一元一次方程复习(含答案)
一元一次方程单元复习
一、知识网络
二、学习目标：
1、经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。
2、通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。
3、了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。
4、能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
三、教学重点：
一元一次方程的解法，列方程解应用题
四、教学难点：
一元一次方程的解法，列方程解应用题
五、知识要点梳理
知识点一：一元一次方程及解的概念
1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解
要点诠释：
（1）一元一次方程必须满足的3个条件：只含有一个未知数；未知数的次数是1次；整式方程．（2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：方程变形——解方程的重要依据
1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）:
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果，那
么；如果，那么
2、分数的基本的性质:
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）
注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为的形式：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去
分母”区别开。
知识点三：解一元一次方程的一般步骤：
1、解一元一次方程的基本思路：
通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。
变形名称具体做法变形依据去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2
去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律
移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都
等式基本性质1
移到方程的另一边(记住移项要变号)
合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程
等式基本性质2
的解x＝
注意：
(1)解方程时应注意：
①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。②去分母时，不要漏乘没有分母的项。去分母
是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。
(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：
①移项时忘记改变符号；②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
(1)a≠0时，方程有唯一解；
(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；
(3)a=0，b≠0时，方程无解。
知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。注意：
(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。
(2)解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。
(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。
(4)一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。
知识点五：常见的一些等量关系
类型基本数量关系等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题变形前后体积相等
(3)行程
问题
相遇问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程＝追者
走的路程
同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1
(6)利润率问题商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润率＝×100％
售价＝进价×(1＋利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个
位上的数字分别为a，b，则这个两
位数可表示为10a＋b
抓住数字所在的位置、新数与原数之间
的关系
(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)
(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c 全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的
数比左边的数大1；日历中每一列
上相邻的两数，下边的数比上边的
数大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，
且都是正整数
知识点六：整式、等式与方程的关系
1、正确理解代数式、等式和方程的概念
代数式：像－1,0，a，－2x＋5等，这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。
2、整式、等式与方程的区别和联系
区别：
①定义不同。
②从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
③等式含有“＝”，表示左右两边相等，方程是个特殊的等式，即其中必须含有未知数。所以有：方程是等式，但等式却不一定是方程。
联系：
①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是方程。如：要使代数式5x＋1的值等于0，即求方程5x＋1＝0的解。
②当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个方程。如：要使整式
x＋5的值与整式－x－5的值相等，即求方程的解。
③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成方程。如：要使整式x－4的值比
的值大3，即求方程的解。
通过上面的描述，我们知道，方程是由整式构成的，但整式不是方程。
六、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项：
1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除号，去分母后分子各项应加括号；
3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；
6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项：
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：①设未知数。②根据等量关系列方程。③解方程。④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。⑤作答。
列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
思想方法总结
本章主要的方法有：化归的方法，分析法，综合法和方程的思想.
1．化归方法，所谓化归即转化，是指求解数学问题时，将较难或较繁或未知的问题进行变换，使之化难为易，化繁为简，化未知为已知，从而使问题得以解决的思维方法，本章中将一元一次方程逐步变形、化简转化为ax=b(a≠0)的形式求解的过程就属于转化的方法.
2．分析法是从未知，看已知，逐步推向已知，即执果索因。
3．综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因导果。研究数学问题时，一般总是先分析，在
分析的基础上综合，列方程解应用题就是运用了分析法和综合法相结合的数学方法。
4．方程的思想，方程思想设未知数（把它看成以存在的数），让代替未知数的字母和已知数一样参与运算，列方程解应用题。本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用.。
七、典型例题
一、概念类
例1、在下列式子(1)2x+3；(2)1-x=x-2；(3)2x-y=6；(4)x+=2中一元一次方程为______个．
分析：一元一次方程应满足：①等式；②一元：一个未知数；③一次：未知数的次数是1；④整式：方程中的未知数不能出现在分母中。(1)不是等式，(2)满足，(3)含有两个未知数；(4)未知数出现在分母中。
答案：1
例2、已知关于x的方程ax + 5 = -2 - 3a与方程2x +3= -17的解相同, 则a = _________.
分析：首先方程2x +3= -17的解为x=-10，方程ax + 5 =-2 - 3a与方程2x +3= -17同解，所以方程ax + 5 = -2 - 3a的解为x=-10，那么-10a+5=-2-3a成立，这是关于a的一元一次方程，进而可求得a。
答案：1
二、解法类
例3、下列方程的变形是否正确？如果不正确，指出错在何处，并写出正确的变形.
（1）由3+x=-6, 得x=-6+3.
答：不正确.错在数3从方程的等号左边移到右边时没有变号，正确的变形是由3+x=-6，得x=-6-3.
（2）由9x=-4, 得.
答：不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.正确的变形是由9x=-4, 得.
（3）由5=x-3, 得x=-3-5.
答：不正确.错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是由5=x-3，得5+3=x, 即x=5+3.
（4）由，得3x-2=5-4x+1.
答：不正确，没有注意到分数中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项都乘以5时，+1没有变号.正确的变形是由，得3x-2=5-(4x+1)，进而得3x-2=5-4x-1.
（5）由，得2(x+2)-3(5x-7)=1.
答：不正确.错在当方程两边同乘以12时，等号右边的1漏乘12.正确的变形是由，得2(x+2)-3(5x-7)=12.
例4、解方程
分析：可将每一项里分母、分子中的小数化为整数，然后再约分，或分子、分母直接约分.
解：
各项分别化简得，(8x-3)-(25x-4)=12-10x
8x-3-25x+4=12-10x,
-17x+1=12-10x,
-17x+10x=12-1,
-7x=11,
.
∴原方程的解为.
三、应用类
需要掌握以下几类题型：商品销售、银行存贷款、积分、行程、工程、数字问题、日历、比例分配、方案选择。希望同学们能根据下面的例子掌握此类型题目的解题思路。
1.商品销售
此类问题主要涉及的关键量：进价，标价，实际售价，利润，利润率。熟记这些量间的基本关系式：商品的利润=商品的实际售价-商品的进价.（这里不考虑其它因素）
商品的利润率=
商品打折后的售价=商品的标价÷10×折扣数.
另外在解决商品的利润率的问题中，还涉及如下关系式.
注意会由基本关系式推出式子的变形，以便于解决问题.
例如：由×100%=利润率，可得商品的实际售价=商品的进价×(1+利润率).
例7、商店里的皮上衣每件标价为2200元，在一次促销活动中，它打八折销售，结果仍获利10%，求此商品的进价.
分析：题中的相等关系是商品的进价×(1+利润率)=商品的实际售价.
解：设此商品的进价为x元，依题意(1+10%)x=2200×0.8.
解这个方程，得x=1600.
答：此商品的进价为1600元.
例8、以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？
解：设该商品的成本为a元，则商品的现价为(1+30%)a元，依题意其后来折扣后的售价为
(1+30%)a×(1+40%)(1-50%)=0.91a.
∵0.91a-a=-0.09a, ∴×100%=-9%.
答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.
2.银行存贷款
例9、夏老师欲购买一辆汽车，销售商告诉夏老师，若采取分期付款方式：一种付款方式是第一月付4万元，以后每月付款一万元；另一种付款方式是前一半时间每月付款1万四千元，后一半时间，每月付款1万1千元；两种付款方式中付款钱数和付款时间都相同。销售商还说若夏老师一次性付款，可少付车款1万6千元。夏老师看了看自己的存折决定一次性付清购车款，同学们帮夏老师算算，夏老师要付款多少万元？
分析：在应用题中通常利用一个（或多个）已知条件找关系式，剩下的一个条件列方程。由分期付款两种付款方式中付款时间都相同设时间是未知数，进而由付款钱数相同列方程。
解：设分期付款总共付x期，由题意得：
解得：x=12
故4+(x-1)=4+(12-1)=15(万元)
15-1.6=13.4（万元）
答：夏老师要付款13.4万元。
3.积分
例10、足球比赛的计分规则为：胜一场积3分，平一场得一分，负一场积0分，一支足球队在某个赛季共需比赛14场，现已比赛8场，输了一场，得17分。
（1）前8场比赛中，这支球队共胜了几场？
（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？
分析：总得分=胜场得分+平场得分+负场得分。第2问要得最高分，前8场的比赛得分已确定，只要后面（14-8）场比赛每次都赢。
解：（1）设这支球队共胜了x场球，则平了(8-x-1)场球，由题意得：
3x+(8-x-1)=17
解得：x=5
（2）17+（14-8）×3=17+18=35
答：前8场比赛中，这支球队共胜了5场。这支球队打满14场比赛，最高能得35分。
4.行程问题
行程问题是与实际生活联系密切的一类问题，也是变化最多的一类问题。对于行程问题，抓住相向、背向、同向、追上、相遇等关键词语，借助草图的直观性，对题目进行具体分析，找到等量关系列方程，有利于培养分析问题、解决问题的能力。
例11、A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时。
（1）甲、乙同时出发，相向而行，几小时后相遇？相遇地点离B地有多远？
解：设x小时后甲、乙相遇，
依题意，得15x+12x=216。
解这个方程，得x=8。
当x=8时，12x=12×8=96。
答：8小时后甲、乙相遇，相遇地点离B地96千米。
（2）甲、乙同时出发，同向而行，乙在前、甲在后，问甲几小时追上乙？
解：设x小时后甲追上乙。
依题意，得15x-12x=216。
解这个方程，得x=72。
答：需72小时甲追上乙。
（3）甲、乙同时出发，背向而行，问几小时后他们相距351千米？
解：设x小时后，甲、乙相距351千米，
依题意，得15x+12x=351-216，
解这个方程，得x=5。
答：5小时后，甲、乙相距351千米。
（4）甲、乙相向而行，甲出发三小时后乙才出发，问乙出发几小时后两人相遇？
解：设乙出发x小时后两人相遇。
依题意，得15(3+x)+12x=216,
解这个方程，得x=.
答：乙出发小时后，甲、乙两人相遇。
（5）甲、乙相向而行，要使他们相遇于AB的中点，乙要比甲先出发几小时？
解：设当乙比甲早出发x小时，使甲、乙二人相遇于AB的中点。
依题意，得，解这个方程，得x=.
答：只要乙比甲先出发小时，两人就能相遇于AB的中点。
（6）甲、乙同时出发，相向而行，甲到达B处，乙到达A处都分别立即返回，几小时后相遇？
相遇地点距离A有多远？
解：设x小时后甲乙相遇，
依题意，得15x+12x=216×3
解这个方程，得x=24.
当x=24时，12x-216=72.
答：24小时后两人相遇，相遇地点距离A地72千米。
例12、一架飞机往返于甲、乙两城市之间，顺风飞行需3小时，逆风飞行需3小时20分；若风速是每小时30千米，求甲、乙两城之间的距离。
解法1：设甲、乙两城之间相距x千米，
依题意，得，解这个方程，得x=1800。
答：甲、乙两城相距1800千米。
解法2：设飞机的速度为x千米/时，则飞机顺风飞行时，速度为(x+30)千米/时，
飞机逆风飞行时速度为(x-30)千米/时。
依题意：3(x+30)=(x-30)
解这个方程，得x=570，当x=570时，3(x+30)=3×600=1800。
答：甲、乙两城相距1800千米。
5.工程问题
例13、一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成.甲队单独做了5天，剩下的部分由甲、乙合做，几天可以完成？
分析：甲队单独做20天完成任务，一天完成总工作量的；乙队单独做30天完成，一天完成总工
作量的；两队合做一天完成总工作量的.这个问题中的相等关系是：甲独做的工作量+甲、乙
合做的工作量=全部工作量.
解：设剩下的部分由甲、乙合做x天可以完成，根据题意，
得,解这个方程，得x=9.
答：剩下的部分由甲、乙合做，9天可以完成.
说明：工程问题中，工作总量=工作效率×工作时间，常常将工作总量看作“1”.
6．数字问题
例14、有一个三位数的个位数字为1，如果把这个1移到最前面的位置上，那么所得的新三位数的2倍比原数多15，求原来的三位数.
分析：此题属于数字问题，其中三位数如何用代数式表示是列方程的关键，一般来说，一个三位数，百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c，则这个三位数写成100a+10b+c.在题目中，如果把原
三位数的前两位数字看成整体并设为x，则原三位数可表示为：10x+1.同样新三位数表示为100×1+x.
解：设原三位数的前两位数为x，则原三位数是10x+1，新三位数为100×1+x，依题意得.
2(100×1+x)-15=10x+1
解这个方程得x=23.。∴原三位数是10x+1=10×23+1=231.
答：原三位数为231.
7.日历
例15、在下边的日历中, 带阴影的方框里有四个数, 随着方框的移动，请你探究这四个数的关系. 设最小的一个数为a, 则这四个数之和为_________ (用含a的代数式表示).
分析：在日历中最小的数为a，则和它相邻的右边
这个数为a+1。又一周为7天，则a下面的数为
a+7，和它相邻的数为a+8。
答：4a+16
8.比例分配
例16、某车间有28名工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均可生产甲种零件12个或乙种零件18个，要是按1：2配套组装。问：生产两种零件的工人应如何安排？
分析：利用甲、乙两种零件配套生产的总组数相同列方程。
解：设生产甲零件的工人数为x人，则生产乙零件的工人数为（28-x）人，由题意得:
解得：x=12
28-12=16
答：生产甲种零件的工人有12人，生产乙种零件的工人有16人。
9.方案选择
例17、某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
解：(1)若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元.
(2)若选择方案2.
设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，依题意，得
，
解这个方程，得x=1.5.
当x=1.5时，9-x=7.5.
总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元.
∵12000＞10500,
∴选择方案2较好.
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片.