成都石室中学高三2013届一诊模拟数学试题(含答案)
成都石室中学高三2013届一诊模拟试题数 学 试 题 (理科)一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案) 1. 已知1z i =+，则21z1z ++等于 （ ）A ． 4355i + B ． 4355i - C ．i D ．i -2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （ ） A.sin()2y x π=+ B.cos(2)2y x π=+ C.sin(2)2y x π=+ D.cos()2y x π=+3.(81展开式中不含4x 项的系数的和为 （ ）A.-1B.0C.1D.24.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2log 2)f -的值为 （ ）A ．5log 2 B. 2log 5 C.4 D.25.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( )A. 18种B. 24种C. 54种D. 60种6．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是()A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7.已知函数()cos(),f x x R θθ=+∈.若0()()lim1x f x f xππ→+-=，则函数f(x)的解析式为（ ）A.()sin f x x =-B. ()cos f x x =-C. ()sin f x x =D. ()cos f x x =8. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为 （ ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9759.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,则||b c ⋅的值一定等于 ( )A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积 10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ⌝⌝是的必要非充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是 （ ）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A.y ＝[10x] B.y ＝[310x +] C.y ＝[410x +] D.y ＝[510x +]12. 如图,在长方形ABCD 中，，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起,使点D在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( ) AC ．2πD ． 3πBA二.填空题(每题4分,共16分)13.设()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=15.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角,则B,D 在四面体A-BCD 的外接球球面上的距离为16．已知定义域为 0+∞（，） 的函数f(x)满足： 对任意x 0∈+∞（，），恒有 f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。
给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是成都石室中学高2012届一诊模拟数学答题卷(理科)13. 14. 15. 16.三.解答题(本题共有6小题,共74分,写出必要的解答或证明过程)17.(满分12分)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列.（Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）求22sin cos()A A C +-的范围.18．(满分12分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是1/3，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试(1)求该学生考上大学的概率．(2)记该生参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望．19. (满分12分)如图，五面体ABCDE 中，正∆ABC 的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，且CD=12AE ．(I)设CE 与平面ABE 所成的角为α，AE=(0),k k >若[,],64ππα∈求k 的取值范围；(Ⅱ)在(I)和条件下，当k 取得最大值时，求平面BDE 与平面ABC 所成角的大小．20. (满分12分) 设数列{}n a 满足12323...2(*).n n a a a na n N ++++=∈（I ）求数列{}n a 的通项； （II ）设2,n n b n a =求数列{}n b 的前n 项和n S .C21. (满分12分) 已知函数ln ()1xf x x=-． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； （3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n nn n++<都成立（其中e 是自然对数的底数）．22．(满分14分)已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)n n nn a a n a +-=-（2,3,4,n =）．（1）求3a 、4a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（3）求证：对一切*N n ∈且2n ≥），有2222316n a a a +++<．成都石室中学高2012届一诊模拟数 学 试 题 (理科) 答案一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案) 1. 已知1z i =+，则21z1z ++等于 （ B ）A ． 4355i + B ． 4355i - C ．i D ．i - 2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （ C ）A.sin()2y x π=+ B.cos(2)2y x π=+ C.sin(2)2y x π=+ D.cos()2y x π=+3.(81展开式中不含4x 项的系数的和为 （ A ）A.-1B.0C.1D.24.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2log 2)f -的值为（ D ）A ．5log 2 B. 2log 5 C.4 D.25.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( B )A. 18种B. 24种C. 54种D. 60种6．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是(A )A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7.已知函数()cos(),f x x R θθ=+∈.若0()()lim1x f x f xππ→+-=，则函数f(x)的解析式为（ A ）A.()sin f x x =-B. ()cos f x x =-C. ()sin f x x =D. ()cos f x x =8. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为 （ A ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9759.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,则||b c ⋅的值一定等于 ( A )A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ⌝⌝是的必要非充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件则正确命题序号是 （ B ）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （ B ）A.y ＝[10x ]B.y ＝[310x +]C.y ＝[410x +]D.y ＝[510x +]12. 如图,在长方形ABCD 中，，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起,使点D在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( D ) AC ．2πD ． 3πBA二.填空题(每题4分,共16分)13.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 . (-1,2)14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)fx x xf '=+，则(5)f '=_6_______15．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角，则B 、D 在四面体A-BCD 的外接球球面上的距离为16．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。
四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题详细解析
四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题详细解析四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2P =，{},,Q z z x y x y P ==+∈，则集合Q 为 A.{}1,2,3 B. {}2,3,4 C. {}3,4,5 D. {}2,32. 某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A 给出的分数的茎 叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A 得分的中位数是A.93 B. 92 C. 91 D. 90 3.()612x -的展开式中含3x 项的系数为 A. 160 B. 160- C. 80 D. 80-4.已知sin cos 3,sin cos x x x x +=-则tan x 的值是A. 3B. 3-C. 2D. 2-5. 一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示 该线段的长度，则该几何体的体积为A. 30B. 27C. 35D. 36 6. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.正三角形 7. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“l m ”是“αβ⊥”的A.充要条件B.必要条件C. 充分条件D.既不充分又不必要条件8. 如图，已知在ABC ∆中,2BC =，以BC 为直径的圆分别交,AB AC 于点,M N ，MC 与NB 交于点G ，若2BM BC ⋅=，1CN BC ⋅=-，则BGC ∠的度数为 A.135︒ B. 120︒ C. 150︒D. 105︒° 9.为继续实施区域发展总体战略，加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持 力度，某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远 山区中学支教，得到了积极响应，统计得知各边区学校教师需求情况如下表：边区教师需求情况学校观阁中学3名（其中需1名数学教师） 广兴中学2名 天池中学3名（其中需2名英语教师） 龙滩中学3名（均为物理教师） 现从大量报名者中选出语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名 (包含2名干部）、物理教师3名(包含1名干部），要求向每个学校各派一名干部任组长.则 不同派遣方案的种数有A. 24 种B. 28 种C. 36 种D. 48 种10.已知数列{}n a 满足11(2,)n n aa n n n -=+-≥∈N ，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为,,a b c ，则集合{,,}a b c =123{,,}a a a ()16,,1,2,3i ia a i ≤≤∈=N 的概率是（A ）172 （B ）136 （C ）124 （D ）112第II 卷(非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.11.若复数11i z i +=-（i 为虚数单位），则__.z = 12.已知1x >，则22log log 2x x +的最小值为 .13.已知某算法的程序框图如图所示，当输入x 的值为13时，则输出y 的值为_____14.已知角α，β，γ构成公差为3π的等差数列．若2cos 3β=-则cos α+cos γ= .15. 已知函数321,(,1]22()111,[0,]242x x x f x x x ⎧∈⎪⎪+=⎨⎪-+∈⎪⎩，3()sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 是[0,1]内的增函数；③对任意0a >，方程()()f x g x =在[0,1]内恒有解； ④若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是4495a ≤≤． 其中所有正确结论的番号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. (本小题满分12分）已知向量(cos sin ,sin ),(cos sin ,2cos )a x x x b x x x =+=-设()f x a b =⋅. (I)化简函数()f x 的解析式并求其单调递增区间； (II)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值.17. (本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，2,1,BC AB ==PA ⊥平面ABCD ， BE PA ,12BE PA =，F 为PA 的中点.(I)求证: //DF 平面PEC .(II)若2PE =，求平面PEC 与平面PAD所成锐二面角的余弦值.18. (本小题满分12分）对于实数,a b ，定义运算,0:,0a a b a b b a b -≤⎧⊗⊗=⎨->⎩. 设函数()()()2121f x x x x =-+⊗-,其中.x R ∈(I)求3f 的值； (II)若21≤≤x ，试讨论函数()()22111363h x x f x x x t =⋅+-+的零点个数.19. (本小题满分12分） 某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万 元，年生产与销售均以百台计数，且每生产100台,还需增加可变成本1000万元.若市场对 该产品的年需求量为500台，每生产m 百台的实际销售收人近似满足函数()()2500050005,.R m m m m m N =-≤≤∈(I)试写出第一年的销售利润y (万元)关于年产量单位x 百台（*5,x x N ≤∈）的函数关系式；(II)若工厂第一年预计生产机器300台，销售后将分到甲、乙、丙三个地区各100台，因技术、运输等原因，估计每个地区的机器中出现故障的概率为15.出现故障后，需要厂家上门调试，每个地区调试完毕，厂家需要额外开支100万元.记厂家上门调试需要额外开支的费 用为随机变量ξ，试求第一年厂家估计的利润.(说明：销售利润=实际销售收入一成本；估计利润二销售利润一ξ的数学期望）20. (本小题满分13分）在数列{}n a 中，122,4a a ==，且当2n ≥时，2*11,.n n n a a a n N -+=∈. (I)求数列{}n a 的通项公式n a；(II)若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和.n S ； (III)求证：12311113 (234)n a a a na ++++< 21. (本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x x =+，()()()()()220,,().g x a x x a a R h x f x g x =-≠∈=-（I ）若关于x 的不等式()2g x bx ≤-的解集为{}21x x -≤≤-，求实数,a b 的值；(II)若()()3,x f x g x ∀>≤成立，求实数a 的取值范围； (III)在函数的图象上是否存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使线段AB 的中点的横坐标0x 与直线AB 的斜率k 之间满足()'0k h x =？若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由.【参考答案】1.B 【解析】,x y 可分别取()()()1,1,1,2,2,2，所以{}2,3,4.Q =2.B 【解析】本题容易题，考查茎叶图与中位数概念，去掉88与95余下数从小到大数第4个3.B 【解析】本题考查通项公式16(2)r r r T C x +=-，而3r =可求3x 项的系数为160-. 4.C 【解析】本题考查三角函数同角变形，可分子分母同除以余弦，弦化切tan 13tan 1x x +=-解tan x ，也可以去分母求正、余弦关系cos 2sin x x =后由正切定义sin tan cos xx x =解。
四川成都市2013届高三摸底考试数学(理)试题(WORD版)
四川省成都市2013届高三摸底考试数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={1，2，3，4}，{|37,}Q x x x N =≤<∈，则P ∪Q= 高[考∴试﹤题∴库]A ．∅B ．{3,4}C ．{1,2,5,6}D ．{1,2,3,4,5,6} 2．对于函数1()(01,)x f x a a a x R -=>≠∈且，下列命题正确的是A ．函数f （x ）的图象恒过点（1，1）B ．0x ∃∈R ，使得0()0f x ≤C ．函数f （x ）在R 上单调递增D ．函数f （x ）在R 上单调递减3．在等差数列*45619{}(),27,n a n N a a a a a ∈++=+中若则等于A ．9B ． 27C ．18D ．544．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为A ．（3,+∞）B ．（2,3）C ．（1,2）D ．（0,1）5．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则= A ．34-B ．34 C ．一43 D ．43 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．15B ．20C ． 30D ．607．设l ，m ，n 为不重合的三条直线，其中直线m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，且12||F F =2c ，若点P 在椭圆上，且满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=，则该椭圆的离心率e 等于A ．12B ．12-C ．12D ．2学优高考网GkStK]9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的是 A ．DB 1⊥平面ACD 1B ．BC 1∥平面ACD 1C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关10．一批物资随17辆货车从甲地以v km/h （100≤v ≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600 km ，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于2()20v km （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是A ．小时B ．9．8小时C ．10小时D ．10．5小时 11．在直角坐标系xOy 中，直线Z 的参数方程为,4x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，且t>0）；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标方程为)4πρθ=+．则直线l和曲线C 的公共点有A ．0个B ．l 个C ．2个D ．无数个12．已知奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （x-l ），给出以下命题：①函数f （x ）是周期为2的周期函数；②函数f （x ）的图象关于直线x=1对称；③函数f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称；④若函数f （x ）是（0，1）上的增函数，则f （x ）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是A ．①③B ．②③C ．①③④D ．①②④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．13．某单位有青年职工300人，中年职工150人，老年职工100人．为调查职工健康状况，采用分层抽样的方法，抽取容量为33的样本，则应从老年职工中抽取的人数为 ．高[考∴试﹤题∴库GkStK]14．函数1()ln 12x f x x+=-的定义域为 ． 15．若实数z 、y 满足不等式组，则1y z x +=的最大值为 ． 16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 .三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x x R =+-∈（I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，若()1,2f A AB AC =⋅=ABC 的面积．高[考∴试﹤题∴库]18．（本小题满分12分）如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是D 1C 、AB 的中点．（I ）求证：EF ∥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）求二面角D —EF —A 的余弦值．19．（本小题满分12分）某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为z ，家长所得点数记为y ；方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]，的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为挖．（I ）在方案一中，若x+l=2y ，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若m>2n ，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．20．（本小题满分12分）已知函数()log ,()log (22),[1,2],01,a a f x x g x x m x a a m R ==+-∈>≠∈其中且． （I ）当m=4时，若函数()()()F x f x g x =+有最小值2，求a 的值；（Ⅱ）当0<a<l 时，f （x ）≥2g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F 0），一条渐近线的方程为2y x =-，点P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，过P 作x 轴的垂线交双曲线于另一点Q 。
四川省成都市2013届高三数学第一次诊断考试试题 文(含解析)新人教A版
2013年四川省成都市高考数学一诊模拟试卷（一）（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•成都一模）不等式的解集是（）A、（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）B、（﹣∞，﹣8]∪[﹣3，+∞）C、[﹣3，2]D、（﹣3，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把2移到左边后通分，再把分式不等式转化为整式不等式，进而即可求出其解集．解答：解：∵不等式，∴，化为（x+3）（x+8）≥0，且x≠﹣3，解得x＞﹣3或x≤﹣8．∴原不等式的解集为{x|x≤﹣8或x＞﹣3}．故无答案．点评：正确把分式不等式转化为整式不等式是解题的关键．注意，若利用去分母的方法去解，则必须就x+3的正负讨论，否则可能会出错．2．（5分）（2005•天津）若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4C．﹣6 D．6考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，让其实部为0，虚部不为0，可得结论．解答：解：复数=，它是纯虚数，则a=﹣6．故选C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．3．（5分）（2013•甘肃三模）（文）公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为（）A．1B．2C．3D．4考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，代入可得a1和d的关系式，求出公比即可．解答：解：设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，又因为等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，，把a2，a3，a6代入可得2a1=﹣d，d=﹣2a1所以公比==把d=﹣2a1代入得公比为3．故选C．点评：考查学生会求等差数列通项公式的能力，会求等比数列公比的能力，以及利用等差、等比数列性质的能力．4．（5分）（2013•成都一模）已知平面向量，满足，与的夹角为，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的充要条件，直接代入向量数量积公式易构造方程，解方程即可求出未知参数m的值，从而判断出正确选项．解答：解：∵平面向量，满足，与的夹角为，∴=1×2×=1，又若“”，∴=0，即1﹣m=0解得m=1，则“m=1”是“”的充要条件．故选C．点评：本题考查的知识点为平面向量的数量积运算，⊥⇔x1•x2+y1y2=0．即：两个向量若垂直，对应相乘和为0．5．（5分）（2013•成都一模）关于命题p：A∪∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（）A．（￢p）∨q为假B．（￢p）∧（￢q）为真C．（￢p）∨（￢q）为假D．（￢p）∧q为真考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：利用集合知识，先判断出命题p：A∩∅=∅是真命题，命题q：A∪∅=A是真命题，再判断复合命题的真假．解答：解：∵命题p：A∩∅=∅是真命题，命题q：A∪∅=A是真命题，∴（￢p）∨q为真命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，（￢p）∨（￢q）为假命题，（￢p）∧q为假命题，故选C．点评：本题考查复合命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．[“命题p：A∩ϕ=ϕ，命题q：A∪ϕ=A”应该更正为：“命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A”]6．（5分）（2005•江西）设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，数小正周期为2πD．非周期函数考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：可把四个选项中的最小正周期代入f（x+T）=f（x）检验，即可得到答案．解答：解：先将周期最小的选项A和C的周期T=和2π代入f（x+）=﹣sin3x+|sin3x|≠f（x），f（x+2π）=﹣sin3x+|sin3x|≠f（x），故排除A和C；再检验（B）f（x+）=sinx+|sin3x|=f（x），成立，可推断函数为周期函数排除D．故选B点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．对于选择题可用逆向法，把选项中的值代入题设条件中逐一检验获得答案．有时也能收到事半功倍的效果．7．（5分）（2013•成都一模）下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：归纳推理．专题：证明题；探究型．分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．解答：解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在有理数集Q中，若，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故②正确；③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误故3个结论中，有两个是正确的．故选C点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．8．（5分）（2013•成都一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角．解答：解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（﹣，﹣1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为=（x，y，z）则即，取z=1，则得=（﹣，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选A．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．9．（5分）（2013•成都一模）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，] B．[，]C．（，）D．[0，]考点：函数的值；元素与集合关系的判断．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用当 x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出 x0的取值范围．解答：解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．点评：本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，属于基础题．10．（5分）（2013•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＞Q＞P B．R＞P＞Q C．P＞R＞Q D．Q＞P＞R考点：不等关系与不等式．专题：新定义．分析：在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能说明，所以说明，从而说明函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．解答：解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，设x＜y，则，所以所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，由，得：取y=，，则x=，所以，因为0＜，所以所以R＞P＞Q．故选B．点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，是中等难度题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•成都一模）若x=log43，（2x﹣2﹣x）2= ．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据题目给出的x的值，首先化为以2为底数的对数，然后代入要求的式子，运用公式计算．解答：解：因为，所以=．故答案为．点评：本题考查了有理指数幂的化简求值，解答此题的关键是熟记公式，是基础题．12．（5分）（2013•成都一模）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i值为7 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：根据题意，该算法流程图是要我们求出等比数列{2n﹣1}的前n项和，并且找到使这个和大于100的最小正整数n的值，由此再结合等比数列的求和公式，不难得到本题的答案．解答：解：根据题意，列出如下表格该算法流程图的作用是计算1+21+22+…+2n﹣1的和，并且求出使这个和大于2012的最小n的值∵1+21+22+…+2n﹣1=2n﹣1，且26﹣1=63，27﹣1=127∴S=1+21+22+…+2n﹣1，使S＞100的最小正整数n的值为7．故答案为：7点评：本题以循环结构的算法流程图为载体，求满足条件的最小正整数n，着重考查了等比数列的求和公式和循环结构等知识，属于基础题．13．（5分）（2013•成都一模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN；②AC1∥平面MNPQ；③AC1与PM相交；④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是①③④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：①要证A1C⊥MN，由于AD1∥MN，则只需证A1C⊥AD1，即只需证AD1⊥面A1CD即可；②由于A1C与MP交于一点，则A1C与平面MNPQ相交；③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1D⊥AD1，∵CD⊥面AA1D1D，AD1⊂面AA1D1D，∴CD⊥AD1，∴AD1⊥面A1CD，∴A1C⊥AD1∵M，N分别是AA1，A1D1的中点，∴AD1∥MN，即A1C⊥MN，故①正确；由于M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，则A1C与PM相交，故②不正确，③正确；∵N∉面ACC1A1，而M，P，C∈面ACC1A1，∴NC与PM异面，故④正确；故答案为：①③④．点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，我们可以根据空间几何中的定义，定理及常用结论对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结果．14．（5分）（2013•成都一模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|，则其最大值为 2 ．考点：带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：通过去掉绝对值符号得出函数解析式，进而画出图象，即可得出最大值．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，根据解析式画出图象：由图象可以看出：当且仅当x=0时，函数f（x）取得最大值2．故答案是2．点评：正确去掉绝对值符号并画出图象是解题的关键．15．（5分）（2013•成都一模）设两个向量=（λ+2，λ2﹣cox2α）和=（m，+sinα），其中λ，m，α为实数．若=2，则的取值范围是[﹣6，1] ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：根据向量相等的概念，向量相等，即向量的横纵坐标相等，可哪λ用m表示，所以可化简为2﹣，所以只需求的范围即可，再利用向量相等得到的关系式，把m 用α的三角函数表示，根据三角函数的有界性，求出m的范围，就可得到的范围．解答：解：∵=2，∴λ+2=2m，①λ2﹣cox2α=m+2sinα．②∴λ=2m﹣2代入②得，4m2﹣9m+4=cox2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=2﹣（sinα﹣1）2∵﹣1≤sinα≤1，，∴0≤（sinα﹣1）2≤4，﹣4≤﹣（sinα﹣1）2≤0∴﹣2≤2﹣（sinα﹣1）2≤2∴﹣2≤4m2﹣9m+4≤2分别解4m2﹣9m+4≥﹣2，与4m2﹣9m+4≤2，得，≤m≤2∴≤≤4==2﹣∴﹣6≤2﹣≤1∴的取值范围是[﹣6，1]故答案为[﹣6，1]点评：本题考查了向量相等的坐标表示，以及利用三角函数有界性求范围．属于综合题．三、解答题（第16-第19题每小题12分，20题13分，21题14分．共75分）16．（12分）（2013•成都一模）为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取6个工厂进行调查．已知A、B、C区中分别有18，27，9个工厂．（1）求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）先计算A，B，C区中工厂数的比例，再根据比例计算各区应抽取的工厂数．（2）本题为古典概型，先将各区所抽取的工厂用字母表达，分别计算从抽取的6个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．解答：解：（1）工厂总数为18+27+9=54，样本容量与总体中的个体数的比为=，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，1．…（5分）（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1为在C区中抽得的1个工厂．在这6个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区（记为事件X）的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1）共9种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P（X）=．…（11分）答：（1）从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，1．（2）这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为．…（12分）点评：本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查．17．（12分）（2013•成都一模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．解答：解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，∴sin（+）=，（4分）∴cos（x+）=cos2（+）=1﹣2sin2（+）=；（6分）（2）∵cosC=，acosC+c=b，∴a•+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=，（10分）又∵0＜B＜，∴＜+＜，∴f（B）∈（1，）．（12分）点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2013•成都一模）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点（1）求证：GN⊥AC；（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC．并给出证明．考点：直线与平面平行的判定；简单空间图形的三视图．专题：计算题；证明题．分析：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，则（1）连接DB，我们易得FD⊥AD，FD⊥CD，由线面垂直的判定定理，可得FD⊥面ABCD，进而得到AC⊥面FDN，由线面垂直的定义，即可得到GN⊥AC；（2）由图分析得，点P与点A重合时，GP∥面FMC，取DC中点S，连接AS、GS、GA 由三角形中位线宣，我们易证明出面GSA∥面FMC，根据面面平行的性质，我们易得GA∥面FMC，即P与A重合．解答：证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC （1）连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN又FD⊥AD，FD⊥CD，∴FD⊥面ABCD∴FD⊥AC∴AC⊥面FDN，GN⊂面FDN∴GN⊥AC（2）点P与点A重合时，GP∥面FMC证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA∵G是DF的中点，∴GS∥FC，A S∥CM∴面GSA∥面FMCGA⊂面GSA∴GA∥面FMC 即GP∥面FMC点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，简单空间图形的三视图，其中根据三视图，判断出该几何体为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，是解答本题的关键．19．（12分）（2013•长宁区一模）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额﹣总的成本）考点：基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数，利用二次函数的性质求出取最值时，x的值即可．解答：解：（Ⅰ）根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成，①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，可得由基本不等式得当且仅当，即x=500时，等号成立∴的最小值为90元．∴每件产品的最低成本费为90元（Ⅱ）设总利润为y元，∵每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x∴总销售额=xQ（x）=170x﹣0.05x2，则y=xQ（x）﹣xP（x）=﹣0.1x2+130x﹣12500=﹣0.1（x﹣650）2+29750当x=650时，y max=29750答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及二次函数的性质，同时考查了建模的能力，属于中档题20．（13分）（2013•成都一模）已知一非零向量列{a n}满足：a1=（1，1），a n=（x n，y n）=（1）证明：{|a n|}是等比数列；（2）设θn=＜a n﹣1，a n＞（n≥2），b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设c n=|a n|log2|a n|，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；等比关系的确定．专题：综合题；压轴题．分析：（1）先利用向量模的计算公式得出的表达式，发现得出=利用等比数列定义判定是等比数列．（2）根据向量夹角公式可以求出θn =，b n=2nθn﹣1=．分组后结合等差数列求和公式计算．（3）由上可得出c n =•，可利用作商法研究数列{c n}的单调性，确定最小项存在与否．解答：解：（l ）证明：===（n≥2）又=∴数列是以为首项，公比为的等比数列．…（4分）（2）∵===2∴cosθn ==，∴θn =，∴b n=2nθn﹣1=．Sn=b1+b2+…+b n ==…（8分）（3）假设存在最小项，不防设为cn ，∵==，∴c n=|a n|log2|a n |=•，由c n≤c n+1得≤即（2﹣n）≤1﹣n ，∴（﹣1）n≥2﹣1．∴n≥=3+，∵n为正整数，∴n≥5．由c n≤c n﹣1得n≤4+，n≤5．，∴n=5故存在最小项，最小项为c5=…（12分）点评：本题考查数列的函数性质，等比数列的判定，数列求和，向量数量积、夹角的计算，是数列与不等式的综合．所涉及的知识、方法均为高中学段基本要求．21．（14分）（2013•牡丹江一模）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1﹣a解g'（x）=0，得x=e a﹣1，得出在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a﹣1≤1，当1＜e a﹣1＜e，当e a﹣1≥e，从而得出g（x）的最小值．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，…（6分）切线的斜率为lnx0+1，所以，，…（7分）解得x0=1，y0=0，…（8分）所以直线l的方程为x﹣y﹣1=0．…（9分）（Ⅲ）g（x）=xlnx﹣a（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣a，…（10分）解g'（x）=0，得x=e a﹣1，所以，在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a﹣1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1．…（13分）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e﹣ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a﹣e a﹣1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e﹣ae．点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．。
成都市高2013级第一次诊断考试数学文科及答案
成都市高2013级第一次诊断性考试数学试题(文科)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，{|22}B x x =-<<，则A B = （A ）{|12}x x -≤≤ （B ）{|12}x x -≤< （C ）{|12}x x -<< （D ）{|21}x x -<≤ 2．在ABC ∆中，“4A π=”是“cos A = （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为 （A ）3:1 （B ）2:1 （C ）1:1 （D ）1:24．设147()9a -=，159()7b =，27log 9c =，则a , b , c 的大小顺序是（A ）b a c << （B ）c a b <<（C ）c b a << （D ）b c a <<5．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（A ）若βα//,//m m ，则βα//（B ）若,m m n α⊥⊥，则//n α（C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥6．已知实数,x y 满足402020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2zy x =-的最大值是（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）6 7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于正视图侧视图俯视图50，则输入的整数k 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78．已知菱形A B C D 边长为2，3B π∠=，点P 满足A P A B λ= ，λ∈R ．若3BD CP ⋅=-，则λ的值为（A ）12 （B ）12- （C ）13 （D ） 13- 9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若E 上存在点P 使12F F P ∆为等腰三角形，且其顶角为23π，则22a b的值是（A ）43 （B）3 （C ）34 （D）210．已知函数232log (2),0()33,x x k f x x x k x a-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩ .若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-，则实数a 的取值范围是（A）3[,12+ （B）[2,1 （C ）[1,3] （D ） [2,3]第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ． 12．已知函数3()sin 1f x x x -=++.若()3f a =，则()f a -= ．13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙.则x >甲x 乙的概率是 ．14. 已知圆422=+y x ，过点(0,1)P 的直线l 交该圆于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值是 ．15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线2413y x =-的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M ，N ．则当能开发的面积达到最大时，OM 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若2510a a =，求数列{}3nna 的前n 项和n S ． 17．（本小题满分12分）有编号为,,,A A A 的9道题，其难度系数如下表：（Ⅰ）从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率； （Ⅱ）从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率． 18．（本小题满分12分）已知函数2251()cos cos sin 424f x x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；（Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1()4f C =-，求sin A 的值．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面A B C D ，且FD =（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求几何体EFABCD 的体积． 20．（本小题满分13分）已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点.（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点(Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.证明：以MN 为直径的圆恒过点A .21．（本小题满分14分）已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a =-++-∈R ． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a =时，设函数()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围．数学（文科）参考答案及评分意见第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．A ； 9．D ； 10．B ．第II 卷（非选择题，共100分）二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．15i +； 12．-1； 13．25； 14．3； 15．1． 三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ） 212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+= 由题意，得0n a ≠，∴22520.q q -+=2q ∴=或1.21q >，2.q ∴= ……………………6分 （Ⅱ）2510,a a = 42911().a q a q ∴=12a ∴=.∴112.n n n a a q -==∴2().33nn n a = ∴122[1()]2332.2313n n n n S +-==--……………………12分 17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M ，9道题中难题有1A ，4A ，6A ，7A 四道.∴4().9P M =……………6分 （Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N ，则基本事件为：14{,}A A ，16{,}A A ，17{,}A A ，46{,}A A ，47{,}A A ，67{,}A A 共6个；难题中有且仅有6A ，7A 的难度系数相等. ∴1().6P N =……………12分 18．解：（Ⅰ）2251()cos cos sin 44f x x x x x =-5sin 231cos 242222x x -=--⨯13(cos 22)24x x =--+1).23x π=--……………………3分 要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3x π-取得最小值.∴22,32x k k ππ-=π-∈Z. ∴,12x k k π=π-∈Z.……………………5分 ∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π=π-∈Z ……………………6分（Ⅱ）由题意，得sin(2)3C π-= (0,),2C π∈ 22(,).333C πππ∴-∈-3C π∴=. ………………9分(0,)2B π∈ ，4sin .5B ∴=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+413525=⨯+=………………12分 19．解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HDEH ∴平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD 平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥ 平面ABCD，FD =//.FD EH ∴ ∴四边形EHDF 为平行四边形.//.EF HD ∴EF ⊄ 平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD//EF ∴平面.ABCD ………6分（Ⅱ）连接,CF HA .由题意,得HA BC ⊥.HA ⊆平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC ，∴HA ⊥平面BCE .//FD EH ，EH ⊆平面BCE ，FD ⊄平面BCE ，//FD ∴平面.BCE同理，由//HB DA 可证，//DA 平面.BCEFD DA 于D ，FD ⊆平面ADF ，DA ⊆平面ADF ， ∴平面BCE //平面.ADFF ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长. FD 为四棱锥F ABCD -的高, EFABCD F BCE F ABCD V V V --∴=+1133BCE ABCD S HA S FD =⨯+⨯1133=⨯3.= ……………………………12分20．解：（Ⅰ）(A B .设点(,)P x y (0)y ≠.则有22132x y +=，即22222(1)(3).33x y x =-=-223PA PBy k k x ∴⋅==-222(3)23.33x x -==-- ……………………4分（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ， MN 与x 轴不重合，∴设直线:)MN l x ty t =∈R .由22,2360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩得22144(23)0.525t y +--= 由题意,可知0∆>成立，且122122523.1442523y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩ ……（*）11221212()()(AM AN x y x y ty ty y y ⋅=+=+++2121248(1)().525t y y y y =++++ 将（*）代入上式，化简得2222214414448484823482525250.2325252325t t t AM AN t t --++⋅=+=-⨯+=++ ∴AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ． ………………13分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x--'=-> ①当(0,1)a ∈时，11a >.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞.②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.③当(1,)a ∈+∞时，11a<.由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞.综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a ,(1,)+∞. ………6分（Ⅱ）2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p = ，∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增.19ln 2()2105h =+ ，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ， ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………14分。
四川省成都市石室中学2013届高三一诊模拟试题 数学理答案
石室中学高2013级一诊模拟试题理科数学参考答案一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、D 二、填空题：11、132n --⨯（*n N ∈） 12、8 13、314、45 15、①②④三、解答题：16、解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θ …………1分11||||sin()||||sin 2211||||cos tan 6tan 3tan .422333tan 1tan [0,],[,].643S AB BC AB BC AB BC S πθθθθθθθθππθπθ=-===⨯=≤≤≤≤∴≤≤∈∴∈分即又分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin)(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++= …………9分311[,],2[,].4344232,,(), 3.12444f πππππθθπππθθθ∈∴+∈∴+==当即时最大最大值为分17、证明：（Ⅰ）作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵PA PB= ∴OA OB OC ==，即O 为ABC ∆的外心 又∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒ 故O 为AB 边的中点 所以PO ⊂平面PAB即证：平面PAB ⊥平面ABC ． ．．．．．．．6分 （Ⅱ）∵ABC ∆中，2ACB π∠=，2AC CB ==，∴OA OB OC ===∵2CB AD =，且异面直线PC 与AD 的夹角为60︒，PB PC = ∴60PCB ∠=︒，∴PCB ∆为正三角形，可解得PO =以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则A，(B，C，P(CB =2AD =，∴D ． …………………….9分 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =(0,CP =，2(CD =由2020n CP n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取(3,1,1)n =平面ACD 的法向量为OP = ∴cos ,1111OP n OP n OP n⋅<>===⋅ 由图可知，所求二面角P CD A --为钝角，其的余弦值为11-． ……….12分 18、解：⑴()3sin 2sin 3sin 2sin 11sin 2sin 222-+=-+-+-=x x x x x x f所以()().11322≤≤--+=x x x x f …………………5分⑵①当21=x 时，.021≠⎪⎭⎫⎝⎛f 不成立. ②当211<≤-x 时，,021<-x 令,21x t -=则,21t x -=.230≤<t ,34732122122--=-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=tt t t t a因为函数()347--=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0上单增，所以.3438232-≤⇒-=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a ③当121≤<x 时，,021>-x 令,21-=x t 则,21t x +=.210≤<t,34732122122+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tt t t t a因为函数()347+-=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单增，所以.00212≤⇒=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a 综上，实数a 的取值范围是(].0,∞- ……………………12分19、解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30100098 2.7,10.3x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩（Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x '=->⇒<<， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）． 当10x >时，100098(2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．20、解：⑴()..121251.2363661236612n a d d d dd a a a a a a a a n =∴=⇒+=+⇒==--==…….3分 ⑵()()()()().1211211212222122223221112+-+=++=++=+⨯+=---n n n n n n n n n n nn b 则.1212112112112112112112112110+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-nn n n S ………7分⑶,12211212-+=-+=n nn n c 而()()().1211212121222122122111⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--<-=----nn n n n n n n n 所以()1121121121121121121232143322-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+<-=∑n c n n ni i .31112131232+<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+<n n n …………………….13分 21、解：（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x+++'>=-<…………2分 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数;…………3分（Ⅱ）当0x >时，()1k f x x >+恒成立，即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立，取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则21ln(1)()x x h x x--+=，…………………5分 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11x g x x x '=-=>++ 故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->，…………………7分 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a+=++=+∈≤故max 3k =…………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++ 令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，………………10分又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+……………………12分1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>………………14分。
成都市2013届高三一诊考前模拟试题数学试题含答案
⎧ − x, x ≤ 0
① f ( x ) 在 [ a , b ] 内是单调函数； ② f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域为 [2a , 2b ] ，则称区间 [ a , b ] 为 y = f ( x ) 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有_______ ① f ( x) = x 2 ( x ≥ 0) ； ③ f ( x) = ② f ( x) = e x ( x ∈ R ) ； ④ f ( x ) = log a ( a x − )(a > 0, a ≠ 1)
5 × 27 = 3 人. 45
……4 分
（2）法一：由（2）可知，抽取的 5 人中，年龄大于 40 岁的有 3 人，分别记作 1，2，3； 20 岁至 40 岁的观众有 2 人，分别高为 a, b ，若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ，则包含 的总的基本事件有： (1,2), (1,3), (1, a ), (1, b), ( 2,3), ( 2, a), (2, b), (3, a), (3, b), ( a, b) 共 10 个。 其 中 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 20 岁 至 40 岁 包 含 的 基 本 事 件 有 ：
4x ( x ≥ 0) ； x +1
2
1 8
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16. 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， OA = ( 2 sin 2 x,1), OB = (1,−2 3 sin x cos x + 1) ，
��� � ��� � f ( x) = OA ⋅ OB + m 。
（1）求 y = f ( x) 的单调递增区间； （2）若 f ( x) 的定义域为 [
四川省成都市2013届高三一诊模拟考试理科数学试题
四川省成都市2013届高三一诊模拟考试理科数学试题（考试时间： 2012年12月27日 总分：150分）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．不等式223x x -≤+的解集是（ ） A (,8](3,)-∞-⋃-+∞ B (,8][3,)-∞-⋃-+∞ C ．[3,2]- D (3,2]-2．若复数（，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2B. 4C. 6D.-63．如果数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -，…是首项为1，公比为则5a 等于（ ）A ．32B ．64C ．32-D ．64-4．已知平面向量a r ，b r 满足||1,||2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60︒，则“m=1”是“()a mb a -⊥r r r”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．关于命题p ：A φφ= ，命题q ：A A φ= ，则下列说法正确的是（ ） A ．()p q ⌝∨为假B ．()()p q ⌝∧⌝为真C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真6．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ） A ．周期函数，最小正周期为23πB ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，最小正周期为π2D ．非周期函数7．设集合11[0,),[,1]22A B ==，函数1,()()22(1),()x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0[()]f f x A ∈，则0x 的取值范围是（ ） A ．(10,4] B ．(15,48] C ．(15,48) D ．[38，58]8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角为（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π9. 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为（ ）A.3B.6C.12D.1810．若函数()f x 在给定区间M 上，存在正数t ，使得对于任意,x M x t M ∈+∈有，且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的t 级类增函数，则以下命题正确的是 （ ）A ．函数4()(1,)f x x x=++∞是上的1级类增函数 B ．函数2()|log (1)|(1,)f x x =-+∞是上的1级类增函数C ．若函数()sin [,)2f x x ax π=++∞为上的3π级类增函数，则实数a 的最小值为2D ．若函数2()3f x x x =-∞为[1,+)上的t 级类增函数，则实数t 的取值范围为[1,)+∞二、填空题（每小题5分，共25分）11．若24log 3,(22)x x x -=-=则 12.某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为 13．在正方体!111D C B A A B C D -中,Q P N M 、、、分别是1111CC D C AA AB 、、、的中点,给出以下四个结论:①1AC MN ⊥； ②1AC //平面MNPQ ； ③1AC 与PM 相交； ④1NC 与PM 异面 其中正确结论的序号是 .14．已知函数()321f x x x =---，则其最大值为 。
四川省成都市石室中学2013届高三上学期一诊模拟数学(理)试题
四川省成都市石室中学2013届高三上学期一诊模拟数学（理）试题一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，则集合P Q 为 （ ） （A ）{1,2} （B ）{1} （C ）{2} （D ）{0,1}2、复数212i i-+的虚部是（ ） （A ）0 （B ）5i （C ）1 （D ）i3、已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） （A ）49 （B ）29 （C ）29- （D ）49-4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）805、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( ) （A ）若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α （B ）若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β （C ）若a ⊥β，α⊥β，则 a ∥α （D ）若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β6、函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A ）()2sin()33f x x ππ=- （B ）()2sin(1)6f x x π=-（C ）()2sin()3f x x π=- （D ）()2sin()66f x x ππ=-7、对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A) )2,(--∞(B) ),2[+∞-(C) ]2,2[-(D) ),0[+∞8、已知O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=，则∆ABC 是（）（A ）以AB 为底边的等腰三角形 （B ）以BC 为底边的等腰三角形 （C ）以AB 为斜边的直角三角形 （D ）以BC 为斜边的直角三角形9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（ ） （A ）360种 （B ）840种 （C ）600种 （D ）1680种 10、已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}01234b c ∈、，，，，，记“该方程有实数根12x x 、且满足1212x x -≤≤≤” 为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ） （A ）516 （B ）1225 （C ）1425 （D ）1625二、填空题：每小题5分，共25分11、已知数列{}n a 的前n 项和332n n S =-⨯，则n a = ．12、(12)n x +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，则n 等于 ．13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=a ，)54(2，=+，则θcos 等于 ．15、定义在(1,1)-上的函数)(x f 满足：对任意,(1,1)x y ∈-，()()()1x y f x f y f xy--=-恒成立．有下列结论：①(0)0f =；②函数()f x 为(1,1)-上的奇函数；③函数()f x 是定义域内的增函数；④若122()1n n na a n a *+=∈+N ，且(1,0)(0,1)n a ∈- ，则数列{}()n f a 为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是 ．石室中学高2013级“一诊模拟”考试（一）试题主视图 侧视图俯视图理科数学（第二卷）11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题：总分75分16、（本题满分12分）已知ABC ∆的面积S满足36S AB BC ≤≤⋅= 且，AB BC与的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值．17、（本题满分12分）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=︒，2AC CB ==．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若2CB AD =，且异面直线PC 与AD 的夹角为60︒时，求二面角P CD A --的余弦值． 18、（本题满分12分）设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有().3sin 2cos 2cos sin 2-++-=x x x x fB（Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）若方程()212-=x a x f 有解，求实数a 的取值范围. 19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.（Ｉ）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式；（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？20、（本题满分13分）设数列{}n a 为单调递增的等差数列,1,1=a 且1263,,a a a 依次成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若(),223222+⋅+=nn na a a nb 求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）若2121n n a n a c +=-，求证：.312+<∑=n c ni i21．（本小题满分14分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> .石室中学高2013级一诊模拟试题理科数学参考答案一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、D 二、填空题：11、132n --⨯（*n N ∈） 12、8 13、314、45 15、①②④三、解答题：16、解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θ …………1分11||||sin()||||sin 2211||||cos tan 6tan 3tan .422333tan 1tan [0,],[,].643S AB BC AB BC AB BC S πθθθθθθθθππθπθ=-===⨯=≤≤≤≤∴≤≤∈∴∈分即又分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f ).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++= …………9分311[,],2[,].4344232,,(), 3.12444f πππππθθπππθθθ∈∴+∈∴+== 当即时最大最大值为分17、证明：（Ⅰ）作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵PA PB= ∴OA OB OC ==，即O 为ABC ∆的外心 又∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒ 故O 为AB 边的中点 所以PO ⊂平面PAB即证：平面PAB ⊥平面ABC ． ．．．．．．．6分 （Ⅱ）∵ABC ∆中，2ACB π∠=，2AC CB ==，∴OA OB OC ===∵2CB AD =，且异面直线PC 与AD 的夹角为60︒，PB PC =∴60PCB ∠=︒，∴PCB ∆为正三角形，可解得PO =以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则A ，(B ，C ，P(CB = 2AD =，∴(22D -． …………………….9分设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =(0,CP =，(22CD -=由00n CP n CD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取(3,1,1)n = 平面ACD的法向量为OP =∴cos ,OP n OP n OP n⋅<>===⋅由图可知，所求二面角P CD A --为钝角，其的余弦值为． ……….12分 18、解：⑴()3sin 2sin 3sin 2sin 11sin 2sin 222-+=-+-+-=x x x x x x f所以()().11322≤≤--+=x x x x f …………………5分⑵①当21=x 时，.021≠⎪⎭⎫⎝⎛f 不成立. ②当211<≤-x 时，,021<-x 令,21x t -=则,21t x -=.230≤<t ,34732122122--=-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=tt t t t a因为函数()347--=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0上单增，所以.3438232-≤⇒-=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a ③当121≤<x 时，,021>-x 令,21-=x t 则,21t x +=.210≤<t ,34732122122+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tt t t t a因为函数()347+-=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单增，所以.00212≤⇒=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a综上，实数a 的取值范围是(].0,∞- ……………………12分19、解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30100098 2.7,10.3x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩（Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x '=->⇒<<， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）． 当10x >时，100098(2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．20、解：⑴()..121251.2363661236612n a d d d dd a a a a a a a a n =∴=⇒+=+⇒==--==…….3分 ⑵()()()()().121121121222212222322111+-+=++=++=+⨯+=---n n n n n n n n n n nn b 则.1212112112112112112112112110+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-nn n n S ………7分 ⑶,12211212-+=-+=n nn n c 而()()().1211212121222122122111⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--<-=----nn n n n n n n n 所以()1121121121121121121232143322-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+<-=∑n c n n ni i.31112131232+<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+<n n n …………………….13分 21、解：（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x +++'>=-<…………2分故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数;…………3分（Ⅱ）当0x >时，()1k f x x >+恒成立，即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立，取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则21ln(1)()x x h x x--+=，…………………5分 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11x g x x x '=-=>++ 故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->，…………………7分 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a+=++=+∈≤故max 3k =…………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++ 令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，………………10分又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+ ……………………12分1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> ………………14分。
【解析版】四川省成都市石室中学2013届高三第一次模拟考试数学理试题
四川省成都市石室中学2013年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分2．（5分）复数的虚部是（）解：复数==i3．（5分）已知，则的值为（）B）﹣﹣））﹣（﹣）．4．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）B．，由=3，T=．（×．2=≥﹣8．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）•=0，故⊥，∴2•=0⊥，故9．（5分）反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录10．（5分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数B．二、填空题：每小题5分，共25分11．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a n=﹣3×2n﹣1（n∈N*）．，得（12．（5分）（1+2x）n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于8．•4，=2×，解得13．（5分）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为．高为，高为V=故答案为：14．（5分）设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于．的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得结论．，==故答案为：15．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1），恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若，且a n∈（﹣1，0）∪（0，1），则数列{f（a n）}为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是①②④．，可证出，当，则，所以，，则=f三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．，∴，∴，∴，即时，取得最大值=317．（12分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅱ）若，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．中，，为正三角形，解得，，，，∴，18．（12分）设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=﹣cos2x+cos2x+2sinx ﹣3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若方程有解，求实数a的取值范围．时方程，此时只需求出时，可求出其值域．时，时，，则，因为函数时，，则，+3（19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本））当﹣﹣取最大值，且当且仅当时，x=21．（13分）设数列{a n}为单调递增的等差数列，a1=1，且a 3，a6，a12依次成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若，求证：．∴（Ⅲ）证明：22．（14分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．时，恒成立，即（Ⅲ）由（Ⅱ）知：（Ⅰ）解：由题，时，恒成立，即，则，，（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：。
2013级一诊数学模拟试题2(文科试题及解答)
高2013届“一诊”模拟试题二文科数学试题一、选择题：每题5分，共50分. 1、函数tan(2)4y x π=-的周期是 （ ）A ． πB ． 2πC ．4πD ． 2π2、函数9lg yx x=-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（6,7）B ．（7,8）C ．（8,9）D ．（9,10） 3、下列结论正确的是 （ ）A ．当101,lg 2lg x x x x>≠+≥且时 B ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2C ．当0x >2的最小值为2 D ．当02x <≤时，1x x-有最大值.4、盒中有10个铁钉,其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的 概率是( ) A.51 B.41 C.54 D.1015、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，）A. 2)π+B. (2)π+C. 42π+D. 3)π+6、已知定义在区间(0,)2π上的函数y x =的图象与函数cos y x =的图象的交点为P ，过P 作1PP x ⊥轴于点1P ，直线1P P 与 tan y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为（ ）A.B.2C.327、如图,若程序框图输出的S 是127， 则判断框①中应为 （ ） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤....................M8040840214019532011201020093218、如右图,在A B C ∆中，13AN N C = ,P 是B N 上的一点,若29A P m AB AC =+，则实数m 的值为( ) A.19B31 C. 1 D. 39、函数ln xx xxe e y e e---=+的图象大致为（ ）10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形， 其中第一行各数依次是1 , 2 , 3 , … , 2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右 两数之和，最后一行只有一个数M ， 则这个数M 是（ ） A ．200920122⨯ B ．201020112⨯ C ．201120102⨯ D ．200720102⨯二、填空题：每题5分，共25分.11、已知i 为虚数单位，则234561i i i i i i ++++++=______. 12、在A B C ∆中，若4B π∠=，b =，则C ∠= ．13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后， 甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a 、2a ， 则1a 、2a 的大小关系是_____________.(填12a a >，21a a >，12a a =之一) ． 14.函数()|21||f x x a x =++，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则实数a = . 15.已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)， 分别按图A 、B 作扇形的内接矩形，若按图A 作出 的矩形面积的最大值为21tan 2R α，则按图B 作出的矩形面积的最大值为.DCBAC 1B 1A 1高2013届“一诊”模拟试题二文科数学试题答题卷二、填空题：11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 . 三、解答题：共6个小题，满分75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，D 为A C 的中点，12AA AB ==.（I ）求证：1A B //平面1BC D ；（II ）设3BC =，求四棱锥11B D AA C -的体积.18.（本小题满分12分）已知函数()f x ax =+0x ≥）的图象经过两点(0,1)A和2B -.（I ）求()f x 的表达式及值域；（II ）给出两个命题2:()(34)p f m m f m -<-和2:log (1)1q m -<.问是否存在实数m ，使得复合命题“p 且q ”为真命题？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过．．．35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于．．35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人.设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元.（I ）写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；（II ）当旅行团人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.20.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ，数列{}2n a 的前n项的和为n T ，且()2*234,n n S T n N -+=∈． (I)求1a 、2a 的值；(II)证明数列{}n a 是等比数列，并写出通项公式； (III)若20n n S T λ-<对*n N ∈恒成立，求λ的最小值；21.（本小题满分14分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >. （I ）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（II ）当4a =时，是否存在实数m ，使得直线60x y m ++=恰为曲线()y f x =的切线？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（III ）设定义在D 上的函数()y h x =的图象在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”。