2018届广东省揭阳一中、金山中学高三第二学期联考理科数学试题及答案精品

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2018年高考广东卷理科数学试题及答案解析版精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ， a y bx =- ，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -1．（B ）．22(1)11(1)(1)iz i i i i -===-++-2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．（D ）．依题意得⊥c a ，⊥c b ，则(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b正视图图1 侧视图图24．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f xg x +是偶函数 D ．()()f xg x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f xg x +与()()f xg x -都是偶函数，()()f xg x +与()()f xg x -的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A． B ． C ．4D ．3 5．（C ）．zy =+，即y z=+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z 取得最大值，max24z == 6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．346．（D ）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A． B． C． D．7．（B ）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3则33V Sh ===8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C 若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题） 9．不等式13x x +--≥0的解集是．9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x -的展开式中，4x 的系数是（用数字作答） 10．84．72()x x x -的通项7821772()(2)r r r r r r r T xC x C x x --+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -= 11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．11．10．方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值 13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()niii nii x x y y bx x ==--++⨯===++-∑∑ ， 3a y bx =-=线性回归方程3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin xy θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．(1,5．sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =图4COPBA22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________．15由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，则△PAB ∽△ACB ，则PB ABAB BC =，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-==（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β==∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a =图5CDPAEFPF所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件）（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ=== 1123256(1),10C C P C ξ=== 22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F分别是BC ,PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面DEF ；（2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取AD 的中点H ，连接,,PH BH BD ∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=∴△ABD 是等边三角形 ∴AD HB ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PHB ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是BC ,PC 的中点 ∴EF ∥PB ，HB ∥DE∴AD DE ⊥，AD EF ⊥，DE EF E = ∴AD ⊥平面DEF（2）解：由（1）知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角易求得PH BH ==∴2227334cos 27PH HB PB PHB PH HB +--+-∠====-⋅∴二面角P AD B --的余弦值为7-19．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=（2）2MP FP MF -≤== ∴MP FP - 的最大值为2如图所示，P 必在L 直线MF 的斜率2k =-:2MF y x =-+22142x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x -+=6)0--=12x x ==∵P x >P x =，P y =∴MP FP - 的最大值为2，此时P 为(55-20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．20．（1）解：∵1122n n n nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+- ∴1211nn n n a b a b --=⋅+ ① 当2b =时，1112nn n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22nn n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b --+=+-- 当1n =时，122(2)nn a b b b +=--∴1{}2nn a b +-是以2(2)b b -为首项，2b 为公比的等比数列 ∴112()22n nn a b b b +=⋅-- ∴212(2)2(2)n n nn n n n b a b b b b b -=-=---∴(2)2n n nn n b b a b -=- 综上所述(2),02222nn nn n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且，（2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)nnn n n n b b b b b -----=-++++1221222n nnn n n n n n b a b b b ----⋅=≤=++++111211112222222n n n n n n n n b b b b+++---++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n nn nb b b b ++-≤+-，即证1(2)122n nn n n b b bb +-≤+- 即证1221112222n n n n n n n b b b bb ----+≤+++++ 即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b ----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b nb b b b ---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ---+-+++++++++ 2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ----+=++++++++n≥+= ，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =，2x =则12p p p x --=，22p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022px =∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==-∵00222p px ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴1,2p a =① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔1p a =+2p a =⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔1p a =-2p a =⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ=③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22pa -若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2px x =则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥∴12p p >∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H由（2）知200240x px q -+=，解得0x p =，①若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =++t =，则2122p t =-+，02t ≤≤∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤∴0max max 5)24(x ϕ==②若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为12p p x x --=，22p p x x +-=即01,22x x =或02xp -∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==，同理可得51(,)4p q ϕ≤≤综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。

2018届广东省揭阳市高三学业水平考试数学理(解析版)

广东省揭阳市2018届高三学业水平（期末）考试数学理一、选择题：共12题1. 已知==,则A.B.C.D.【答案】D所以=.故答案为：D. 2. 已知复数=为实数,为虚数单位)的实部与虚部相等,则A. B. C.D.【答案】B【解析】因为==的实部与虚部相等,所以,则, 所以, 则.故答案为：B. 3. 已知命题;命题若,则,下列命题为假命题的是A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为=,所以命题p 是真命题,则命题是假命题; 若,则,但是,故命题q 是假命题,命题是真命题.所以命题是假命题,均为真命题,故选C. 4. 已知==,且的夹角为,则A.B. C.D.【答案】B【解析】因为==,且的夹角为, 所以=====.故答案为：B.5. 设x,y满足约束条件,则=的最小值为A. B. C. D. 0【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由目标函数z与直线=在y轴上的截距之间的关系可知,平移直线=,当直线过点B(1,5)时,目标函数=取得最小值.故答案为：A.6. 函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是A. B.C. D.【答案】C【解析】由函数的部分图象可知,该函数是偶函数,故排除B;当时,,故排除D;当x=1时,对于A选项,=,故排除A,因此选C.7. 如图程序框图是为了求出的常用对数值,那么在空白判断框中,应该填入A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,循环结构的功能是为了求出的值,当k=99时,此时S=,不满足结果,则继续循环,当k=100时,S=,满足结果,则循环结束,所以判断框中应该填入的条件为:.故答案为：A.8. 某几何体三视图如图所示,则此几何体的体积为A. B. C. D. 704【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是:上面是底面半径为4、高是3的圆锥,下面是底面为边长为8的正方形、高是10的长方体,所以该几何体的体积V==.故答案为：C.9. 已知,则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以,所以,故A错误;又,所以,所以,所以,B正确;又,所以的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知,由幂函数的单调性可知,所以的大小关系不确定,故D错误.则答案为B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。

2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)

2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x<3}，B={y|y=√x2+3}，则A∩B=()A.(−∞, 3)B.(3, +∞)C.[√3,3)D.(−∞,√6)2. 已知复数z=(3+i)2，则|z|=()A.4B.6C.8D.103. 已知向量a→=(x, 1)，b→=(1, −2)，若a→⊥b→，则a→+b→=()A.(2, 0)B.(3, −1)C.(3, 1)D.(−1, 3)4. 一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为（）A.1 12B.16C.14D.135. 已知f(x)=sinx−cosx，实数α满足f′(α)=3f(α)，则tan2α=()A.−43B.−34C.34D.436. 与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人最后一天行走的路程为()A.3.5里B.7里C.14里D.28里7. 函数y=xln|x|的部分图象大致为（）A.B.C.8. 已知两条直线l1:x−√3y+2=0与l2:x−√3y−6=0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为（）A.5πB.4πC.3πD.2π9. 某几何体三视图如图示，则此几何体的表面积为（）A.4π+16B.2(√2+2)π+16C.4π+8D.2(√2+2)π+810. 已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段PF1的垂直平分线经过点F2，且∠PF1F2=π6，则此双曲线C的离心率为（）A.√3+1B.√3+12C.√3 D.√3+1211. 某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为（）A.60B.180C.360D.72012. 已知x0是函数f(x)=sinπx2的极值点，且满足f(2018−|x0|)<2018−|x0|，符合要求的x0的个数为（）A.2015B.2016C.2017D.2018二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）如图是一个算法流程图，若输入x的值为log23，则输出的y的值是________．已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≤1x −y ≤1 ，则3x +y 的取值范围为是________．已知数列{a n }满足√a 1+√a 2+⋯+√a n =2n+1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则316S n=________．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上的动点P （不在原点）在y 轴上的投影为E ，点E 关于直线PF 的对称点为E′，点F 关于直线PE 的对称点为F′，当|E′F′|最小时，三角形PEF 的面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知√3sinA −cos(B +C)=1，sinB +sinC =87sinA ，a =7．(Ⅰ)求角A 的值；(Ⅱ)求△ABC 的面积．如图，在三棱锥P −ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 和△PAC 都是正三角形，AC =2，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D ． (Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面PED ； (Ⅱ)求二面角E −PA −D 的正弦值．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个250元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图的条形图：记x需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． ( I)若n =19，求y 与x 的函数解析式；( II)以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率． (ⅰ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的概率不小于0.5，求n 的最小值；(ⅱ)假设n 取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？已知A 是椭圆T:x 24+y 2=1上的动点，点P(0, 12)，点C 与点A 关于原点对称．(I)求△PAC 面积的最大值；(II)若射线AP 、CP 分别与椭圆T 交于点B 、D ，且AP →=mPB →，CP →=nPD →，证明：m +n 为定值．已知a ≠0，函数f(x)=|e x −e|+e x +ax ． (I)讨论f(x)的单调性；(II)已知当a <−e 时，函数f(x)有两个零点x 1和x 2(x 1<x 2)，求证：f(x 1x 2)>a +e ．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(1)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(2)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值． [选修45：不等式选讲]已知函数f(x)=|a +1x |+|a −1x |，a 为实数． (I)当a =1时，求不等式f(x)>3的解集； (II)求f(a)的最小值．参考答案与试题解析2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出集合B的等价条件，结合交集定义进行求解即可．【解答】B={y|y=√x2+3}={y|y≥√3}，则A∩B={x|√3≤x<3}=[√3,3)，2.【答案】D【考点】复数的模【解析】根据复数的模长公式进行计算即可．【解答】z=(3+i)2=9+6i−1=8+6i，则z=8−6i，则|z|=√62+82=10，3.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据向量垂直的等价条件求出x的值，结合向量加法的坐标公式进行计算即可．【解答】∵a→=(x, 1)，b→=(1, −2)，∴a→⊥b→，则a→⋅b→=x+1×(−2)=x−2=0，则x=2，则a→=(2, 1)，则a→+b→=(3, −1)，4.【答案】A几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】分别求出水桶中水的体积及水瓢中水的体积，由测度比为体积比得答案．【解答】如图，水桶中水的体积为π×22×2=8π，水瓢所装水的体积为12×43×π×13=2π3．∴从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为2π38π=112．5.【答案】A【考点】二倍角的正切公式简单复合函数的导数【解析】可先求出f′(x)=cosx+sinx，从而可得出f′(α)=cosα+sinα，这样即可得出cosα+ sinα=3sinα−3cosα，从而求出tan2α的值．【解答】解：f′(x)=cosx+sinx；∴f′(α)=cosα+sinα；又f′(α)=3f(α)；∴cosα+sinα=3sinα−3cosα；∴2cosα=sinα；∴tanα=2；∴tan2α=2tanα1−tan2α2×2 1−22=−43．故选A.6.【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=12，S6=4(41)利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=12，S6=441，等比数列的求和公式为S n=a1(1−q n)1−q(q≠1)，则a1[1−(12)6]1−12=441，解得a1=224该人最后一天行走的路程a6=224×(12)5=7.故选B.7.【答案】C【考点】函数的图象变化利用导数研究函数的单调性【解析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可．【解答】解：函数y=xln|x|是奇函数，排除选项B，当x>0时，函数y=xlnx的导数为：y′=lnx+1，可得函数的极值点x=1e．并且x∈(0, 1e)，y′<0，函数是减函数，且y=xlnx没有零点，x∈(1e,+∞)，y′>0，函数是增函数，所以函数的图象是C．故选C.8.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据两直线平行可知圆心到l1的距离，根据垂径定理可求出圆C的半径，从而得出圆的面积．【解答】∴圆心C到直线l1的距离为d=ℎ2=2，又l1被圆C截得的弦长为2，∴圆C的半径为r=√d2+12=√5，∴圆C的面积为S=πr2=5π．9.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图还原几何体，再分别求出正方体和圆柱的表面积并求和．【解答】由三视图知，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径√2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S=5×22+2π⋅√2⋅1+2π⋅(√2)2−22=2(√2+2)π+(16)10.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】利用已知条件，以及双曲线的定义，列出方程，求解双曲线的离心率即可．【解答】不妨设点P在第一象限，依题意|PF1|=2|F1F2|cos30∘=2√3c，|F1F2|=|PF2|，又由|PF1|−|PF2|=2a，得2√3c−2c=2a，可得e=ca =√3+12．11.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步分析：①，先在4人中任选2人，从五个自动检票口中任选1个进站，②，在剩下的4个检票口中任选2个，安排剩下的2人进站，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2步分析：①，先在4人中任选2人，从五个自动检票口中任选1个进站，有C42A51=30种情况，②，在剩下的4个检票口中任选2个，安排剩下的2人进站，有A42=12种情况，则同的检票进站方式的种数为30×12=360种；12.【答案】B【考点】【解析】由正弦函数的性质可得x0=2k+1，k∈Z，根据函数图象得出2018−|x0|>1，从而求出k的范围，即x0的个数．【解答】∵x0是函数f(x)=sinπx2的极值点，∴x0=2k+1，k∈Z．作出f(x)与y=x的函数图象，如图：由图象可知当−1<x<0或x>1时，f(x)<x．∵f(2018−|x0|)<2018−|x0|，∴2018−|x0|>1，故而|x0|<2017，即|2k+1|<2017，∴−1009<k<1008，k∈Z．∴符合要求的x0的个数为1008−(−1009)−1=20(16)二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）【答案】2【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】根据程序框图得：x=log23>1，则程序执行右边的循环，所以：y=log23⋅log32+1=lg3lg2∗lg2lg3+1=2．故输出y=(2)【答案】(−∞, 3]【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．【解答】作出约束条件{y≤2x+y≤1对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z ，平移直线y =−3x +z ，由图象可知当直线y =−3x +z ，经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大．由{x +y =1x −y =1，解得即A(1, 0)，此时z max =3×1+0=3，当直线y =−3x +z ，z 没有最小值， ∴ z ∈(−∞, 3]．【答案】 4n−1+2 【考点】数列的求和【解析】根据数列的递推公式可得a n =4n ，n ≥2，再根据求和公式计算即可【解答】∵ √a 1+√a 2+⋯+√a n =2n+1，①，当n =1时，√a 1=22=4，即a 1=16，∴ √a 1+√a 2+...+√a n−1=2n ，n ≥2，②，由①-②可得√a n =2n ， ∴ a n =4n ，当n =1时，a 1=4≠16， ∴ a n ={16,n =14n ,n ≥2 ，∴ S n =16+16(1−4n−1)1−4=16+163(4n−1−1)，∴ 316S n =3+4n−1−1=4n−1+2，【答案】 √39【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】画出图形，利用三角形的边长关系，推出距离的最小值时的情形，利用角的关系，求出PF 的方程，利用直线与抛物线的交点，求解三角形的面积即可．【解答】显然|E′F′|≥|PF′|−|PE′|=|PF|−|PE|=1，即|E′F′|的最小值为1，仅当P 、E 、F 共线且点E′在P 、F′之间时取等号，此时∠E′PE =∠FPE =∠EPF′=120∘，即直线PF 的斜率为−√3（取√3也可），联立{y =−√3(x −1)y 2=4x，可得p(13, 2√33)，故三角形PEF 的面积为：12×13×2√33=√39．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】(Ⅰ)由已知及cos(B+C)=−cosA，得√3sinA+cosA=1，——————————————————————————-即2sin(A+π6)=1，得sin(A+π6)=12，———————————————————–又π6<A+π6<7π6，∴A+π6=5π6，即A=2π3；———————————————————————————————–(Ⅱ)由已知及正弦定理得b+c=8a7=8，————————————————————–由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=(b+c)2−2bc+bc=64−bc，———————————————————–解得bc=15，——————————————————————————————-∴△ABC的面积为S=12bcsinA=15√34．———————————————————–【考点】正弦定理余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知及三角函数恒等变换的应用可得sin(A+π6)=12，结合范围π6<A+π6<7π6，可求A的值．(Ⅱ)由已知及正弦定理，余弦定理可解得bc=15，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为1(Ⅰ)由已知及cos(B+C)=−cosA，得√3sinA+cosA=1，——————————————————————————-即2sin(A+π6)=1，得sin(A+π6)=12，———————————————————–又π6<A+π6<7π6，∴A+π6=5π6，即A=2π3；———————————————————————————————–(Ⅱ)由已知及正弦定理得b+c=8a7=8，————————————————————–由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=(b+c)2−2bc+bc=64−bc，———————————————————–解得bc=15，——————————————————————————————-∴△ABC的面积为S=12bcsinA=15√34．———————————————————–【答案】∴ PE ⊥平面ABC ， ∴ PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ， ∴ AB ⊥平面PED ，又EF // AB ，∴ EF ⊥平面PED ，又EF ⊂平面PEF ，∴ 平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)解∵ 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴ BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则E(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，P(0, 0, √3)， EB →=(0,√3,0)，PA →=(1,0,−√3)，AB →=(−1,√3,0)，设m →=(a,b,c)为平面PAB 的一个法向量，则由{m →∗PA →=a −√3c =0m →∗AB →=−a +√3b =0 ，取c =1，得m →=(√3,1,1)，设二面角E −PA −D 的大小为θ，则cosθ=m →∗EB→|m →|∗|EB →|=√3√5×√3=√55， ∴ sinθ=2√55，即二面角E −PA −D 的正弦值为2√55．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)由已知结合三角形中位线定理可得EF // AB ，在正三角形PAC 中，得PE ⊥AC ，再由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABC ，得到PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，由线面垂直的判定得AB ⊥平面PED ，有EF ⊥平面PED ，进一步得到平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ，可得BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面EPA 与PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −PA −D 的正弦值．【解答】∴ PE ⊥平面ABC ， ∴ PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ， ∴ AB ⊥平面PED ，又EF // AB ，∴ EF ⊥平面PED ，又EF ⊂平面PEF ，∴ 平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)解∵ 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴ BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则E(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，P(0, 0, √3)， EB →=(0,√3,0)，PA →=(1,0,−√3)，AB →=(−1,√3,0)，设m →=(a,b,c)为平面PAB 的一个法向量，则由{m →∗PA →=a −√3c =0m →∗AB →=−a +√3b =0 ，取c =1，得m →=(√3,1,1)，设二面角E −PA −D 的大小为θ，则cosθ=m →∗EB→|m →|∗|EB →|=√3√5×√3=√55， ∴ sinθ=2√55，即二面角E −PA −D 的正弦值为2√55．【答案】（1）依题意得y ={1900,x ≤19250x −2850,x >19 ，(x ∈N ∗)．—————————————— (2)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，故p(n ≤18)=p(n =16)+p(n =17)+p(n =18)=0.46，———————————— p(n ≤19)=p(n ≤18)+p(n =19)=0.46+0.24=0.70，————————————– 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为（19）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)且p(y 1=1900)=0.7，p(y 1=2150)=0.2，p(y 1=2400)=0.1，故Ey 1=1900×0.7+2150×0.2+2400×0.1=2000 （元）———————————– y 2的可能取值为：2000，22(50)且p(y 2=2000)=0.9，p(y 2=2250)=0.1，故E(y 2)=2000×0.9+2250×0.1=2025（元）———————————————— Ey 1<Ey 2，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．——————————–【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差【解析】(I)n =19，依题意能求出y 与x 的函数解析式．(Ⅱ)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，由此能求出n 的最小值．(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y 1元和y 2元，则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)y 2的可能取值为：2000，22(50)分别求出数学期望得Ey 1<Ey 2，从而购买1台机器的同时应购买19个易损零件．【解答】（1）依题意得y ={1900,x ≤19250x −2850,x >19 ，(x ∈N ∗)．—————————————— (2)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，故p(n ≤18)=p(n =16)+p(n =17)+p(n =18)=0.46，———————————— p(n ≤19)=p(n ≤18)+p(n =19)=0.46+0.24=0.70，————————————– 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为（19）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y 1元和y 2元，则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)且p(y 1=1900)=0.7，p(y 1=2150)=0.2，p(y 1=2400)=0.1，故Ey 1=1900×0.7+2150×0.2+2400×0.1=2000 （元）———————————– y 2的可能取值为：2000，22(50)且p(y 2=2000)=0.9，p(y 2=2250)=0.1，故E(y 2)=2000×0.9+2250×0.1=2025（元）———————————————— Ey 1<Ey 2，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．——————————–【答案】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)，则S △PAC =12|OP|⋅2|x 1|=12|x 1|， ∵ 点A 在椭圆T:x 24+y 2=1上，∴ |x 1|≤2，∴ S △PAC =12|x 1|≤1（当且仅当x 1=±2时等号成立） ∴ △PAC 面积的最大值为1；(Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1y =kx +12 ，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0，设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得{x 1+x 2=−4k1+4k 2x 1x 2=−31+4k2，而由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，x 2=−x1m ，代入①、②，得{(1−1m )=−4k1+4k 2−x 12m =−31+4k 2 ，两式相除，得k =3(1−m)4x 1，代入④，整理得9m 2−30m +4x 12+9=0；对于射线CP ，同样的方法可得9n 2−30n +4x 12+9=0，故m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为y =kx +12，x 22设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得x 1x 2=−31+4k 2，又k =y 1−12x 1，代入上式得x 2=−3x1x 12+4(y 1−12)2，由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，∴ m =−x1x 2=x 12+4(y 1+12)23对于射线CP ，同样的方法可得n =x 12+4(y 1+12)23，∴ m +n =2(x 12+4y 22)+23=103．当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．【考点】圆锥曲线【解析】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)，表示出△PAC 面积，即可求出最大值， (Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，根据根与系数的关系可得m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为y =kx +12，根据根与系数的关系，求出m ，n ，即可求出m +n 的值．【解答】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)，则S △PAC =12|OP|⋅2|x 1|=12|x 1|， ∵ 点A 在椭圆T:x 24+y 2=1上，∴ |x 1|≤2，∴ S △PAC =12|x 1|≤1（当且仅当x 1=±2时等号成立） ∴ △PAC 面积的最大值为1；(Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0，设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得{x 1+x 2=−4k1+4k 2x 1x 2=−31+4k2，而由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，x 2=−x1m ，代入①、②，得{(1−1m )=−4k1+4k −x 12m=−31+4k，两式相除，得k =3(1−m)4x 1，代入④，整理得9m 2−30m +4x 12+9=0；对于射线CP ，同样的方法可得9n 2−30n +4x 12+9=0，故m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1y =kx +12，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0，设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得x 1x 2=−31+4k 2，又k =y 1−12x 1，代入上式得x 2=−3x1x 12+4(y 1−12)2，由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，∴ m =−x1x 2=x 12+4(y 1+12)23对于射线CP ，同样的方法可得n =x 12+4(y 1+12)23，∴ m +n =2(x 12+4y 22)+23=103．当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．【答案】（1）f(x)=|e x −e|+e x +ax ={ax +e,x <12e x+ax −e,x ≥1 ， f′(x)={a,x <12e x +a,x ≥1，①若a >0，显然f′(x)>0恒成立，f(x)在R 上单调递增；———————–②若−2e ≤a <0，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，f′(x)=2e x +a ≥0，故f(x)在(−∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；—————————————- ③若a <−2e ，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，由2e x +a <0，得1≤x <ln(−a 2)，由2e x +a >0，得x >ln(−a2)，故f(x)在（−∞, ln(−a 2)）上单调递减，在(ln(−a2)，+∞)上单调递增；—————– （2）证法1：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- ∴ a =e−2e x 2x 2，x 1=−ea =ex22e x 2−e ，于是x 1x 2=ex 222e x 2−e，————————-令g(x)=ex 22e −e，(x >1)则g′(x)=2ex(2e x −e−xe x )(2e x −e)2，—————————-记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1，则ℎ′(x)=e x −xe x <0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，故g′(x)<0，即函数 g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=1，∴ x 1x 2<1，—————————————————————————————- 又f(x)在(−∞, 1)上单调递减，∴ f(x 1x 2)>a +e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−证法2：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- 要证明f(x 1x 2)>a +e ，只需证x 1x 2<1，即证x 1<1x 2，————————–注意到x 1、1x 2∈(−∞, 1)，且f(x)在(−∞, 1)上单调递减，故只需证f(x 1)>f(1x 2)，即证f(1x 2)<0，————————————–而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，g′(x)=−2e x +2ex ，记ℎ(x)=g′(x)=−2e x +2ex ，x ∈(1, +∞)，则ℎ′(x)=−2e x +2e <0，故ℎ(x)即g′(x)单调递减，g′(x)<g′(1)=0，————————————-于是f(1x 2)<0成立，原题得证．———————————————————-】【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)法一：表示出a ，得到x 1x 2=ex 222e x 2−e，令g(x)=ex 22e x −e，(x >1)，求出函数的导数，记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1，根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证x 1<1x 2，即证f(1x 2)<0，而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）f(x)=|e x −e|+e x +ax ={ax +e,x <12e x+ax −e,x ≥1 ， f′(x)={a,x <12e x +a,x ≥1，①若a >0，显然f′(x)>0恒成立，f(x)在R 上单调递增；———————–②若−2e ≤a <0，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，f′(x)=2e x +a ≥0，故f(x)在(−∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；—————————————- ③若a <−2e ，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，由2e x +a <0，得1≤x <ln(−a 2)，由2e x +a >0，得x >ln(−a2)，故f(x)在（−∞, ln(−a 2)）上单调递减，在(ln(−a2)，+∞)上单调递增；—————– （2）证法1：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- ∴ a =e−2e x 2x 2，x 1=−ea =ex22e x 2−e ，于是x 1x 2=ex 222e x 2−e，————————-令g(x)=ex 22e x −e，(x >1)则g′(x)=2ex(2e x −e−xe x )(2e x −e)2，—————————-记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1，则ℎ′(x)=e x −xe x <0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，故g′(x)<0，即函数 g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=1，∴ x 1x 2<1，—————————————————————————————- 又f(x)在(−∞, 1)上单调递减，∴ f(x 1x 2)>a +e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−证法2：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—-注意到x 1、1x 2∈(−∞, 1)，且f(x)在(−∞, 1)上单调递减，故只需证f(x 1)>f(1x 2)，即证f(1x 2)<0，————————————–而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，g′(x)=−2e x +2ex ，记ℎ(x)=g′(x)=−2e x +2ex ，x ∈(1, +∞)，则ℎ′(x)=−2e x +2e <0，故ℎ(x)即g′(x)单调递减，g′(x)<g′(1)=0，————————————- 故g(x)单调递减，g(x)<g(1)=0，于是f(1x 2)<0成立，原题得证．———————————————————-】请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt （t 为参数），转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)；直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），转换为：直线l 2的普通方程为y =x+2k，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4；化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4.(2)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4，得ρ2(1+3×14)=4， ∴ ρ2=167，故得ρA =√7 由已知|OB|=√7|OA|得ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρB =4代入直线l 3的方程l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0，得sin(π6+φ)=√22，又∵ 0<φ<π2， ∴ π6<π6+φ<2π3，∴ π6+φ=π4， π【考点】直线的参数方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用极坐标方程和三角函数的恒等变换求出结果．【解答】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt（t 为参数），转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)；直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），转换为：直线l 2的普通方程为y =x+2k ，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4；化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4.(2)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4，得ρ2(1+3×14)=4，∴ ρ2=167，故得ρA =√7 由已知|OB|=√7|OA|得ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρB =4代入直线l 3的方程l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0，得sin(π6+φ)=√22，又∵ 0<φ<π2， ∴ π6<π6+φ<2π3， ∴ π6+φ=π4，解得：φ=π12．[选修45：不等式选讲]【答案】(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)>3，即f(x)=|x+1|+|x−1||x|>3，—————①当x <−1时，得f(x)=2>3，无解；——————————————————– ②当−1≤x ≤1时，得f(x)=2|x|>3，解得|x|<23，得−23<x <0或0<x <23；———————————————————————③当x >1时，得f(x)=2>3，无解；———————————————————- 综上知，不等式的解集为(−23, 0)∪(0, 23)．—————————————————- (Ⅱ)f(a)=|a 2+1|+|a 2−1||a|=a 2+1+|a 2−1||a|，——————————————— ①当a <−1或a >1时，f(a)=2a 2|a|=2|a|>2，—————————————— ②当−1≤a ≤1时，f(a)=2|a|≥2，———————————————————–综上知，f(a)的最小值为（2）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出f(a)的表达式，通过讨论a 的范围，结合不等式的性质求出f(a)的最小值即可．【解答】(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)>3，即f(x)=|x+1|+|x−1||x|>3，—————①当x <−1时，得f(x)=2>3，无解；——————————————————– ②当−1≤x ≤1时，得f(x)=2|x|>3，解得|x|<23，得−23<x <0或0<x <23；———————————————————————③当x >1时，得f(x)=2>3，无解；———————————————————- 综上知，不等式的解集为(−23, 0)∪(0, 23)．—————————————————- (Ⅱ)f(a)=|a 2+1|+|a 2−1||a|=a 2+1+|a 2−1||a|，——————————————— ①当a <−1或a >1时，f(a)=2a 2|a|=2|a|>2，—————————————— ②当−1≤a ≤1时，f(a)=2|a|≥2，———————————————————–综上知，f(a)的最小值为（2）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−。

广东省揭阳市2018年高三高考第二次模拟考试理科数学试题(解析版)

揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先由题意求得集合A,B，然后结合所给的选项逐一考查其真假即可，需注意集合运算的准确性.详解：求解函数的定义域可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，，，，结合选项可知只有选项B正确.本题选择B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合的交并运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：首先求得复数z，然后求解器共轭复数，随后确定共轭复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则，即的共轭复数对应的点为，位于第一象限.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用向量的坐标表示方法写出的坐标表示，然后结合选项逐一考查其是否正确即可.详解：由题意可设，则：，考查所给的选项：，选项A错误；，故，选项B错误；，故，即，选项C正确；不存在实数满足，则不成立，选项D错误.本题选择C选项.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的垂直、平行的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知直线、，平面、、，下列命题正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】分析：由题意利用线面关系的判定定理和性质定理逐一考查所给命题是否正确即可，注意定理运用的准确性.详解：逐一考查所给的选项：A.若，，，则，该说法正确；B.若，，，在三棱锥中，令平面分别为平面，交线为，不满足，该说法错误；C.若，，有可能，不满足，该说法错误；D.若，，，正方体中，取平面为平面,直线为，满足，不满足，该说法错误.本题选择A选项.点睛：本题主要考查线面关系相关命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：圆的方程整理为标准方程即：，作于点，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中，则，即圆心到直线的距离为，据此可得：，即，解得：或.本题选择D选项.点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知的展开式中常数项为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：展开式的通项公式为：，令可得：，结合题意可得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（）A. 或B.C.D. 或【答案】C【解析】分析：首先由函数的周期求得的值，然后结合函数的对称中心求得的值即可，注意合理应用题中所给的的范围.详解：由题意可得函数的周期，则，当时，，则，令可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数图像的性质，三角函数解析式的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 在如图的程序框图中，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先确定该流程图的功能，然后结合选项考查所给的数值是否满足流程图的输出即可.详解：由流程图可知该流程图输出大于的最小正整数，且满足，观察选项：不是3的倍数，选项C错误；，，，而，，选项AB错误；，，则53满足题意.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 已知双曲线的焦距为，、是其左、右焦点，点在双曲线右支上，的周长为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合焦点三角形的性质求得左焦半径的表达形式，结合双曲线的性质和题意求解的取值范围即可.详解：设，由双曲线的定义可得：，①由题意可得：，②联立①②可得：，在双曲线中：，则：，即的取值范围是.本题选择C选项.点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．10. 如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为2的正方体截去两个角所得的组合体,其直观图如下图所示:故组合体的体积.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11. 过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先求得抛物线的斜率，然后结合直线垂直的充要条件得到横坐标的关系，最后利用均值不等式求解最值即可，注意等号成立的条件.详解：抛物线的方程即：，则，设，则过A,B两点切线的斜率为：，由题意可得：，由题意可知抛物线的直线方程为，则线段的中点到抛物线准线的距离为：，当且仅当时等号成立.据此可得线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为1.本题选择B选项.点睛：本题的实质是在考查基本不等式求最值.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12. 把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线右移一个单位，得，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：，求解不等式组可得：.即的取值范围是。

广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学试题(名师解析)

揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先用复数除法运算化简，由此求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为.所以选C.【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.2.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合的取值范围，然后求两个集合的交集.【详解】对于集合,由得，解得，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.3.已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两边平分的方法判断命题是真命题，利用线面平行的性质判断命题是假命题，由此选出正确的选项. 【详解】对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于基础题.4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.5.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.6.若满足约束条件，则的最小值为( )A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.7.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用对数运算比较的大小，同理利用对数运算比较的大小，由此得到大小关系.【详解】由于，即.由于，即.所以，故选A.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查比较大小的方法，属于属于基础题.8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y 得，得, 则,故 .故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P ，设点P 在x 轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值.【详解】依题意得，即..故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为，由此得，，故．【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.12.如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为( )A. B. C. 5 D.【答案】C【解析】【分析】易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的系数为_______；【答案】224【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.14.若向量、不共线，且，则_______；【答案】3【解析】【分析】先利用，求出的值，再求的值.【详解】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意.故.所以.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量相互垂直，则它们的数量积为零.数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即.另一种是用坐标来表示，即.15.已知函数，若，则实数的取值范围是_________；【答案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式求得的取值范围.【详解】因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.16.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简，由此求得函数的最小正周期，根据及函数的周期性，求得表达式的值.【详解】依题意可得,其最小正周期,且故【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值.两角和与差的正弦、余弦公式是有差别的，要记忆准确，不能记混.在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给已知条件，找到周期，再根据周期性来求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.【详解】解：（1）当时，，由得（），两式相减得，又，∴（），又，∴（），显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴，又∴．【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列18.如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴ BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴ BO⊥平面PAC，∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴ PC⊥平面BOH；（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，，，∴ ，，，，，，，设平面ABH的法向量为，则，∴，取x=2，得，由（1）知是平面BHO的法向量，易知，设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，则，∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题. 19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．【答案】（1）（2）（i）应选择培训方式一（ii）【解析】【分析】（1）甲组人中有人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2）可能取值有，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.的所有可能取值为，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”【详解】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为；（2）（i）的分布列为，的分布列为，∵，∴公司应选培训方式一；（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.20.已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.【详解】解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线-① 则-②将①代入椭圆方程并整理得，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.21.已知函数（，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求k的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）．①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设（），则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，[或]的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴∵∴，∴，△OAB的面积的最小值为16，此时，得，∴．【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，，设，则，恒成立，只需，即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

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由△BDE是等腰直角三角形得
----③--------12分
∴或-----④-----------------------------------------------------------------------13分
∵方程④的根判别式，即方程④有两个不相等的实根，且不为1
∴方程③有三个互不相等的实根
∵
∴------------------------------ 4分
∴点的轨迹c是以为焦点，长轴长为4的椭圆------------5分
∴∴--------------------------6分
∴动点的轨迹c的方程为------------------7分]
(2)由（1）知，轨迹c是椭圆，点是它的上顶点，
（或
)-------10分
∴的分布列如右
---------------------------------12分
18解(1)设数列的差为（）数列的比为，
则------------------1分
依题意得，
由此得∵,解得----------------------5分
∴，----------------------------------------------6分
则= ------ 4分
∴动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆-----------------5分
由∴----------------------------- 6分
∴动点的轨迹c的方程为---------------------------------7分
[解法２设点，
则------------------------2分
（2）由及正弦定理得，------------7分

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