中考数学圆的综合(大题培优易错试卷)含答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.

【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142

2

=x . 【解析】

分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出

DM ME BD AE =，进而得出AE =1

22

x （），再判断出2OA OC DM

OE OD OD

==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．

（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =1

22x （）． ∵DE ∥AB ，∴

2OA OC DM OE OD OD

==， ∴22

DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜

（3）（i）当OA=OC时．∵

111

222

DM BM OC x

===．在Rt△ODM

中，

222

1

2

4

OD OM DM x

=-=-．

∵

2

1

2

12

2

4

x

DM

y

OD x

x

=∴=

+

-

，

．解得

142

2

x

-

=，或

142

2

x

--

=（舍）．

（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞

∠AOC，∴此种情况不存在．

（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．

即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为

142

2

-

．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．

2．（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）25°.

【解析】

试题分析：（1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．

（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．

试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD

∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD

即∠AOD=∠BOC

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠B=90°，AD=BC

∴AOD BOC

???

∴AO=OB

（2）解：∵AB是O的直径，PA与O相切于点A，∴PA⊥AB，

∴∠A=90°.

又∵∠OPA=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB.

又∵∠AOP=∠B+∠OCB，

∴125

2

B OCB AOP

∠=∠=∠=?.

3．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．

（1）求证：∠ACE=∠DCE；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；

（3）若AC=4，

2

3

CDF

COE

S

S

?

?

=，求CF的长．

【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）43 3

【解析】

【分析】

（1）易证∠OEC=∠OCE ，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以

∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；

（3）易证

1

2

COE

CAE

S

S

=，由于

2

3

CDF

COE

S

S

=，所以CDF

CAE

S

S=

1

3

，由圆周角定理可知

∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】

（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．

∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ．

∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°． ∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°． ∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°． （3）∵O 是AC 中点，

∴

12

COE CAE

S S

=． 23CDF COE

S S

=

，∴CDF CAE

S S

=

1

3

． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°． ∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴

CF CA =33，∴CF =33CA =43

3

．

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

（1）已知点A （2，0），B （0，23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；

（2）若点C （1，2），点D 在直线y=5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为（3，m ）．若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．

【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】

分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；

（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22

（），∴∠ABO=30°．

223

∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．

∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；

（2）如图2．

∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．

过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．

∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．

点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．

5．如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．

（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若半圆O的半径为6，求AC的长．

【答案】（1）直线CE 与半圆O 相切（2）4π 【解析】

试题分析：（1）结论：DE 是⊙O 的切线．首先证明△ABO ，△BCO 都是等边三角形，再证明四边形BDCG 是矩形，即可解决问题；

（2）只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题，求AC 即可解决问题． 试题解析：（1）直线CE 与半圆O 相切，理由如下： ∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC. ∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC ⊥DE ， ∴直线CE 与半圆O 相切．

（2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF ， ∴△OCF 是等边三角形， ∴∠AOC=120° ∴AC 的长为

1206

180

π??=4π.

6．定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.

理解： ⑴如图，已知是⊙

上两点，请在圆上找出满足条件的点

，使

为“智慧三

角形”（画出点

的位置，保留作图痕迹）；

⑵如图，在正方形中，

是

的中点，

是

上一点，且

，试

判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙

的半径为，点

是直线

上的一点，若

在⊙

上存在一点

，使得

为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此

时点的坐标.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（

22

，

1

3

），（

22

，

1

3

）．

【解析】

试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．

试题解析：

（1）如图1所示：

（2）△AEF是否为“智慧三角形”，

理由如下：设正方形的边长为4a，

∵E是DC的中点，

∴DE=CE=2a，

∵BC：FC=4：1，

∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，

在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，

在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，

∴AE2+EF2=AF2，

∴△AEF是直角三角形，

∵斜边AF上的中线等于AF的一半，

∴△AEF为“智慧三角形”；

（3）如图3所示：

由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，

根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，

由勾股定理可得PQ=，

PM=1×2÷3=，

由勾股定理可求得OM=，

故点P的坐标（﹣，），（，）．

考点：圆的综合题．

7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；

（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；

（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．

【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为

﹣2．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;

（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A

＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';

（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2

为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.

【详解】

解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,

∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,

∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,

由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,

∴△OAA'是等边三角形,

∴α＝∠AOA'＝60°,

∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,

∴B'C ＝OB’＝,

∴OC＝3,

∴B'（3,）,

（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',

∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,

∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,

∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,

即AA'⊥BB';

（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：

如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,

∵∠APB＝90°,

∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,

∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．

【点睛】

本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆．

8．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；

（1）求证：∠ADC+∠CBD＝1

2

∠AOD；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】

()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到

()

11

1809022

ODA AOD AOD ∠=

-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到

ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推

出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】

()1证明：

OD BC ⊥，

BD CD ∴=，

CBD DCB ∴∠=∠，

90DFE EDF ∠+∠=， 90EDF DFE ∴∠=-∠，

OD OA =， ()11

1809022

ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠，

1

90902

DFE AOD ∴-∠=-∠，

1

2

DEF AOD ∴∠=∠，

DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，

1

2

ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠；

()2解：

OD BC ⊥，

BE CE ∴=，BD CD =，

BD CD ∴=， OA OD =，

ADO OAD ∴∠=∠， PA 切O 于点A ，

90PAO ∴∠=，

90OAD DAP ∴∠+∠=，

PFA DFE ∠=∠， 90PFA ADO ∴∠+∠=，

PAF PFA ∴∠=∠， PA PF ∴=． 【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．

9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，BD AD =，DE ⊥BC ，垂足为E ．

（1）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CE =1，AC =4，求阴影部分的面积．

【答案】（1）ED 与O 相切.理由见解析；（2）2

=33

S π-阴影

【解析】 【分析】

（1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；

（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可． 【详解】

（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：

连结OD ，如图，∵BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ． ∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．

∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；

（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．

∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD

260233604

π??=-

?22

2

3

=

π3-．

【点睛】

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．

10．如图1，⊙O 的直径AB =12，P 是弦BC 上一动点（与点B ，C 不重合），∠ABC =30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D ．

（1）如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；

（2）如图3，当弧DC =弧AC 时，延长AB 至点E ，使BE =1

2

AB ，连接DE ． ①求证：DE 是⊙O 的切线； ②求PC 的长．

【答案】（1）6；（2）①证明见解析；33． 【解析】

试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP ，PD 的长；

（2）①首先得出△OBD 是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 试题解析：（1）如图2，连接OD ，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB=90°，

∵⊙O的直径AB=12，

∴OB=OD=6，

在Rt△POB中，∠ABC=30°，

∴OP=OB?tan30°=6×=2，

在Rt△POD中，

PD===；

（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，

∵，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴∠ABD=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE=AB，

∴OB=BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE=∠OFB=90°，

∴DE是⊙O的切线；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF=FB=OB?cos30°=6×=3，

在Rt△POD中，OF=DF，

∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．

考点：圆的综合题