揭阳一中届高三上学期摸底考试文数

揭阳一中届高三上学期摸底考试文数

揭阳一中2011—2012学年高三上学期摸底考试

数 学（文科）

本试卷共21页，三大题，满分150分。考

试用时120分钟。 第I 卷（选择题）（50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}3{<=x x M ，)

086|(2

<+-=x x x N ，则M ∩N=( ) A.φ B.}

30|{<

C.}31|{<

D.}

32|{<

3．“1±=a ”是函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )

A ．

充分

不必

要条

件

B ．必要不充分条件 C.

充

要条

件

D ．既不充分条件也不必要条件 4．定义在

R 上的函数

f(x)满足

?

?

?>---≤-=0),2()1(0),4(log )(2

x x f x f x x x f ，则f(3)的值为( )

A.-1

B. -2

C.1

D. 2

5．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为

6

5，则判断框中应填入的条件是( )

A.i<4

B.i<5

C.i≥5

D.i<6

6．如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，

则这个几何体的体积为( )

A．π3 B.3π

C．π33 D．π39

7．已知向量b,的夹角为60

0，且1||,2||=

=，则向量

a与2+的夹角为( )

A.1500

B.1200

C.600

D.300

8．设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )．

A ．x

y

42

±= B.x

y

82

±= C.y 2

=4x

D.y 2

=8x

9．已知命题]2,1[:∈?x p ，x 2

-a ≥0，命题R x q ∈?:，

x 2

+2ax+2-a=0.若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围为( )

A ．a ≤-2或a=1 B.a ≤-2或1≤a ≤2 C ．a ≥1 D ．-2≤a ≤1

10.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 坐标均满足

不等式组

??

?

??≥-≤+-≤-+010220

2534x y x y x ，则使cos ∠POQ 取最小值

时的∠POQ 的大小为( )

A ．2π

B ．π

C ．2π

D ．4π

第II 卷（非选择题）（100分）

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题(11-13题)

11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4=9，S 3=15，则数列{a n }的通项为________

12.若直线2ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x 2+y 2

+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则b a 31+的最

小值为________

13.某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共

3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格；

由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是____件。 （二）选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)

14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，B 、C 为切点， 且OC=3，AB=4，延长AO 到D 点，则△ABD 的面积是___________.

15.（坐标系与参数方程选做题）设P （x,y ）是

曲线?

?

?=+-=θ

θsin cos 2:y x C （θ为参数）上任意一点，则x y 的取值范围是___________.

三．解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）在锐角△ABC 中，已知内

角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满

足B

B

B 2cos 3)12

cos 2(sin 22

-=-. (1)求B 的大小；

(2)如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC

的最大值．

17.（本题满分12分）为了了解某年段1000名

学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；……；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．

(1)将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数；

(2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；

(3)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值 大于1秒的概率．

18．（本题满分14分）已知如图：平行

四边形ABCD 中，BC=6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． (1)求证：GH ∥平面CDE ；

(2)若CD=2，24=DB ，求四棱锥F-ABCD 的体积.

19．（本题满分14分）已知椭圆)0(1:2

2

2

2

>>=+b a b

y a x C 的离心率为35，短轴一个端点到右焦点的距离为3．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆C 上的动点P 引圆O ：x 2+y 2=b

2

的两条切线PA 、PB ，

A 、

B 分别为切点，试探究椭圆

C 上是否存在点P ，由点P 向圆O 所

引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（本题满分14分）已知函数)

2

1

(,1223)(≠--=x x x x F . (1)求++)20102()20101(F F )2010

2009

(F + 的值： (2)已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=F(a n )，求证数列}11{-n

a 是等差数列：

(3)已知n

n

n b 21

2-=

，求数列{a n b n }的前n 项和S n ．

21．（本题满分14分） 已知f(x)=xlnx ，

a x x x g +-=2

2

1)(. (1)当a=2时，求函数y=g(x)在[0，3]上的值域；

(2)求函数f(x)在[t ，t+2](t>0)上的最小值； (3)证明：对一切x ∈(0，+∞)，都有

e e

x g x x x

21)('ln -+>成立

参考答案

一.选择题 DCCBD DDBAD

二.填空题 11.2n+1 12.324+ 13.800 14．548 15．]33,33[- 16

．(1)解

：

=-)12

cos 2(sin 22

B

B =?-B B B cos sin 22cos 3

?-B 2cos 332tan -=B ……4分 ∵0<2B<π，322π

=∴B ，3π=∴B ……6分

(2)由3

32tan π=?-=B B ∵b=2，由余弦定理，得：4=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) …9分

∵△ABC 的面积B ac S ABC

sin 2

1=?343

≤=ac

∴△ABC 的面积最大值为3 …12分

17.解：(1)百米成绩在[16，17)内的频率为0.32×1=0.32. 0.32×1000=320

∴估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数为320人。……2分

(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x ，8x ，19x 依题意：得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，

∴x=0.02 ……4分

设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则n

802.08=? ∴n=50 ∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. ……6分

(3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为，a ，b ，c

百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m ，n ，p ，q

则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有

{a,b}，{a,c}，{a ，m}，{a ，n}，{a,p},{a ，q}，{b ，c}，{b ，m}，{b,n}，

{b,p},{b,q},{c,m}，{c,n}，{c,p},{c,q}，{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q}, {p,q}, 共21个……9分

其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a ，b}，{a,n}，{a,p}，{a ，q}， {n,m},{b,n}，{b,p}，{b,q}，{c,m}，{c,n}，{c,p}，{c,q}，共12个， ……10分

所以74

2112==P ……12分

18. (1)证法:∵EF//AD, AD//BC ∴EF//BC 且EF=AD=BC

∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点 ………2分

又∵G 是FD 的中点

∴HG//CD ………4分

?/

HG 平面CDE ，?CD 平面CDE

∴GH//平面CDE ………7分 证法2：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点 ………1分

∴在△EAB 中，GH//AB …………………3分 又

∵

AB//CD

，

∴

GH//CD ，…………………………4分

?/

HG 平面CDE ，?CD 平面CDE

∴

GH//

平

面

CDE ………7分 (2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD

且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD ． ………9分

∵BC=6, ∴FA=6 又∵CD=2,2

4=DB ,

CD 2+DB 2=BC 2

∴

BD ⊥

CD

………11分

28A =?=∴BD CD S BCD

口

FA S V ABCD

ABCD F ?=∴-口312166283

1=??= ………………

…14分

19．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意

??????

?

??????

+===2

2

2

335c

b

a a a c ………3分

∴

b=2， …………………4分

∴所求椭圆方程为14

92

2

=+ y x ……………5分

(2)如图，设P 点坐标为(x 0，y 0)， (6)

分

若∠APB=900

，则有||||AP OA = ………7分

即2

2

||||||OA OP OA -= ………8分

有4220

2

-+=y x

两边平方得82

020

=

+y

x ……①………9分

又因为P(x 0，y 0)在椭圆上，所以369420

2

=+y x ……②……10分 ①，②联立解得5

3620

=

x

，5

420

=

y

……11分

所以满足条件的有以下四组解

??????

?==5525560

0y x ，

???

???

?-==55255

600y x ，

???

???

?=-=25255

600y x ，

??????

?-=-=55255

60

0y x ………

13分

所以，椭圆C 上存在四个点)552,556(，)552,556(-，

)5

5

2,556(-

，)552,556(--，分别由这四个点向圆O 所引

的两条切线均互相垂直． ………………14分 20

．

解

：

(1)

因

为

=-+)1()(x F x F 3

1

)1(22)1(31223=----+--x x x x …………2分

所以设)20102()20101(F F

S +=)2010

2009(F ++ ………(1) )20102008()20102009(F F S +=)

2010

1(F ++ (2)

(1)+(2)得：

+=)20101({2F S +)}20102009(F +)20102({F + )}20102008(F +)20102009({F )}

2010

1

(F

=3×2009=6027， 所以26027

=S ……5分 （2）由a n+1=F （a n ）两边同减去1，得

1122311

--

-=-+n n n a a a 121--=n n a a ……7分

所以112111

--=-+n

n

n a a a 1

1)1(2-+-=

n

n a a 112-+=n

a 所以211111

=---+n

n a a ，}11{-n

a 是以2为公差以11

1

1

=-a 为首项的等差数列，…10分

(3)因为2)1(21

1?-+=-n a n

112=?-=

n

a n 122121-=-+n n n 因为n

n

n b

21

2-=

，所以1

2-=

n n

n n b

a …………

12分

1

2102

232221-++++=n n n

S (3) n n n S 2

23222121321++++= (4)

由(3)-(4)得

32102121212121+++=n S n n n 2211-++- n

n n 22121--=-

所

以

1

224-+-

=n n n S

……14分

21.解(1)

2

3)1(21)(2+-=x x g ，x ∈

[0,3] ………1分

当x=1时，g min (x)=g(1)=23；当x=3时，

2

7

)3()(max

==g x g

故g(x)值域为]2

7

,23[ ………………3分 (2) f'(x)=lnx+l,当)1,0(e

x ∈f'(x)<0，f(x)单调递减，当)

,1

(+∞∈e

x ，f'(x)>0，f(x)单调递

增

. …………5分

①e

t t 1

20<

+<<，

t

无解； ……… 6分

②210+<<

t 1

0<

<时，

e e

f x f 1

)1()(min -

== ………………7分

③

21

+<≤t t e

,即e t 1≥时，f(x)在[t,t+2]上单调递

增，f(x)min =f(t)=tlnt ；……8分

所

以

??

???≥

<<-=e t t t e t e

x f 1

,ln 10,1

)(min (9)

分

(3)g'(x)+1=x ，所以问题等价于证明

))

,0((2

ln +∞∈->x e

e x x x x ，由(2)可知f(x)=xlnx(x ∈(0，

+∞))的最小值是e 1-，当且仅当e x 1=时取到； …………11分 设

))

,0((2

)(+∞∈-=x e e

x x m x ，则

x

e x

x m -=

1)('，易得

e

m x m 1

)1()(max

-==，当且仅当x=1时取到，从而对

一切x ∈(0，+∞)，都有e e

x g x x x 2

1)(ln -

+>成

立. ………14分