《计算机数值方法教学课件》第二章 常微分方程数值解法

y( xn1 )
y* n1
chP1
y* n1
y( xn )
h ( xn ,
y( xn ), h)
yn1 yn h ( xn , yn , h)
y* n1
yn1
y( xn ) yn
h ( xn , y( xn ), h) ( xn , yn , h)
5
有解条件的判断：
在 f (x,y) 对y可微的情况下，若偏导数有界：
f (x, y) L, (x, y) G y
则Lipschitz条件成立：
|
f
(x, y1)
f (x, y2) |
f
(x, y
y*
)
(
y1
y2
)
L|
y1 y2
|
6
适定性条件：
适定性：指初值问题中，初始值y0及微分方 程的右端函数f (x,y) 有微小变化时，只能引起 解的微小变化。 定理2：如果f(x,y)在G={(x,y)|a≤x≤b, y∈R}上 满足Lipschitz条件，则初值问题是适定的。
y(
x0
)
y0
n 0,1,2,...
y
y=y(x)
x0, y0 x1, y1
x x0 x1 x2 x3 x4
16
例题1：（取步长h=0.1）用Euler方法求满足条
件
dy
2
y
t 2et
,1t) 数值解。
y(1.0) 0.0
解：
yn1
yn
h( 2 tn
yn
tn2e tn )
y(xn ) 2!
h2
y(xn ) 3!
h3
L
y* n1
y( xn )
h 2
f
xn , yn
f
xn1 , yn1
y( xn )
h 2
y(
xn
)
y( xn1 )
y( xn1 )
y(xn )
y(xn )h
y(xn ) 2!
h2
L
Rn1
y( xn1 )
y* n1
1 12
y
xn
h3
h3
定义：由初值问题的单步法产生的近似解 yn ，如果对于
任一固定的 xn x0 nh
均有
lim
h0
yn
y( xn )
，则称
该方法是收敛的。
n
局部截断误差：
Rn1
y( xn1 ) -
y* n1
y( xn1 ) -
y( xn ) h( xn ,
y( xn ), h)
定理：若初值问题的一个单步法的局部截断误差为：
29
yn1
yn
h 2
f
xn , yn f
xn1 , yn1
预估-校正方法：
yn1
yn
hf ( xn ,
yn )
yn1
yn
h 2
f
( xn ,
yn )
f
( xn1,
yn1) , n
0,1, 2,L
y( x0 ) y0
称为改进的Euler求解公式或改进Euler法。
yn1
y(xn ) 2!
h2
L
y(xn ) hf (xn , y(xn )) O(h2 )
y* n1
y(xn )
hf
(xn ,
y(xn ))
Rn1
y( xn1 ) -
y* n1
O(h2 )
具有1阶精度。
21
（二）向后欧拉法
（1）方法
f
y( xn1 )
y( xn1 ) h
y( xn )
其公式为：
y(
x0
)
y0
a x b
(1.1) (1.2)
对微分方程(1.1)两端从 xn到xn1 进行积分
xn1 ydx xn1 f (x, y)dx
xn
xn
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y)dx
xn
14
f
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y)dx
xn
右端积分用左矩形数值求积公式：
G={(x,y)|a≤x≤b, y∈R}上的连续函数，若存在
正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
| f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
使得对任意的x [a, b]及y1, y2都成立， 则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，此时初
值问题在[a,b]上存在唯一的连续可微的解。
dy
dx
f (x,
y)
(a x b)
y( x0 ) y0
x
y(x) y0
f (x, y(x))dx
x0
y
y=y(x)
x0=a x1 x2 x3 xk-1 xk
x
xn-1 xn=b
求数值解：求y(x)在离散数据点xk处的近似值yk 。
4
有解条件：
定理1：设 f (x,y) 是定义在区域
y1
y0
0.1( 2 t0
y0
t
2 0
e
t0
)
0.2718281828
y2
2 y1 0.1( t1
y1 t12et1 ) 0.684755578
17
数值解列表为
yn1
yn
h( 2 tn
yn
t
2 n
e
t
n
)
n
tn
yn
y(tn)
0 1.0
0.0
0.0
1 1.1 0.27183 0.34592
26
例3 用预估－校正方法求解微分方程（取h=0.1）：
y
y
2x , y
y(0) 1
(0 x 1)
解： y1
y0
h( y0
2x0 ) y0
1.1000
y1
y0
h( y1
2x1 ) 1 0.1(1.1000 2 0.1 ) 1.0918
y1
1.1000
y2
y1
h( y1
2 x1 y1
f (x, y)
x
xn
xn 1
yn1 yn (xn1 xn ) f (xn , y(xn )) hf (xn , y(xn ))
即：
y( x0 ) y0
yn1
yn
hf
( xn ,
yn )
15
欧拉公式的的几何描述
y( x0 ) y0
yn1
yn
hf (xn,
yn )
y f (x, y)
7
数值方法的基本思想
在解的存在区间 [a, b]上取n + 1个节点
a x0 x1 x2 xn b
这里把 hi xi1 xi ,i = 0,1,..., n 称为由xi到xi+1的步长 一般取成等间距的： h b a
n
求解方法：步进法（分为单步法和多步法）
8
本章规定：
在 xn 处初值问题的理论解用 y(xn ) 表示，数值解 法的近似解用 yn 表示。 记 fn f (xn , yn ) ，它和 f (xn , y(xn )) 是不同的，后 者等于 y(xn ) 。
25
计算公式为：
y y
n1 n1
yn yn
hf hf
(xn, yn ) ( xn1 , yn1 ), n
0,1,2,....
y(
x
0
)
y0
yn1由显式得到，称为预估值； yn+1由隐式得到，称为校正值。
这种求解方法统称为预估－校正方法。其求解过 程为：
y0 y1 y1 y2 y2 yn yn
2
dt t
y(1.0) 0.0
y t 2(et e)
18
欧拉方法的误差估计
通过数值方法进行计算时，考虑每一步产生的误差， 从x0开始一步步累积到xn，称
en y( xn ) - yn
为该数值方法在xn点处的整体截断误差，该误差 与xn 及之前的各步计算误差都有关系。
19
欧拉方法的误差估计
其中：
h xn1 xn
可以得到：
y( x0 ) y0
yn1
yn
hf
( xn ,
yn )
12
求导的两点公式解释
y(
xn
)
y(xn1) h
y(xn )
y(xn ) f (xn , yn )
可以得到：
y( x0 ) yn1
y0 yn
hf
(
xn
,
yn
)
13
积分公式解释
y f (x, y)
x0=0, y0=1, 取h=0.1
向后Euler法的公式为
yn1
yn
h( yn1
2xn1 ) yn1
24
yn1 yn hf ( xn , yn )
y0
y( x0 )
yn1 y( x0 )
yn hf y0 ,
(
xn1
,
yn1
)
方法比较及推广：
Euler方法 显式公式 向后Euler方法 隐式公式 解一个非线性方程 难求解 显式和隐式相结合 隐式的显化
yn
h 2
f
xn , yn f
xn1 , yn hf
xn , yn
30
yn1
yn
h 2
f
xn , yn f
xn1 , yn hf