数学模型第九次课(2012-4-12)

8µq 2l E1 = q ∆ p = πd 4
l1
B
r1 H
A
r
q1 C θ q
l L
θ q1
E2 = br α l , 1 ≤ α ≤ 2
B´
模型建立
克服阻力消耗能量 8 µ q 2l E1 = q∆ p = πd 4 提供营养消耗能量 E 2 = br α l , 1 ≤ α ≤ 2 机体为血流提供能量
3.3
问题
森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
n ≈ 5(α + 4)
rmax = 4 rmin
5
rmax / rmin ≈ 1000 ≈ 4
1≤α ≤ 2
n ≈ 25 ~ 30
血管总条数
2 n ≈ 2 25 ~ 230 ≈ 3 × 107 ~ 109
3.6
问题
消费者均衡
消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱， 曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱， 购买这两种商品，以达到最大的满意度。 购买这两种商品，以达到最大的满意度。
3.5 血 管 分 支
背 景
机体提供能量维持血液在血管中的流动 给血管壁以营养 克服血液流动的阻力
消耗能量取决于血管的几何形状 在长期进化中动物血管的几何形状 已经达到能量最小原则
问 题
研究在能量最小原则下， 研究在能量最小原则下，血管分支处 粗细血管半径比例和分岔角度
模型假设
一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面 血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动 血液给血管壁的能量随管 壁的内表面积和体积的增 加而增加， 加而增加，管壁厚度近似 与血管半径成正比 考察血管AC与 考察血管 与CB, CB´ ´ q=2q1 r/r1, θ ?
2 1 4 1
α
模型求解
E (r , r1 ,θ ) = (kq / r + br )( L − H / tan θ ) +
2 4
α
l1
B
r1 H
(kq / r + br1 )2 H / sin θ
2 1 4 1
α
A
r
∂E = 0, ∂r
∂E = 0 ∂ r1
2 5 2 5
q
l
C θ
q1
θ q1
B´
∂U ∂U ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U B. > 0, > 0, < 0, < 0, >0 2 2 ∂q1 ∂q2 ∂q1 ∂q2 ∂q1∂q2
B⇒ A
• 解释 B的实际意义 的实际意义
效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 几种常用的形式 效用函数
1. U = (
α
q1
+
β
q2
) , α, β > 0
=0
p = p*
dI dp
p = p*
dC = dp
p = p*
边际收入
边际支出
最大利润在边际收入等于边际支出时达到
I ( p ) = px
C ( p) = qx x ( p ) = a − bp
U ( p) = I ( p) − C ( p)
= ( p − q )(a − bp )
q a p = + 2 2b
A
r
l1
B
r1 H
q1 C θ q
l L
θ q1
B´
l = L − H / tgθ , l1 = L − H / sinθ
E = E1 + E 2 = ( kq 2 / r 4 + br α )l + ( kq12 / r14 + br1α ) 2l1
E (r , r1 ,θ ) = (kq 2 / r 4 + br α )( L − H / tanθ ) + (kq / r + br1 )2 H / sin θ
∂L = 0 (i =1,2) L =U + λ( p1q1 + p2q2 ), ∂qi 直线MN: p 1 q 1 + p 2 q 2 = s 直线 几
最优解Q: 与 何 最优解 MN与 l2切点 解 斜率 K MN = − p1 / p2 释 dq2 ∂ U ∂U =− Kl2 = / dq1 ∂q1 ∂q 2
问题 分析
记队员人数x, 失火时刻 开始救火时刻t 记队员人数 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻t 时刻t森林烧毁面积 森林烧毁面积B(t). 灭火时刻 2, 时刻 森林烧毁面积
• 损失费 1(x)是x的减函数 由烧毁面积 2)决定 损失费f 的减函数, 决定. 是 的减函数 由烧毁面积B(t 决定 • 救援费 2(x)是x的增函数 由队员人数和救火时间决定 救援费f 的增函数, 是 的增函数 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x， 存在恰当的 ，使f1(x), f2(x)之和最小 之和最小
♣
模型建立
b b = βt1 , t 2 − t1 = λx − β
b
假设1） 假设 ）
dB dt
假设2） 假设 ）
t 2 = t1 +
B ( t2 ) =
假设3） ） 假设 ）4）
λx − β
βt1
β
0
λx − β
t1
t2 t
∫
t2
0
bt 2 β t12 β 2 t12 & = + B ( t ) dt = 2 2 2( λx − β )
B B(t2)
0
t1
t2
t
模型假设
1）0≤t≤t1, dB/dt 与 t成正比，系数β (火势蔓延速度） ） ≤≤ 成正比， 火势蔓延速度） 成正比 火势蔓延速度 2）t1≤t≤t2, β 降为β-λx (λ为队员的平均灭火速度） ） ≤ 为队员的平均灭火速度 速度） 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数 1 (烧毁单位面积损失费） ） 成正比， 烧毁单位面积损失费） 与 成正比 系数c 烧毁单位面积损失费 4）每个队员的单位时间灭火费用 2, 一次性费用 3 队员的单位时间灭火费用c ）每个队员的单位时间灭火费用 一次性费用c 火势以失火点为中心， 火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓延， 均匀向四周呈圆形蔓延， r 假设1） 假设 ） 半径 r与 t 成正比 与 的解释 B 面积 B与 t2成正比， 与 成正比， dB/dt与 t成正比 成正比. 与 成正比
q2 U(q1,q2) = c
设甲乙数量为q 设甲乙数量为 1,q2, 消 费者的无差别曲线族 (单调减、下凸、不相 单调减、 单调减 下凸、 ），记作 交），记作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) ~ 效用函数
l3
l1
0
l2
q1
有钱s，试分配s, 已知甲乙价格 p1,p2, 有钱 ，试分配 最大. 购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大 使 最大
问题 分析
• 关键是对 关键是对B(t)作出合理的简化假设 作出合理的简化假设. 作出合理的简化假设 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻 2, 开始救火时刻t 灭火时刻t 失火时刻 森林烧毁面积B(t)的大致图形 画出时刻 t 森林烧毁面积 的大致图形
分析B(t)比较困难 比较困难, 分析 比较困难 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt. 速度
0
模型 解释
r = 4α +4 r1
1
1.26 ≤ r / r1 ≤ 1.32 37 0 ≤ θ ≤ 490
n=？ ？
n α +4
生物学家： 生物学家：结果与观察大致吻合 推论 大动脉到毛细血管有n次分岔 大动脉到毛细血管有 次分岔
大动脉半径rmax, 毛细血管半径 min 毛细血管半径r 大动脉半径 观察： 观察：狗的血管
·
·l
0
Q
l3
s/p1
1
·
l2
N
q1
结果 解释
∂U ∂U , ∂q1 ∂q 2
——边际效用 边际效用
消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们 价格之比时达到。 价格之比时达到。 效用函数U(q1,q2) 应满足的条件 效用函数
∂U ∂q1 p1 = ∂U p2 ∂q2
A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸 单调减、 单调减
B
r1 H
l1
A
r
q1 C θ q
l L
θ q1
B´
模型假设
粘性流体在刚 性管道中运动
πr 4∆p q = 8µl
∆ p~A,C压力差， 压力差， 压力差 µ ~粘性系数 粘性系数
克服阻力消耗能量 提供营养消耗能量 管壁内表面积 2πrl 管壁体积π(d2+2rd)l, 管壁厚度d与 成正比 管壁厚度 与r成正比
L
1 α +4
bαr
α −1 α −1
− 4 kq / r = 0 − 4 kq / r1 = 0
r cos θ = 2 r 1
−4
bα r1
r = 4 r1
∂E =0 ∂θ
cosθ = 2
α −4 α +4
0
1≤α ≤ 2
1.26 ≤ r / r1 ≤ 1.32, 37 ≤ θ ≤ 49
x ( p ) = a − bp , a , b > 0