2020-2021学年江西省九江市九年级(上)期中数学试卷-解析版
2020-2021学年江西省九江市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.一元二次方程x2−9=0的根是()A. x=9B. x=±9C. x=3D. x=±32.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则口袋中白色球的个数很可能是()个．A. 12B. 24C. 36D. 483.下列几何图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. 等边三角形B. 平行四边形C. 菱形D. 对角线相等的四边形4.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是()A. 3cmB. 2.5cmC. 2.3cmD. 2.1cm5.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为()A. 1.24米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.62米6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 125二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.顺次连接一个对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是______形．8.现有四张正面分别标有数字−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n.则点P(m,n)在第二象限的概率为______．9.已知一元二次方程x2−x+k=0的一根为1，则另一根为______．10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有______条．11.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是______．12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=12，∠B=120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.(1)用配方法解方程x2+4x−5=0；(2)用因式分解法解方程(x−3)2+4x(x−3)=0．四、解答题（本大题共10小题，共78.0分）14.在图1、2中，点E是矩形ABCD边AD上的中点，现要求仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．[保留画(作)图痕迹，不写画(作)法](1)在图1中，以BC为一边画△PBC，使△PBC面积=矩形ABCD面积；(2)在图2中，以BE、ED为邻边作▱BEDK．15.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE=DF.求证：∠BAE=∠DAF．16.已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．17.小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)．(1)小红的爸爸被分到B组的概率是______；(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)18.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)若BC=12，AFFC =12，求线段BE的长．19.某商店将进价为30元的商品按每件40元出售，每月可出售600件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少10件，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使每月总利润为10000元，那么此时每件商品售价应为多少元？20.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF．21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．22.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．23.如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF=AB．(1)求证：BD⊥EC；(2)若AE=2，求AB的长；(3)如图2，连接AG，请探究线段EG、AG、DG之间的数量美系，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x2−9=0，移项得：x2=9，两边直接开平方得：x=±3，故选：D．首先把−9移到方程的右边，然后两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．2.【答案】B【解析】解：∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，∴估计摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，∴摸到白球的概率为1−0.15−0.45=0.4，∴口袋中白色球的个数为60×0.4=24，即口袋中白色球的个数很可能24个．故选B．根据频率估计概率得到摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，则摸到白球的概率为0.4，然后利用概率公式计算即可．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．3.【答案】C【解析】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、菱形即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、对角线相等的四边形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】D【解析】解：由题意得：CD//AB，∴CDAB =DEBE，∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，∴CD3.5=35，∴CD=2.1cm，故选：D．直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．5.【答案】A【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴ab=0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a 的值．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．6.【答案】C【解析】解：∵AB=6，BC=8，∴矩形ABCD的面积为48，AO=DO=12AC=5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，∴12=12×5×EO+12×5×EF，∴5(EO+EF)=24，∴EO+EF=245，故选：C．依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD=S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．7.【答案】矩【解析】解：矩形．理由如下：∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，(三角形的中位线平行于第三边)∴四边形EFGH是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：①一个角是直角的平行四边形是矩形．②三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形．8.【答案】316【解析】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P(m,n)在第二象限的结果数为3，．所以点P(m,n)在第二象限的概率=316．故答案为316画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P(m,n)在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．9.【答案】0【解析】解：设方程的另一个根是x2，则：1+x2=1，解得x2=0．所以另一根为0，故答案为0．根据根与系数的关系由两根之和可以求出另一个根．是解题的关键．本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于−ba10.【答案】3【解析】解：过点P作PE//AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．过点P作PF//BC交AB于点F，△APF∽△ACB．过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．故满足条件的直线有3条，故答案为：3．根据相似三角形的判定方法，画出图形判断即可．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11.【答案】8√5【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，=2，∵AC=BD=8，OE=OF=8−42由勾股定理得：DE=√OD2+OE2=√42+22=2√5，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2√5=8√5，故答案为：8√5．连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．12.【答案】6或6√3或√57【解析】解：当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，则PH=EH，∵∠B=120°，∴∠BPE=∠BEP=30°，在Rt△BEH中，BH=1BE=3，EH=√3BH=23√3，∴PE=2EH=6√3；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF=EF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∵∠ABC=120°，∴∠A=60°，AB=4，BG=√3AG=4√3，在Rt△ABG中，AG=12∴PF=4√3，在Rt△PEF中，PE=√32+(4√3)2=√57；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6，综上所述，PE的长为6或6√3或√57．故答案为6或6√3或√57．当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，根据等腰三角形的性质得PH=EH，再计算出∠BPE=∠BEP=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到此时的PE的长；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，所以BF=EF=3，先求出BG=4√3，从而得到PF=4√3，然后利用勾股定理计算出此时PE的长；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6．本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．平行线间的距离处处相等．也考查了等腰三角形的性质．13.【答案】解：(1)x2+4x=5．∴x2+4x+4=9，∴(x+2)2=9，∴x+2=±3，∴x1=−5，x2=1；(2)原方程因式分解得：(x−3)(5x−3)=0，∴x−3=0或5x−3=0，∴x1=3,x2=3．5【解析】(1)利用配方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14.【答案】解：(1)如图所示，△PBC即为所求；(2)如图所示，平行四边形BEDK即为所求．【解析】(1)连接CE并延长，交BA的延长线于P，根据△APE≌△DCE，可得△PBC面积=矩形ABCD面积；(2)连接矩形ABCD的对角线，交于点O，可得BO=DO，再连接EO并延长，交BC于K，根据△BOK≌△DOE，可得EO=KO，连接DK，即可得到▱BEDK．本题主要考查了复杂作图，平行四边形的判定，矩形的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形．15.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠B=∠D BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF．【解析】根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE=∠DAF．本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．16.【答案】解：(1)证明：∵Δ=[−(m+1)]2−4×2(m−1)=m2−6m+9=(m−3)2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；(2)若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16−4(m+1)+2(m−1)=0，解得：m=5，∴原方程为x2−6x+8=0，解得：x1=2，x2=4．组成三角形的三边长度为2、4、4；若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，∴Δ=0，即m=3，此时方程为x2−4x+4=0，解得：x1=x2=2，由于2+2=4，不能构成三角形，舍去；所以三角形另外两边长度为4和2．【解析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；(2)代入x=4求出m值．(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m−3)2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；(2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得．17.【答案】13【解析】解：(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B ；组”的概率为13(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，∴P(他与小红爸爸在同一组)=39=13．(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．(2)用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．18.【答案】证明：(1)∵DE//AC，∴∠DEB=∠FCE，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4．【解析】(1)由平行线的性质可得∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，可得结论；(2)由平行线分线段成比例可得BEEC =AFFC=12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键．19.【答案】解：设每件商品售价应为x元，每月的销量为[600−10(x−40)]件，由题意，得[600−10(x−40)](x−30)=10000，解得：x1=50，x2=80．当x=50时，600−10(50−40)=500件，销售成本为：500×30=15000>10000舍去，当x=80时，600−10(80−40)=200件，销售成本为：200×30=6000<10000舍去，答：此时每件商品售价应为80元．【解析】设每件商品售价应为x元，根据利润=售价−进价建立方程求出其解并检验即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，利润率问题的数量关系的运用，解答时根据利润=售价−进价建立方程是关键．20.【答案】证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF//AB，DE//AC，∴四边形ADEF是平行四边形；(2)∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【解析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//AB，DE//AC，再根据平行四边形的定义证明即可；(2)根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，AD=5；∴OE=AE=12由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．AD，推【解析】(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；AD=5；由(1)知，(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2−2x+k+2=0有两个实数根，∴△=(−2)2−4×1×(k+2)≥0，解得：k≤−1．(2)∵x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1x2=k+2．∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2，∴k2−6=0，解得：k1=−√6，k2=√6．又∵k≤−1，∴k=−√6．∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k−2成立，k值为−√6．【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，(1)根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，x1x2=k+2，结合1x1+1x2=k−2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合(1)即可得出结论．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF=∠DAB=90°，又∵AE=AD，AF=AB，∴△AEF≌△ADB(SAS)，∴∠AEF=∠ADB，∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即∠EGB=90°，故BD⊥EC；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AE//CD，∴∠AEF=∠DCF，∠EAF=∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴AECD =AFDF，即AE⋅DF=AF⋅DC，设AE=AD=a(a>0)，则有a⋅(a−1)=1，化简得a2−a−1=0，解得a=√5−1或a=−√5−1(舍去)，∴AB=√5−1；(3)如图，在线段EG上取点P，使得EP=DG，在△AEP与△ADG中，AE=AD，∠AEP=∠ADG，EP=DG，∴△AEP≌△ADG(SAS)，∴AP=AG，∠EAP=∠DAG，∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG−DG=EG−EP=PG=√2AG．【解析】(1)证明△AEF≌△ADB(SAS)，则∠AEF=∠ADB，∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即可求解；(2)证明△AEF∽△DCF，则AECD =AFDF，设AB=a(a>0)，则有22−2a=a2，即可求解；(3)证明△AEP≌△ADG(SAS)，则△PAG为等腰直角三角形，故EG−DG=EG−EP= PG=√2AG．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
2020-2021学年江西省九江市九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江西省九江市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.一元二次方程x2−9=0的根是()A. x=9B. x=±9C. x=3D. x=±32.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则口袋中白色球的个数很可能是()个．A. 12B. 24C. 36D. 483.下列几何图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. 等边三角形B. 平行四边形C. 菱形D. 对角线相等的四边形4.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是()A. 3cmB. 2.5cmC. 2.3cmD. 2.1cm5.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为()A. 1.24米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.62米6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 125二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.顺次连接一个对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是______形．8.现有四张正面分别标有数字−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n.则点P(m,n)在第二象限的概率为______．9.已知一元二次方程x2−x+k=0的一根为1，则另一根为______．10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有______条．11.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是______．12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=12，∠B=120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.(1)用配方法解方程x2+4x−5=0；(2)用因式分解法解方程(x−3)2+4x(x−3)=0．四、解答题（本大题共10小题，共78.0分）14.在图1、2中，点E是矩形ABCD边AD上的中点，现要求仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．[保留画(作)图痕迹，不写画(作)法](1)在图1中，以BC为一边画△PBC，使△PBC面积=矩形ABCD面积；(2)在图2中，以BE、ED为邻边作▱BEDK．15.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE=DF.求证：∠BAE=∠DAF．16.已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．17.小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)．(1)小红的爸爸被分到B组的概率是______；(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)18.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)若BC=12，AFFC =12，求线段BE的长．19.某商店将进价为30元的商品按每件40元出售，每月可出售600件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少10件，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使每月总利润为10000元，那么此时每件商品售价应为多少元？20.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF．21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．22.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．23.如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF=AB．(1)求证：BD⊥EC；(2)若AE=2，求AB的长；(3)如图2，连接AG，请探究线段EG、AG、DG之间的数量美系，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x2−9=0，移项得：x2=9，两边直接开平方得：x=±3，故选：D．首先把−9移到方程的右边，然后两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．2.【答案】B【解析】解：∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，∴估计摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，∴摸到白球的概率为1−0.15−0.45=0.4，∴口袋中白色球的个数为60×0.4=24，即口袋中白色球的个数很可能24个．故选B．根据频率估计概率得到摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，则摸到白球的概率为0.4，然后利用概率公式计算即可．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．3.【答案】C【解析】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、菱形即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、对角线相等的四边形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】D【解析】解：由题意得：CD//AB，∴CDAB =DEBE，∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，∴CD3.5=35，∴CD=2.1cm，故选：D．直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．5.【答案】A【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴ab=0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a 的值．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．6.【答案】C【解析】解：∵AB=6，BC=8，∴矩形ABCD的面积为48，AC=√62+82=10∴AO=DO=12AC=5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为矩形ABCD面积的14，∴△AOD的面积=12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，∴12=12×5×EO+12×5×EF，∴5(EO+EF)=24，∴EO+EF=245，故选：C．依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD=S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．7.【答案】矩【解析】解：矩形．理由如下：∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，(三角形的中位线平行于第三边)∴四边形EFGH是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：①一个角是直角的平行四边形是矩形．②三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形．8.【答案】316【解析】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P(m,n)在第二象限的结果数为3，．所以点P(m,n)在第二象限的概率=316．故答案为316画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P(m,n)在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．9.【答案】0【解析】解：设方程的另一个根是x2，则：1+x2=1，解得x2=0．所以另一根为0，故答案为0．根据根与系数的关系由两根之和可以求出另一个根．本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于−b是解题的关键．a10.【答案】3【解析】解：过点P作PE//AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．过点P作PF//BC交AB于点F，△APF∽△ACB．过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．故满足条件的直线有3条，故答案为：3．根据相似三角形的判定方法，画出图形判断即可．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11.【答案】8√5【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，=2，∵AC=BD=8，OE=OF=8−42由勾股定理得：DE=√OD2+OE2=√42+22=2√5，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2√5=8√5，故答案为：8√5．连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．12.【答案】6或6√3或√57【解析】解：当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，则PH=EH，∵∠B=120°，∴∠BPE=∠BEP=30°，在Rt△BEH中，BH=1BE=3，EH=√3BH=23√3，∴PE=2EH=6√3；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF=EF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∵∠ABC=120°，∴∠A=60°，AB=4，BG=√3AG=4√3，在Rt△ABG中，AG=12∴PF=4√3，在Rt△PEF中，PE=√32+(4√3)2=√57；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6，综上所述，PE的长为6或6√3或√57．故答案为6或6√3或√57．当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，根据等腰三角形的性质得PH=EH，再计算出∠BPE=∠BEP=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到此时的PE的长；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，所以BF=EF=3，先求出BG=4√3，从而得到PF=4√3，然后利用勾股定理计算出此时PE的长；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6．本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．平行线间的距离处处相等．也考查了等腰三角形的性质．13.【答案】解：(1)x2+4x=5．∴x2+4x+4=9，∴(x+2)2=9，∴x+2=±3，∴x1=−5，x2=1；(2)原方程因式分解得：(x−3)(5x−3)=0，∴x−3=0或5x−3=0，∴x1=3,x2=3．5【解析】(1)利用配方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14.【答案】解：(1)如图所示，△PBC即为所求；(2)如图所示，平行四边形BEDK即为所求．【解析】(1)连接CE并延长，交BA的延长线于P，根据△APE≌△DCE，可得△PBC面积=矩形ABCD面积；(2)连接矩形ABCD的对角线，交于点O，可得BO=DO，再连接EO并延长，交BC于K，根据△BOK≌△DOE，可得EO=KO，连接DK，即可得到▱BEDK．本题主要考查了复杂作图，平行四边形的判定，矩形的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形．15.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠B=∠D BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF．【解析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE=∠DAF．16.【答案】解：(1)证明：∵Δ=[−(m+1)]2−4×2(m−1)=m2−6m+9=(m−3)2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；(2)若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16−4(m+1)+2(m−1)=0，解得：m=5，∴原方程为x2−6x+8=0，解得：x1=2，x2=4．组成三角形的三边长度为2、4、4；若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，∴Δ=0，即m=3，此时方程为x2−4x+4=0，解得：x1=x2=2，由于2+2=4，不能构成三角形，舍去；所以三角形另外两边长度为4和2．【解析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；(2)代入x=4求出m值．(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m−3)2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；(2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得．17.【答案】13【解析】解：(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B组”的概率为13；(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，∴P(他与小红爸爸在同一组)=39=13．(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．(2)用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．18.【答案】证明：(1)∵DE//AC，∴∠DEB=∠FCE，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4．【解析】(1)由平行线的性质可得∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，可得结论；(2)由平行线分线段成比例可得BEEC =AFFC=12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键．19.【答案】解：设每件商品售价应为x元，每月的销量为[600−10(x−40)]件，由题意，得[600−10(x−40)](x−30)=10000，解得：x1=50，x2=80．当x=50时，600−10(50−40)=500件，销售成本为：500×30=15000>10000舍去，当x=80时，600−10(80−40)=200件，销售成本为：200×30=6000<10000舍去，答：此时每件商品售价应为80元．【解析】设每件商品售价应为x元，根据利润=售价−进价建立方程求出其解并检验即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，利润率问题的数量关系的运用，解答时根据利润=售价−进价建立方程是关键．20.【答案】证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF//AB，DE//AC，∴四边形ADEF是平行四边形；(2)∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【解析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//AB，DE//AC，再根据平行四边形的定义证明即可；(2)根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【解析】(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12AD，推出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2−2x+k+2=0有两个实数根，∴△=(−2)2−4×1×(k+2)≥0，解得：k≤−1．(2)∵x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1x2=k+2．∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2，∴k2−6=0，解得：k1=−√6，k2=√6．又∵k≤−1，∴k=−√6．∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k−2成立，k值为−√6．【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，(1)根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，x1x2=k+2，结合1x1+1x2=k−2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合(1)即可得出结论．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF=∠DAB=90°，又∵AE=AD，AF=AB，∴△AEF≌△ADB(SAS)，∴∠AEF=∠ADB，∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即∠EGB=90°，故BD⊥EC；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AE//CD，∴∠AEF=∠DCF，∠EAF=∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴AECD =AFDF，即AE⋅DF=AF⋅DC，设AE=AD=a(a>0)，则有a⋅(a−1)=1，化简得a2−a−1=0，解得a=√5−1或a=−√5−1(舍去)，∴AB=√5−1；(3)如图，在线段EG上取点P，使得EP=DG，在△AEP与△ADG中，AE=AD，∠AEP=∠ADG，EP=DG，∴△AEP≌△ADG(SAS)，∴AP=AG，∠EAP=∠DAG，∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG−DG=EG−EP=PG=√2AG．【解析】(1)证明△AEF≌△ADB(SAS)，则∠AEF=∠ADB，∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即可求解；(2)证明△AEF∽△DCF，则AECD =AFDF，设AB=a(a>0)，则有22−2a=a2，即可求解；(3)证明△AEP≌△ADG(SAS)，则△PAG为等腰直角三角形，故EG−DG=EG−EP= PG=√2AG．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．第21页，共21页。
2020-2021学年江西省九江市修水县一年级(下)期中数学试卷
2020-2021学年江西省九江市修水县一年级（下）期中数学试卷一、我会计算。
（共16分）1．（16分）我会计算。
12﹣6＝2+91＝15﹣5＝9﹣9+3＝59﹣9＝9+8＝50+8＝39﹣9+8＝30+5＝75﹣70＝20+5＝15﹣6+2＝73﹣3＝64﹣60＝13﹣4＝57﹣50﹣5＝二、我会填空。
（每空1分，共24分）2．（6分）写一写，读一读。
3．（2分）70前面的一个数是，后面的一个数是。
4．（4分）59里面有个十和个一，再添上1个一是，再添上1个十是。
5．（2分）个位上是5的两位数中，最大的是，最小的是。
6．（4分）在横线上填上“＞”、“＜”或“＝”。
47﹣20 2569 7+6224﹣10 9+699 1007．（1分）长方形、正方形、平行四边形都有条边。
8．（5分）跳木桩。
三、我会数一数，填一填。
（共8分）9．（8分）如图中，一共有个，个，个，个。
四、我会选一选。
（共10分）10．（2分）80里面有（）个一。
A．8B．80C．1011．（2分）大于50小于60的数可能是（）A．65B．55C．4512．（2分）最大的两位数是（）A．10B．99C．10013．（2分）个位和十位上的数相同的两位数有（）个。
A．8B．9C．1014．（2分）苹果有46个，脐橙的个数比苹果〇多得多。
脐橙可能有（）个。
A．18B．50C．96五、用3个可以表示哪些不同的数？（4分）15．（4分）用3个可以表示哪些不同的数？十位个位组成的数六、我会解决问题（共36分）16．（8分）看图列算式。
17．（5分）兔妈妈原来有77个胡萝卜，被小兔子搬走了70个，还剩多少个？18．（5分）幼儿园小朋友在吹气球，吹了16个红气球，9个黄气球。
再吹几个黄气球就和红气球同样多？19．（12分）整理卡片。
（1）按动物的种类分一分，在下面涂一涂，填一填。
（2）按卡片的形状分一分，在下面涂一涂，填一填。
20．（6分）每个学生分4块，可以分给多少个学生？最少再加几块够再分一个学生？（圈一圈，画一画）七、挑战自我。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
江西省九江市2020版九年级上学期数学期中考试试卷D卷
江西省九江市2020版九年级上学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·抚州模拟) 已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（）A . a=5，b=1B . a=﹣5，b=1C . a=5，b=﹣1D . a=﹣5，b=﹣12. （2分）已知一等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A . 8B . 10C . 8或10D . 不能确定3. （2分） (2016九上·滨海期中) 二次函数y= （x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标是（）A . （﹣2，﹣1）B . （2，﹣1）C . （﹣2，1）D . （2，1）4. （2分）利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（）A . 100万个B . 160万个C . 180万个D . 182万个5. （2分） (2014九上·临沂竞赛) 方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是（）A . －2或3B . 3C . －2D . －3或26. （2分）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A . 70°B . 35°C . 40°D . 50°7. （2分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格：x…﹣2﹣10123…y…﹣9m﹣10﹣1﹣4…m的数值是（）A . 0B . ﹣1C . ﹣4D . 28. （2分）(2017·河北模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（﹣1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△A BO=（）A . 8：1B . 6：1C . 5：1D . 4：19. （2分）如图,已知EF∥BC,EH∥AC,则图中与∠1互补的角有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个10. （2分）(2019·靖远模拟) 二次函数的图像如图所示，下列结论正确是（）A .B .C .D . 有两个不相等的实数根二、填空题 (共6题；共8分)11. （1分）已知x2－x－1＝0，则代数式－x3＋2x2＋2 018的值为________．12. （1分）(2020·安徽模拟) 已知△ABC中，，，，为△ABC的重心，那么 ________.13. （1分）如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向下平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣4，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则s与m的函数关系式为________ （不写自变量取值范围）．14. （2分）请写出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的平面图形，你所写的平面图形名称是________ ．（写一个即可）15. （1分）从圆内一点P引两条弦AB与CD，则∠APC与弧AC、BD度数间的关系是________ ．16. （2分） (2019九上·柳江月考) 如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC顺时针旋转a度，得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，则∠ACC'=________。
【解析版】2020—2021学年江西省九江市七年级上期中数学试卷
【解析版】2020—2021学年江西省九江市七年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．假如+20%表示增加20%，那么﹣6%表示（）A．增加14% B．增加6% C．减少6% D．减少26%2．已知2x3y a与﹣x b y4是同类项，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 3 D． 43．A为数轴上表示﹣1的点，将A点沿数轴向左移动2个单位长度到B点，则B点所表示的数为（）A． 1或﹣3 B． 3 C． 1 D．﹣34．（﹣3）3的绝对值等于（）A．﹣9 B． 9 C． 27 D．﹣275．用运算器运算时，其按键顺序为：，则其运算结果为（）A．﹣8 B．﹣6 C． 6 D． 86．如图，骰子是一个质量平均的小正方体，它的六个面上分别刻有1～6个点．小明认真观看骰子，发觉任意相对两面的点数和都相等．这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 6二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．用一个平面截一个正方体，截面的形状可能是．（填两个即可）8．若3a2﹣a﹣2=0，则5+2a﹣6a2= ．9．一个物表达在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米，则再过秒它的速度为15米/秒．10．筐苹果总重x千克，筐本身重2千克，若将苹果平均分成5份，则每份重千克．11．省“阳光政府4项制度”（减负、低保、廉租房、促就业）的重点工作进展顺利，其中今年省级财政预算安排城乡医疗救助金69 600 000元，用于救助城乡困难群众．数字69 600 000用科学记数法可表示为元．12．数轴上A、B两点所表示的有理数的和是．13．已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x﹣1，则此多项式是．14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照如此的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，正方形ABCD的边长为1，以直线AB为轴将正方形旋转一周，所得一个圆柱，求：（1）主视图的周长是多少？（2）俯视图的面积是多少？16．（1）运算：3+（﹣2）2×（﹣）（2）化简：（4a2﹣2a+6）﹣2（2a2﹣3a）17．如图是由七块形状相同的正方体积木搭成的几何体，请画出从正面、左面和上面看到的那个几何体的形状图．18．我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过2公里的一律收费5元；乘车里程超过2公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.5元计费，问：（1）假如有人乘出租车行驶了x公里（x＞2），那么他应对车费多少元？（列代数式）（2）某乘客乘出租车从上车点到下车点有8公里，那么他应对车费少元？四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）19．化简求值：4x2+[5x﹣x2﹣（2x2﹣x）]﹣4x，其中x=﹣2．20．如图，在边长为a cm的正方形内，截去两个以正方形的边长a cm为直径的半圆，则（1）图中阴影部分的周长为多少cm？（2）当a=4时，图中阴影部分的面积为多少cm2？五、（本大题9分）21．某自行车厂一周打算生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种缘故，实际上每天的生产量与打算量相比有出入，如表是某周的生产情形（实际上每天的生产量比打算星期一二三四五六日增减﹣10+8﹣4+10+2+6﹣6（1）依照记录可知，将这一周的每天生产填入表星期一二三四五六日每天生产量（辆） 190（2）该厂实行计件工资制，每生产一辆得60元，增产部分按每辆80元运算，减产部分按每辆50元运算，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？（3）请以实际生产最少的一天生产量为0点，用折线统计图表示这一周的实际生产量情形．六、（本大题9分）22．问题解决：2020年6月，江西省制定了“居民生活用电试行阶梯电价实施方案”，其标准为：第一档电量（180度/月以下）坚持现行价格不变，即每度0.60元；第二档电量（180度/月至350度/月）在现行电价的基础上，每度提高0.05元，即每度0.65元；第三档电量（350度/月以上）在现行电价的基础上，每度提高0.30元，即每度0.90元．（说明：用电量取整数）问：（1）8月10日，家住南昌市民德路的陈先生收到了来自南昌供电公司的电费单，电费单上显示7月份用电量为299度，请按照实行阶梯电价后的收费标准，陈先生7月份的电费应为多少元？（2）按照实行阶梯电价后的收费标准，陈先生8月份交了299.55元电费，请计处出陈先生8月份的用电量应为多少度？（3）请按照实行阶梯电价后的收费标准，假如陈先生某月份的电费为x度，请用含x的代数式，表示出他应交多少元电费？2020-2020学年江西省九江市七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．假如+20%表示增加20%，那么﹣6%表示（）A．增加14% B．增加6% C．减少6% D．减少26%考点：正数和负数．分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，因此假如+20%表示增加20%，那么﹣6%表示减少6%．解答：解：依照正数和负数的定义可知，﹣6%表示减少6%．故选C．点评：解题关键是明白得“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．2．已知2x3y a与﹣x b y4是同类项，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 3 D． 4考点：同类项．分析：依照同类项：所含字母相同，同时相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，代入运算即可．解答：解：∵2x3y a与﹣x b y4是同类项，∴a=4，b=3，∴a﹣b=4﹣3=1，故选B．点评：此题考查了同类项的知识，把握同类项中的两个相同，①所含字母相同，②相同字母的指数相同是解题的关键．3．A为数轴上表示﹣1的点，将A点沿数轴向左移动2个单位长度到B点，则B点所表示的数为（）A． 1或﹣3 B． 3 C． 1 D．﹣3考点：数轴．分析：依照右加左减的法则进行解答即可．解答：解：∵A为数轴上表示﹣1的点，∴将A点沿数轴向左移动2个单位长度到B点，B点所表示的数为﹣1﹣2=﹣3．故选D．点评：本题考查的是数轴，熟知数轴上右加左减的法则是解答此题的关键．4．（﹣3）3的绝对值等于（）A．﹣9 B． 9 C． 27 D．﹣27考点：绝对值；有理数的乘方．分析：先运算出（﹣3）3的值，再依照绝对值的性质运算即可．解答：解：（﹣3）3=﹣27，|﹣27|=27．故选：C．点评：本题考查的是有理数的乘方和绝对值的性质，把握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．5．用运算器运算时，其按键顺序为：，则其运算结果为（）A．﹣8 B．﹣6 C． 6 D． 8考点：运算器—有理数．分析：依照按键顺序得出有理数的运算式子，进而可得出结论．解答：解：由题意得（﹣2）3=﹣8．故选A．点评：本题考查的是运算器﹣有理数，熟知运算器的用法是解答此题的关键．6．如图，骰子是一个质量平均的小正方体，它的六个面上分别刻有1～6个点．小明认真观看骰子，发觉任意相对两面的点数和都相等．这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 6考点：有理数的混合运算．专题：应用题．分析：依照任意相对两面的点数和都相等，得（1+2+3+4+5+6）÷3﹣5=2．解答：解：∵骰子是小正方体，且任意相对两面的点数和都相等，∴（1+2+3+4+5+6）÷3﹣5=2．故选：B．点评：若相对两面的点数和都相等，则每个两面的数字和是总和的三分之一．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．用一个平面截一个正方体，截面的形状可能是三角形、四边形（梯形、矩形、正方形）、五边形、六边形．（填两个即可）考点：截一个几何体．专题：压轴题；分类讨论．分析：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形（梯形，矩形，正方形）、五边形、六边形共有四种情形．解答：解：用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形（梯形，矩形，正方形）、五边形、六边形．点评：本题考查几何体的截面，关键要明白得面与面相交得到线．应熟记这四种情形．8．若3a2﹣a﹣2=0，则5+2a﹣6a2= 1 ．考点：代数式求值．专题：整体思想．分析：先观看3a2﹣a﹣2=0，找出与代数式5+2a﹣6a2之间的内在联系后，代入求值．解答：解；∵3a2﹣a﹣2=0，∴3a2﹣a=2，∴5+2a﹣6a2=5﹣2（3a2﹣a）=5﹣2×2=1．故答案为：1．点评：要紧考查了代数式求值问题．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，把所求的代数式变形整理出题设中的形式，利用“整体代入法”求代数式的值．9．一个物表达在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米，则再过 5 秒它的速度为15米/秒．考点：一元一次方程的应用．专题：行程问题．分析：依照题意：找到等量关系最后的速度=初速度+增加的速度，能够列出关系式，解可得答案．解答：解：设通过x秒它的速度是15米/秒，则可得：5+2x=15，解可得：x=5．故填5．点评：此题的等量关系：最后的速度=初速度+增加的速度．10．筐苹果总重x千克，筐本身重2千克，若将苹果平均分成5份，则每份重千克．考点：列代数式．分析：每份重=苹果净重÷份数．解答：解：苹果的总重量为（x﹣2）千克，分成5份，因此每份为千克．点评：本题考查列代数式．注意代数式的正确书写：显现除号的时候，要写成分数的形式．解决问题的关键是读明白题意，找到所求的量的等量关系．11．省“阳光政府4项制度”（减负、低保、廉租房、促就业）的重点工作进展顺利，其中今年省级财政预算安排城乡医疗救助金69 600 000元，用于救助城乡困难群众．数字69 600 000用科学记数法可表示为 6.96×107元．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：科学记数法确实是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．解答：解：69 600 000=6.96×107元．点评：科学记数法是指把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n是整数）的形式，其中10的指数确实是原数的整数位数减去1．12．数轴上A、B两点所表示的有理数的和是﹣1 ．考点：有理数的加法；数轴．分析：此题借助数轴用数形结合的方法求解．由数轴可知点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2，因此A，B两点所表示的有理数的和是﹣1．解答：解：由数轴得，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2，∴A，B两点所表示的有理数的和是﹣3+2=﹣1．点评：本题考查数轴的有关知识．借助数轴来求解，专门直观，且不容易遗漏，表达了数形结合的优点．13．已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x﹣1，则此多项式是﹣5x﹣1 ．考点：整式的加减．分析：所求的多项式等于和减去3x2+9x，合并同类项即可．解答：解：所求的多项式为：（3x2+4x﹣1）﹣（3x2+9x）=﹣5x﹣1．故答案为：﹣5x﹣1点评：解决本题的关键是得到所求多项式与所给多项式之间的等量关系．14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照如此的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n ．考点：多边形．专题：压轴题；规律型．分析：第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照如此的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．解答：解：第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．故答案为：n2+2n．点评：第一运算几个专门图形，发觉：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，正方形ABCD的边长为1，以直线AB为轴将正方形旋转一周，所得一个圆柱，求：（1）主视图的周长是多少？（2）俯视图的面积是多少？考点：点、线、面、体；简单几何体的三视图．分析：（1）圆柱的主视图是一个矩形，矩形的宽是确实是原正方形的边长1，矩形的宽是原正方形边长的两倍；（2）俯视图为半径为1的圆，依照圆的面积公式求出即可．解答：解：（1）主视图是一个长为2，宽为1的长方形，其周长为：2×（2+1）=6；（2）俯视图为半径为1的圆，其面积为：π•12=π．点评：本题考查了点、线、面、体，简单几何体的三视图，解决本题的关键是得到矩形的长和宽．16．（1）运算：3+（﹣2）2×（﹣）（2）化简：（4a2﹣2a+6）﹣2（2a2﹣3a）考点：有理数的混合运算；整式的加减．专题：运算题．分析：（1）原式先运算乘方运算，再运算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果；（2）原式去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）原式=3﹣4×=3﹣3=0；（2）原式=4a2﹣2a+6﹣4a2+6a=4a+6．点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练把握运算法则是解本题的关键．17．如图是由七块形状相同的正方体积木搭成的几何体，请画出从正面、左面和上面看到的那个几何体的形状图．考点：作图-三视图．分析：的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2；左视图有4列，每列小正方形数目分别为2，1，1，1；俯视图有2列，每行小正方形数目分别为4，1．解答：解：如图所示：．点评：本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都表达出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．18．我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过2公里的一律收费5元；乘车里程超过2公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.5元计费，问：（1）假如有人乘出租车行驶了x公里（x＞2），那么他应对车费多少元？（列代数式）（2）某乘客乘出租车从上车点到下车点有8公里，那么他应对车费少元？考点：列代数式；代数式求值．分析：（1）车费=起步价+超过2千米需出的钱．（2）当x=8时，求出价钱即可．解答：解：依题意得：（1）5+1.5（x﹣2）=1.5x+2（元）．答：他应对车费1.5x+2元．（2）5+1.5×（8﹣2）=14（元）．答：他应对车费14元．点评：此题考查列代数式问题，解决问题的关键是读明白题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）19．化简求值：4x2+[5x﹣x2﹣（2x2﹣x）]﹣4x，其中x=﹣2．考点：整式的加减—化简求值．专题：运算题．分析：原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入运算即可求出值．解答：解：原式=4x2+5x﹣x2﹣2x2+x﹣4x=x2+2x，当x=﹣2时，原式=4﹣4=0．点评：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练把握运算法则是解本题的关键．20．如图，在边长为a cm的正方形内，截去两个以正方形的边长a cm为直径的半圆，则（1）图中阴影部分的周长为多少cm？（2）当a=4时，图中阴影部分的面积为多少cm2？考点：列代数式；代数式求值．分析：（1）依照阴影部分的周长=正方形两条边的长度+一个圆的周长．（2）阴影部分的面积=正方形的面积﹣圆的面积．解答：解：（1）由图可知，阴影部分的周长为一个圆的周长与正方形两条边长的和，则阴影部分的周长=πa+2a（cm）；（2）由图可知，阴影部分的面积=正方形的面积﹣圆的面积，即阴影部分的面积=a2﹣π（）2．当a=4时，阴影部分的面积=42﹣π×（）2=16﹣4π（cm2）．答：（1）图中阴影部分的周长为（πa+2a）cm；（2）当a=4时，图中阴影部分的面积为（16﹣4π）cm2．点评：本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的周长公式和面积公式，正确表示出阴影部分的周长和面积是解题的关键．五、（本大题9分）21．某自行车厂一周打算生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种缘故，实际上每天的生产量与打算量相比有出入，如表是某周的生产情形（实际上每天的生产量比打算量增产记为正，实际上每天的生产量比打算量减产记为负）：星期一二三四五六日增减﹣10+8﹣4+10+2+6﹣6（1）依照记录可知，将这一周的每天生产填入表星期一二三四五六日每天生产量（辆） 190 208 196 210 202 206 194（2）该厂实行计件工资制，每生产一辆得60元，增产部分按每辆80元运算，减产部分按每辆50元运算，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？（3）请以实际生产最少的一天生产量为0点，用折线统计图表示这一周的实际生产量情形．考点：折线统计图；正数和负数．分析：（1）依照打算量为200辆，实际上每天的生产量比打算量增产记为正，实际上每天的生产量比打算量减产记为负即可完成表格；（2）先运算出已知7个正负数的代数和，再依照每生产一辆得60元，增产部分按每辆80元运算，减产部分按每辆50元运算，列式运算即可；（3）以实际生产最少的一天生产量为0点，画出折线统计图即可．解答：解：（1）依照记录可知，实际每天生产量如下表：星期一二三四五六日每天生产量（辆） 190 208 196 210 202 206 194故答案为208，196，210，202，206，194；（2）∵﹣10+8﹣4+10+2+6﹣6=6，∴该厂工人这一周超额完成6辆，∴工资总额为60×1406+80×6=84840（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是84840元；（3）折线统计图如下所示：点评：本题考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，依照数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．从折线图不但能够表示出数量的多少，而且能够清晰地表示出数量的增减变化情形．同时考查了有理数运算在实际生活中的应用．六、（本大题9分）22．问题解决：2020年6月，江西省制定了“居民生活用电试行阶梯电价实施方案”，其标准为：第一档电量（180度/月以下）坚持现行价格不变，即每度0.60元；第二档电量（180度/月至350度/月）在现行电价的基础上，每度提高0.05元，即每度0.65元；第三档电量（350度/月以上）在现行电价的基础上，每度提高0.30元，即每度0.90元．（说明：用电量取整数）问：（1）8月10日，家住南昌市民德路的陈先生收到了来自南昌供电公司的电费单，电费单上显示7月份用电量为299度，请按照实行阶梯电价后的收费标准，陈先生7月份的电费应为多少元？（2）按照实行阶梯电价后的收费标准，陈先生8月份交了299.55元电费，请计处出陈先生8月份的用电量应为多少度？（3）请按照实行阶梯电价后的收费标准，假如陈先生某月份的电费为x度，请用含x的代数式，表示出他应交多少元电费？考点：列代数式；有理数的混合运算．分析：（1）依照题意列出代数式，再把x=299代入解答即可；（2）依照题意列出代数式解答即可；（3）依照x＜180，180≤x≤350，x＞350三种情形分析解答即可．解答：解：由题意可得：179×0.6+（299﹣179）×0.65=185.4元；（2）因为179×0.6+（350﹣179）×0.65=218.55元，218.55＜299.55，因此第三档用电量为（299.55﹣218.55）÷0.9=90度；（3）当x＜180时，应交电费0.6x元；当180≤x≤350时，应交电费为179×0.6+（x﹣179）×0.65元；当x＞350时，应交电费为179×0.6+（299﹣179）×0.65+0.9×（x﹣350）=218.55+0.9（x ﹣350）元．点评：此题考查代数式问题，解答此题需要分情形探讨，明确题目中所给数量属于哪一种情形，由此选择正确的解题方法．。
2020-2021学年河北省保定师范附属学校九年级(上)期中数学试卷(重测卷)
2020-2021学年河北省保定师范附属学校九年级（上）期中数学试卷（重测卷）一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）方程x（x+1）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝﹣1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1 2．（3分）有一实物如图，那么它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）某市2011年绿化面积为200公顷，经过园林部门的努力，到2013年底绿化面积增加到320公顷．若设绿化面积年平均增长率为x，则由题意，所列方程正确的是（）A．200（1+x）＝320B．200（1+2x）＝320C．200（1+x）2＝320D．320（1﹣x）2＝2004．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．4C．4D．286．（3分）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A．B．C．D．7．（3分）折叠一张长为5，宽为3的矩形纸片，折痕长不可能是（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米10．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一根为0，则k＝（）A．1B．﹣1C．±1D．011．（2分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：2512．（2分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB ，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．1813．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一根为x＝2018，则关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）＝0的根为（）A．2020B．2018C．2017D．2016和﹣214．（2分）如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是（）A．甲正确，乙错误B．甲、乙均正确C．乙正确，甲错误D．甲、乙均错误15．（2分）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）16．（2分）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，已知﹣2≤x＜2，则方程[x]＝x2的解为（）A．0或B．0或1C．1或D．或﹣二、填空题（本大题有3个小题，共10分：18、17题3分，19小题，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）已知＝（a≠0），那么＝．18．（3分）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为19．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如果E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG 的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．三.解答题（共7小题）20．（12分）解下列方程．（1）x2﹣14x＝8（配方法）（2）x2﹣7x﹣18＝0（公式法）（3）（2x+3）2＝4（2x+3）（因式分解法）（4）2（x﹣3）2＝x2﹣9．21．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标；（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．22．（8分）如图，四边形EBGD和四边形BFDH是两个全等的矩形，其中ED、BH交于点A，BG、FD交于点C．（1）判断四边形ABCD的形状、并说明理由．（2）若矩形的长是6，宽是3，求四边形ABCD的面积．23．（10分）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共块瓷砖，第一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示），铺设地面所用瓷砖的总块数为．（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）是否存在黑瓷转与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．24．（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．25．（10分）某商场销售一批小家电，平均每天可售出20台，每台盈利40元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降5元，商场平均每天可多售出10台．如果商场将这批小家电的单价降低x元，通过销售这批小家电每天盈利y元．（1）每天的销售量是台（用含x的代数式表示）；（2）求y与x之间的关系式；（3）如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1050元，那么单价应降多少元？（4）若这批小家电的单价有三种降价方式：降价10元、降价20元、降价30元，如果你是商场经理，你准备采取哪种降价方式？说说理由．26．（12分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF＝EG．（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF EG（用“＝”或“≠”填空）（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB＝4，BC＝3，求的值．2020-2021学年河北省保定师范附属学校九年级（上）期中数学试卷（重测卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）方程x（x+1）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝﹣1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1【解答】解：∵x（x+1）＝0∴x＝0，x+1＝0∴x1＝0，x2＝﹣1．故选：C．2．（3分）有一实物如图，那么它的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：正面看，它是中间小两头大的一个图形，里面有两条虚线，表示看不到的棱．故选B．3．（3分）某市2011年绿化面积为200公顷，经过园林部门的努力，到2013年底绿化面积增加到320公顷．若设绿化面积年平均增长率为x，则由题意，所列方程正确的是（）A．200（1+x）＝320B．200（1+2x）＝320C．200（1+x）2＝320D．320（1﹣x）2＝200【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程200（1+x）2＝320．故选：C．4．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误；B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：＝；故B选项错误；C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故C选项正确．D、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故D选项错误；故选：C．5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．4C．4D．28【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．6．（3分）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．故选：C．7．（3分）折叠一张长为5，宽为3的矩形纸片，折痕长不可能是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：因为矩形的长、宽分别为5、3，所以根据勾股定理对角线长为＝．故折痕的长不会超过，而6＞，故选：D．8．（3分）已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．由平行线分线段成比例可得，即，选项错误；B．由平行线分线段成比例可得，即，选项错误；C．由平行线分线段成比例可得，，即，选项正确，D．由平行线分线段成比例可得，即x＝，选项错误．故选：C．9．（3分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得：BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．故选：D．10．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一根为0，则k＝（）A．1B．﹣1C．±1D．0【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，得k2﹣1＝0，解得k＝﹣1或1；又k﹣1≠0，即k≠1；所以k＝﹣1．故选：B．11．（2分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：25【解答】解：∵DE∥AC，∴△DEO∽△CAO，∴＝（）2＝，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴BE：EC＝1：4，∴S△BED：S△DEC＝1：4，故选：B．12．（2分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB ，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．18【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．13．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一根为x＝2018，则关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）＝0的根为（）A．2020B．2018C．2017D．2016和﹣2【解答】解：∵关于x的方程：a（x+2）2+b（x+2）＝0，且关于x的一元二次方程ax2+bx ＝0（a≠0）的一根为x＝2018，∴x+2＝2018或x+2＝0，解得x＝2016或﹣2．故选：D．14．（2分）如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是（）A．甲正确，乙错误B．甲、乙均正确C．乙正确，甲错误D．甲、乙均错误【解答】解：由甲的作法可得：DF＝AD＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∠A＝90°，∵DF AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形，∵AD＝AE，∴矩形AEFD是正方形；故甲的作法正确；∵四边形ABCD是矩形，∠CDA＝∠DAB＝90°，由乙的作法可得：∠ADN＝∠MDN＝∠DAM＝∠NAM＝45°，则AD＝AN＝DM，在△MDA和△NAD中，∴△MDA≌△NAD（ASA），∴DM＝AN，∴DM AN，∴四边形ANMD是平行四边形，∵∠DAB＝90°，∴平行四边形ANMD是矩形，∵AD＝AN，∴矩形ANMD是正方形；故乙的作法正确．故选：B．15．（2分）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．16．（2分）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，已知﹣2≤x＜2，则方程[x]＝x2的解为（）A．0或B．0或1C．1或D．或﹣【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；所以方程[x]＝x2的解为0或．故选：A．二、填空题（本大题有3个小题，共10分：18、17题3分，19小题，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）已知＝（a≠0），那么＝．【解答】解：∵＝（a≠0），∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故答案为：．18．（3分）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为﹣1【解答】解：x（x+1）+ax＝0，原方程可变形为x2+（a+1）x＝0．∵该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（a+1）2﹣4×1×0＝0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．19．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如果E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG 的长为2或8；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是①②③④．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．【解答】解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．三.解答题（共7小题）20．（12分）解下列方程．（1）x2﹣14x＝8（配方法）（2）x2﹣7x﹣18＝0（公式法）（3）（2x+3）2＝4（2x+3）（因式分解法）（4）2（x﹣3）2＝x2﹣9．【解答】解：（1）x2﹣14x+49＝57，（x﹣7）2＝57，x﹣7＝±，所以x1＝7+，x2＝7﹣；（2）△＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）＝121，x＝，所以x1＝9，x2＝﹣2；（3）（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，所以x1＝﹣，x2＝；（4）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，x﹣3＝0或2x﹣6﹣x﹣3＝0，所以x1＝3，x2＝9．21．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标；（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．【解答】解：（1）位似中心P如图所示，P（﹣5，﹣1），B1（3，﹣5）；（2）△OA2B2如图所示，B2（﹣2，﹣6）；（3）点M2（2a，2b）．22．（8分）如图，四边形EBGD和四边形BFDH是两个全等的矩形，其中ED、BH交于点A，BG、FD交于点C．（1）判断四边形ABCD的形状、并说明理由．（2）若矩形的长是6，宽是3，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；如图所示：理由如下：∵四边形EBGD和四边形BFDH是两个全等的矩形，∴BE＝BF，∠E＝∠EBG＝∠FBH＝∠F＝90°，DE∥BG，BH∥DF，∴∠EBA＝∠FBC，四边形ABCD是平行四边形，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，设AB＝AD＝x，则AE＝6﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即（6﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，∴AD＝，∴菱形ABCD的面积＝AD•BE＝×3＝．23．（10分）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有（n+2）块瓷砖（均用含n的代数式表示），铺设地面所用瓷砖的总块数为（n2+5n+6）块．（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）是否存在黑瓷转与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．【解答】解：（1）第1个图中，第一横行共4块瓷砖，第一竖列共有3块瓷砖；第2个图中，第一横行共5块瓷砖，第一竖列共有4块瓷砖；第3个图中，第一横行共6块瓷砖，第一竖列共有5块瓷砖；……第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有（n+2）块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+3）（n+2）＝（n2+5n+6）块．故答案为：（n+3）；（n+2）；（n2+5n+6）块．（2）依题意得：n2+5n+6＝506，整理得：n2+5n﹣500＝0，解得：n1＝20，n2＝﹣25（不合题意，舍去）．答：此时n的值为20．（3）不存在，理由如下：第n个图中，黑瓷转的数量为2[（n+3）+（n+2）]﹣4＝（4n+6）块，白瓷砖的数量为n2+5n+6﹣（4n+6）＝（n2+n）块．依题意得：4n+6＝n2+n，整理得：n2﹣3n﹣6＝0，解得：n1＝，n2＝．又∵n为正整数，∴n1＝，n2＝均不符合题意，舍去，∴不存在黑瓷转与白瓷砖块数相等的情形．24．（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是＝；（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是＝．25．（10分）某商场销售一批小家电，平均每天可售出20台，每台盈利40元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降5元，商场平均每天可多售出10台．如果商场将这批小家电的单价降低x元，通过销售这批小家电每天盈利y元．（1）每天的销售量是（20+2x）台（用含x的代数式表示）；（2）求y与x之间的关系式；（3）如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1050元，那么单价应降多少元？（4）若这批小家电的单价有三种降价方式：降价10元、降价20元、降价30元，如果你是商场经理，你准备采取哪种降价方式？说说理由．【解答】解：（1）根据题意，得每天的销售量为（20+2x）台．故答案为20+2x．（2）根据题意，得y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800（0＜x＜40）．（3）根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1050x2﹣30x+125＝0解得x1＝5，x2＝25．为了去库存，∴x＝5应舍去．答：单价应降25元．（4）选择降价20元的方式．理由如下：当降价10元时，利润＝（40﹣10）（20+2×10）＝1200（元）当降价20元时，利润＝（40﹣20）（20+2×20）＝1200（元）当降价30元时，利润＝（40﹣30）（20+2×30）＝800（元）∵1200＝1200＞800，且要去库存，∴选择降价20元的方式．答：采取20元的降价方式．26．（12分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF＝EG．（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF＝EG（用“＝”或“≠”填空）（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB＝4，BC＝3，求的值．【解答】解：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG＝90°，∠AEF+∠CEF＝90°，∴∠AEG＝∠CEF，又∵∠GAE＝∠C＝90°，EA＝EC，∴△EAG≌△ECF（ASA）∴EG＝EF（2）EF＝EG；过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，则∠MEN＝90°，EM＝EN，∴∠GEM＝∠FEN，又因为∠EMG＝∠ENF＝90°，∴△EMG≌△ENF∴EF＝EG．故答案为：＝．（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：则∠MEN＝90°，EM∥BC，EN∥AB，∴，∴，又∵∠GEM+∠MEF＝90°，∠FEN+∠MEF＝90°，∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△GME∽Rt△FNE，∴。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（）A．任意两个平行四边形都相似B．任意两个菱形都相似C．任意两个矩形都相似D．任意两个正方形都相似2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定3．（3分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）5．（3分）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A （2，1），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，4）D．（4，2）6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值等于（）A．B．C．D．7．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣258．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．10．（3分）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则tan A的值是．12．（3分）抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是．13．（3分）若3a＝2b，则的值为．14．（3分）比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为m2．15．（3分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m ，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．16．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、20题各10分，19题9分，共39分）17．（10分）计算：|﹣2|×cos60°﹣sin45°．18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，求tan∠OCD的值．19．（9分）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC 与△BPD相似吗？为什么？20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…01234…y…41014…（1）根据表格，画出此函数图象草图；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当y＞3时，求x的取值范围．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．22．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．求：四边形ABCD的面积．23．（10分）如图，矩形ABCD且BC＝2，∠ACB＝30°，动点E在对角线AC上，连接ED，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）若AE：CE＝1：2，求BF：FC．五、解答题（本题共3小题，其中24、25小题各11分，26小题12分，共34分）24．（11分）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝5，BD⊥AC于点D，BD＝3，P在AB上，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF＝90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，AP的长度为x ．（1）填空：BP PE（填写＞或＝或＜）；（2）当F在边AC上时，求线段AP的长；（3）求S与x之间的函数关系式．25．（11分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，连接AD．（1）如图1，AB＝CB，E是AB延长线上一点，CE与AD垂直．求证：BD＝BE；（2）如图2，AB＝CB，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF并延长交AB于点G．求证：＝；（3）如图3，若AB＝kBC且D是BC的中点，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF 并延长交AB于点G，直接写出tan∠BFG的值（用含k的式子表示）．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m．（1）抛物线的顶点坐标；（含m的式子表示）（2）当m＝1时，①抛物线上一点P到x轴的距离为5，求点P的坐标；②当n≤x≤时，函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n，求n的值；（3）当2m﹣1≤x≤2m+1时，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5，求：m ．2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（）A．任意两个平行四边形都相似B．任意两个菱形都相似C．任意两个矩形都相似D．任意两个正方形都相似【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、任意的平行四边形不一定相似，故错误，是假命题，不符合题意；B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意；C、任意两个矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意；D、任意两个正方形都相似，正确，是真命题，符合题意，故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定【分析】根据锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦解答即可．【解答】解：设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sin A＝，如果各边长都扩大5倍，∴sin A＝＝，故∠A的正弦值大小不变．故选：C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3．（3分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．【解答】解：∵2x＝5y，∴．故选：B．【点评】本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．4．（3分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．故选：B．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标．5．（3分）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A （2，1），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，4）D．（4，2）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点A的坐标为（2，1），∴点C的坐标为（2×2，1×2），即（4，2），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值等于（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则cos B＝sin A＝．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．7．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．8．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2x2向上平移3个单位可得到函数y＝2x2+3，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC＝AC，DE＝EC＝DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC．∴tan∠DBC＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．10．（3分）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【分析】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．【解答】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则tan A的值是．【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，再根据正切的定义即可求解．【解答】解：在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，∵122+52＝169，132＝169，∴122+52＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．对于常见的勾股数如：3，4，5或5，12，13等要注意记忆．12．（3分）抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是（0，6）．【分析】根据题意得出x＝0，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0，得y＝6，故与y轴的交点坐标是：（0，6）．故答案为：（0，6）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题难度不大．13．（3分）若3a＝2b，则的值为﹣．【分析】直接利用已知得出a＝b，进而代入原式求出答案．【解答】解：∵3a＝2b，∴a＝b，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确代入化简是解题关键．14．（3分）比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为4×104m2．【分析】根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积．【解答】解：设实际面积为xcm2，则400：x＝（1：1000）2，解得x＝4×108，4×108cm2＝4×104m2．故实际面积为4×104m2．故答案为：4×104．【点评】本题考查了比例线段、比例尺的定义，掌握面积比是比例尺的平方比是解题的关键，注意单位间的换算．15．（3分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m ，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是0.8m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．【分析】首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD＝BC﹣BD即可求解．【解答】解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．【点评】本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC的长是解题关键．16．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为10米．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、20题各10分，19题9分，共39分）17．（10分）计算：|﹣2|×cos60°﹣sin45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝＝1＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，求tan∠OCD的值．【分析】将A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入一次函数y＝kx+b，组成方程组，即可求出k、b的值，从而得到一次函数解析式，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，即可求出tan ∠OCD的值．【解答】解：将A（﹣2，﹣1），B（1，3）分别代入y＝kx+b得，，解得，∴y＝x+，当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝﹣；∴C（﹣，0），D（0，），故OD＝，OC＝．在Rt△OCD中，∴tan∠OCD＝＝＝．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数的定义，找到∠OCD 所在的三角形是解题的关键．19．（9分）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC 与△BPD相似吗？为什么？【分析】由PC＝PD＝CD可判断△PCD为等边三角形，则∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，利用邻补角得到∠3＝∠4＝120°，又由于∠APB＝120°，可计算出∠1+∠2＝60°，加上∠A+∠2＝60°，所以∠1＝∠A，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△P AC∽△BPD．【解答】解：△APC与△BPD相似．理由如下：如图，∵PC＝PD＝CD，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠3＝∠4＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，∵∠PCD＝∠A+∠2＝60°，∴∠1＝∠A，∴△P AC∽△BPD．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角形的判定与性质．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…01234…y…41014…（1）根据表格，画出此函数图象草图；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当y＞3时，求x的取值范围．【分析】（1）描点、连线画出函数图象即可；（2）可将该二次函数解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得该二次函数的解析式；（3）把y＝3代入y＝（x﹣2）2得到关于x的方程，求得方程的解，然后根据图象即可求得结果．【解答】解：（1）描点、连线画出函数图象如图：（2）由图象知，二次函数顶点坐标为（2，0），设y＝a（x﹣2）2，又二次函数过点（0，4），代入得，4＝4a，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4；（3）把y＝3代入y＝（x﹣2）2得3＝（x﹣2）2；解得x＝2+或x＝2﹣，∵图象开口向上，∴当y＞3时，求x的取值范围是x＜2﹣或x＞2+．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．【分析】根据矩形的性质得AD＝BC，∠BAD＝90°，再利用等角的余角相等得∠BAC ＝∠ADE＝α，然后在Rt△ABC中利用正弦的定义得到＝，设BC＝4x，则AC＝5x ，AB＝3x，则3x＝4，解得x＝，于是得到AD＝BC＝．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠DAE＝90°，而∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠ADE＝α，在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，∴＝，设BC＝4x，则AC＝5x，∴AB＝3x，∴3x＝4，解得x＝，∴BC＝∴AD＝．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了矩形的性质．22．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．求：四边形ABCD的面积．【分析】四边形ABCD的面积＝BD×（x C﹣x A）＝2×（3+1）＝4；【解答】解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1得到顶点A（2，﹣1）．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）得到B（3，0），D（1，0）．令x＝0，则y＝3，故C（0，3）．综上所述，点B、D、C、A的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；所以，四边形ABCD的面积＝×BD×（x C﹣x A）＝×2×（3+1）＝4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．23．（10分）如图，矩形ABCD且BC＝2，∠ACB＝30°，动点E在对角线AC上，连接ED，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）若AE：CE＝1：2，求BF：FC．【分析】（1）作DM⊥AC于M，利用矩形的性质结合解直角三角形可求解AB＝2，AC ＝4，再由30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义可求解CM，EM的长，进而可求解；（2）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．结合已知条件易求AE＝，EC＝，通过证明△END∽△EMF，列比例式可求解．【解答】解：（1）如图1中，作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∵∠ACB＝30°，∴AB＝CD＝BC•tan30°＝2，AC＝2AB＝2CD＝4，在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，∠DCM＝60°，CD＝2，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD＝1，DM＝CM＝，∵∠DEF＝90°，EM平分∠DEF，∴∠DEM＝∠DEF＝45°，∴EM＝DM＝，∴AE＝AC﹣EM﹣CM＝3﹣．（2）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．∵AB＝CD＝2，AC＝4，AE：EC＝1：2，∴AE＝，EC＝，在Rt△CEN中，∵∠ECN＝30°∴CN＝EC＝，EN＝CN＝，∴DN＝2﹣＝，在Rt△CEM中，∵∠ECM＝30，∴EM＝EC＝，CM＝EM＝，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠NEM＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△END∽△EMF，∴，可得MF＝，∴CF＝CM﹣MF＝，BF＝﹣CF＝，∴BF：CF＝4：5．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，矩形的性质等知识的综合运用．五、解答题（本题共3小题，其中24、25小题各11分，26小题12分，共34分）24．（11分）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝5，BD⊥AC于点D，BD＝3，P在AB上，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF＝90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，AP的长度为x ．（1）填空：BP＝PE（填写＞或＝或＜）；（2）当F在边AC上时，求线段AP的长；（3）求S与x之间的函数关系式．【分析】（1）由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠PEB＝∠ABC，可得BP＝PE；（2）由勾股定理可求AD＝4，通过证明Rt△APF～Rt△ABD，，可得AF＝AP ＝x，由平行四边形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质分别求出AM，PM，PF的长，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，∴∠ABC＝∠ACB，∵PE∥AC，∴∠ACB＝∠PEB＝∠ABC，∴BP＝PE，故答案为：＝；（2）如图1，∵AB＝AC＝5，BD⊥AC，BD＝3，∴AD＝＝＝4，当F在边AC上时，∵PE∥AC，EF∥AB，∴四边形AFEP是平行四边形，∠AFP＝∠EPF＝90°＝∠ADB，又∵∠A＝∠A，∴Rt△APF～Rt△ABD，∴，∴AF＝AP＝x，∵四边形AFEP是平行四边形，∴AF＝PE＝PB，∴x＝5﹣x，∴x＝，∴AP的长度为；（3）如图2中，当0＜x＜时，重叠部分是四边形PMNE．∵∠AMP＝∠ADB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴Rt△APM～Rt△ABD，∴，∴AM＝AP，PM＝AP，∵P A＝x，∴，，，∴S＝×x（5﹣x+5﹣x）＝﹣x2+3x；如图3中，当时，重叠部分是△PEF．∵EF∥AB，PE∥AC，∴∠A＝∠BPE＝∠PEF，又∵∠EPF＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△EFP，∴，∵PB＝PE＝5﹣x，∴PF＝（5﹣x），∴S＝PE•PF＝（5﹣x）×（5﹣x）＝x2﹣x+，综上所述：S＝．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．25．（11分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，连接AD．（1）如图1，AB＝CB，E是AB延长线上一点，CE与AD垂直．求证：BD＝BE；（2）如图2，AB＝CB，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF并延长交AB于点G．求证：＝；（3）如图3，若AB＝kBC且D是BC的中点，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF 并延长交AB于点G，直接写出tan∠BFG的值（用含k的式子表示）．【分析】（1）如图1中，延长AD交CE于点H．证明△ABD≌△CBE（ASA），可得结论．（2）如图2中，作CE∥BF交AB的延长线于E．利用平行线分线段成比例定理以及（1）中结论，即可解决问题．（3）作CH∥AB交BF的延长线于N，过点C作CN⊥BH于N．设BC＝2m，则AB＝2mk ，BD＝CD＝m，由tan∠BAD＝tan∠CBH，推出＝，推出＝，推出CH＝，由tan∠CBH＝＝，推出＝＝，再证明BF＝FN，根据tan∠BFG＝tan∠CFN＝，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，延长AD交CE于点H．∵AH⊥CE，∴∠AHE＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴∠BAD+∠E＝90°，∠E+∠ECB＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∵BA＝BC，∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△ABD≌△CBE（ASA），∴BD＝BE．（2）证明：如图2中，作CE∥BF交AB的延长线于E．∵CE∥BF，∴＝，∵BF⊥AD，CE∥BF，∴AD⊥CE，∴BD＝BE，∴＝．（3）解：作CH∥AB交BF的延长线于N，过点C作CN⊥BH于N．设BC＝2m，则AB ＝2mk，BD＝CD＝m，∵AB∥CH，∴∠ABC＝∠BCH＝90°，∵CN⊥BH，∵∠BAD＝∠CBH，∴tan∠BAD＝tan∠CBH，∴＝，∴＝，∴CH＝，∵tan∠CBH＝＝，∴＝＝，∵AD⊥BH，CN⊥BH，∴DF∥CN，∵BD＝DC，∴BF＝FN，∴tan∠BFG＝tan∠CFN＝＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m．（1）抛物线的顶点坐标（m，﹣m2﹣3m）；（含m的式子表示）（2）当m＝1时，①抛物线上一点P到x轴的距离为5，求点P的坐标；②当n≤x≤时，函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n，求n的值；（3）当2m﹣1≤x≤2m+1时，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5，求：m ．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）①由点P到x轴的距离可得出点P的纵坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；②利用二次函数的性质找出关于n的一元二次方程，解之取其负值即可得出结论；（3）分m＜2m﹣1，2m﹣1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况考虑，利用二次函数的性质结合函数图象，即可得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx﹣3m＝（x﹣m）2﹣m2﹣3m，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣m2﹣3m），故答案为（m，﹣m2﹣3m）；（2）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，无解，综上所述：点P的坐标为（﹣2，5），（4，5）；②∵当时，y值随x值的增大而减小，且函数值y的取值范围是，∴n2﹣2n﹣3＝2﹣n，解得：，（舍去），∴n的值为；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，设抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为y0，∴分三种情况考虑：①当m＜2m﹣1，即m＞1时，如图1，在2m﹣1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而增大，∴；②当2m﹣1≤m≤2m+1，即﹣1≤m≤1时，如图2，y0＝m2﹣2m•m﹣3m＝﹣m2﹣3m，即﹣m2﹣3m＝﹣5，解得m＝（不合题意，舍去）；③当m＞2m+1，即m＜﹣1时，如图3，在2m﹣1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而减小，∴y0＝（2m+1）2﹣2m（2m+1）﹣3m＝﹣m+1，即﹣m+1＝﹣5，解得m＝6（舍去），综上所述：．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，找出抛物线的对称轴；①利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点P的坐标；②利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元二次方程；（3）分m＜2m﹣1，2m﹣1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况，找出y0与m之间的函数关系式．。
2020-2021学年九年级上册数学第1章《二次函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年九年级上册数学第 1章《二次函数》单元测试卷式是（）1. 卜列关于X 的函数一定为二次函数的是（ A . y=4xB , y= 5x2 - 3xC. y=ax 2+bx+cD , y=x 3-2x+12.将二次函数y= 2x 2+5的图象先向左平移 3个单位，再向下平移 1个单位，则平移后的函数关系A. y=2 (x+3) 2+6 B . y=2 (x+3) 2+4 C. y=2 (x- 3) 2+6D. y=2 (x-3) 2+43. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长） ,其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为 50m,门宽为2m.若饲养室长为 xm,占地面积为ym 2,则关于x 的函数表达式为（:2+26x (2<x<52)B. C. -2 .y= - . x +50x (2w x< 52) y= - x 2+52x (2< x< 52) - 2 一 一 一 __________ y=一方x2+27x- 52 (2<x< 52)（aw0）在同一坐标系中的图象可能是（D .5.以下抛物线的顶点坐标为（2, 0）的是（10.如图，已知顶点为（-3, -6）的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1, -4）,则下列结论:-1;⑤若点（-2, m ） , （- 5, n ）在抛物线上，则 m>n,其中正确的个数共有（二.填空题⑥y= （ x+1 ） 2- x 2.这六个式子中，二次函数有12.把二次函数 y=x 2- 4x+5化为y=a （x —h ） 2+k 的形式，那么h+k=A . y= 3x 2+2B . y= 3x2 - 2C. y=3 (x — 2) 2D. y=3 (x+2) 26.二次函数y= ax 2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴是x=-1, 卜列结论中正确的是（8.二次函数C. 2a+b=0D. a - b+c>2 (x-1) 2+b (aw0)的图象经过点(0, 2) a+b 的值是（ B. - 1C. 2D. 3 x 2- 2x+c 在-3< x< 2的范围内有最大值为一5, 则c 的值是（B. 3C. - 3D. - 69.二次函数 y=ax 2—2ax+b 中，当—1wxw 4 时，—2wyw3,贝U b — a 的值为( B. - 6或 7C. 3D. 3 或—2①b 2>4ac ；② ax 2+bx+c< - 6；③ 9a- 3b+c= - 6；④关于 x 的二次方程 ax 2+ bx+ c= - 4 的根为B. 2个C. 3个D. 4个11.观察：① y = 6x 2；② y=- 3x 2+5；③2 1y=200x 2+400x+200;④ y=x 3-2x;⑤ ¥二工 二.（只填序号）13. 一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度 y （m ）与水平距离 x （m ）之间的关系是7.二次函数 y= a2B. 4ac< b -114 .已知抛物线的顶点坐标是(-2, 3),其图象是由抛物线 y=-8x 2+1平移得到的，则该抛物线的解析式为.15 .抛物线y=a (x- h) 2+k (a<0)经过(-1,3)、( 5, 3)两点，则关于 x 的不等式a (x- h -1) 2+k<3的解集为.16 .已知二次函数 y=ax 2+bx+c (aw0, a, b, c,为常数)，对称轴为直线 x=1,它的部分自变量x 与函数值y 的对应值如下表.请写出ax 2+bc+c= 0的一个正数解的近似值 (精确到0.1)x - 0.4 — 0.3 — 0.2 — 0.117 .若函数y=x 2+2x+m 的图象与x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 .18 .已知二次函数 y=ax 2+ (a-1) x- 2a+1,当1vxv3时，y 随x 的增大而减小，则 a 的取值范围是.19 .如果二次函数y=a (x-1) 2(aw0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是.20 .小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=-/父2的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O,两直角边与该抛物线交于A, B 两点 (如图)，对该抛物线，小甬将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A, B 的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是三.解答题21 .已知二次函数 y=2x 2+4x- 6,(1)将二次函数的解析式化为y= a (x-h) 2+k 的形式.(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 22 .已知二次函数(k 为常数)，求k 的值.__ 1 2 产12工m,则这名男生抛实心球的成绩是3m.y= ax 2+ bx+c0.920.38—0.12—0.5823.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+4ax+4a-4 (aw0)的顶点为A.(1)求顶点A的坐标；(2)过点(0, 5)且平行于x轴的直线1,与抛物线y=ax2+4ax+4-4 (aw 0)交于B、C两点.①当a=1时，求线段BC的长；②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围.532 -11— I I E II」] ■ I J 、-5 一4 4-2 口, 1 2 3 4 5x-2~-3-4-5 _____________24.已知二次函数的图象y=- x2+bx+c如图所示，它与轴的交点坐标为(- 1,0), (3, 0)(1)求b, c的值；(2)根据图象，直接写出函数值y<0时，自变量x的取值范围.25.二次函数y=ax2+bx+c (aw0)与一次函数y=x+k (kw0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；(2)写出不等式ax2+bx+c- x- k< 0的解集；(3)写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2+bx+c= m有两个不等的实数根，求m的取值范围;26.如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m,设花园的面积为sm2,平行于墙的边为xm.若x不小于17m,(1)求出s关于x的函数关系式;(2)求s的最大值与最小值.花园27.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y = x2-2mx+1图象与y轴的交点为A,将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B.(1)直接写出点A的坐标为，点B的坐标为;(2)若函数y=x2-2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围.参考答案与试题解析・选择题1.解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；B、是二次函数，故此选项符合题意；C、当a=0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：B.2.解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y= 2x2+5向左平移3个单位，再向下平移1个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y=2 (x+3) 2+4.故选：B.3.解：y关于x的函数表达式为：y=g (50+2-x) x b-l= ---- x+26x (2W x<52).故选：A.4,解：①当a>0时，二次函数y= ax2-a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y= ax - a (aw0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a<0时，二次函数y= ax2-a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y=ax-a (aw0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点.对照四个选项可知D正确.故选：D.5.解：抛物线y= 3x2+2的顶点为(0, 2);抛物线y= 3x2-2的顶点为(0, - 2);抛物线y=3 (x-2) 2的顶点为(2, 0);抛物线y=3 (x+2) 2的顶点为(-2, 0);故选：C.6.解：A、由抛物线的开口向下知a<0,对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上，. 0,因此abc>0,故错误;B、抛物线与x轴有两个交点，b2 - 4ac>0,即4acv b2,故正确;C、对称轴为x= ----- --= - 1,得2a = b,23.2a- b= 0,故错误；D、•.当x= - 1 时，y>0• -a- b+c>0,故错误.故选：B.7.解：二.二次函数y=a (x- 1) 2+b (aw0)的图象经过点(0, 2),a+b = 2.故选：C.8.解：把二次函数y= - x2-2x+c转化成顶点坐标式为y= - (x+1) 2+c+l,又知二次函数的开口向下，对称轴为x=- 1,故当x= - 1时，二次函数有最大值为- 5,故-1+2+c= - 5,故c= - 6.故选：D.2 29.解：:抛物线y=ax — 2ax+b=a (x—1) +b- a,「•顶点(1, b - a)当a>0 时，当-1WxW4 时，—2WyW3,函数有最小值，b - a= - 2,当a<0 时，当—1wxw4 时，—2wyw3,函数有最大值，b - a= 3,故选：D.10.解：二•抛物线与x轴有2个交点，•・△= b2- 4ac>0,即b2>4ac,所以①正确；•.•抛物线的顶点坐标为(-3, - 6),即x= - 3时，函数有最小值，•.ax2+bx+c> - 6,所以②错误；•.•抛物线的顶点坐标为(-3, - 6),•••9a-3b+c= - 6,所以③正确；•••抛物线y= ax2+bx+c 经过点(-1, - 4),而抛物线的对称轴为直线x= - 3,.二点(-1, - 4)关于直线x= - 3的对称点(-5, - 4)在抛物线上，••・关于x的一元二次方程ax2+bx+c= - 4的两根为-5和-1 ,所以④错误；•••抛物线开口向上，对称轴为直线x= - 3,而点(-2, m) , ( - 5, n)在抛物线上，: - 3 - ( - 5) > - 2 - ( - 3),m<n,所以⑤错误.故选：B.二.填空题11.解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=- 3x2+5；③y= 200x2+400x+200;故答案为：①②③.12.解：y=x —4x+5= ( x _ 2) 2+1,. .h=2, k= 1,h+k=2+1= 3.故答案为：3.13.解：•••一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系是7T小亭卷i 2: 1・・・当y=0,则0 = - y；5-x2+Vx+—, _L 乙O R-J解得：x1= 10, x2= - 2,，这名男生抛实心球的成绩为10m,故答案为：10.14.解：,•,该抛物线是由抛物线y= - 8x2+1平移得到的，a= - 8,又•••抛物线的顶点坐标是(- 2, 3),该抛物线的解析式为y=- 8 (x+2) 2+3.故答案为：y=- 8 (x+2) 2+3.15.解：二.抛物线y=a (x-h) 2+k (a>0)经过(-1, 3) , ( 5, 3)两点,，大致图象如图所示：•1-y= a (x- h- 1) 2+k (a>0)经过(0, 3) , (6, 3)两点则关于x的不等式a (x-h-1) 2+kW3的解集为：x< 0或x>6.故答案为：*^0或*>6.16.解：由表可知，当x= - 0.2时，y的值最接近0, 所以，方程ax2+bx+c= 0一个解的近似值为-0.2, 设正数解的近似值为a,.•.对称轴为直线x=1,一+(一。
2021-2022学年江西省南昌市南昌县九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年江西省南昌市南昌县九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（）A．B．C．D．2．方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1 4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5B．6C．7D．85．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0D．2a+b＝06．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（1，2+）B．（2+，﹣1）C．（﹣1，﹣2﹣）D．（﹣2﹣，1）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝．8．已知点P（a﹣3，7）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是．9．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为．10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是m．11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是．12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．解方程：（1）4x2＝12x；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．14．已知函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．15．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；（2）在图2中．①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；②请直接写出：点B到AC的距离为．16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．17．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．19．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？20．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x轴正半轴上，求m的值．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y 轴交于点C，连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有个．22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．观察：EF，DF，BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．①根据上述思路在图中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）23．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m （m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；C、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误．故选：C．2．方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．解：∵x2+kx﹣1＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．故选：B．4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设八年级有x个班，依题意得：x（x﹣1）＝15，整理得：x2﹣x﹣30＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．故选：B．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0D．2a+b＝0【分析】利用函数图象的开口，与y轴交点坐标，和对称轴，分别判断出a，b，c的正负，可以判断出A选项，由抛物线与x轴交点个数，可以判断Δ＝b2﹣4ac的正负，可以判断出B选项，又当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据图象可以判断C选项，由对称轴为x＝1，可以判断D选项．解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），由图象可得，c＜0，对称轴为x＝，∴，∴b＝﹣2a，∵a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故A选项正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故B选项正确；由图象可得，当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故C选项错误；∵抛物线的对称轴为x＝1，∴，∴2a+b＝0，故D选项正确，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（1，2+）B．（2+，﹣1）C．（﹣1，﹣2﹣）D．（﹣2﹣，1）【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，根据正方形的性质可得AF⊥BC，B （0，2），即可得EF＝2，由等边三角形的性质及勾股定理可求解AF，BF的长，进而可求解A点坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点A的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点A的坐标．解：过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，∵四边形OBCD为正方形D（2，0），∴EF＝OB＝OD＝BC＝2，BC∥OD，∴B（0，2），AF⊥BC，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝2，BF＝1，∴AF＝，∴AE＝AF+EF＝2+，∴A（1，2+），∵正方形OBCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴发现规律：旋转4次一个循环，∵2020÷4＝505，∴第2020次旋转结束时，点A的坐标为（1，2+）．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝﹣3．【分析】由x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出x1+x2的值．解：∵x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，a＝1，b＝3，∴x1+x2＝﹣＝﹣3．故答案为：﹣3．8．已知点P（a﹣3，7）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是a＜3．【分析】首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a﹣3＜0，然后解出a的范围即可．解：∵P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴a﹣3＜0，解得：a＜3，故答案为：a＜3．9．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x+1）2+3．【分析】根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解：y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+8﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+3．故答案是：y＝﹣2（x+1）2+3．10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是3m．【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，∴当x＝1时，y有最大值为3，∴喷出水珠的最大高度是3m，故答案为：3．11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是2﹣．【分析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB1E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三角形性质得出DE＝，最后由图可以得出S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1），将相关数值代入求解即可．解：如图，连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，在Rt△AB1E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，∴＝，解得DE＝，∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，故答案为：2﹣．12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有①③④．【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而即可得出abc＞0，即可判断②；由将抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点，即可判断③；由a＞0、b＝﹣2a，可得出3a+b＝a＞0，即可判断④．解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，∴a＞0，﹣＝1，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，②错误；∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴m＜﹣3，③正确；∵a＞0，b＝﹣2a，∴3a+b＝a＞0，④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．解方程：（1）4x2＝12x；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（2）找出方程中a，b，c的值，代入求根公式计算即可求出解．解：（1）方程移项得：4x2﹣12x＝0，分解因式得：4x（x﹣3）＝0，可得4x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3；（2）方程3x2﹣4x﹣2＝0，这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，∵△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0，∴x＝＝＝，解得：x1＝，x2＝．14．已知函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【分析】（1）根据二次函数的定义得到关于m的方程，然后解方程求出m的值；（2）根据m的值即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．解：（1）∵函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数，∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，解得m＝﹣3；（2）∵m＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝﹣6（x+2）2﹣5，∴开口方向向下、对称轴是直线x＝﹣2、顶点坐标是（﹣2，﹣5）．15．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；（2）在图2中．①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；②请直接写出：点B到AC的距离为2．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）①利用数形结合的思想解决问题即可．②利用三角形面积公式求解即可．解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．（2）①如图2中，△AB′C′即为所求．②设AC边上的高为h，•AC•h＝•2•4，解得h＝2，故答案为：2．16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．【分析】（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，先代入顶点A的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a，即可得出解析式；（2）把C的坐标分别代入，看看两边是否相等即可．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．17．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），依题意得：x（x+8）＝65，整理得：x2+8x﹣65＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：这个最小数为5．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．19．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；（2）设每个月的销售利润为w，由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．20．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x轴正半轴上，求m的值．【分析】（1）根据对称轴公式即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8的对称轴为y轴，∴﹣＝0，解得m＝3，即m的值是3；（2）∵抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8的顶点在x轴正半轴上，∴解得m＝11，即m的值是11．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y 轴交于点C，连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有4个．【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB 的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，∴A（﹣2，1），B（4，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为4．22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．观察：EF，DF，BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．①根据上述思路在图中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD 边上距离D点多长的位置？【分析】①先由旋转得到∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，然后由正方形的性质得到∠FAG＝∠FAE，再得证△EAF≌△GAF，最后得证结果；②有①中的结果得到点E在BC中点时CE、BE的长，然后设DF＝x，表示出线段EF、CF的长度，最后结合勾股定理列出方程得到x的大小，即可得到点F在CD边上的位置．解：①将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG，如图所示，证明如下，由旋转得，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，∴∠ADF+∠ADG＝180°，∴点F、D、G三点共线，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG＝45°，∴∠FAG＝∠FAE，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝DF+DG，∴EF＝DF+BE．②∵正方形ABCD的边长为6，点E在BC边上运动到中点位置，∴BE＝BC＝3，由①可知，DG＝BE＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴CD＝BC＝AD＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，∴32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得：x＝2，∴DF＝2，∴动点F在CD边上距离点D长为2的位置．六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）23．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m （m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B（4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可；（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围．解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O（0，0）代入函数表达式，解得：a＝﹣，∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头，理由如下：∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x，解得：y＝＝1.75，∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头；（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．如图所示，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如图所示，∵平移不改变图形形状和大小，∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，②8+m≤8，得m≤0，由题意知m＞0，∴m≤0不符合题意，舍去，综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．。