鲁教版九年级数学上册 二次函数

二次函数

一、课题：二次函数

二、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实

根分布条件；能求二次函数的区间最值．

三、教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．

四、教学过程：

（一）主要知识：

1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．

2．二次函数的图象及性质；

3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．

（二）主要方法：

1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上

的单调性；

2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函

数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．

（三）例题分析：

例1．函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ A ） ()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <

分析：对称轴2b x =-，∵函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数，∴对称轴2

b x =-在区间[0,)+∞的左边，即02

b -≤，得0b ≥． 例2

．已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解

析式．

解：∵二次函数的对称轴为x =

2()(f x a x b =+，又∵()f x 截x

轴上的弦长为4，∴()f x

过点(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，

∴4021a b a b +=??+=-?， 122

a b ?=???=-?，

∴21()(22

f x x =-． 例3．已知函数21sin sin 42

a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题．

解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，

∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2

a t =， （1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24

y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）． （2）当12

a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 111242y a a =-+-+=，得103

a =．

（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24

a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减， 由max 111242

y a a =---+=，得2a =-（舍去）． 综上可得：a 的值为2a =-或103

a =． 例4． 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围． 解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x

则120x x ≤或1212

000x x x x ?≥??>??+>?

，得94a ≤≤． 解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020

f a >??--?->???≥??

，得94a ≤． 例5．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数

2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，

（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；

（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．

解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．

（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ?=--=-+>对b R ∈恒成立，

∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．

（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++，

设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，

∴211212a b a a a

=-=-≥++12(01)a a a =<<

，即2a =时等号成立， ∴b

的最小值为-

（四）巩固练习：

1．若函数2(2)3([,]y x a x x a b =+++∈的图象关于1x =对称则b = 6 ．

2．二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与 2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．

3．m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．