4.1-数学期望PPT课件

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1
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1
.
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例4.5 Xe(), 求EX?
f
(
x)
1
x
e
,
0,
x0 x0
E X x f(x )d x 1 x e xd x0x d (e x)
0
xex0 0exdx 0exd(x)ex0
(10)
提示: limxex x
lim x
x
x
0
e
.
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三、随机变量函数的数学期望
0 x ,y 1 ,E (X Y )?
e lse
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E ( X Y ) g ( x ,y ) f( x ,y ) d x d xx y ( x y ) d y
- -
设X表示掷一次骰子的得分, 则X的分布律为
X
x1
x2
x3
pk
1/6
3/6
2/6
求掷了N次的平均得分?
.
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平 均 分 总 总 次 分 数 x 1 n 1 x 2 N n 2 x 3 n 3 x 1n N 1 x 2n N 2 x 3n N 3
nN1 f1当 N p116
平 均 分 x 1p 1 x 2p 2 x 3p 3
由此得出离散型随机变量的数学期望的定义
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定义4.1 设离散型随机变量X, 它的分布律为
X x1 x2 … xn …
pk p1 p2 … pn …
若级数 xkpk绝对收敛, k1
则称其为X的数学期望(期望、均值),记为E(X),EX. 即
EXE(X) xkpk k1
.
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注:
①EX是X在各次试验中的观察值的算数平均值的近似值
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二、连续型随机变量的数学期望
连续型的是用”离散化”的方法, 由离散型的期望引入的.
设 连 续 型 r .v .X f(x ) .在 x 轴 取 密 集 分 点 x 1 x 2 x 3 , 则 X 落 在 小 区 间 [ x i,x i 1 ) 的 概 率 为
P { x i X x i 1 } x x ii 1f( x ) d x f( x i) x i P { X x i}
0
1
6
4 2 x 2(1 x )600(1 x )6d (x 2 ) 4 2 2 11x (1 x )6d x
6 16 1
60
0 (1x)7 (1x)70 0(1x)7
14xd[ ]14x
dx
1
7
7
1
1
7
20(1 x )7d x 20(1 x )7d (1 x ) 2(1 x )801
揭示随机变量取值规律的某些数字----数字特征
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4.1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 二、连续性型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、本节总结
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一、离散型随机变量的数学期望
引例 掷一枚骰子
点数 1
2,3,4 5,6
得分 x1 x2 x3
次数 N n1 n2 n3
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X
…
x1
x2
…
xn
…
pk
… f(x1)x1 f(x2)x2 … f(xn)xn …
E X x ip ix if(x i) x i x f(x )d x
i
i
定 义 4 . 2 设 连 续 型 r . v . X f ( x ) .若 积 分 x f ( x ) d x 绝 对 收 敛 , 则 EXE(X) xf(x)dx
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例 XU(a, b), 求EX?
f
(x)
b
1
a
,
a x b
0,
else
1b
1 x2b
E X xf(x)dx xdx
baa ba2
a
1 b2a2 ab ba 2 2
.
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例4.4
42x(1x)5, 0x1 f(x)
0,
else
E X x f( x ) d x 1 4 2 x 2 ( 1 x ) 5 d x 4 2 0 x 2 d [( 1 x ) 6 ]
.
6
例 XB(1,p), 求EX?
解 X的分布律为
X
0
1
pk
1p
p
E X 0 (1 -p ) 1 p p
.
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例4.2 2个白球, 3个黑球, 任取3个. 记X为取到白球的个数, 求EX.
解 X的分布律为
X
0
1
2
pk
1/10 6/10 3/10
EX011623=6 10 10 10 5
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称EX为 均值
EX反映了X取值的”平均状态”
②计算方法----上下相乘, 左右相加
③当X的取值为可数无穷多个时
为 保 证 级 数 x kp k 的 和 不 因 相 加 次 序 的 改 变 而 改 变 , k 1
则要求 xkpk绝对收敛. k1
④ 若 x kp k 不 收 敛 ,则 称 X 的 数 学 期 望 不 存 在 . k 1
第四章 随机变量的数字特征
随机变量X 用什么来研究X的”统计规律性”? 用什么来计算X取值的概率? ----分布函数F(X)
但是有些时候, F(X)不易求得或不必求得, 只要知道与X有关 的某些数值, 即可解决问题. 如, 比较3个班的数学成绩, 只要比较3个班的平均成绩(期望) 即可; 若其中2个班的平均成绩一样, 还需毕竟每个同学与该平均 值的差距(方差), 差距越小成绩越好.
例4.3 XP(), 求EX?
X的分布律为
P {Xk}ek
k!
k0,1,2,
E Xk P { X k }k e k e kk
k 0
k 0
k!
k 0 k!
提 示 :ex 1 xx2 xk xk
2 !
k!
k 0k!
E X e k e k 1 e e k 1(k 1 )! k 1(k 1 )!
.
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例4.6
X
f(x) x3 2x2,
0x1 ; W55X.
0,
else
E W g (x )f(x )d x1 (5 5 x )(x 3 x 2 )d x
-
0
2
015x52x2125x3dx
x2
5x3
15x4
1
35
5 2 2
3
2
4
0
24
.
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例
(X ,Y )
f(x ,y ) x 0 ,y ,
Th4.1 一元函数 Y=g(X)
g(xY)E[g(X)] i1
- g(x)f(x)dx, X为 连 续 型
Th4.2 二元函数 Z=g(X,Y)
EZE[g(X,Y)]
g(xi,yj)pij,
i1j1
(X,Y)为 离 散 型
- - g(x,y)f(x,y)dx, (X,Y)为 连 续 型