自动控制原理2-2结构图
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自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件
—线性定常二阶微分方程式
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换
自动控制原理课件2
Tm
GD 2 R 375 cecm
uf Kfn
K f 反馈电压和转速之间的 比例系数
（3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程
1 T d T K m kd d 2 n 2t 1 T m K kd d n tn ( 1 K K r k )C eU g
其中 Kr K1K 为s正向通道电压放大系数
R(S)
E(S)
G(S)
-
B(S)
H(S)
Y(S)
2.结构图的组成： （1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 （3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 （4）方框：方框图内输入环节的传递函数。
3 .动态结构图的绘制步骤： （1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个典型环节。 （3）求出各典型环节对应的传递函数。 （4）作出相应的结构图。 （5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。
二、结构图的简化法则 常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相
加点的移动。 结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的
等效变换。
（一）环节的合并 法则一 环节串联，传递函数相乘。
法则二 环节并联，传递函数相加。
法则三 反馈连接的等效传递函数。
（6）延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ 后，可完全复现输入信号。
y(t)/r(t)
0τ
r(t) y(t)
t
G(s) es R(s) e s Y(s)
2.4 系统动态结构图
一、概念 1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它 表示了系统的输入输出之间的关系。
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
自动控制原理(2-2)
1 G(s)
B A
B
+
+
C
D
A
+
C
+
D
(a)
(b)
图2－17 相邻相加点的移动
A A
(a)
A A
A A
A A(b)AA源自图2－18 相邻分支点的移动
应当指出，在结构图简化过程中，两个相邻的相加
点和分支点不能轻易交换。 总之，根据实际系统中各环节（子系统）的结构图 和信息流向，可建立系统的结构图。在确定输入量
加，就可得到系统的总输出量。
系统对扰动N(s)的响应CN(s)为：
G2 ( s) CN ( s ) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
系统对参考输入量R(s)的响应CR(s)为：
G1 ( s )G2 ( s ) CR ( s ) R( s) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
X 3 ( s)
X 0 (s)
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s)
(b)
X 3 ( s)
图2－10 串联环节的简化
n个环节（每个环节的传递函数为Gi(s) ，i=1,2,3,…） 串联的等效传递函数等于各传递函数相乘。
G( s) G1 (s)G2 (s) Gn (s)
2.并联环节的简化
上式就是系统输出量C(s)和输入量R(s)之间的传递函 数，称为闭环传递函数。
闭环传递函数将闭环系统的动态特性与前向通道环 节和反馈通道环节的动态特性联系在一起。
G( s) C (s) R( s ) 1 G( s) H ( s)
可见，闭环系统的输出量取决于闭环传递函数和输 入量的性质。
自动控制原理第二章方框图
R1C2s
(R1C1s 1)(R2C2s 1) R1C2s
(R1C1s 1)(R2C2s 1)
解法二：
ui (s)
-
1 I1(s) - 1 u(s)
R1
I (s) C1s
-
1
1 uo (s)
R2 I2(s) C2s
ui (s) 1
R1
ui (s) 1
R1
-
1
-
C1s
1 R1
-
1
-
C1s
1 R1
1
自动控制原理第二章方框图自动控制方框图闭环控制系统方框图串级控制系统方框图前馈控制系统方框图控制系统方框图单回路控制系统方框图过程控制系统的方框图自动调节系统方框图控制方框图
传递函数的表达形式
有理分式形式：G(s)
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s an1s
bm an
H3
相加点移动 G3 G1
G3 G1
向同无类用移功动
G2
错！
G2
H1
G(s) G1G2 G2G3 1 G1G2 H1
G2
G1 H1
总的结构图如下：
ui (s)
-
1 I1(s) - 1 u(s)
R1
I (s) C1s
-
1
1 uo (s)
R2 I2(s) C2s
ui (s)
-
C2s
1 I1(s) - 1 u(s)
X 2 (s)
X (s) G(s) Y (s)
X 2 (s)
X1(s)
相加点和分支点在一般情况下，不能互换。
X 3 (s)
X (s)
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数的代数和。
C1(s)
G1(s) R(s)
G2(s)
+ C(s)
R(s)
G1(s) G2(s)
C(s)
C2(s)
11
(3) 反馈连接。连接形式是两个方框反向并接，如图所
示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。
R(s)
+
B(s)
E(s)
G(s)
C(s)
H(s)
由图有
C(s) = G(s)E(s)
B(s)
E(s)
G(s)
C(s)
G(s)：前向通道传函
H(s)：反馈通道传函
H(s)
H(s)=1 单位反馈系统
G(s)H(s)：开环传函
R(s) G(s) 1 G(s)H(s)
13
C(s)
2.4 结构图的等效变换
变换的原则：变换前后应保持信号等效。
1 . 分支点后移
R
G C R G
C
R
1/G
R
R L
C
uc(t)
(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)
U r ( s ) LsI ( s ) Li (0 ) RI ( s ) U c ( s ) I ( s ) CsU c ( s ) Cuc (0 )
(3)整理成因果关系
27
1 1 L I ( s) U r ( s) U c ( s) i (0 ) Ls R Ls R Ls R 1 1 U c (s) I ( s ) uc (0 ) Cs s
流图。
R(s) E1(s) G1(s) E2(s) G2(s) C(s)
H(s)
29
系统结构图
变量在信号线上
输入变量
信号流图
节点
输入节点
比较点和引出点
信号线和方框
混合节点
支路
30
2.5.3 梅逊增益公式 1.梅逊增益公式 输入输出节点间总传输的一般式为
G
P Δ
k 1 k
n
k
Δ
bc def
(s)
Kf
3
2.结构图的基本组成
1）画图的4种基本元素如下：
信号传递线 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传
递方向，传递线上标明被传递的信号。
r(t), R(s) r(t), R(s)
r(t), R(s)
分支点
表示信号引出或测量的位置，从同一位置引
出的信号在数值和性质方面完全相同。
4
相加点
对两个以上的信号进行代数运算，“ + ”号
第二章 控制系统的数学模型
2-1系统微分方程的建立 2-2线性系统的传递函数 2-3系统的动态结构图 2-4动态结构图的等效变换 2-5信号流图及梅逊公式 2-6系统的传递函数 学习指导与小结
1
2-3 系统的动态结构图
2.3.1 结构图的定义及基本组成 1.结构图的定义
定义: 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明
26
2.5.2 信号流图的绘制方法 1.直接法 例2-18 RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。
解：(1)列写原始方程
di( t ) u (t) ur ( t ) L Ri( t ) uc ( t ) r dt duc ( t ) i ( t ) C dt
传输G。 a
x0
b i
c
d
j
e
f
g
h x8
k m
解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道
=1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk P1 = abcdefgh 1 = 1 0 = 1
x8 P Δ1 abcdefgh G 1 x0 Δ Δ
x3 a24
x5
22
2.信号流图的基本元素
(1) 节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近
旁标出所代表的变量。
(2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号“”
表示。 支路具有两个特征：
有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传
递的方向，用箭头表示。
有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支
24
通道及其类别 通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经 过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传 输的乘积来表示。 开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点 上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12 a23 a34 。 闭通道(回环) 如果通道的终点就是起点的开通道。 如a23 a32 ，a33 (自回环) 。 a33 a12 a23 x3 a34 x1 x4 x2 a32
32
例2-21 试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s) 。
G1
G2 1 1
G3 1
K C
R
1
解：
单回路： G1 ，G2 ，G3 ，G1G2 G2和G3 ，G1G2和G3
33
两两互不接触回路: G1和G2 ， G1和G3 ，
G1 G1 R R 1 1
G2 G2
1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。 先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程 式描述： x2 = a12 x1
式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为
两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘 上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为 “果”。这种因果关系，可用下图表示。 a12 x1 x2
H2
G3 1/G3
C
H1
17
方法2
R G1 H1 G2
H2 G3 C
1/G1
H2 G1
H1
18
R
G2
G3
C
例2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。
R G1 C
G2
G3
解：
R
G1 C G2
G3
19
G1 R G2
C
G3 G1 R 1/G2
G2
C
G3
20
2-5 信号流图及梅逊公式
2.5.1 信号流图的基本概念
﹣
U2(s)
1 R
I(s)
1 Cs
U2(s)
8
2.3.3动态结构图的基本连接方式 (1) 串联 前一个环节的输出是后一个环节的输入， 依次按顺序连接。
R(s) U(s) C(s) U(s) C(s) G2(s)
G1(s)
G2(s)
R(s) G1(s)G2(s)
C(s)
由图可知：
U(s)=G1(s)R(s)
R(s)
G2(s) C2(s)
由图有
C1(s) = G1(s)R(s) C2(s) = G2(s)R(s)
10
C(s) = C1(s) C2(s) 消去G1(s) 和G2(s)，得 C(s) = [G1(s) G2(s)]R(s) = G(s)R(s)
故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函
关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有 典型环节的形式。 (3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成 完整的结构图。 例2-15 画出下图所示RC网络的结构图。
i u1 R C u2
解：(1) 列写各元件的原始方程式
u1 i R u2 1 u2 C idt
a14
25
前向通道 从源节点到汇节点的开通道。 不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。 4.信号流图的基本性质 1）信号流图只能代表线性代数方程组。 2）节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号 之和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量 表示。 3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖 于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。 4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路 增益而变换为另一信号。 5）对于给定的系统，信号流图不唯一。
路的权用它近旁标出的传输值表示。
23
3.信号流图的几个术语 节点及其类别 输入节点(源节点) 只有输出支路的节点，它代表系统 的输入变量。如图中x1。 输出节点(汇节点、阱节点) 只有输入支路的节点，它代 表系统的输出变量。如图中x4。 混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图 中x2、x3。 x2 a33 1 a12 a23 x3 a34 x1 x4 x2 a32 a14
表示相加，可省略不写，“ ”号表示相减。
R(s)
+
R(s) U(s) U(s)
方框
表示对信号进行的数学运算。方框中写入元
部件的传递函数。
R(s) G(s) C(s)
C(s) = G(s)R(s)
5
2）结构图的基本作用： (a) 简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可 以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。 (b) 信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对 输入的反作用，通过反馈支路单独表示。 (c) 对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可 方便地求出整个系统的传递函数。 2.3.2 结构图的绘制步骤 (1) 列写每个元件的原始方程，要考虑相互间负载效 应。 (2) 设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，并 将每个变换后的方程，分别以一个方框的形式将因果 6
信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。 例如讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图 来描述其结构和作用原理，见图。
ur
+
e
uf
放大器
C1(s)
G1(s) R(s)
G2(s)
+ C(s)
R(s)
G1(s) G2(s)
C(s)
C2(s)
11
(3) 反馈连接。连接形式是两个方框反向并接，如图所
示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。
R(s)
+
B(s)
E(s)
G(s)
C(s)
H(s)
由图有
C(s) = G(s)E(s)
B(s)
E(s)
G(s)
C(s)
G(s)：前向通道传函
H(s)：反馈通道传函
H(s)
H(s)=1 单位反馈系统
G(s)H(s)：开环传函
R(s) G(s) 1 G(s)H(s)
13
C(s)
2.4 结构图的等效变换
变换的原则：变换前后应保持信号等效。
1 . 分支点后移
R
G C R G
C
R
1/G
R
R L
C
uc(t)
(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)
U r ( s ) LsI ( s ) Li (0 ) RI ( s ) U c ( s ) I ( s ) CsU c ( s ) Cuc (0 )
(3)整理成因果关系
27
1 1 L I ( s) U r ( s) U c ( s) i (0 ) Ls R Ls R Ls R 1 1 U c (s) I ( s ) uc (0 ) Cs s
流图。
R(s) E1(s) G1(s) E2(s) G2(s) C(s)
H(s)
29
系统结构图
变量在信号线上
输入变量
信号流图
节点
输入节点
比较点和引出点
信号线和方框
混合节点
支路
30
2.5.3 梅逊增益公式 1.梅逊增益公式 输入输出节点间总传输的一般式为
G
P Δ
k 1 k
n
k
Δ
bc def
(s)
Kf
3
2.结构图的基本组成
1）画图的4种基本元素如下：
信号传递线 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传
递方向，传递线上标明被传递的信号。
r(t), R(s) r(t), R(s)
r(t), R(s)
分支点
表示信号引出或测量的位置，从同一位置引
出的信号在数值和性质方面完全相同。
4
相加点
对两个以上的信号进行代数运算，“ + ”号
第二章 控制系统的数学模型
2-1系统微分方程的建立 2-2线性系统的传递函数 2-3系统的动态结构图 2-4动态结构图的等效变换 2-5信号流图及梅逊公式 2-6系统的传递函数 学习指导与小结
1
2-3 系统的动态结构图
2.3.1 结构图的定义及基本组成 1.结构图的定义
定义: 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明
26
2.5.2 信号流图的绘制方法 1.直接法 例2-18 RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。
解：(1)列写原始方程
di( t ) u (t) ur ( t ) L Ri( t ) uc ( t ) r dt duc ( t ) i ( t ) C dt
传输G。 a
x0
b i
c
d
j
e
f
g
h x8
k m
解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道
=1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk P1 = abcdefgh 1 = 1 0 = 1
x8 P Δ1 abcdefgh G 1 x0 Δ Δ
x3 a24
x5
22
2.信号流图的基本元素
(1) 节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近
旁标出所代表的变量。
(2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号“”
表示。 支路具有两个特征：
有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传
递的方向，用箭头表示。
有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支
24
通道及其类别 通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经 过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传 输的乘积来表示。 开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点 上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12 a23 a34 。 闭通道(回环) 如果通道的终点就是起点的开通道。 如a23 a32 ，a33 (自回环) 。 a33 a12 a23 x3 a34 x1 x4 x2 a32
32
例2-21 试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s) 。
G1
G2 1 1
G3 1
K C
R
1
解：
单回路： G1 ，G2 ，G3 ，G1G2 G2和G3 ，G1G2和G3
33
两两互不接触回路: G1和G2 ， G1和G3 ，
G1 G1 R R 1 1
G2 G2
1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。 先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程 式描述： x2 = a12 x1
式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为
两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘 上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为 “果”。这种因果关系，可用下图表示。 a12 x1 x2
H2
G3 1/G3
C
H1
17
方法2
R G1 H1 G2
H2 G3 C
1/G1
H2 G1
H1
18
R
G2
G3
C
例2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。
R G1 C
G2
G3
解：
R
G1 C G2
G3
19
G1 R G2
C
G3 G1 R 1/G2
G2
C
G3
20
2-5 信号流图及梅逊公式
2.5.1 信号流图的基本概念
﹣
U2(s)
1 R
I(s)
1 Cs
U2(s)
8
2.3.3动态结构图的基本连接方式 (1) 串联 前一个环节的输出是后一个环节的输入， 依次按顺序连接。
R(s) U(s) C(s) U(s) C(s) G2(s)
G1(s)
G2(s)
R(s) G1(s)G2(s)
C(s)
由图可知：
U(s)=G1(s)R(s)
R(s)
G2(s) C2(s)
由图有
C1(s) = G1(s)R(s) C2(s) = G2(s)R(s)
10
C(s) = C1(s) C2(s) 消去G1(s) 和G2(s)，得 C(s) = [G1(s) G2(s)]R(s) = G(s)R(s)
故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函
关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有 典型环节的形式。 (3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成 完整的结构图。 例2-15 画出下图所示RC网络的结构图。
i u1 R C u2
解：(1) 列写各元件的原始方程式
u1 i R u2 1 u2 C idt
a14
25
前向通道 从源节点到汇节点的开通道。 不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。 4.信号流图的基本性质 1）信号流图只能代表线性代数方程组。 2）节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号 之和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量 表示。 3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖 于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。 4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路 增益而变换为另一信号。 5）对于给定的系统，信号流图不唯一。
路的权用它近旁标出的传输值表示。
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3.信号流图的几个术语 节点及其类别 输入节点(源节点) 只有输出支路的节点，它代表系统 的输入变量。如图中x1。 输出节点(汇节点、阱节点) 只有输入支路的节点，它代 表系统的输出变量。如图中x4。 混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图 中x2、x3。 x2 a33 1 a12 a23 x3 a34 x1 x4 x2 a32 a14
表示相加，可省略不写，“ ”号表示相减。
R(s)
+
R(s) U(s) U(s)
方框
表示对信号进行的数学运算。方框中写入元
部件的传递函数。
R(s) G(s) C(s)
C(s) = G(s)R(s)
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2）结构图的基本作用： (a) 简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可 以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。 (b) 信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对 输入的反作用，通过反馈支路单独表示。 (c) 对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可 方便地求出整个系统的传递函数。 2.3.2 结构图的绘制步骤 (1) 列写每个元件的原始方程，要考虑相互间负载效 应。 (2) 设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，并 将每个变换后的方程，分别以一个方框的形式将因果 6
信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。 例如讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图 来描述其结构和作用原理，见图。
ur
+
e
uf
放大器