数学物理方法复习提纲

复变函数论

复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域

令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有：

1）因为2）z sin 3）1cos(z 1sin(z 幂函数：z ，如果极限z

z z z ∆=∆→∆→∆lim lim

00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作

函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为:

)()

()()(lim lim

00z f dz

z df z z f z z f z w z z '==∆-∆+=∆∆→∆→∆

复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数

x y x u ∂∂),(，y y x u ∂∂),(，x

y x v ∂∂),(，y y x v ∂∂)

,(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：

y y x v x y x u ∂∂=∂∂),(),(，x

y x v y y x u ∂∂-=∂∂)

,(),( 解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(z f 在0z 点及其邻域内处处可导，那么称)(z f 在0z 点解析。如果)(z f 在区域E 内每一点都解析，那么称)(z f 在E 内解析，或称()f z 为E 内的一个解析函数。

注：)(z f 区域解析. ● 考虑柯西-),(y x v （1） 出（2） 。 （3） 例题. 容易验证2

2∂∂y

x 由柯西-黎曼条件可得：y y y x u x y x v 2),(),(=∂∂-=∂∂ x x

y x u y y x v 2)

,(),(=∂∂=∂∂ 所以有：xdy ydx dy y

v

dx x v dv 22+=∂∂+∂∂=

(1) 曲线积分法：

图1

取如图1

v x =

⎰2)

0,()

0,0(其中C (2) 所以有; v (3) 把x 对2xy v =与

x

y x v )

,(∂∂所以由v =所以有：

可把2

=z x i 2复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：

⎰⎰⎰⎰++-=++=l

l

l

l

dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u idy dx y x iv y x u dz z f ),(),(),(),())](,(),([)(

若曲线l 由参数方程)(t x x =，)(t y y =，21t t t ≤≤给出

则有dt t y i dt t x dt t z idy dx dz )()()('+'='=+=，可得积分的计算公式

dt

t y t y t x u t x t y t x v i dt t y t y t x v t x t y t x u dt

t y i t x t y t x iv t y t x u dt

t z t y t x iv t y t x u idy dx y x iv y x u dz z f t t t t t t t t l

l

})()](),([)()](),([{)}()](),([)()](),([{)]()()]}[(),([)](),([{)()]}(),([)](),([{))](,(),([)(2

1

2

1

2

1

2

1

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

'+'+'-'='+'+='+=++=高阶导数公式

设)(z f 在区域E 内是解析的，在闭区域E 上是连续的，l 为E 的边界，对于区域E 内的任一点z ，)(z f 可以求导任意多次，第n 阶导数可表示为：

z

f -ζζ)

(关于幂级数：奇点法：收敛圆：E 内的圆z z C -:∑

∑∞

=∞

=-=-=000)

(00))((!

1)()(n n n n n

n z z z f n z z c z f 泰勒级数的收敛半径R 为0z 到区域E 的边界的最短距离 将函数展开为泰勒级数的方法 1．直接计算系数)(!

10)

(z f n c n n =

：例题. 以00=z 为中心，将z e z f =)(展开为泰勒级数。

解：z e z f =)(的各阶导数为z n e z f =)()(，!

1

!

1)0(!10

0)(0n e n z f n c z z z n n =

===

== 所以：∑∞

==+++++=02!

!!21n n

n z

n z n z z z e 2. 换元法：例题. 试分别以00=z 及10=z 为中心将函数1

1

)(+-=

z z z f 展开成Taylor 级数，并指出其收敛半径.

解：

以00=z 1

)(z f 3. 例题. 以z 积分路径罗朗级数中n

n n z z c z f )()(001-=∑∞

=称为展开式的正则部分，n

n n z z c

z f )()(0

1

2-=

∑--∞

=称为主要部分。罗朗级数n n n

z z c

z f )()(0-=

∑∞

-∞

=在环形区域201R z z R <-<内绝对且一致收敛

罗朗级数展开方法举例

例题. 将函数2)(z

e z

f z

=在以00=z 为中心的环形区域∞<