切线，交圆于B 点，此时让船速与半径AB 平行，如图7所示，从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。

由相似三角形知识可得

船

水

v v d s =

解得d v v s 船

水=

渡河时间仍可以采用上面的方法

θ

sin 船合v d v s t ==

图7

（3）水船v v =

此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图8不难看出，船速与水速间的夹角越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。

图8

问题2：渡河时间最短；

渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的速度越大，所用的时间就越短。因此，只有船的开航速度方向垂直河岸时，渡河时间最短，即船

v d t =。

1. 理论基础

位移公式：

t v s x 0=，s 0

2tan v gt s s x

y =

=

α 速度公式：

0v v x =，gt v y =，0

tan v gt v v x

y =

=

β 两者关系：

2. ?30

1tan 0

===

gt

v v v y x α ① 3

1

)1(tan 0=

+==

t g v v v y x β ② 联立①②解得s m g v /1

30-=

（2如图3小球刚好落在B （2

/10s m g =

解：tan ==s h α2

12

==

gt h t v s 0= ③

联立①②③解得s m v /150=，s t 5

5= （3）利用两者的关系公式解题

离开地面高度为1500m 处，一架飞机以s m v /1000=的速度水平飞行。已知投下物体在离开飞机10s 时降落伞张开，即做匀速运动，求物体落到地面时离出发点的水平距离。

解：如图4，飞机投下的物体刚开始做平抛运动，在前s 10内水平位移==MQ s AB=

m s s m t v 100010/1000=?=

竖直位移m m gt QO h 50010102

1

2122=??==

= 被投物体在10s 后做匀速直线运动，运动轨迹为图中的OC ，根据平抛运动的位移与速度

公式的夹角关系

2

1

tan ==

MQ OQ α BC

BO

PQ OQ ==

βtan 因为βαtan tan 2=

所以

所以AC （40① 平抛规律法

根据平抛运动的规律，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。若实验描绘出的轨迹曲线如图5所示，选抛出点为坐标原点O 建立坐标系，则有

t v x 0= ①

2

2

1gt y =

② 二式联立得g

y x v 20=

③

图5

由轨迹曲线测出多个点ABCDE 的坐标（x ，y ），分别代入③式求出多个0v 值，最后求出它们的平均值即为所求初速度0v 。

② 轨迹方程法

由法1中的①、②消去t ，可得平抛轨迹方程2

20

2x v g y =

结合图中轨迹曲线，若测出水平位移BC AB x x =x ?=，竖直位移1y y AB =，2y y BC = 由轨迹曲线方程可导出，1

20y y g

x v -?=。

推证如下： 因为2202A A x v g y =

，2202B B x v g y =，2

2

2C C x v g y = 所以)(22

2201A B A B x x v g y y y -=

-=))((220A B A B x x x x v g +-= 同理))((220

2B C B C B C x x x x v g

y y y +-=

-= 又x x x x x B C A B ?=-=-，x x x A C ?=-2 所以2

20

2012)(2x v g x x x v g y y A C ?=-?=

- 故1

20y y g

x

v -?=

显然，只要测出相等时间内的水平位移x ?和对应的竖直位移的差值12y y -，即可求出初速度0v 。

③ 纸带结论法

对于匀变速直线运动，相邻的相等时间T 内的位移差s ?都相等，且2aT s =?。这是处理纸带常用的一条重要结论。

对于法2的测量数据，有

T v x x x BC AB 0=?== ④ 212gT y y =- ⑤

联立④、⑤二式可得1

20y y g

x

v -?=。

另外，此法还可以扩展，若轨迹曲线上依次还有点D 、E 等，且水平位移均为x ?，竖直位移依次为3y 、4y 等，则有

CD BC AB x x x ==T v x 0=?== ⑥ 2132gT y y =- ⑦

2143gT y y =- ⑧

……

由⑥与⑦或⑧联立可得

1302y y g x

v -?=或1

403y y g

x v -?=

…… 故n

m y y g

n m x

v --?=)(0（=n 1、2、3、…，=m 2、3、4、…，且n m >）

以上的分析给我们以启示，在处理实验或解题时，不要墨守成规过分依赖课本，要善于开动脑筋思考创新，寻找更好的方法和措施。这样，既提高了解题能力和速度，也有利于培养创新意识和发散思维。

（5）平抛运动中n 种常用的时间求解方法

平抛运动是高中物理运动学中一个基本模型，具有典型的物理规律。考查中常常涉及到“速度、位移、时间”等问题，下面针对平抛运动中的时间问题常用的几种方法进行归纳总结，供大家参考。

① 利用水平位移或竖直位移求解时间

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由合运动和分运动的等时性，平抛运动的时间等于各分运动的时间。

水平方向：t v s 0=水，可得0

v s t 水=

竖直方向：22

1

gt s =竖，解得g

s t 竖

2=

。

② 例1：如图7位移可以通过斜面的倾角发生联系。

对于水平方向：t v s 0=水 ① 对于竖直方向：2

2

1gt s =竖 ② 又由

?=30cot 竖

水s s ③

由以上三式联立可得g

v t 3320

= ③ 利用速度求解时间

由于竖直方向为自由落体运动，则有gt v y =，可得g

v t y =

。

例2：如图8，以s m /8.9的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为?30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（ ）

A.

s 33 B. s 3

32 C. s 3 D. s 2

v v y =g

v t y =

④ 例3离和B 、C 若取10g =连续相等的时间间隔t 内的位移分别为1s 和2s ，可以推出12s s s -=?2at =。本题中，由于物体水平方向做匀速直线运动，而且AB 、BC 两段水平位移相等，由此可知，这两段距离所用的时间相等均为t ?，根据上述结论可得：

在竖直方向上：2

1.0t g ?=，解得s t 1.0=? 由水平方向：t v s 0=水，可得s m v /5.10=

⑤ 利用平抛运动的推论求解时间

推论：平抛运动中以抛出点为坐标原点的坐标系中任一点P （x ，y ）的速度的反向延

例4由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为s v s t 3

==水。

（6移，v 0

2v gt ，tan

角为θ（1（2（3分析：

（1tan =

θ所以t （2tan =θ所以g

t 0=

（3）设小球的速度方向与斜面间的夹角为?，小球的速度方向与水平面的夹角为β，如图15，则可得0tan v gt

=

β，且t 为小球落到斜面上的时间，g

v t θtan 20=，又θβ?-=，所以可得θθ?-=)tan 2arctan(。

【模拟试题】

一. 项正确）

1. A. B. C. 做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变

D. 做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上 2. 做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（ ） A. 速率 B. 速度 C. 加速度 D. 合外力 3. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ） A. 合运动的速度一定比每一个分运动的速度大

B. 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动（速度大小相等，方向相反除外）

C. 只要两个分运动是直线运动，那么它们的合运动也一定是直线运动

D. 两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 4. 将一小球从距地面h 高处，以初速度0v 水平抛出，小球落地时速度为v ，它的竖直分量为y v ，则下列各式中计算小球在空中飞行时间t 正确的是（ ）

A.

g

h

2 B. g v v y -0 C.

g

v v 2

2- D.

y

v h 2 5. 在高度为h 的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A 和B ，若A 球的初速度A v 大于B 球的初速度B v ，则下列说法中正确的是（ ）

A. A 球比B 球先落地

B. 在飞行过程中的任一段时间内，A 球的水平位移总是大于B 球的水平位移

C. 若两球在飞行中遇到一堵墙，A 球击中墙的高度大于B 球击中墙的高度

D. 在空中飞行的任意时刻，A 球总在B 球的水平正前方，且A 球的速率总是大于B 球的速率

6. 如图1所示，人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（ ） A. 匀速运动 B. 匀加速运动 C. 变加速运动 D. 减速运动

图1

7. 如图2所示，在研究平抛运动时，小球A 沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开轻质接触式开关S ，被电磁铁吸住的小球B 同时自由下落，改变整个装置的高度H 做同样的实验，发现位于同一高度的A 、B 两球总是同时落地，该实验现象说明了A 球在离开轨道后（ ）

A. 水平方向的分运动是匀速直线运动

B. 水平方向的分运动是匀加速直线运动

C. 竖直方向的分运动是自由落体运动

D. 竖直方向的分运动是匀速直线运动

图2

二. 填空题（把答案填在题中的横线上）

8. 已知船在静水中行驶速度为1v ，河水的速度为2v （12v v <），要求船在河水中行驶的速度为3v ，则可利用 法则求得。如果1v 和2v 垂直，则3v 等于 。如果使船到达正

对岸，1v 的方向应偏向河水的 游。要使船到达对岸时间最短，则1v 的方向应 。

9. 以16m/s 的速度水平抛出一石子，石子落地的速度方向与抛出时速度方向成?37角。不计空气阻力，那么石子抛出点与落地点的高度差为 m ，石子落地时速率为 m/s 。（2

/10s m g =，?37sin 6.0=，8.037cos =?）

10. 如图3所示，在倾角为α的斜面上A 点，以初速度0v 水平抛出一小球，小球落在斜面上的B 点，不计空气阻力，求小球落到B 点的速度大小为 。

三. 和单位。） 11. 12. 有A 、B 两小球，用长为L=4m 的细绳连接，现将A 、B 两球从同一点以相同的水平速度

s m v /60=先后抛出，A 球先抛，相隔的时间为s t 4.0=?，取2/10s m g =。求A 球抛出后，

经过多少时间，两球间的细绳恰可拉直？

【试题答案】

1. AC

2. B

3. BD

4. ACD

5. BCD

6. C

7. C

8. 平行四边形，2

2

21v v +，上；与河岸垂直 9. 7.2；20 10. α20tan 41+v

11. s m v /)33(50+=；m h 0.28= 12. 1.0秒