第6章_马尔科夫过程与泊松过程
《马尔可夫过程 》课件
PART
06
结论与展望
重要性和应用前景：马尔可夫过程是概率论和随机过程的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要的意义。在理论方面，马尔可夫过程为随机现象提供了数学模型，有助于深入理解随机现象的本质和规律。在应用方面，马尔可夫过程被广泛应用于金融、经济、生物信息学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有效的工具。
详细描述
VS
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计物理中广泛应用于求解复杂的数学问题，如高维积分、复杂系统模拟等。
详细描述
在统计物理中，许多问题都需要求解复杂的数学表达式，如高维积分、复杂系统模拟等。马尔可夫链蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案，通过构造合适的马尔可夫链，可以高效地求解这些数学问题，得到精确的结果。
未来研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，马尔可夫过程的研究方向也在不断拓展和深化。未来，马尔可夫过程的研究将更加注重跨学科的应用和创新，如与人工智能、机器学习等领域的交叉融合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，随着大数据时代的到来，如何利用马尔可夫过程处理和分析大规模数据也是未来的一定义和作用。
要点一
要点二
详细描述
策略是指导决策者如何在给定状态下选择行动的规则。值函数是评估特定策略的性能的度量，它衡量了从开始到最终状态的总回报。在马尔可夫决策过程中，值函数和策略是紧密相关的，它们一起决定了在给定状态下采取的行动和最终的累积回报。
总结词
描述贝尔曼方程的定义和作用。
描述马尔可夫决策过程的定义。
总结词
马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学模型，用于描述在不确定环境中做决策的问题。它由以下四个基本组成部分组成：状态集合、行动集合、状态转移概率和回报函数。在每个时刻，决策者根据当前状态选择一个行动，然后环境根据所选行动转移到一个新的状态，并给予决策者一个回报。
马尔可夫过程ppt课件
例1 以图1所示模型为例，求解稳态概率。
故障（p）
S（η1）
1-p
F（η2）
1-q
修复（q）
图1 马尔可夫过程的状态转移图 18
设系统处于正常状态的稳态概率为η1和处于故障状 态的稳态概率为η2，则有
12
(1 (1
p)1 q)2
q2 p1
1 2 1
显然，前两个方程是线性相关的，可以删掉一个。解 方程组得：
系统在各状态的稳定概率通常有以下两种解法： 已知瞬态概率，求极限
Ai
lim
t
P{Si (t)}
式中 Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
16
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法
当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
1
2
马尔可夫过程简介
一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
参数集T=[0, ∞],状态空间E={整数}
（3）时间离散、状态连续的马尔可夫过程——马尔可夫序列。 参数集T= {0,1,2,…},状态空间E= (-∞, +∞)
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
马尔可夫过程与泊松过程
P{X mk aimk |X m aim , X m1 aim1 ,, X1 ai1 }
P{Xmk aimk |Xm aim }
6.1 马尔可夫链
一、定义及一般特性 典型马尔可夫链
一维随机游动
4 3 2 1 0
Xn
+ + + +
1 p
0
p
x
+
+
1
T
T P (1)p(1) p(1) , p(1) p1 , p2 , , pN 中取N-1个方程 在方程
11 p1 21 p2 N 1 pN p1 12 p1 22 p2 N 2 pN p2 1N p1 2 N p2 NN pN pN
当随机过程在时刻 t i 所处的状态已知时，过程在时
刻 t (t ti ) 所处的状态仅与过程在 t i 时刻的状态有关， 而与过程在 t i 时刻以前所处的状态无关。
P 将来 现在，过去 =P 将来 现在
பைடு நூலகம்
马尔可夫过程
马尔可夫过程分类：
1.马尔可夫链 时间离散，状态离散； 2.离散马尔可夫过程 时间连续，状态离散； 3.马尔可夫序列
四、状态分类
3、常返态和滑过态（非常返态）
定义： fij (n) P xn j; xm j, m 1,2,..., n 1| x0 i
自状态i出发，在时刻n首次到达状态j的概率
很显然，
fij (1) P x1 j | x0 i Pij fij () P xn j; 对一切n 1| x0 i
p1 p2 pN 1
泊松过程、马尔科夫链-PPT精选文档
二、泊松过程
1.计数过程
若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足以下条件：
1N t 0 ; 2 N t 取正整数； N 3 若 s t ，则 N s t; 4 当 s t 时， N t N s 等于区间 s ,t 中发生的“事件 A ”的次数 .
R s , t s t 1 X
C s , t R t , s t s min s , t X X X X
u E e exp t e 1
i uX t
iu X
(3)泊松过程的一个实例
设N(t)表示某电话交换台在时间[0,t)内接到的呼唤次数。 可以证明，对固定的t，呼唤次数N(t)是服从某参数λ的泊松分 布的随机变量。证明从略。
(4)时间间隔与等待时间的分布
T1
O
W1
T2
W2
T3
W
3
Tn
W n1
W
n
{X(t),t≥0}是泊松过程 X(t)表示t时刻事件A发生 (如:顾客出现)的次数，
则随机过程{N(t),t≥0}为计数过程。
泊松过程→
2.泊松过程
复习：泊松分布
(1)泊松过程的定义
设随机过程{X(t),t≥0}的状态空间为X={0,1,2,…},且 满足下列三个条件：
Xt , t 0 ① 为独立增量过程；
②对任意 0 s t, Xt Xs ~ t s,
X
E X t X s t s ;
t E X t X 0 t 0 t ;
第6章-马尔可夫过程和泊松过程V2
p ( n ) P ( s , n )p ( s )
6.1.3切普曼-柯尔莫哥洛夫 方程 C-K方程
pij ( s , n ) pik ( s , r ) pkj ( r , n )
k 1 N
也可写成矩阵形式 ， 即P(s,n)=P(s,r)P(r,n)
13
6.1.3切普曼-柯尔莫哥洛夫 方程 C-K方程
26
反射壁
0 1 2 状态转移图和状 态转移矩阵一一 P n, n 1 0 对应 0 0
1 0 12 0 0
0 120
27
状态概率的计算
p(1) PT (1)p(1)
0 0 12 0 1 0 0 0 1 2 0
P( X n 1 j X 0 i0 , X 1 i1 ,, X n 1 in 1 , X n i ) P( X n 1 j X n i )
注意：在教科书中，一般约定状态空间为I={a1,a2,a3,a4等}; 为了简约表示，也可用i1表示状态，而不是ai1。
pij ( s , n ) 证明：
P{ X n a j | X s a i }
P{ X n a j , X s ai } P{ X s ai }
n
N
因为事件Xr=ak， k=1,2,构成一划分。 （全概率公式）
P{ X s ai } N P{ X a , X a , X a } n j r k s i P{ X r ak , X s ai } P{ X r ak , X s ai } P{ X s ai } k 1
第六章
马尔可夫过程与泊松过程
主要内容
第13讲_马尔科夫过程与泊松过程1
⎢⎣0 0 0 0
⎡1
⎢⎢q+rp
P(2) = P2 (1) =⎢ q2
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
0 r2 + pq
2rq q2 0
0 2pr r2 +2pq 2qr 0
0 p2 2pr r2 + pq 0
所求概率为 p45 (2) + p41(2)
0⎤
0
⎥ ⎥
0⎥
p
⎥ ⎥
1 ⎥⎦
0⎤
0
⎥ ⎥
p2 ⎥
p+rp⎥⎥
i= j
r c− j−1)d0 =
q p
)a
−
(
q p
)c
⎟⎟⎠⎞
i= j
r j − rc 1− r d0
⎝⎛⎜⎜1
−
(
q p
)c
⎟⎟⎠⎞
21
11
马尔可夫链
当 r =1时
u0 − uc = 1 = cd0
而 u j = (c − j)d0
因此
uj
=
c
− c
j
故
ua
=
c
− c
a
=
b c
综上
当
p
≠
q 时，甲先输光的概率为
2
马尔可夫过程
马尔可夫过程的分类
X (t)
t
离散
连续
离散 连续
马尔可夫链 马尔可夫序列
离散马尔可夫 连续马尔可夫
过程
过程
3
2
马尔可夫链
马尔可夫链的定义
设随机过程 X (n) 的状态空间为 I = {a1, a2,…}
若满足
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P(n1 n2 ) P(n1 )P(n2 ) P n1 n2 (1)
kI
pij (n1 n2 ) pik (n1 ) pkj (n2 )
p ( n) p ( s ) P ( s, n)
p ( n) p ( s ) P ( n s ) p( s ) Π n s
0.7 0.3 举例： P(1) 0.4 0.6
0.61 0.39 P(2) 0.52 0.48
0.5749 0.4251 P(4) 0.5668 0.4332
0.5715 0.4285 P(8) 0.5714 0.4286
每 一 行 之 和 为 1
6
马尔可夫链
性质：
p j (n) P{ X (n) a j , X ( s ) ai }
N
P{ X ( s ) ai } P{ X (n) a j | X ( s ) ai }
pi ( s ) pij ( s, n)
i 1
则称该过程为马尔可夫链
, X (1) ai1 }
4
马尔可夫链
马尔可夫链的一般特性 状态概率： 状态概率分布列：
pi (n) P{X (n) ai }
p(n) p1 (n) p2 ( n) p N ( n)
状态转移概率： 状态转移矩阵：
pij (s, n) P{ X n a j | X s ai }Fra biblioteki 1 N
i 1 N
全概率公式
状态转移公式
p ( n) p ( s ) P ( s, n)
例如： p1 (n), p2 (n), p3 (n)
p11 ( s, n) p1 ( s ), p2 ( s ), p3 ( s ) p21 ( s, n) p31 ( s, n)
0 jc 设 u j 为质点从 j 出发到达 0 状态先于到达 c 考虑质点从 j 出发移动一步后的情况：
设 • 在以概率 状态的概率
•
j 1 的假设下， 到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为 u j 1 在以概率 q 移到 j 1 的假设下， 到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为 u j 1
j 1
N
状态转移矩阵
p11 ( s, n) p ( s , n) 21 P ( s , n) p N 1 ( s , n)
p12 ( s, n) p22 ( s, n) p N 2 ( s , n)
p1N ( s, n) p2 N ( s, n) pNN ( s, n)
q 1 p ，求甲输光的概率。
解：令 c a b ，则状态空间为 一步状态转移矩阵为
1 q P (1) 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0
I {0,
, a,
, c}
0 0 0 0 0 0 q 0 p 0 0 1
15
马尔可夫链
马尔可夫性 一个随机过程如果给定了当前时刻 t 的值 X t ，如果 X s
( s t ) 的值不受过去的值 X u (u t ) 的影响，而仅与过
程在 t 时刻的状态有关，此特性称为随机过程的马尔可 夫性或无后效性。 在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当前时刻之 前的历史状态）对于预测将来（即当前时刻之后的未来
p(n) p(1)
则此齐次链是平稳的。 判断方法： 若齐次链中 X (1) 和 X (2) 的概率分布列相同，则此链平稳。 证明：
p(2) p(1)
p(3) p(2)Π p(1)Π p(2) p(1)
以此类推
20
马尔可夫链
平稳分布
设有一有限状态的马尔可夫链，若存在一个正整数 m，使 得对状态空间的任何状态 i, j 有 pij ( m) 0 ，则存在平稳 分布
令 P(1) Π ，有 P(k ) Π k 由于
所以
对于齐次马尔可夫链，状态概率由初始概率和一步转移 概率决定。即利用初始分布和一步转移概率矩阵就能完 整地描述齐次马尔可夫链的统计特性。
11
马尔可夫链
例 分析用于表征通信系统的错误产生机制的马尔可夫模型，
假定其级数为2，求二步转移概率矩阵 。
p
移到
由全概率公式，得
u j pu j 1 qu j 1
u0 1, uc 0
16
该差分方程的边界条件为
马尔可夫链
u j pu j 1 qu j 1
( p q)u j pu j 1 qu j 1 p(u j u j 1 ) q(u j 1 u j )
P{ X (n) a j , X ( s) ai } P{ X (s) ai }
N
N k 1
P{ X (n) a j , X (r ) ak , X ( s ) ai } P{ X ( s ) ai }
P{X (n) a j , X (r ) ak , X (s) ai } P{X (r ) ak , X (s) ai } P{X (r ) ak , X (s) ai } P{X (s) ai } k 1
0 2 pr r 2 2 pq 2qr 0
0 p2 2 pr r 2 pq 0
0 0 p2 p rp 1
所求概率为 p45 (2) p41 (2)
14
马尔可夫链
例 赌徒甲有资本 a元，赌徒乙有资本 b元，两人进行赌
博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直赌至两人中 有一人输光为止。设在每一局中，甲获胜的概率为 p，乙 获胜的概率为
马尔可夫过程
李勇
信息与通信工程学院 liyong@
马尔可夫过程
马尔可夫性的提出 有一类现象或过程有以下特点：在“现在”是已知的情 况下，这种变化过程的“未来”与“过去”是毫无联系
的。例如：
液体中颗粒的布朗运动 电话交换机的呼叫次数 天气的变化
马尔可夫
1
马尔可夫过程
r r d0 当 r 1 时，有 u j 1 r
j c
i j
c 1
c 1
i j
i j
当
r 1 时，有 u j (c j )d 0
18
马尔可夫链
两式比较，得
r r 当 r 1 时，有 u j 1 rc
j
c
故
当
综上 当
r 1 时，有
c j uj c
12
马尔可夫链
例 甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率是 p，
乙胜的概率是 q，和局的概率是 r，（
p q r 1）。
设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，和局 不记分。当两人中有一人获得2分结束比赛。以 X n 表示比 赛至第 n局时甲获得的分数。问在甲获得1分的情况下， 再赛二局可以结束比赛的概率是多少？ 解：先确定状态空间 记甲获得“负2分”为状态1，获得“负1分”为状态2， 获得“0分”为状态3，获得“正1分”为状态4，获得 “正2分”为状态5，则状态空间为
p11 ( s, n) P ( s , n) p N 1 ( s, n) p1N ( s, n) pNN ( s, n)
5
马尔可夫链
性质：
p ( n) 1
p
j 1
N
i 1 N
i
ij
( s, n) P{ X n a j | X s ai } 1, i
pij (s, n) pij (n s)
一步转移概率：
pij pij (1)
p1N (n s ) pNN (n s )
10
n s 步转移矩阵：
p11 (n s) P(n s ) pN 1 ( n s )
马尔可夫链
由C-K方程，有 证明：
p12 ( s, n) p22 ( s, n) p32 ( s, n)
p13 ( s, n) p23 ( s, n) p33 ( s, n) 7
马尔可夫链
切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）
pij ( s, n) P{ X (n) a j | X (s) ai } (n r s )
状态）是无关的。
2
马尔可夫过程
马尔可夫过程的分类
X t
t
离散 马尔可夫链 离散马尔可夫过程
连续 马尔可夫序列 连续马尔可夫过程
离散 连续
3
马尔可夫链
马尔可夫链的定义 设随机过程 X ( n) 的状态空间为 I {a1 , a2 , }
若满足
P{ X (n k ) aink | X (n) ain , X (n 1) ain1 , P{X (n k ) aink | X (n) ain }
解：一步转移矩阵可写为
p
0 0
p q P(1) q p
二步转移矩阵为
q q
1
p
图6.2 二进制对称信道
1
2 2 p q p q p q 2 pq P(2) P(1)P(1)= = 2 2 q p q p 2 pq p q
P{ X (n) a j | X (r ) ak , X ( s) ai } P{ X (r ) ak | X ( s) ai } P{ X (n) a j | X (r ) ak } P{ X (r ) ak | X ( s) ai }
k 1 N k 1 N
可见 p() p(1)P() 不依赖于 p(1)