两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离-人教A版高中数学选修第一册课件
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点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离2024-2025学年高二上学期人教A版2019选择性必修一
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
2．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小
值是( B ) A. 10
B．3 5 5
C． 6
D．3 5
[解析] 点 M 到直线 2x＋y－1＝0 的距离，即为|MP|的最小值，所以 |MP|的最小值为|2＋222＋－112 |＝3 5 5.
做一做：已知直线 l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的 距离为 2，则 a＝__1_或__－__3____.
[解析]
由 a1＋2＋11 2＝ 2得 a＋1＝±2，解得 a＝1 或－3.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
求点到直线的距离
1．求点P(－2,1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0. [解析] (1)根据点到直线的距离公式，得 d＝3×－23＋2＋44×2 1－1＝35.
题型二
两平行线间的距离
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之
间的距离是( D ) A．4
B．2
13 13
C．5
13 26
D．7
13 26
(2)若动点 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线 l1：x＋y－11＝0 和 l2：x ＋y－1＝0 上移动，则 AB 中点 M 所在直线的方程为___x_＋__y_－__6_＝__0_____.
综上所述，所求直线 l 的方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
[误区警示] 应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚．
课堂检测•固双基
1．(多选题)已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能
两直线间的距离公式是什么
在数学课堂学习中，我们会学到两直线间的距离公式，那么两直线间的距离公式是什么呢。
以下是由编辑为大家整理的“两直线间的距离公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
两直线间的距离公式两平行线之间的距离公式：d=|C1-C2|/√(A2+B2)。
两平行线方程分别是：Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0。
两平行线之间的距离公式设两条直线方程为Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=-C1，由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为d=|Aa+Bb+C2|/√(A2+B2)=|-C1+C2|/√(A2+B2)=|C1-C2|/√(A2+B2)学习数学的方法一)、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二)、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
点到直线以及两平行直线间的距离公式 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1
5
2 2
5
2
2
A (1,3)
2
h
1
B (3,1)
C (-1,0)
-1
O
1
2
3 x
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
们各有什么特点？
点到直线距离公式
代数方法
向量法
坐标法
坐标法
（求垂足坐标） （设而不求垂足坐标）
寻找所求量的坐标表示
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
y
l
Q
P0 x0 , y0
O
x
间接法
求出点R的坐标
求出点S的坐标
求出|P0S|
求出 |P0R|
y
1
| P0 S || P0 R |
2
1
d | SR |
2
S ( x0,
Ax0 C
)
B
Q
利用勾股定理求出|RS|
等面积法求出 |P0Q|
l
P0 ( x0 , y0 )
O
R(
By0 C
应先化成一般式再用公式.
2 到直线 l : 3x 2 的距离．
例1: 求点P0 1，
解：直线l的方程可化为一般式：
3x 2 0
思考：还有其他解法吗？
对于直线的一般式方程：Ax+By+C=0，
当A=0或B=0时，直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y
P (x0,y0)
(x1,y0)
点A到直线l2的距离等于l1与l2的距离
d
6 4 21 0 1
62 212
新教材高中数学第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线 段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32
2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离课件高二上学期数学人教A版选择性2
(3)公式:两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 间的距离
d=
|1 -2 |
2 + 2
.
2.两条平行直线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0间的距离为(
A.3
B.2
|-7-(-12)|
解析:d=
答案:C
32 +4 2
=1.
C.1
1
D.2
)
1
1
所以所求直线的斜率 k=- =- 2-(-1) =-3,
6-(-3)
故所求的两条直线的方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0,3x+y+10=0.
方法点睛 数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法.
当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可
.
2.原点到直线x+2y-5=0的距离为(
A.1
C.2
B. 3
D. 5
解析:由点到直线的距离公式,得 d=
答案:D
)
|-5|
12 +22
=
|-5|
5
= 5.
二、两条平行直线间的距离
1.两条平行直线间的距离
(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段
的长.
(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
求出这些量的变化范围.类似地,当直线l经过定点A时,点B到直线l的距离d
也是当l⊥AB时最大,最大值为|AB|;当l经过点B时最小,最小值为零.
d=
|1 -2 |
2 + 2
.
2.两条平行直线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0间的距离为(
A.3
B.2
|-7-(-12)|
解析:d=
答案:C
32 +4 2
=1.
C.1
1
D.2
)
1
1
所以所求直线的斜率 k=- =- 2-(-1) =-3,
6-(-3)
故所求的两条直线的方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0,3x+y+10=0.
方法点睛 数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法.
当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可
.
2.原点到直线x+2y-5=0的距离为(
A.1
C.2
B. 3
D. 5
解析:由点到直线的距离公式,得 d=
答案:D
)
|-5|
12 +22
=
|-5|
5
= 5.
二、两条平行直线间的距离
1.两条平行直线间的距离
(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段
的长.
(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
求出这些量的变化范围.类似地,当直线l经过定点A时,点B到直线l的距离d
也是当l⊥AB时最大,最大值为|AB|;当l经过点B时最小,最小值为零.
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
2021_2022学年高中数学第3章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离
2．两条平行直线间的距离 (1) 定 义 ： 夹 在 两 条 平 行 直 线 间 _公__垂__线__段_ 的 长 叫 做 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距
离． (2)求法：转化为求_点__到__直__线_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，
这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
[思路点拨]
思路一
由直线平行设出方程
→
利用平行线间 的距离公式求解
思路二
设出直线上任意 一点的坐标
→
Байду номын сангаас
利用点到直线的距 离公式求出直线上的 点满足的方程即可
[解析] 方法一 由已知可设所求直线的方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它 与直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2，
互动探究学案
命题方向1 ⇨点到直线的距离公式
典例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离． (1)y＝34x＋14； (2)y＝6; (3)x＝4. [思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后 再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
[解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
或 x＋y－6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x－y＝0 或 7x＋y＝0 或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝
0.
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
典例 2 (2019·山东省烟台市期末)与直线 2x－y－1＝0 平行，且距离为 2 的直线方程为_2_x_－__y_＋__2__5_－___1_＝__0_或___2_x－__y_－__2___5_－__1_＝__0_. ______