数学物理方法期末复习笔记
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
高三物理复习中的学习笔记整理技巧
高三物理复习中的学习笔记整理技巧在高三这一关键的学习阶段，物理科目常常成为学生们复习的重点。
要想在物理考试中获得理想的分数，掌握良好的学习笔记整理技巧至关重要。
以下将分享一些有效的笔记整理方式，帮助你在复习中少走弯路。
建立逻辑框架理解和整理知识点时，先构建一个逻辑框架是非常有帮助的。
可以从大到小的方式创建思维导图，将高年级的课程内容进行归类。
比如，物理的主要分支包括力学、热学、电磁学和光学等。
每个分支下再细分出重要的概念、定律与公式。
这样的框架不仅使知识结构清晰，也能更快找到需要复习的内容。
公式和定律的整理公式是物理学习的基础，因此在笔记中要特别注意公式的整理。
建议可以采用表格的形式，将公式按照使用领域进行分类，例如力学部分的公式、光学部分的公式，以及热学和电磁学的公式。
公式后附上图示，通过图文结合的方式，使自己在复习时能够更直观地理解和记忆这些公式。
应用实例和习题理论学习离不开实际应用，因此在笔记中添加应用实例和相关习题也是极其重要的。
每学习一个新的公式或概念后，应尽量找到实际的例题进行练习，并记录解题过程。
这不仅能够加深理解，也能为之后的复习提供实用的参考。
将例题和习题分门别类地整理，会使你在备考时更具针对性。
在学习的过程中，为自己进行总结和归纳非常重要。
这不仅能加强对知识的理解，还能帮助你发现薄弱环节。
每周或每章节结束后，抽出时间回顾这一周所学的内容，自主写下你的理解和总结。
尝试用不同的术语描述相同的概念，会促进思维的灵活性，使得信息记忆更加深刻。
视听结合的学习方式现代科技为学习提供了丰富的资源，通过视频、动画等视听资料，有助于加深对复杂概念的理解。
例如，观看物理现象的实验视频，可以帮助你更直观地理解物理定律。
将这些视频学习的笔记整理到你的物理笔记中，可能会增添更多的趣味性和实用性，也能够在复习时作为好素材。
组内讨论与互助和同学组成学习小组，互相交流是理解和巩固知识的另一种方法。
在小组讨论中，大家可以共同分析难点和重点，分享各自的学习笔记以及理解方式。
数学物理方法复习总结
数学物理⽅法复习总结数学物理⽅法教材：梁昆淼编写的《数学物理⽅法》[第四版]内容：第⼀篇复变函数论第⼆篇数学物理⽅程第⼀章复变函数⼀、复数1、复数的定义iy x z +=——代数式)sin (cos ??ρi z +=——三⾓式ρi e z =——指数式重点：复数三种表⽰式之间的转换！实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：22y x z +==ρ主辐⾓：)(arg x yarctg z = ,2a r g 0π<≤z辐⾓：πk z Argz 2arg +=),2,1,0( ±±=k共轭复数:iy x z +=*z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘⽅、开⽅(1)、加法和减法(2)、乘法和除法))((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-= )()(212121y y i x x z z ±+±=±111iyx z +=222iy x z +=21z z *222222211))((y x iy x iy x +-+=2222211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=(2)、乘法和除法121111122222(cos sin )(cos sin )i i z i ez i eρ??ρρ??ρ=+==+=两复数相乘就是把模数相乘, 辐⾓相加;两复数相除就是把模数相除, 辐⾓相减。
(3) 复数的乘⽅和开⽅（重点掌握） )]sin()[cos(21212121ρρ-+-=i z z )(2121??ρρ-=i e 12121212[cos()sin()]z z i ρρ=+++)(2121??ρρ+=i e n i n e z )(?ρ=?ρin n e =)sin (cos ??ρn i n n +=或（n 为正整数的情况)棣莫弗公式：n i n i nsin cos )sin (cos +=+复数的乘、除、乘⽅和开⽅运算，采⽤三⾓式或指数式往往⽐代数式来得⽅便。
数学物理方法期末复习纲要
第十二章 格林函数 第七章到第十一章的分离变数法得到的解表示为多个的无穷求和 本章将偏
微分方程的解表示为积分形式 格林函数法 1 掌握格林函数是 点源影响函数 的概念 由此可将解表为积分 2 掌握 点源 的数学表达以及第一类边条下格林函数应满足的方程 3 了解格林函数的求法 4 了解方程解的积分表达式
要掌握拉普拉斯方程在球坐标系下的各种定解问题 可以参见附录 以及所附表 1 表 2
第十一章 柱函数 11.1) 理解三类柱函数的定义 J N H 贝塞尔 诺依曼 汉克尔函数
熟悉其渐近行为 特别是 x → 0 的行为
2
11.2) 掌握贝塞尔方程的解 特别注意 µ 本征值通常直接通过贝塞尔函数的
零点来表示 贝塞尔函数也是正交 完备 可归一的 可作为广义傅里叶级数的基 11.4) 掌握虚宗量贝塞尔方程的解 熟悉虚宗量贝塞尔函数 虚宗量汉克尔函 数的渐近行为 11.5) 掌握球贝塞尔方程的解 特别注意球贝塞尔函数 球诺依曼函数的渐近 行为
3 ∆u = 0
4 ∆v + k 2v = 0
它们在 球坐标系 r ,θ,ϕ 和 柱坐标系 ρ,ϕ, z 中分离变数时碰到的
方程包括
P.S.: (记住方程的解 方程本身的形式可看书)
1 欧拉 方程
ρ2
d 2R dρ2
+
ρ
dR dρ
−
m2R
=
0
A + B ln ρ
解为
R(
ρ
)
=
Cρm
+
D
1 ρm
)
数学物理方法复习提纲
数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。
所定义的物理量则称为场函数。
如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。
如果场函数只与空间变量有关，而与 时间 变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。
一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。
平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。
平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。
平面场中的一个区域实际上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。
平面场中的一个重要概念是复位势：),(),()(y x iv y x u z w +=。
其中实部),(y x u 称为力（流）函数；虚部),(y x v 称为势函数。
),()(),(00),(),(00y x u dy E dx E y x u y x y x x y ++-=⎰),()(),(00),(),(00y x v dy E dx E y x u y x y x y x +--=⎰这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为1),(C y x u =；等势线的方程为2),(C y x v =。
要求：熟悉以上概念；给了场函数E ，会求复位势)(z w ；给了复位势)(z w ，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。
典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程： (1) z z z w /1)(+=；(2) 2)(-+=z z z w ；(3) z z z w /1)(2+=；(4) 1/(1)w z =+第六章 保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。
函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。
数学物理方法第(梁昆淼)部分知识点
1.复变函数 .................................................................................................................................................................. 2 1.1 复数与复数运算 ........................................................................................................................................... 2 1.2 复变函数 ....................................................................................................................................................... 2 1.3 导数 ............................................................................................................................................................... 2 1.4 解析函数 ..........................................................................................................................
数学物理方法期末总结
数学物理方法期末总结目录一、基本概念与理论 (3)1. 数学物理方法概述 (4)1.1 定义与重要性 (5)1.2 历史发展 (6)2. 微积分的应用 (8)2.1 微分在物理学中的应用 (9)2.2 积分在物理学中的应用 (9)3. 线性代数 (10)3.1 向量与矩阵 (12)3.2 线性方程组 (13)3.3 特征值与特征向量 (13)4. 微分方程 (15)4.1 常微分方程 (16)4.2 偏微分方程 (17)二、数值方法与计算 (18)1. 数值分析基础 (19)1.1 误差分析 (21)1.2 置信区间与假设检验 (22)2. 求解方法 (22)2.1 直接法 (23)2.2 迭代法 (25)2.3 分裂法 (25)3. 计算机模拟 (27)3.1 数值实验步骤 (28)3.2 实验数据分析 (29)三、专题研究 (30)1. 波动理论 (31)1.1 波的传播 (32)1.2 驻波与干涉 (34)2. 量子力学基础 (35)2.1 波粒二象性 (36)2.2 薛定谔方程 (37)3. 统计物理 (38)3.1 随机过程 (40)3.2 熵与热力学第二定律 (40)四、课程总结与展望 (41)1. 重点回顾 (42)1.1 核心知识点总结 (43)1.2 学习难点解析 (44)2. 未来发展趋势 (45)2.1 数学物理方法的进步方向 (46)2.2 在现代物理学的应用前景 (47)3. 个人学习体会 (48)3.1 学习过程中的收获 (49)3.2 对未来学习的展望 (51)一、基本概念与理论数学物理方法是将数学工具应用于物理学问题的过程，它包括了数学分析、微分方程、复变函数、概率论等数学分支。
数学物理方法的基本目标是建立物理现象与数学模型之间的联系，通过求解数学模型来揭示物理现象的本质规律。
微分方程是描述自然界中运动变化的数学工具，它将偏微分方程和常微分方程两种形式结合在一起，可以用于求解各种类型的物理问题。
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第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
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《热力学统计物理》期末复习一、简答题1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。
2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。
描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。
3、简述平衡态统计物理的基本假设。
答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。
等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。
4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。
答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。
这个热力学函数称为特性函数。
简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。
5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。
答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。
6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。
答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。
这些结果都要用量子理论才能解释。
7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。
答：玻耳兹曼关系：S=k lnΩ熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低。
微观态数增加就是有序程度的降低或是混乱程度增加，相应地熵增加；反之，微观态数减少就是有序程度的增加或混乱度减少，相应地熵减少。
“熵是度量系统有序程度的量”有了明确定量意义。
8、 简述开系、闭系以及孤立系的定义。
答：热力学研究的对象是由大量微观粒子（分子或其它粒子）组成的宏观物质系统。
与系统发生相互作用的其它物体成为外界。
根据系统与外界相互作用的情况，可以作以下区分：与其它物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界有能量交换，但没有物质交换的系统称为闭系；与外界极有能量交换，又有物质交换的系统称为开系。
9、判断孤立系统是否处于平衡态的基本原则以及熵判据。
答：基本原则：可以设想系统围绕该状态发生各种可能的虚变动，而比较由此引起热力学函数的变化，根据热力学函数处在平衡态时的性质来判断系统的状态 。
熵判据：孤立系统中发生的任何宏观过程，都朝着使系统的熵增加的方向进行。
如果孤立系统已经达到了熵为极大的状态，就不可能再发生任何宏观的变化，系统就达到了平衡态。
因此孤立系统/处在稳定平衡状态的必要和充分条件为：0212<+=∆S S S δδ。
10、写出熵判据的內容。
答：孤立系统的熵永不减少，过程进行时熵增加，直到熵达到最大值，系统处于平衡态。
11、试写出热力学第二定律的克氏表述和开氏表述内容.答：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。
开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不引起其他变化。
12、写出等概率原理的内容。
答：处于平衡态的孤立系统，各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
13、热力学第二定律的两种表述及其数学表达式。
答：（开尔文表述）不可能制造出这样一种循环工作的热机，它只使单一热源冷却来做功，而不放出热量给其他物体，或者说不是外界发生任何变化。
（克劳修斯表述）不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化。
用数学式表示为：dW≤。
dU+TdS14、简述等概率原理答：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
该原理是统计物理中一个基本的假设。
15、什么是能量均分定理？答：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中1。
这是根据经典玻耳兹曼的每一个平方项的平均值等于kT2分布导出的一个重要定理。
16、什么是微观粒子的全同性原理？答：该原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。
17、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统分布{ a l }的表达式答：三个系统的分布{ a l }的表达式分别为：玻耳兹曼系统：l e a l lβεαω--=；玻色系统：1-=+l e a l l βαω费米系统：1+=+l e a ll βαω18、简述卡诺定理的内容。
答：卡诺定理指出：所有工作于同样高温热源和低温热源的卡诺机，以可逆的卡诺机的效率为最大，任可ηη≥。
19、吉布斯函数的定义及其物理意义答：吉布斯函数定义为：PV TS U G +-=。
吉布斯函数是一个态函数,它的变化可以用可逆的等温 等压过程中的除体积功以外的功来量度。
20、统计物理基本假设是什么？答：统计物理基本假设是就是等概率原理,即孤立系统平衡态时各种可能的微观态出现的概率均等。
21、简述热力学平衡态答：孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到各种宏观性质长时间内不随时间变化的状态，这样的状态叫热力学平衡态。
22、叙述自由能的定义及其物理意义答：自由能的定义TS U F -=。
自由能是个态函数，它的变化可以用可逆等温过程中的功来量度。
23、简述等概率原理的基本内容答：孤立系统处于平衡态时，所有可能出现的微观态的概率均相等。
24、玻耳兹曼关系及其物理意义Ω=ln k S ，系统愈趋于平衡态，微观态数愈多，熵越大，因此熵是混乱度的量度。
25、写出热力学第二定律的开尔文表述内容。
有人利用地球表面和地球内部温度不同，做一个热机来发电，称地热发电，把地球内部能量边为有用的电能，这是否违背热力学第二定律。
答：开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不引起其他变化。
由于地球表面和地球内部的温度不同，不是单一热源，所以不违背热力学第二定律26、简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么区别和联系？区别：由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理；由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束；把可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称为玻耳兹曼系统。
联系：在满足经典极限条件a e >>1时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在平衡态遵从玻耳兹曼分布。
27、经典能量均分定理的内容是什么？举出不满足经典能量均分定理的三种情形。
对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于T k 21 。
（1）原子内的电子对气体的热容量没有贡献。
（2）双原子分子的振动在常温范围内对热容量没有贡献。
（3）低温下氢的热容量所得结果与实验不符。
28、为什么在熵和体积不变的情况下，平衡态的内能最小？ 由热力学第二定律有：dU TdS pdV ≤-可得：当S 、V 不变时，即dS=0，dV=0。
所以，0dU ≤由此可见，在系统由非平衡态趋向平衡态的过程中，系统的内能一直在减少0dU <。
当系统达到平衡时，dU=0，内能取极小值。
29、什么是熵增加原理？答：绝热过程中系统的熵永不减少。
对于可逆绝热过程，系统的熵不变。
对不可逆绝热过程，系统的熵增加。
或孤立系统的熵永不减少，这个结论叫做熵增加原理。
二、计算题1、已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布，其能量表达式为： ()bx ax p p p m z y x ++++=222221ε ，其中b a ,是粒子常量，求粒子的平均能量。
解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所给能量表达式ε 中2ax 和bx 两项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理应用于2ax 项而得出kT ax 212=的结论。
要通过配方将ε表达为 ()a b a b x a p p p m z y x 42122222-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=ε在上式中，仅第四项是x 的函数，又是平方项。
由能量均分定理知()a b kT a b kT a b a b x a p p p m z y x 42424212222222--=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=ε2、系统由N 个无相互作用的线性谐振子组成.a)若其能量表达式为：22122x p kx m ε=+ 时，求系统的内能；b)若其能量表达式为： 2,1,0,)21(=+=n n n ωε时，求系统的内能。
解：a) 由能均分定理 NkT U = b) εN U =, βε∂∂-=1ln Z , n e Z n n βεω-∑=1 ωβωβωβωβωβ ----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--===∑∑e e e e eZ n n n n 112121211 ()ωβωβ ----=e Z 1ln 21ln 1121ln 1---=∂∂ωβωωβ e Z 121-+=ωβωωε e ∴ 121-+=ωβωω e N N U 讨论：高温极限和低温极限。
3、试求双原子分子理想气体的振动熵。
解：双原子分子理想气体的振动配分函数：()ωβωβωβ --∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==∑e e e Z n n v1/20211()ωβv e ωβZ ----=1ln 2ln 1()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=ωβωβv v v e e ωβNk Z ββZ Nk S 1ln 11ln ln 11 引入k v /ωθ = ，得：()T θT θv v vv e Nk e T θNk S /11ln 1----⎪⎭⎫ ⎝⎛=三、证明题1、试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。
证明：等压过程中熵随体积的变化率为：PV S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，温度随体积的变化率为：PV T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 方法一：由雅可比行列式可得： P V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=()()P V P S ，，∂∂=()()()()P V P T P T P S ，，，，∂∂∂∂=PP V T T S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （1） 由P P T S T dT Q d C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛=可得：TC T S P P =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （2） 将（2）式代入（1）式可得：P P P V T T C V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 证毕 因为：00>>T C P ，，所以：P V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂的增减取决于P V T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂的增减。