5.12 循环小数与分数的互化
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博易新思维数学
五年级春季培优版
问题情境
第12 讲
循环小数与 分数的互化
纯循环小数：循环节从小数部分第一位 就开始的叫纯循环小数。
混循环小数：循环节不是从小数部分第 一位开始的就叫做混循环小数。
例1
（一）分数化成小数
将
3 , 5 ,1 , 8 ,15 , 4 , 5 4 16 3 33 37 15 12
例2
不做除法计算，指出下面的分数中，哪些能 化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？ 化成有限小数时，小数部分有几位？化成循 环小数时，不循环部分数字的个数与循环节 里最少位数各是几？
1
131， 2
7 24
，3
6 27
， 4
161 120
，5
121 440
。
1
3 11
分母11只含有2、5以外的质因数 99能被11整除
161
120 能化成混循环小数，不循环部 分数字个数是3，循环节里最少位数是1。
5
121 440
=
11 40
40=2×2×2×5
121能化成有限小数，小数部分有3位。 440
（二）小数化成分数
把上面的结论2和结论3倒过来思考，我们可以 得到下面的结论：
结论1：纯循环小数化分数
一个纯循环小数的小数部分可以化成这 样的分数：这个分数的分子是一个循环节所 表示的数，分母的各位数字全是9，9的个数 等于一个循环节中数字的个数。
结论2：混循环小数化分数
一个混循环小数的小数部分可以化成这 样的分数：这个分数的分子是第二个循环节 以前的小数部分的数字所组成的数，与小数 部分中不循环部分的数字所组成的两数之差。 分母的头几位数字全是9，9后面的数字全是 0，9的个数和一个循环节中的数字个数相等， 0的个数等于不循环部分数字的个数。
结论1：化成有限小数
一个最简分数，如果分母除了2和5以外，不含有其他的质 因数，这个分数一定能化成有限小数，而且有限小数中小数 部分的位数等于分母中质因数2、5个数中最大的那个数。
小结
结论2：化成纯循环小数
一个最简分数的分母里，如果只含有2、5以外的 质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯 循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、…， 诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。
= 11+ 21+ 31+ 41+ 51+ 61+ 71+ 81
= 368
90
90
= 184 45
（一）分数化成小数 （二）小数化成分数
博易新思维数学
易于学
乐于思
5.081 = 5 81- 8 = 5 73
900
900
例5
计算：
0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.56 + 0.67+ 0.78 + 0.89
例 5 计算：
0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.56 + 0.67+ 0.78 + 0.89
= 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 90 90 90 90 90 90 90 90
化成小数。
例1
（一）分数化成小数
将
3 , 5 ,1 , 8 ,15 , 4 , 5 4 16 3 33 37 15 12
化成小数。
3 = 0.75 4
5 = 0.3125 16
1 = 0.3 3
8 0.24 2 33
15 = 0.405 37
4 = 0.26 15
5 = 0.416 12
小结
wenku.baidu.com
3 11
能化成纯循环小数，循环节里
最少位数是2。
2
7 24
24=2×2×2×3 9能被3整除
7
24 能化成混循环小数，不循环部 分数字个数是3，循环节里最少位数是1。
3
6 27
=
2 9
9=3×3 9能被9整除
6 能化成纯循环小数，循环节里 27 最少位数是1。
4
161 120
120=2×2×2×3×5 9能被3整除
例3
将 0.3 和4.189 化成分数。
例3
将 0.3 和4.189 化成分数。 0.3 = 3 = 1 93 4.189 = 4 189 = 4 21 = 4 7 999 111 37
例4
将0.315 和5.081 化成分数。
例4
将0.315 和5.081 化成分数。
0.315 = 315 - 31 = 284 = 71 900 900 225
小结
结论3：化成混循环小数
一个最简分数的分母里，如果既含有2、5这样的质因 数，又含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成 混循环小数，它的不循环部分里的数字的个数，等于分母中 2、5中较多的一个数的个数。循环节的最少位数等于9、 99、999、…，诸数中能被分母中2、5以外质因数（或质 因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。
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问题情境
第12 讲
循环小数与 分数的互化
纯循环小数：循环节从小数部分第一位 就开始的叫纯循环小数。
混循环小数：循环节不是从小数部分第 一位开始的就叫做混循环小数。
例1
（一）分数化成小数
将
3 , 5 ,1 , 8 ,15 , 4 , 5 4 16 3 33 37 15 12
例2
不做除法计算，指出下面的分数中，哪些能 化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？ 化成有限小数时，小数部分有几位？化成循 环小数时，不循环部分数字的个数与循环节 里最少位数各是几？
1
131， 2
7 24
，3
6 27
， 4
161 120
，5
121 440
。
1
3 11
分母11只含有2、5以外的质因数 99能被11整除
161
120 能化成混循环小数，不循环部 分数字个数是3，循环节里最少位数是1。
5
121 440
=
11 40
40=2×2×2×5
121能化成有限小数，小数部分有3位。 440
（二）小数化成分数
把上面的结论2和结论3倒过来思考，我们可以 得到下面的结论：
结论1：纯循环小数化分数
一个纯循环小数的小数部分可以化成这 样的分数：这个分数的分子是一个循环节所 表示的数，分母的各位数字全是9，9的个数 等于一个循环节中数字的个数。
结论2：混循环小数化分数
一个混循环小数的小数部分可以化成这 样的分数：这个分数的分子是第二个循环节 以前的小数部分的数字所组成的数，与小数 部分中不循环部分的数字所组成的两数之差。 分母的头几位数字全是9，9后面的数字全是 0，9的个数和一个循环节中的数字个数相等， 0的个数等于不循环部分数字的个数。
结论1：化成有限小数
一个最简分数，如果分母除了2和5以外，不含有其他的质 因数，这个分数一定能化成有限小数，而且有限小数中小数 部分的位数等于分母中质因数2、5个数中最大的那个数。
小结
结论2：化成纯循环小数
一个最简分数的分母里，如果只含有2、5以外的 质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯 循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、…， 诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。
= 11+ 21+ 31+ 41+ 51+ 61+ 71+ 81
= 368
90
90
= 184 45
（一）分数化成小数 （二）小数化成分数
博易新思维数学
易于学
乐于思
5.081 = 5 81- 8 = 5 73
900
900
例5
计算：
0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.56 + 0.67+ 0.78 + 0.89
例 5 计算：
0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.56 + 0.67+ 0.78 + 0.89
= 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 90 90 90 90 90 90 90 90
化成小数。
例1
（一）分数化成小数
将
3 , 5 ,1 , 8 ,15 , 4 , 5 4 16 3 33 37 15 12
化成小数。
3 = 0.75 4
5 = 0.3125 16
1 = 0.3 3
8 0.24 2 33
15 = 0.405 37
4 = 0.26 15
5 = 0.416 12
小结
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3 11
能化成纯循环小数，循环节里
最少位数是2。
2
7 24
24=2×2×2×3 9能被3整除
7
24 能化成混循环小数，不循环部 分数字个数是3，循环节里最少位数是1。
3
6 27
=
2 9
9=3×3 9能被9整除
6 能化成纯循环小数，循环节里 27 最少位数是1。
4
161 120
120=2×2×2×3×5 9能被3整除
例3
将 0.3 和4.189 化成分数。
例3
将 0.3 和4.189 化成分数。 0.3 = 3 = 1 93 4.189 = 4 189 = 4 21 = 4 7 999 111 37
例4
将0.315 和5.081 化成分数。
例4
将0.315 和5.081 化成分数。
0.315 = 315 - 31 = 284 = 71 900 900 225
小结
结论3：化成混循环小数
一个最简分数的分母里，如果既含有2、5这样的质因 数，又含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成 混循环小数，它的不循环部分里的数字的个数，等于分母中 2、5中较多的一个数的个数。循环节的最少位数等于9、 99、999、…，诸数中能被分母中2、5以外质因数（或质 因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。