南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1课件
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概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
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123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
概率统计大数定律与中心极限定理课件
在样本量较大时，利 用大数定律证明统计 量的收敛性和稳定性 。
在样本量较大时，利 用大数定律提高估计 的准确性。
03
中心极限定理
棣莫弗-拉普拉斯定理
棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的一种特殊形式，它描 述了当试验次数趋于无穷时，二项分布的累积分布函数收敛 于正态分布。
棣莫弗-拉普拉斯定理指出，当试验次数n足够大时，二项分 布B(n,p)的累积分布函数近似于正态分布N(np, np(1-p))，其 中p是成功概率。这个定理在概率论和统计学中有着广泛的应 用，因为它提供了二项分布和正态分布之间的联系。
THANKS
感谢观看
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学、金融、社会学等领域有着广 泛的应用，它帮助我们理解大量数据的分布规律和预 测未来的趋势。
中心极限定理的应用非常广泛。在统计学中，它用于 分析样本数据并推断总体特征，如计算置信区间和假 设检验。在金融领域，中心极限定理用于分析股票价 格、收益率等金融数据的分布，从而进行风险评估和 投资决策。在社会学中，中心极限定理用于研究人口 普查、选举投票等数据的分布规律，以了解社会现象 和预测未来趋势。此外，中心极限定理还在许多其他 领域中有着广泛的应用。
离散型随机变量
离散型随机变量的取值是 离散的，其概率分布可以 用概率质量函数或概率函 数表示。
连续型随机变量
连续型随机变量的取值是 连续的，其概率分布可以 用概率密度函数表示。
02
大数定律
弱大数定律
弱大数定律定义
在独立同分布的随机试验中，随 着试验次数的增加，样本均值的
期望值趋近于总体均值。
弱大数定律的证明
的结论。
区别
大数定律主要研究随机变量的平均值的稳定性，即当随机变量的数量趋于无穷大时，它们的 平均值将趋近于某个常数。而中心极限定理则研究随机变量和的分布特性，即当独立同分布 的随机变量数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
概率论教学课件第五章5.3中心极限定理
DX
(20 3) (20 3)
2(20 3) 1 0.997
(20 3) 0.9985, 查表：20 3 2.97,因此=0.086.
故所求误差范围为0.086，0.086.
10
中心极限定理之所以重要的第一原因： 在理论上非常深刻，以至于被说成是概率论 中的第一定理．
*例5.7 设Xn , n 1 独立同分布的r.v.
n
n
)
6
当n充分大时,
n
~ Xi n 近似地
Yn i1 n
N(0, 1)
~ n
近似地
X Xi nYn n
N (n, n 2 )
i 1
7
补充例题：
为计算简便记，在进行加法运算时，对每个加数 都四舍五入取到百分位，其各加数的舍入误差可以认 为服从区间 0.5102, 0.5102 上的均匀分布,且相 互独立。现有100个数相加，求 0 使得误差总和
解 每次试验成功(病人痊愈)的概率为 0.25，用X表示100个病人中痊愈的人数，则
X ~ B100, 0.25 .
于是
27
PX
35
P
X
EX DX
35 25 25 0.75
1 2.31 1 0.9896 0.0104.
可见，如果新药完全无效，要想通过试验 被认为有效的概率是微乎其微的．
为极限分布.
~ 分
大
实际应 ,即 有
用 中 ,若 随 机
n np 近似地
npq
变 量 n
N (0,1)
~ B(n, p) ,只 要 n 充
近似地
, n ~ N np, npq .
P{a
n
b}
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
分别就是该分布的数学期望和方差，
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
ppt课件
16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
ppt课件
8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
ppt课件
3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
ppt课件
4
方差的概念
ppt课件
10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
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16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
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8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
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3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
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4
方差的概念
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10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
13
常见连续型分布的数学期望 (5) 区间(a,b)上的均匀分布
随机变量X的概率密度为
于是
14
(6)正态分布N(μ,σ2 ) 随机变量X的概率密度为
( y )
则
E ( Z ) E ( g ( X 1 , , X n ))
j1 jn
g( x
j1
, , x jn ) p j1 jn
23
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f ( x1 , , xn ) Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
20
一种方法是，因为g(X)也是随机 变量，故应有概率分布，它的分布 可以由已知的X的分布求出. 一旦我
们知道了g(X)的分布，就可以按照 数学期望的定义把E[g(X)]计算出来.
21
使用上述方法必须先求出随机变量 函数g(X)的分布，有时是比较复杂的 .
那么是否可以不先求出g(X)的分布而 只根据X的分布直接求得E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
np C p (1 p)
k 0 k n 1 k
n 1
( n 1)k
np
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式 两边同时对x求导数得到。
| x| 发散 但 | x | f ( x)dx dx 2 (1 x )
南京大学统计学课件 ch4概率分布与中央极限定理1
4-26
第一节概率随机变量与概率分布第二节正态分布与标准正态分布第三节中央极限定理42离散型随机变量二项分布卜瓦松分布泊松分布多项分配卡方分布连续型随机变量正态分布分布43曲线的位置形态的高低宽窄由其平均数与标准差来决定个标准差之间都有一定比例的面积44正态分布曲线图45三个不同的正态分布曲线图46正态分布曲线面积分布47正态曲线下的概率分布钟形曲线涵盖面积定为100对称性曲线尾端趋近于于x轴以及平均数到k个标准差的区间有一定比例的面积平均数为0标准差为标准正态分布仅有一个49196410296411115412165165115065196196115215225300413与各自班上的同学相比谁考得比较好呢
甲生的成绩要比93.32%学生的成绩 学生的成绩 甲生的成绩要比 来得高， 来得高，而乙生的成绩则仅超过 15.87%的学生 。 的学生
4-15
如果某市女性平均身高为1.5米 标准差 米 如果某市女性平均身高为 米，标准差0.2米
p (1.3 < x < 1.5) p (1.5 < x < 1.8) p (1.8 < x < 2) p (1.2 < x < 1.3) p (x < 1.2) p (x > 2)
4-3
正态分布曲线图
4-4
三个不同的正态分布曲线图
4-5
正态分布曲线面积分布
4-6
正态曲线下的概率分布
x ±1s.d. − 68.3% x ± 2s.d. − 95.4%
x ± 3s.d. − 99.7%
4-7
标准正态分布
标准正态分 标准正态分布的特质
钟形曲线，涵盖面积定为 钟形曲线，涵盖面积定为100%，对称性，曲线 ，对称性， 尾端趋近於于X 以及平均数到k 尾端趋近於于 轴，以及平均数到 个标准差的 区间有一定比例的面积 平均数为 0，标准差为 1 ， 标准正态分布是由 z 分数所组成 标准正态分布仅有一个
大学课件-概率论之大数定律和中心极限定理
若D(X)存在，则对任意常数 >0，有
P( | X E( X ) | ) D( X ) 2
证明：用 (X E(X ))2将马尔科夫不等式中的X替代，
用 2代替
P(( X
E(X
))2
2)
E(X
E(X
2
))2
P(|
X
E(X
)
|
)
D( X
2
)
定理5.1.1 （切比雪夫弱大数定律）
证明：由X1, X 2, ，的独立性有
X
，
i
由511或512都可推得： lim P(| vn p | ) 0
n
n
例 设1,2 , ,n为一个相互独立的随机变量
序列，其中
P(n
2n )
1 22n1
,
P(n
2n )
1 22n1
,
P(n
0)
1
1 22 n
(n 1, 2,3,.....)
证明：序列{n}服从大数定理。
证：1,2 , ,n为一个相互独立的随机变量序列
D( Xk )
k 1
则称X1, X 2 , X n 服从中心极限定理
定理5.2.1 林德伯格—莱维中心极限定理
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数
学期望为, 方差为 2>0，则{Xn}服从中心极
限定理，即
lim
n
P
1
n (X1 X2
Xn
n)
x
1
x t2
e 2 dt
2
说明：和函数 Yn=X1+X2+…+Xn
P(t1
vn
t2 )
P
概率论与数理统计课件：极限定理
n
n
n k 1
1 n
P
即 X k
n k 1
极限定理
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1 n
1 n
1 n
证： E ( X k ) E ( X k )
n k 1
n k 1
n k 1
1 n
1
D( X k ) 2
n k 1
n
n
1
1 2
2
D ( X k ) 2 n
极限定理
第一节 大数定律
第二节 中心极限定理
极限定理
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第一节 大数定律
一、问题的背景
二、随机变量序列的收敛性
三、常用的大数定律
极限定理
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§5.1
大数定律
5.1.1 问题的背景
在实践中，人们发现，在随机现象的大量重复
出现中，往往呈现出必然的规律性. 即，要从随机现
象中去寻求规律，应该在相同的条件下观察大量重
就会得到
σ= −
~ ,
即独立同分布随机变量的算术平均近似地服从正态
分布，这是大样本统计推断的理论基础。
极限定理
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例2 已知某高校的在校学生数服从泊松分布，期望
为100.现开设一门公共选修课，按规定，选课人数超过
120人（含120人）就需分两个班授课，否则就一个班上
=1−
24
=0.0228
24
= 0.9772 = 2
∴ =12
84 − 72
60 − 72
60 ≤ ≤ 84 =
n
n k 1
1 n
P
即 X k
n k 1
极限定理
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1 n
1 n
1 n
证： E ( X k ) E ( X k )
n k 1
n k 1
n k 1
1 n
1
D( X k ) 2
n k 1
n
n
1
1 2
2
D ( X k ) 2 n
极限定理
第一节 大数定律
第二节 中心极限定理
极限定理
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第一节 大数定律
一、问题的背景
二、随机变量序列的收敛性
三、常用的大数定律
极限定理
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§5.1
大数定律
5.1.1 问题的背景
在实践中，人们发现，在随机现象的大量重复
出现中，往往呈现出必然的规律性. 即，要从随机现
象中去寻求规律，应该在相同的条件下观察大量重
就会得到
σ= −
~ ,
即独立同分布随机变量的算术平均近似地服从正态
分布，这是大样本统计推断的理论基础。
极限定理
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例2 已知某高校的在校学生数服从泊松分布，期望
为100.现开设一门公共选修课，按规定，选课人数超过
120人（含120人）就需分两个班授课，否则就一个班上
=1−
24
=0.0228
24
= 0.9772 = 2
∴ =12
84 − 72
60 − 72
60 ≤ ≤ 84 =
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面积 • 平均数为 0，标准差为 1
• 标准正态分布是由 z 分数所组成
• 标准正态分布仅有一个
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
8
以标准正态分布表求概率
• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +1.00 ▪ -1.00 ▪ -1.65 ▪ +1.96
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
率分布受到“自由度”（degree of freedom）的影响
• t 分布通常适用于小样本 （< 120）
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18
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
19
第三节 中央极限定理
• 定理的内容：如果从一个无限大的母体中抽样，样
本数为n ，假定所有样本数为n的样本都被抽出来
第四章 概率分布与中央极限定理
• 第一节 概率、随机变量与概率分布 • 第二节 正态分布与标准正态分布 • 第三节 中央极限定理
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
1
第一节 概率、随机变量与概 率分布
• 概率与概率分布
• 随机变量
• 离散型随机变量 二项分布 卜瓦松分布（泊松分布） 多项分配 卡方分布
21
样本•平某班均组数5个的工人分的日布工资
为34、38、42、46、50 元。
• = 42
• 2 = 32
• 现用重置抽样的方法从5 人中随机抽2个构成样本。 共有52=25个样本。如右 图。
样本
34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
• 甲生的成绩要比93.32%学生的成绩来 得高，而乙生的成绩则仅超过15.87% 的学生 。
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15
• 如果某市女性平均身高为1.5米，标准差0.2米
• p (1.3 < x < 1.5) • p (1.5 < x < 1.8) • p (1.8 < x < 2) • p (1.2 < x < 1.3) • p (x < 1.2) • p (x > 2)
6
正态曲线下的概率分布
x 1s.d. 68.3%
x 2s.d. 95.4%
x 3s.d. 99.7%
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7
标准正态分布
• 标准正态分布的特质
• 钟形曲线，涵盖面积定为100%，对称性，曲线尾端趋近
於于X 轴，以及平均数到k 个标准差的区间有一定比例的
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
17
t 分布 • t 分布与正态分布有许多相像之处：钟形曲线，对称分 布，曲线两边的尾端趋近于 X 轴
• 当样本数够大（大于 120），两者的概率分布几乎完全 相同
• 平均数为 0
• 有许多 t 分布曲线 • 但是 t 分布与正态分布最大的不同点在於于t 分布的概
• 连续型随机变量 正态分布
t 分布
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2
第二节 正态分布与标准正态分 布
• 正态分布的特质
• 钟形曲线 • 全部面积定为100% • 曲线的分布是对称的
• 曲线两边的尾端趋近于X轴
• 有许多正态分布曲线 • 曲线的位置，形态的高低宽窄由其平均数与标准差来决
11
• 求下列Z 值间的概率
▪ -1.65 与 +1.65 ▪ -1.15 与 +0.65 ▪ -1.96 与 +1.96 ▪ +1.15 与 +2.15 ▪ -2.25 与 -3.00
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12
• 例 1:甲乙两生不同期中考
xA 50 xB 80 S A 6.5 SB 5 甲 60 乙 75
样本平
均数 X
34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本
46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
样本平
均数 X
40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
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南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
16
• 100人参加赛跑。跑完全程的平均时间是42分钟， 标准差是9分钟。
• 有多少人不到30分钟就跑完全程? • 有多少人不到60分钟就跑完全程? • 有多少人是在30分钟到60分钟跑完全程? • 有多少人至少花了60分钟才跑完全程? • 第十名花了多少时间跑完全程? • 最慢的百分之二十至少花了多少时间才跑完全程? • 排名第95百分位的参赛者花了多少时间才跑完全程?
9
• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +2.00 ▪ +2.52 ▪ -0.33 ▪ +3.12 ▪ -2.96
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
10
• 求下列大于（或小于）Z 值的概率
▪ +1.00 ▪ -1.65 ▪ -0.50 ▪ -1.00 ▪ &中央极限定理1
定
• 从曲线的平均数到 k 个标准差之间，都有一定比例的面
积
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3
正态分布曲线图
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
4
三个不同的正态分布曲线图
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
5
正态分布曲线面积分布
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• 与各自班上的同学相比，谁考得比较好呢？
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
13
• 甲生:
Z6 050 1.5s4.adb. otv hm eean • 乙生: 6.5
Z7 580 1s.adb. otv hm eeean 5
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
14
• 换言之，
（也就是有K套样本），并计算其平均数，在样本
数够大的情况下，这K个样本平均数会非常接近正
态分布，而且这些样本平均数的平均数会等于母体
平均数，这些样本平均数的标准差（也称为标准
误 ）会等于 。
sx
n
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• 中央极限定理 :
x
sx n
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• 标准正态分布是由 z 分数所组成
• 标准正态分布仅有一个
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以标准正态分布表求概率
• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +1.00 ▪ -1.00 ▪ -1.65 ▪ +1.96
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率分布受到“自由度”（degree of freedom）的影响
• t 分布通常适用于小样本 （< 120）
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第三节 中央极限定理
• 定理的内容：如果从一个无限大的母体中抽样，样
本数为n ，假定所有样本数为n的样本都被抽出来
第四章 概率分布与中央极限定理
• 第一节 概率、随机变量与概率分布 • 第二节 正态分布与标准正态分布 • 第三节 中央极限定理
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1
第一节 概率、随机变量与概 率分布
• 概率与概率分布
• 随机变量
• 离散型随机变量 二项分布 卜瓦松分布（泊松分布） 多项分配 卡方分布
21
样本•平某班均组数5个的工人分的日布工资
为34、38、42、46、50 元。
• = 42
• 2 = 32
• 现用重置抽样的方法从5 人中随机抽2个构成样本。 共有52=25个样本。如右 图。
样本
34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
• 甲生的成绩要比93.32%学生的成绩来 得高，而乙生的成绩则仅超过15.87% 的学生 。
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• 如果某市女性平均身高为1.5米，标准差0.2米
• p (1.3 < x < 1.5) • p (1.5 < x < 1.8) • p (1.8 < x < 2) • p (1.2 < x < 1.3) • p (x < 1.2) • p (x > 2)
6
正态曲线下的概率分布
x 1s.d. 68.3%
x 2s.d. 95.4%
x 3s.d. 99.7%
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标准正态分布
• 标准正态分布的特质
• 钟形曲线，涵盖面积定为100%，对称性，曲线尾端趋近
於于X 轴，以及平均数到k 个标准差的区间有一定比例的
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t 分布 • t 分布与正态分布有许多相像之处：钟形曲线，对称分 布，曲线两边的尾端趋近于 X 轴
• 当样本数够大（大于 120），两者的概率分布几乎完全 相同
• 平均数为 0
• 有许多 t 分布曲线 • 但是 t 分布与正态分布最大的不同点在於于t 分布的概
• 连续型随机变量 正态分布
t 分布
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第二节 正态分布与标准正态分 布
• 正态分布的特质
• 钟形曲线 • 全部面积定为100% • 曲线的分布是对称的
• 曲线两边的尾端趋近于X轴
• 有许多正态分布曲线 • 曲线的位置，形态的高低宽窄由其平均数与标准差来决
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• 求下列Z 值间的概率
▪ -1.65 与 +1.65 ▪ -1.15 与 +0.65 ▪ -1.96 与 +1.96 ▪ +1.15 与 +2.15 ▪ -2.25 与 -3.00
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• 例 1:甲乙两生不同期中考
xA 50 xB 80 S A 6.5 SB 5 甲 60 乙 75
样本平
均数 X
34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本
46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
样本平
均数 X
40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
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• 100人参加赛跑。跑完全程的平均时间是42分钟， 标准差是9分钟。
• 有多少人不到30分钟就跑完全程? • 有多少人不到60分钟就跑完全程? • 有多少人是在30分钟到60分钟跑完全程? • 有多少人至少花了60分钟才跑完全程? • 第十名花了多少时间跑完全程? • 最慢的百分之二十至少花了多少时间才跑完全程? • 排名第95百分位的参赛者花了多少时间才跑完全程?
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• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +2.00 ▪ +2.52 ▪ -0.33 ▪ +3.12 ▪ -2.96
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• 求下列大于（或小于）Z 值的概率
▪ +1.00 ▪ -1.65 ▪ -0.50 ▪ -1.00 ▪ &中央极限定理1
定
• 从曲线的平均数到 k 个标准差之间，都有一定比例的面
积
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3
正态分布曲线图
南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1
4
三个不同的正态分布曲线图
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5
正态分布曲线面积分布
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• 与各自班上的同学相比，谁考得比较好呢？
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• 甲生:
Z6 050 1.5s4.adb. otv hm eean • 乙生: 6.5
Z7 580 1s.adb. otv hm eeean 5
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• 换言之，
（也就是有K套样本），并计算其平均数，在样本
数够大的情况下，这K个样本平均数会非常接近正
态分布，而且这些样本平均数的平均数会等于母体
平均数，这些样本平均数的标准差（也称为标准
误 ）会等于 。
sx
n
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• 中央极限定理 :
x
sx n
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