刚体运动学、转动惯量、定轴转动资料
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
§7.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量
2 a 2 h / t 自由落体公式：
r
I+I0
T m
T
mg
联系方程： a / r 2h / (rt 2 )
解得：
2 gt I mr 2 ( 1) I 0 2h
例3 已知：弧形闸门 例3 ， R，m， rc 2 3 R o(z) 2 Io 7 9 mR ，a 0.1g，
I x 2 dm x 2 dx
1 3 x 3
l 2 l 2
l 2 l 2
l/2 O
l/2 x dx
x
l3 12
m l3 m 1 将 代入, I ml 2 l 12 l 12
例2 均匀细棒绕垂直于通过左端点转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
i i
I x mi yi2
i
I y mi xi2
i
因此， I
z
Ix Iy
特例：薄圆板 Ix =Iy=mR2/4
6、性质
转动惯量具有可加性 刚体对某轴的转动惯量
各个部分对转轴转动惯量的和
=
例
o l r
Io I杆o I盘o
1 I 杆o m l l 2 3 1 I 盘o mr r 2 mr (r l ) 2 2
T1
x T2 m2 a2 N
[解]建立坐标系，令 x 轴坚直向上， m1 取逆时针方向为正的转动方向。 a1
m1 g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2
1 T1 R T2 R mR 2 2
T1
T2
mg
例1
a1 a2 R 由于绳子不可伸长且不打滑 ，
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系
第五章 刚体力学基础 动量矩
§5-3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元 取 ∆mi,其动能为 其动能为
ω
O
z
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆miri ω 2 2
刚体的总动能
r ri
r vi
P
• ∆mi
1 1 2 2 2 1 Ek = ∑Eki = ∑ ∆mi ri ω = ∑∆mi ri ω2 = Jω2 2 2 2
第五章 刚体力学基础 动量矩
m1g
m2g
五式联立，可解 五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β
2012-4-16 11
总结
力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
v F =0
v v F = ma
静止 匀速直线
M = Jβ
M = 0 静止 匀角速转动
J—转动时惯性大小的量度 转动时惯性大小的量度 力矩的持续作用规律： 力矩的持续作用规律： 空间： 空间： 时间： 时间：
(2) M、J、β必须对同一转轴定义。 必须对同一转轴定义。 、 、 必须对同一转轴定义 (3) M 正比于 β ，力矩越大，刚体的 β 越大 。 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。
M (5) 与牛顿定律比较： → F, J → m, β → a 与牛顿定律比较：
14
讨论
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。
θ2 θ2
1
(2) 合力矩的功
A= ∫
θ1
∑Midθ = ∑∫θ i i
Midθ = ∑Ai
刚体定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量•转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量1、转动惯量定义：说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。
2、转动惯量的计算：①质量不连续分布情况：其中：表示质点对转轴的距离。
②质量连续分布的情况：3、平行轴定理若两轴平行，距离为d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为,则刚体对一轴转动惯量为：证明：如右图示，刚体的二轴分别为z和轴，由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。
4、垂直轴定理：（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度）即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。
证明：如右图所示，则：∴注意：垂直轴定理适用条件：x、y、z轴过同一点，且互相垂直，z轴垂直于板面x、y轴在板面内。
例1：均质杆长l，质量为m，求对过杆一端点的转动惯量。
解：由平行轴定理：例2：求一薄板质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量I。
解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）：解法二：由垂直轴定理：又∵∴二、刚体定轴转动的动力学方程——对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为z轴）的角动量：应用质点系对Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中为外力对Z轴的力矩；为刚体的角加速度在Z轴上的投影，可正可负。
三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量以质量相等的两质点m，中间以一轻连杆组成刚体，绕Z轴转动为例，如图示：设，杆与水平方向成α角，求此刚体对轴上任一点O的角动量。
∵∴若Z轴过杆的中点，即：，则有：上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量不一定沿转轴方向（或方向）。
四、刚体的重心1、定义：刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作重心。
2、重心的位置与质心有何关系：如果刚体的形状不是特别大，保证各处的是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点o的力矩：∴一般有，且与不平行，故有：∴即：重心和质心重合。
刚体定轴转动定律 转动惯量
5
三、力矩
用来反映力对刚体产生转
动效应的物理量．
M F r sin F d
d : 力臂
z
M
r
Od
其中： r 是力的作用点到轴的垂直距离。
F
P*
6
讨论
（1）若力矢量不在转 动平面内. F Fz F
其中 F z对转轴的力矩为零
M z rF sin
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 （3）刚体内力矩之和等于零
刚体力学
一、刚体（rigid body）的概念 二、刚体的运动形式 三、刚体的力矩 四、刚体定轴转动定律
1
一. 刚体（rigid body）的概念
受力的作用时，其大小和形状都不发生变化的物 体------刚体
说明：（1）刚体是理想模型。
（2）特殊的质点系，其上各质点间的距离保持不变 。
二 . 刚体的运动形式
▲ 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动
整个刚体绕过该定点的某 一瞬时轴线转动。
4
3.一般运动： 刚体不受任何限制的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：
▲ 随基点O（可任选）的平动
▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
例如：
· O 或
O
· · · O
O
两种分解，基点选取不同， 平动可以不同，转动却相同， 转动与基点的选取无关。
1.平动（translation）：连接刚体内任意两点的直 线在运动各个时刻的位置都彼此平行。
刚体做平动时，可用质心 或其上任何一点的运动来代 表整体的运动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
3
2.转动（rotation）：
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和
刚体定轴转动
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
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一、刚体、刚体的运动 二、定轴转动（回忆角量系统） 三、 刚体定轴转动时角动量的形式 四、转动惯量
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
一、刚体、刚体的运动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物 体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式：平动(Translation )、转动( rotation)
任一质点运动,,均相同，但 v,a不同；
3） 运动描述仅需一维（类似质点的直线运动）
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
刚体定轴转动（类
似质点的直线运动只需一维
坐标 来描述） 方向始终平行于转轴，
z
可以用角速度ω的正负来表示
具体的方向
>0
方向也始终平行于转轴，
可以用ß的正负来表示ω是变
>0
大还是变小。
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
讨论1 对同轴的转动惯量具有可加减性。
同轴圆柱
r1o r2
m2 m1
Jz J2 J1
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度 0t5π6 π64πras d 1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0 .2 4 π m s 2 2 .5 m s 2
该点的切向加速度和法向加速度
a tr0 .2 (6 π) 0 .10 m s 5 2
a n r2 0 .2 ( 4 π 2 ) 3 .6 ( m 1 s 2 )
d
dt
d
dt
d2
d2t
v re t
an
a
r
et
at v
at r an r 2
a re t r2 e n
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
单个质点的转动惯量
n
质点系的转动惯量 J (miri2)
i1
质量连续分布的
刚体的转动惯量
J r2dm m
z
转动
平面
o ri
vi
mi
国际单位制中转动惯量的单 位为千克·米2（kg·m2）
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
J r2dm
积分元选取：
dl
dm dS
线密 ,度 线： 元 dl ： dm
L iom iri2
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
在轴上确定正方向，角速度ω表示为代数量，则定义质点对
z 轴的角动量（即质点对参考点o的角动量在z轴上的投影）
为: L izL iom iri2
z
刚体对 z 轴的总角动量为：
转动 平面
L z L izr i2 m i r i2 m i
解 （1）05πrads1, t = 30 s 时，0.
设 t = 0 s时 ， 0 0 0 .飞0 轮5 做π匀 减π 速r运a动s d 2
t
30 6
飞轮 30 s 内转过的角度
22 02 2 ((5 π π)2 6)75 πrad
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
转过的圈数 N 75π37.5r
➢ 平动：若刚体中所有点的运 动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平 行于它们的初始位置间的连线
刚体平动 质点运动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
➢ 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
刚体的一般运动
A
C
o
A
C
o
AB
C o
B
B
o o轮子的平动
加
B
C
A
B
o
C
A
绕过o 轴的转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
+ 刚体的一般运动= 质心的平动 绕质心的转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
二、刚体的定轴转动(Fixed-axis rotation)
角量系统
角坐标 (t)
约定
r r 沿沿逆顺时时针 针方 方向 向转 转动动
dm
面密 ,度 面： 元 dS ：
dV 体密 ,度 体： 元 dV ： dm
注意
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
<0
z
<0
>0 <0
d
dt
d
dt
d2
dt2
（其中 、ω、ß都为
代数量，有正负）
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
质点直线运动或刚体平动
刚体的定轴转动
位移 速度
角位移 角速度
加速度
角加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
注意 定轴转动时，角量与线量的关系式
> <
0 0
角位移
(tt)(t)
角速度矢量
limd
t t0 dt 方向: 右手螺旋方向
参考平面
z (t)
x
参考轴
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
角加速度
d
加速转动 方向一dt致
减速转动 方向相反
角量 角速度 v r 线量
r
速度
v
角加速度
加速度
定轴转动的特点
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
i
i
i
对质量连续分布的刚体：
v or
dm
L zd L zr2d m r2 d m
令
J ri2mi
iJ rΒιβλιοθήκη dm刚体对 z 轴的总角动量为: （即质点对轴上某参考点o
的角动量在z轴上的投影）
Lz J
转动惯量J
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
四、新概念：转动惯量(Moment of inertia ) 转动惯量：对某一转轴的转动惯量等于每个质元的 质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
三、定轴转动刚体的角动量
转轴 z，角速度
刚体上任一质点 m i
转轴与其转动平面交点 O
m绕i 圆O周运动半径为 r i
m
i对
O的角动量：
L i o ri m ivi
z
转动
平面
o ri
vi
mi
即：
L io 方 大向 小 L io ： ： rim iv 沿 i m iri2