2020届高考数学(文)二轮重点突击专题卷：(9)选做题
重点突击专题卷（9）选做题1、[选修4—5:不等式选讲]已知函数.()221f x x x =+--1.求的解集;()5f x >-2.若关于的不等式能成立,求实数x |2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠的取值范围.m 2、已知.()3f x x a x =-+- 1.当时,求的最小值;1a =f ()x 2.若不等式的解集非空,求的取值范围.()3f x ≤a 3、[选修4-5:不等式选讲]已知函数,且的解集为.()3,f x k x k R =--∈()30f x +≥[1,1]-1.求的值;k 2.若、、是正实数,且,求证: .a b c 111123ka kb kc ++=1231999a b c ++≥4、设函数()()3,21f x x g x x =+=-1.解不等式;()()f x g x <2.若对任意的实数恒成立,求的取值范围.()()24fx g x ax +>+x a 5、已知函数.()12f x x x =+--1.求不等式的解集;()1f x ≥2.若不等式的解集非空,求的取值范围.()2f x x x m ≥-+ m 6、以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取x 相同的长度单位,已知直线的参数方程是 (为参数),圆的极坐标方程是l 1{3x t y t =+=-t C ,求直线被圆截得的弦长.4cos ρθ=l C 7、选修4-4:坐标系与参数方程:将圆上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍,得曲线.221xy +=23Γ1.写出的参数方程;Γ2.设直线:与的交点为,,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴l 3260x y +-=Γ1P 2P x 建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.12PP l 8、已知直线 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极5,:{12x l y t=+=t x 坐标系,曲线的极坐标方程为.C 2cos ρθ=1.将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;C 2.设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,,求的值.M (3l C A B MA MB ⋅9、平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为xOy C ()2211x y -+=l (),0Pm ,以为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.6πO x 1.写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;C l 2.若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.l C A B 1PA PB ⋅=m 10、已知点的直角坐标是.以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点, 轴的正P (), x y x 半轴为极轴,建立极坐标系.设点的极坐标是,点的极坐标是,其P (), ρθQ ()0, ρθθ+中是常数.设点的直角坐标是.0θQ (), m n 1.用表示;0,,x y θ,m n 2.若满足,且,求点的直角坐标满足的方程.,m n 1mn =04πθ=P (), x y答案以及解析1答案及解析：答案：1. 3 , 21()2213 1 ,2213 , 2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩故的解集为()5f x >-(2,8)-2.由,能成立,|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠得能成立,即能成立,令22(1)b a b ax x m a+--≥++-2211b b x x m aa+--≥++-,则能成立,bt a=221(1)t t x x m +--≥++-由1知, 52212t t +--≤又∵11x x m m ++-≥+∴512m +≤∴实数的取值范围:m 73,22⎡⎤-⎢⎣⎦解析：2答案及解析：答案：1.当时, , ………..3分1a =()13132f x x x x x =-+-≥--+=的最小值为,()f x ∴2当且仅当时取得最小值.13x ≤≤2.∵时,恒有x ∈R ()()333, x a x x a x a -+-≥---=-且不等式的解集非空,()3f x ≤.33, 06a a ∴-≤∴≤≤解析：3答案及解析：答案：1. 的解集为,()30f x +≥[]1,1-即的解集为x k ≤[]()1,1,0,k ->即有解得;[][],1,1,k k -=-1k =2.证明:将代入可得,,则1k =1111(,,0)23a b c a b c++=>()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭233232323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233232222323b a c a c b a b a c b c≥+⋅+⋅+⋅,32229=+++=当且仅当,上式取得等号.23a b c ==则有.1231999a b c ++≥解析：4答案及解析：答案：1.由已知得,321x x +<-即,则有,∴或,22321x x +<-231080x x -->23x <-4x >故不等式的解集是()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭2.由已知,设,()()()22321hx f x g x x x =+=++-45,317,32145,2x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩当时,只需恒成立,3x ≤-454x ax -->+即,49ax x <--∵,30x ≤-<∴恒成立,4994x a x x-->=--∴,max94a x ⎛⎫>--⎪⎝⎭∴1a >-当时,只需恒成立,132x -<<74ax >+即恒成立,只需,∴,30ax -<3301302a a --≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩16a a ≥-⎧⎨≤⎩∴,16a ≤≤当时,只需恒成立,12x ≥454x ax +>+即,∵,∴恒成立,∵,且无限趋近于,41ax x <+102x ≥>4114x a x x +<=+144x+>4∴,4a ≤综上, 的取值范围是a (]1,4-解析：5答案及解析：答案：1.当时, ,,1 x ≤-10x +≤20x -≤,()(1)((2))123f x x x x x ∴=-+---=--+-=-当时, ,,12x -<≤10x +>20x -≤,()1((2))21f x x x x =+---=-当时, ,,,2x >10x +>20x ->()1(2)3f x x x =+--=,3,1(){21,123,2x f x x x x -≤-∴=--<≤>令,又,,2111x x -≥⇒≥31-<31>综上,的解集为.()1f x ≥[)1,+∞2. ,2()f x x x m ≥-+⇔22223,1(){31,123,2x x x m f x x x x x x x x x -+-<-≤-+=-+--<<-+≠>令解集非空,2()()g x f x x x =-+max ()m g x ⇔≤当时, 对称轴为,1x ≤-23x x -+-332(1)2x -==-故此时,()2333122g x ⎛⎫≤-+⨯- ⎪⎝⎭9951424=-+-=当时对称轴为在递减,2x >23x x -++()11212x -==-(]2,+∞故,()()222231gx g <=-++=综上最大值为,()gx 54故的取值范围为.m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦解析：6答案及解析：答案：直线的参数方程 (为参数)化为直角坐标方程是,l 13x t y t =+⎧⎨=-⎩t 4y x =-圆的极坐标方程化为直角坐标方程是.C 4cos ρθ=2240x y x +-=圆的圆心到直线的距离为.C ()2,040x y --=22d ==又圆的半径,因此直线被圆截得的弦长为C 2r =l C 22222x d -=解析：7答案及解析：答案：1.设为圆上的点,在已知变换下变为上的点,依题意,得()11,x y Γ(), x y 即.由,得.即曲线的方程为.112,{3.x x y y ==11,2{.3x x y y ==22111x y +=22122x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Γ22149x y +=故的参数方程为 (为参数).Γ2cos {3sin x ty t==t 2.由解得或.221,{493260,x y x y +=+-=2{0x y ==0{3x y ==不妨设,,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率.1(2,0)P 2(0,3)P 12PP 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭23k =于是所求直线方程为,()32123y x -=-即.4650x y -+=化为极坐标方程,得.4cos 6sin 50ρθρθ-+=解析：8答案及解析：答案：1. 等价于. ①2cos ρθ=22cos ρρθ=将,代入①,222x y ρ=+cos x ρθ=即得曲线的直角坐标方为. ②C 2220xy x +-=2.将代入②,35,{132x y t=+=+得.253180tt ++=设这个方程的两个实根分别为,,1t 2t 则由参数的几何意义即知, .t 1218MA MB t t ⋅==解析：9答案及解析：答案：1.曲线的直角坐标方程为: ,即,即C ()2211x y -+=222xy x +=,所以曲线的极坐标方程为: .直线的参数方程为22cos ρρθ=C 2cos ρθ=l (为参数).,{1.2x m y t ==t 2.设,两点对应的参数分别为,,将直线的参数方程代入中,得A B 1t 2t l 222x y x +=,所以,由题意得,解得2220t t m m +-+-=2122t t m m =-221m m -=或或.1m =1m =+1m =-解析：10答案及解析：答案：1.由题意知且cos ,{sin ,x y ρθρθ==()()00cos ,{sin .m n ρθθρθθ=+=+所以0000cos cos sin sin ,{sin cos cos sin ,m n ρθθρθθρθθρθθ=-=+所以0000cos sin ,{sin cos .m x y n x y θθθθ=-=+2.由1可知又,,{22,m x y n x y ==+1mn =所以.22221x y x y ⎫+=⎪⎪⎭整理得.22122x y -=∴即为所求方程.22122x y -=解析：。
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c220+=<mx ny mn1()（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 12．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．83．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．924．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．经典常规题（45分钟）1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．高频易错题1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+=2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．33．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221(3)916x y x -=>D ．221(4)169x y x -=>4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____精准预测题2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y 两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c22+=mx ny（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 1【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e ． 2．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p ．经典常规题3．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B【解析】依据题意222224,5,9a b c a b ===+=， 设F 为右焦点，(3,0)F ，设P 在第一象限，(,)P x y ，根据||||PO OF =，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得到53y =，所以15||22OPF S OF y ∆=⋅⋅=．4．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】)15,3(【解析】由椭圆22:13620x y C +=可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形12MF F 中，8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ，415828sin 2221=-=∠M F F ，15sin 212=∠=M F F MF y M ， 代入22:13620x y C +=可得3=M x ，故M 的坐标为)15,3(．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6；（2）存在，(1,0)P ，详见解析．【解析】（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上， 设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=，得2242a r +=，∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0a =，2r =或4a =，6r =． （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+，即22242x y x ++=+，化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=．1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】A【解析】2321132232AB BC m k k m --+=⇒=⇒=+-． 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）高频易错题（45分钟）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-= 【答案】B【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径224R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=．3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．【答案】12-【解析】易知曲线21(0)4y x x =≥是抛物线2:4C x y =的右半部分，如图，其焦点为(0,1)F ，准线1y =-，过点A 作AH ⊥准线，垂足为H ，则||||AH AF =， 因为||6||FB FA =，所以||5||AB AH =，||tan||AHABHBH∠===，故直线l的斜率为．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，1(2,2)P，2P，3(2,3)P-，4(2,3)P四点中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）已知点(0,1)E，问是否存在直线p与椭圆C交于M，N两点且||||ME NE=？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2211612x y+=；（2）存在，11(,)22-．【解析】（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过34,P P两点，又由22224449a b a b+<+知C不经过点1P，所以点2P在C上．因此222221211649121abba b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩，所以C的方程为2211612x y+=．（2）假设存在满足条件的直线:p y kx m=+，设11(,)M x y，22(,)N x y．将直线:p y kx m=+与椭圆联立可得22222(34)8448011612y kx mk x kmx mx y=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．222222644(34)(448)01612k m k m k m∆=-+->⇒+>①，故122834kmx xk-+=+，212244834mx xk-=+，设MN 的中点为00(,)F x y ，故12024234x x km x k +-==+，002334my kx m k =+=+， 因为||||ME NE =，所以EF MN ⊥，所以1EF k k =-，所以22231341(43)434mk k m k km k -+⋅=-⇒=-+-+， 代入①得22242111612(43)1683022k k k k k +>+⇒+-<⇒-<<， 故存在直线p 使得||||ME NE =，且直线p 斜率的取值范围是11(,)22-．1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+= 【答案】B【解析】由题意得11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的坐标都满足方程3420x y --=， 所以过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是3420x y --=．2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．3精准预测题【答案】C【解析】由题可知a =，则3c e a ===． 3．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=> 【答案】C【解析】如图，||||8AD AE ==，||||2BF BE ==，||||CD CF =，所以|||||82610|CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，且0y ≠， 故轨迹方程为221(3)916x y x -=>． 4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．【答案】22(1)36x y -+=【解析】由题意知，P 在抛物线上，且F 的坐标为(1,0)，则||55162p PF =+=+=， 故所求的圆的标准方程为22(1)36x y -+=．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____．【答案】【解析】设00(,)M x y ，∴2004y x =，∴0y =，∴0sin 60︒=，020043214x x x =++， ∴20031030x x -+=，解得0=3x 或013x =（舍去），∴4MF =， ∵MN MF =，60NMF ∠=︒，∴△MNF 为等边三角形，∴M 到NF直线的距离为42⨯=。
2020学年高考数学(文)二轮复习解题方法与技巧试题(9)选做题 Word版含答案
重点突击专题卷（9）选做题1、[选修4—5:不等式选讲] 已知函数()221f x x x =+--. 1.求()5f x >-的解集;2.若关于 x 的不等式|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠能成立,求实数 m 的取值范围. 2、已知()3f x x a x =-+-.1.当 1a =时,求f ()x 的最小值;2.若不等式()3f x ≤的解集非空,求a 的取值范围. 3、[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()3,f x k x k R =--∈,且()30f x +≥的解集为[1,1]-.1.求k 的值;2.若a 、b 、c 是正实数,且111123ka kb kc ++=,求证: 1231999a b c ++≥. 4、设函数()()3,21f x x g x x =+=- 1.解不等式()()f x g x <;2.若()()24fx g x ax +>+对任意的实数x 恒成立,求a 的取值范围.5、已知函数()12f x x x =+--.1.求不等式()1f x ≥的解集;2.若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空,求 m 的取值范围.6、以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1{3x t y t =+=- (t 为参数),圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,求直线l 被圆C 截得的弦长.7、选修4-4:坐标系与参数方程: 将圆221xy +=上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.1.写出Γ的参数方程;2.设直线l :3260x y +-=与Γ的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.8、已知直线35,2:{132x t l y t=+=+ (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 1.将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;2.设点M 的直角坐标为()5,3,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求MA MB ⋅的值.9、平面直角坐标系xOy 中,曲线C :()2211x y -+=.直线l 经过点(),0Pm ,且倾斜角为6π,以O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.1.写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程;2.若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且1PA PB ⋅=,求实数m 的值.10、已知点P 的直角坐标是(),?x y .以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设点P 的极坐标是(),?ρθ,点Q 的极坐标是()0,?ρθθ+,其中0θ是常数.设点Q 的直角坐标是(),?m n .1.用0,,x y θ表示,m n ;2.若,m n 满足1mn =,且04πθ=,求点P 的直角坐标(),?x y 满足的方程.答案以及解析1答案及解析：答案：1. 3 , 21()2213 1 ,2213 , 2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩故()5f x >-的解集为(2,8)-2.由|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-,(0)a ≠能成立, 得22(1)b a b ax x m a+--≥++-能成立,即2211b b x x m aa+--≥++-能成立,令bt a=,则221(1)t t x x m +--≥++-能成立,由1知, 52212t t +--≤又∵11x x m m ++-≥+ ∴512m +≤∴实数 m 的取值范围: 73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：2答案及解析：答案：1.当 1a =时, ()13132f x x x x x =-+-≥--+=, ………..3分()f x ∴的最小值为2,当且仅当13x ≤≤时取得最小值.2.∵x ∈R 时,恒有()()333, x a x x a x a -+-≥---=- 且不等式()3f x ≤的解集非空,33, 06a a ∴-≤∴≤≤.解析：3答案及解析： 答案：1. ()30f x +≥的解集为[]1,1-,即x k ≤的解集为[]()1,1,0,k ->即有[][],1,1,k k -=-解得1k =;2.证明:将1k =代入可得,1111(,,0)23a b c a b c++=>,则 ()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭233232323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233232222323b a c a c b a b a c b c≥+⋅+⋅+⋅ 32229=+++=,当且仅当23a b c ==,上式取得等号.则有1231999a b c ++≥. 解析：4答案及解析： 答案：1.由已知得321x x +<-,即22321x x +<-,则有231080x x -->,∴23x <-或4x >, 故不等式的解集是()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭2.由已知,设()()()22321hx f x g x x x =+=++-45,317,32145,2x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩, 当3x ≤-时,只需454x ax -->+恒成立,即49ax x <--, ∵30x ≤-<, ∴4994x a x x-->=--恒成立, ∴max94a x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭, ∴1a >-当132x -<<时,只需74ax >+恒成立, 即30ax -<恒成立,只需3301302a a --≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩,∴16a a ≥-⎧⎨≤⎩,∴16a ≤≤,当12x ≥时,只需454x ax +>+恒成立, 即41ax x <+,∵102x ≥>,∴4114x a x x +<=+恒成立,∵144x+>,且无限趋近于4,∴4a ≤,综上, a 的取值范围是(]1,4-解析：5答案及解析：答案：1.当1?x ≤-时, 10x +≤,20x -≤,()(1)((2))123f x x x x x ∴=-+---=--+-=-, 当12x -<≤时, 1? 0x +>,20x -≤, ()1((2))21f x x x x =+---=-,当2x >时, 1? 0x +>,20x ->,()1(2)3f x x x =+--=,3,1(){21,123,2x f x x x x -≤-∴=--<≤>,令2111x x -≥⇒≥,又31-<,31>, 综上,()1f x ≥的解集为[)1,+∞.2. 2()f x x x m ≥-+⇔22223,1(){31,123,2x x x m f x x x x x x x x x -+-<-≤-+=-+--<<-+≠>,令2()()g x f x x x =-+解集非空max ()m g x ⇔≤,当1x ≤-时, 23x x -+-对称轴为332(1)2x -==-, 故此时()2333122g x ⎛⎫≤-+⨯- ⎪⎝⎭9951424=-+-=,当2x >时23x x -++对称轴为()11212x -==-在(]2,+∞递减,故()()222231gx g <=-++=, 综上()gx 最大值为54,故m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.解析：6答案及解析：答案：直线l 的参数方程13x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为直角坐标方程是4y x =-,圆C 的极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是2240x y x +-=.圆C 的圆心()2,0到直线40x y --=的距离为222d ==. 又圆C 的半径2r =,因此直线l 被圆C 截得的弦长为22222x d -=.解析：7答案及解析： 答案：1.设()11,x y 为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(),?x y ,依题意,得112,{3.x x y y ==即11,2{.3xx y y ==.由22111x y +=,得22122x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即曲线Γ的方程为22149x y +=.故Γ的参数方程为2cos {3sin x ty t == (t 为参数).2.由221,{493260,x y x y +=+-=解得2{0x y ==或0{3x y ==. 不妨设1(2,0)P ,2(0,3)P ,则线段12PP 的中点坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭,所求直线的斜率23k =. 于是所求直线方程为()32123y x -=-, 即4650x y -+=.化为极坐标方程,得4cos 6sin 50ρθρθ-+=. 解析：8答案及解析：答案：1. 2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=. ①将222x y ρ=+,cos x ρθ=代入①,即得曲线C 的直角坐标方为2220xy x +-=. ②2.将35,2{132x t y t=+=+代入②, 得253180tt ++=.设这个方程的两个实根分别为1t ,2t , 则由参数t 的几何意义即知, 1218MA MB t t ⋅==.解析：9答案及解析：答案：1.曲线C 的直角坐标方程为: ()2211x y -+=,即222xy x +=,即22cos ρρθ=,所以曲线C 的极坐标方程为: 2cos ρθ=.直线l 的参数方程为3,2{1.2x m t y t =+=(t 为参数). 2.设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,将直线l 的参数方程代入222x y x +=中,得()223320t m t m m +-+-=,所以2122t t m m =-,由题意得221m m -=,解得1m =或12m =+或12m =-.解析：10答案及解析： 答案：1.由题意知cos ,{sin ,x y ρθρθ==且()()00cos ,{sin .m n ρθθρθθ=+=+所以0000cos cos sin sin ,{sin cos cos sin ,m n ρθθρθθρθθρθθ=-=+所以0000cos sin ,{sin cos .m x y n x y θθθθ=-=+2.由1可知22,22{22,22m x y n x y =-=+又1mn =, 所以222212222x y x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.整理得22122x y -=. ∴22122x y -=即为所求方程. 解析：。
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷 解答题 共八套 文
解答题(一)17．(2019·安徽皖南八校第三次联考)党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：品，①求这5件产品中，优等品和合格品各有多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位应选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫？解(1)①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品有3件，合格品有2件．②记3件优等品分别为A，B，C,2件合格品分别为a，b，从中随机抽取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，设“这2件中恰有1件是优等品”为事件M，则事件M发生的情况有6种，所以P(M)＝610＝35.(2)根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品．设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为T1元，乙种生产方式每生产100件所获得的利润为T2元，可得T1＝60×(55－15)＋40×(25－15)＝2800(元)，T2＝80×(55－20)＋20×(25－20)＝2900(元)，由于T1＜T2，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，故该扶贫单位应选择乙种生产方式来帮助该扶贫村脱贫．18．已知等差数列{a n}的公差d>0，其前n项和为S n，且S5＝20，a3，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为S 5＝5a 1＋a 52＝20，所以a 1＋a 5＝8，所以a 3＝4，即a 1＋2d ＝4， ①因为a 3，a 5，a 8成等比数列，所以a 25＝a 3a 8， 所以(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简，得a 1＝2d ， ②联立①和②，得a 1＝2，d ＝1， 所以a n ＝n ＋1. (2)因为b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ＝1n ＋1n ＋2＋n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n ，所以T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＋n n ＋12＝n 2n ＋2＋n n ＋12＝n 3＋3n 2＋3n2n ＋2. 19．(2019·广东梅州总复习质检)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′－EC －B 是直二面角．(1)证明：BE ⊥CD ′；(2)求点E 到平面BCD ′的距离．解 (1)证明：∵AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点， ∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥EC .又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，平面D ′EC ∩平面BEC ＝EC ，BE ⊂平面BEC ，∴BE ⊥平面D ′EC ，∵CD ′⊂平面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′. (2)由已知及(1)得，BE ⊥平面D ′EC ，BE ＝2， ∴V B －D ′EC ＝13BE ·S △D ′EC ＝13×2×12×1×1＝26.ED ′⊂平面D ′EC ，∴BE ⊥ED ′，ED ′＝1，∴BD ′＝ 3.在△BD ′C 中，BD ′＝3，CD ′＝1，BC ＝2.∴BC 2＝(BD ′)2＋(CD ′)2，∠BD ′C ＝90°. ∴S △BD ′C ＝12BD ′·CD ′＝32.设点E 到平面BCD ′的距离为d . 则V B －D ′EC ＝V E －BCD ′＝13d ·S △BCD ′，∴13×32d ＝26，得d ＝63. 所以点E 到平面BCD ′的距离为63. 20．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知函数f (x )＝x －11＋x ，g (x )＝(ln x )2－2a ln x＋13a . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若存在x 1∈[0,1]，使得对任意的x 2∈[1，e 2]，f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1＋11＋x2>0，又x ≠－1，故f (x )在(－∞，－1)为增函数，在()－1，＋∞也为增函数．(2)由(1)可知，当x ∈[0,1]时，f (x )为增函数，f (x )max ＝f (1)＝12，由题意可知g (x )＝(ln x )2－2a ln x ＋13a ≤12对任意的x ∈[0,2]恒成立．令t ＝ln x ，则当x ∈[1，e 2]时，t ∈[0,2]，令h (t )＝t 2－2at ＋13a －12，问题转化为h (t )≤0对任意的t ∈[0,2]恒成立，由抛物线h (t )的开口向上，知⎩⎪⎨⎪⎧h0≤0，h2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧13a －12≤0，4－4a ＋13a －12≤0，解得2122≤a ≤32.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，32.21．(2019·安徽蚌埠第三次质检)已知点E (－2,0)，F (2,0)，P (x ，y )是平面内一动点，P 可以与点E ，F 重合．当P 不与E ，F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为－14.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围． 解 (1)当P 与点E ，F 不重合时，k PE ·k PF ＝－14，得y x ＋2·yx －2＝－14，即x 24＋y 2＝1(y ≠0)， 当P 与点E ，F 重合时，P (－2,0)或P (2,0)． 综上，动点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S ＝8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y ＝kx ＋m ，则其对边方程为y ＝kx －m ，另一边所在直线方程为y ＝－1k x ＋n ，则其对边方程为y ＝－1kx －n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝0， 即4k 2＋1＝m 2. 矩形的一边长为d 1＝|2m |k 2＋1，同理，4k 2＋1＝n 2， 矩形的另一边长为d 2＝|2n |1k2＋1， S ＝d 1·d 2＝|2m |k 2＋1·|2n |1k2＋1＝|4mnk |k 2＋1 ＝44k 2＋1k 2＋4k 2＋12＝44k 4＋17k 2＋4k 2＋12＝44＋9k 2k 2＋12＝44＋9k 2＋1k2＋2∈(8,10]． 综上，S ∈(8,10]．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ(t 为参数)，θ∈[0，π)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)在直角坐标系xOy 中，求圆C 的圆心的直角坐标；(2)设点P (1，3)，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求证：|PA |·|PB |为定值，并求出该定值．解 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝43sin θ＋4cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 则圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0， 圆心坐标为C (2，23)．(2)证明：将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ代入圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0，得t 2－(23sin θ＋2cos θ)t －12＝0，设点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－12， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12.23．(2019·四川广安、眉山毕业班第一次诊断性考试)已知不等式|2x ＋1|＋|x －1|<3的解集为M .(1)求M ；(2)若m ，n ∈M ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1.解 (1)当x <－12时，不等式即为－2x －1－x ＋1<3，解得－1<x <－12；当－12≤x ≤1时，不等式即为2x ＋1－x ＋1<3，解得－12≤x <1；当x >1时，不等式即为2x ＋1＋x －1<3，此时无解． 综上可知，不等式的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：m ，n ∈(－1,1)，欲证⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1，需证|m －n |<|mn －1|，即证(m －n )2<(mn －1)2， 即m 2＋n 2－2mn <m 2n 2－2mn ＋1， 即证(m 2－1)(n 2－1)>0， 因为m ，n ∈(－1,1)，所以(m 2－1)(n 2－1)>0显然成立． 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1成立．解答题(二)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解 (1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .由余弦定理可得a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)∵cos B ＝14(B ∈(0，π))，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14. ∴b ＝4.18．(2019·河北唐山一模)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把△AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PB ＝BE .(1)证明：BC ⊥平面PBE ； (2)求点F 到平面PEC 的距离．解 (1)证明：因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF ∥BC ，因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ，又因为BE ∩PE ＝E ，所以EF ⊥平面PBE ，所以BC ⊥平面PBE .(2)如图，取BE 的中点O ，连接PO ，由(1)知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ，所以平面PBE ⊥平面BCFE ，因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ，所以PO ⊥平面BCFE, 在Rt △POC 中，PC ＝PO 2＋OC 2＝25，在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝25， 在△PEC 中，PC ＝EC ＝25，PE ＝2，所以S △PEC ＝19，又S △ECF ＝2，设点F 到平面PEC 的距离为d ，由V F －PEC ＝V P －ECF 得S △PEC ·d ＝S △ECF ·PO ，即19×d ＝2×3，所以d ＝25719.即点F 到平面PEC 的距离为25719.19．(2019·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表： 消费金额(单位：元) [0,200] (200,400](400,600](600,800](800,1000]购物单张数252530？？的频率分布直方图所估计出的每单消费金额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：(1)估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费金额超过800元的概率； (2)为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为121.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，预测商场今年国庆期间采购奖品的开销．解 (1)因消费金额在区间[0,400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400.设所求概率为p ，而消费金额在(0,600]的概率为0.8，故消费金额在区间(600,800]内的概率为0.2－p .因此消费金额的平均数可估计为100×0.25＋300×0.25＋500×0.3＋700×(0.2－p )＋900×p .令其与中位数400相等，解得p ＝0.05.(2)设等比数列公比为q (q ＞0)，根据题意121＋q 21＋q 221＝1，即q 2＋q －20＝0，解得q ＝4.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121，421，1621.今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000.其中具有抽奖资格的单数为21000×(0.15＋0.05)＝4200， 故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200,800,3200.于是，采购奖品的开销可估计为200×500＋800×200＋3200×100＝580000(元)． 20．在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，动直线l ′垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l ′于点P ，设点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)以曲线C 上的点Q (x 0，y 0)(y 0>0)为切点作曲线C 的切线l 1，设l 1分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，且l 1恰与以定点M (a,0)(a >2)为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求△ABF 与△QAM 面积的比．解 (1)由题意得|PH |＝|PF |，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到定点F (1,0)的距离，∴点P 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线，∴点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：由y 2＝4x ，当y >0时，y ＝2x ， ∴y ′＝1x，∴以Q 为切点的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，∴以Q (x 0，y 0)(y 0>0)为切点的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y －y 0＝2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 204，整理得4x －2y 0y ＋y 20＝0.令x ＝0，则y ＝y 02，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02， 令y ＝0，则x ＝－y 204＝－x 0，∴A (－x 0,0)， 点M (a,0)到切线l 1的距离d ＝y 20＋4a 2y 20＋4＝y 20＋42＋2a －2y 20＋4≥2a －1(当且仅当y 0＝2a －2时，取等号)．∴当点Q 的坐标为(a －2,2a －2)时，满足题意的圆M 的面积最小． 此时A (2－a,0)，B (0，a －2)．S △ABF ＝12|1－(2－a )||a －2|＝12(a －1)a －2， S △AQM ＝12|a －(2－a )||2a －2|＝2(a －1)·a －2.∴S △ABF S △AQM ＝14，∴△ABF 与△QAM 面积之比为1∶4. 解法二：由题意知切线l 1的斜率必然存在， 设为k ，则l 1：y －y 0＝k (x －x 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0，y 2＝4x ，得y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2－x 0，即y 2－4k y ＋4ky 0－y 20＝0，由Δ＝0，得k ＝2y 0，∴l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0. 以下解答同解法一．21．(2019·河北中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝e x－x －a (a ∈R )． (1)当a ＝0时，求证：f (x )＞x ； (2)讨论函数f (x )零点的个数．解 (1)证明：当a ＝0时，f (x )＝e x－x ，令g (x )＝f (x )－x ＝e x－x －x ＝e x－2x ，则g ′(x )＝e x－2，当g ′(x )＝0时，x ＝ln 2；当x ＜ln 2时，g ′(x )＜0，x ＞ln 2时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以x ＝ln 2是g (x )的极小值点，也是最小值点，即g (x )min ＝g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln e2＞0，故当a ＝0时，f (x )＞x 成立．(2)f ′(x )＝e x－1，由f ′(x )＝0得x ＝0，当x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以x ＝0是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，即f (x )min ＝f (0)＝1－a .当1－a ＞0，即a ＜1时，f (x )没有零点，当1－a ＝0，即a ＝1时，f (x )只有一个零点，当1－a ＜0，即a ＞1时，因为f (－a )＝e －a－(－a )－a ＝e －a＞0，所以f (x )在(－a,0)上只有一个零点．由(1)，得e x＞2x ，令x ＝a ，则得e a＞2a ，所以f (a )＝ea－a －a ＝e a－2a ＞0，于是f (x )在(0，a )上有一个零点．因此，当a ＞1时，f (x )有两个零点．综上，当a ＜1时，f (x )没有零点；当a ＝1时，f (x )只有一个零点； 当a ＞1时，f (x )有两个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．直线l 与x 轴交于点A .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线l ′：θ＝π6(ρ≥0)，直线l 与射线l ′交于点B . (1)求B 点的极坐标；(2)若点P 是椭圆C ：x 2＋y 23＝1上的一个动点，求△PAB 面积的最大值及面积最大时点P的直角坐标．解 (1)l ：y ＝3(x －3)＝3x －3， 则l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ－3. 令θ＝π6得ρ＝3，∴B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6.(2)∵|AB |＝|OA |＝3，∴S ＝3d2. 设P 点坐标为(cos α，3sin α)，l ：3x －y －3＝0.∴d ＝|3cos α－3sin α－3|2＝32|(cos α－sin α)－3|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－3. 当α＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )时，d max ＝3＋62，∴S max ＝33＋324.此时cos α＝cos 3π4＝－22，sin α＝sin 3π4＝22，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，62.23．设函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|. (1)求函数f (x )的最小值；(2)若直线y ＝a 与曲线y ＝f (x )围成的封闭区域的面积为9，求a 的值． 解 (1)①当x ≥2时，f (x )＝3x －3≥3； ②当－1<x <2时，f (x )＝5－x ∈(3,6)； ③当x ≤－1时，f (x )＝3－3x ≥6， ∴f (x )min ＝3.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ≥2，5－x ，－1<x <2，3－3x ，x ≤－1，f (x )的图象如图所示：y ＝6与y ＝f (x )围成的三角形面积为S ＝12×[3－(－1)](6－3)＝6<9，∴a >6.故y ＝f (x )，y ＝6，y ＝a 围成的梯形面积为3. 令f (x )＝3x －3＝a ⇒x 1＝a ＋33；令f (x )＝3－3x ＝a ⇒x 2＝3－a3，故梯形面积为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋33－3－a 3(a －6)＝3，∴a ＝3 5.解答题(三)17．已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n . (1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2， ∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2.∵a n ＋1－a n ＝b n ， ∴a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2， a 4－a 3＝b 3，…a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)，a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2)＝21－2n1－2－2(n －1)＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)．∵a 1＝2＝21＋1－2×1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．18．(2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面ABC 是等边三角形，侧面AA ′C ′C ⊥底面ABC ，D 是棱BB ′的中点．(1)求证：平面DA ′C ⊥平面ACC ′A ′；(2)求平面DA ′C 将该三棱柱分成上、下两部分的体积比．解 (1)证明：如图，取AC ，A ′C ′的中点O ，F ，连接OF 与A ′C 交于点E ，连接DE ，OB ，B ′F ，则E 为OF 的中点，OF ∥AA ′∥BB ′，且OF ＝AA ′＝BB ′，所以BB ′FO 是平行四边形．又D 是棱BB ′的中点，所以DE ∥OB .侧面AA ′C ′C ⊥平面ABC ，且OB ⊥AC ，所以OB ⊥平面ACC ′A ′，则DE ⊥平面ACC ′A ′，又DE ⊂平面DA ′C ，所以平面DA ′C ⊥平面ACC ′A ′.(2)连接A ′B ，设三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积为V .故四棱锥A ′－BCC ′B ′的体积V A ′－BCC ′B ′＝V －13V ＝23V ，又D 是棱BB ′的中点，△BCD 的面积是BCC ′B ′面积的14，故四棱锥A ′－B ′C ′CD 的体积V A ′－B ′C ′CD ＝34V A ′－BCC ′B ′＝34×23V ＝12V ，故平面DA ′C 将该三棱柱分成上、下两部分的体积比为1∶1.19．(2019·江西南昌第一次模拟)市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换(用频率估计概率)．(1)根据频率直方图估算B 型节能灯的平均使用寿命；(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p ，那么n 支灯管估计需要更换np 支．若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由． 解 (1)由图可知，各组中值依次为3100,3300,3500,3700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B 型节能灯的平均使用寿命为3100×0.1＋3300×0.3＋3500×0.4＋3700×0.2＝3440小时．(2)由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B 型节能灯需更换的支数为5×0.8＝4.(3)若选择A 型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元； 若选择B 型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元． 因为967.5＞870，所以该商家应选择A 型节能灯．20．(2019·河北石家庄模拟一)已知函数f (x )＝ln x －4ax ，g (x )＝xf (x )． (1)若a ＝18，求g (x )的单调区间；(2)若a ＞0，求证：f (x )≤14a－2.解 (1)由a ＝18，g (x )＝x ln x －12x 2(x ＞0)，g ′(x )＝ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，h ′(x )＝1－xx，故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (1)＝0，从而当x ＞0时，g ′(x )≤0恒成立，故g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：f ′(x )＝1x －4a ＝1－4ax x ，由a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝14a ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，＋∞上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＝ln 14a －1，只需证明ln 14a －1≤14a －2，令t ＝14a＞0，即证ln t －t ＋1≤0(*)，由(1)易知(*)式成立，故原不等式成立．21．(2019·广东深圳适应性考试)在平面直角坐标系xOy 中，离心率为63的椭圆C ：x2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，63. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线x ＋y ＋m ＝0上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3b 2，又1a 2＋23b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得G (±3，±1)．②当过点G 的椭圆C 的切线的斜率均存在时，设G (x 0，y 0)，x 0≠±3，切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，代入椭圆方程得(3k 2＋1)x 2－6k (kx 0－y 0)x ＋3(kx 0－y 0)2－3＝0，Δ＝[6k (kx 0－y 0)]2－4(3k 2＋1)·[3(kx 0－y 0)2－3]＝0，化简得(kx 0－y 0)2－(3k 2＋1)＝0，则(x 20－3)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y 20－1x 20－3. 因为两条切线相互垂直，所以y 20－1x 20－3＝－1，即x 20＋y 20＝4(x 0≠±3)，由①②知点G 在圆x 20＋y 20＝4上，又点G 在直线x ＋y ＋m ＝0上， 所以直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4有公共点，所以|m |1＋1≤2，所以－22≤m ≤2 2.综上所述，m 的取值范围为[－22，22]．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2. (1)写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA →·PB →的取值范围．解 (1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)．直线l 的直角坐标方程为x＋y －2＝0.(2)由直线l 的方程x ＋y －2＝0可得点A (2,0)， 点B (0,2)．设点P (x ，y )，则PA →·PB →＝(2－x ，－y )·(－x,2－y )＝x 2＋y 2－2x －2y .由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，则PA →·PB →＝4sin θ＋2cos θ＋4＝25sin(θ＋φ)＋4，其中tan φ＝12.因为θ∈R ，所以4－25≤PA →·PB →≤4＋2 5. 23．已知函数f (x )＝|x －a |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a .(1)当a ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈[1,2]时，求证：f 2(x )＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤5.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|， 所以|x －1|－|x ＋1|≥0， 得(x －1)2≥(x ＋1)2，解得x ≤0. 所以定义域为(－∞，0]．(2)证明：f 2(x )＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x －a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x ＋1a ≤2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≤5(a ∈[1,2])，当且仅当a ＝2时等号成立．解答题(四)17．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4. 因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.18．(2019·北京人大附中信息卷二)某绿色有机水果店中一款有机草莓，味道鲜甜．店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收．(1)若水果店一天购进17斤草莓，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：斤，n ∈N )的函数解析式；(2)水果店记录了100天草莓的日需求量(单位：斤)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数1422141615136元)的平均数；②若水果店一天购进17斤草莓，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于150元的概率．解 (1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝17×10＝170；当日需求量n ≤16时，利润y ＝10n －8(17－n )＝18n －136.所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧18n －136，n ≤16，n ∈N *，170，n ≥17，n ∈N *.(2)①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，则日需求量为14斤时，利润为116；日需求量为15斤时，利润为134；日需求量为16斤时，利润为152；日需求量不小于17时，利润为170.故这100天的日利润(单位：元)的平均数为 y －＝1100×(14×116＋22×134＋14×152＋16×170＋15×170＋13×170＋6×170)，解得y －＝152(元)．②利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤．以频率预估概率，得当天的利润不少于150元的概率为p ＝0.14＋0.16＋0.15＋0.13＋0.06＝0.64.19．(2019·江西省名校5月联考)已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为13的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并证明；(2)求点B 到平面AEC 的距离．解 (1)如图所示，分别取BC 和BD 的中点H ，G ，作直线HG ，则HG 为所求直线．证明如下：因为点H ，G 分别为BC 和BD 的中点，所以HG ∥CD ，分别取CD ，BC 的中点O ，H ，连接EO ，AH ，则EO ⊥CD ，AH ⊥BC ，因为平面CDE ⊥平面BCD ，且EO ⊥CD ，∴EO ⊥平面BCD ，又平面ABC ⊥平面BCD ，AH ⊥BC ，则AH ⊥平面BCD ，所以EO ∥AH ，又AH ⊄平面CDE ，EO ⊂平面CDE ，所以AH ∥平面CDE .因为GH ∥CD ，GH ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以GH ∥平面CDE ，因为AH ，GH ⊂平面AGH ，AH ∩GH ＝H ，则平面AHG ∥平面CDE ，所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行．(2)由(1)可得EO ∥AH ，即EO ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离和点O 到平面ABC 的距离相等，连接DH ，则DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，则DH ⊥平面ABC .记点E 到平面ABC 的距离为d ，则d ＝12DH ＝32，又△ABC 的面积S ＝12×2×13－1＝23，△ACE 的面积S 1＝12×13×32＝394，因为V E －ABC ＝V B －ACE ，设点B 到平面AEC 的距离为h ，所以13×23×32＝13×394×h ， 解得h ＝43913.即点B 到平面AEC 的距离为43913.20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 上的点M (2，y 0)到F 的距离为3. (1)求抛物线C 的方程；(2)斜率存在的直线l 与抛物线相交于相异两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，若AB 的垂直平分线交x 轴于点G ，且GA →·GB →＝5，求直线l 的方程．解 (1)由抛物线定义知|MF |＝2＋p2，所以2＋p2＝3，p ＝2，所以，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：设AB 中点坐标(2，m )，直线l 的斜率存在，所以m ≠0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2m，所以直线AB 的方程为y －m ＝2m(x －2)．即2x －my ＋m 2－4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝my －m 2＋4，y 2＝4x ，得y 2－2my ＋2m 2－8＝0，其中Δ>0得到m2<8，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ， ①y 1y 2＝2m 2－8， ②AB 的垂直平分线方程为y －m ＝－m2(x －2)，令y ＝0，得x ＝4，所以G (4,0)，GA →＝(x 1－4，y 1)，GB →＝(x 2－4，y 2)， 因为GA →·GB →＝5，所以(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝5，x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝5，y 21y 2216－4×4＋16＋y 1y 2＝5. ③把②代入③得(m 2－4)2＋8(m 2－4)－20＝0， (m 2＋6)·(m 2－6)＝0，m 2＝6<8，m ＝± 6.所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0. 解法二：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 消y 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0或消x 得ky 2－4y ＋4m ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk ＋4k 2＝4，x 1x 2＝m 2k 2，y 1y 2＝4m k，Δ＝16－16km >0，即2k 2＋mk ＝2. ①AB 中点坐标为(2,2k ＋m )，AB 的垂直平分线方程为y －(2k ＋m )＝－1k(x －2)．令y ＝0，x G ＝2k 2＋mk ＋2＝4，所以GA →·GB →＝(x 1－4，y 1)·(x 2－4，y 2)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝m 2k2－16＋16＋4m k＝5，m 2k 2＋4mk－5＝0. 解得m ＝k 或m ＝－5k ，分别代入①得3k 2＝2(符合Δ>0)或3k 2＝－2(舍去)． 所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0.21．(2019·安徽皖南八校联考三)已知函数f (x )＝a ln x －(a 2＋1)x ＋12ax 2，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )＋x ＞0对x ＞1恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)由题意，得f ′(x )＝a x－a 2－1＋ax ＝ax －1x －ax(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，没有单调递增区间． 当0＜a ＜1时，当a ＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜a 或x ＞1a时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为(0，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a .当a ＝1时，f ′(x )≥0对x ＞0成立，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．当a ＞1时，当1a＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜1a或x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，a .(2)f (x )＋x ＞0，即a ln x －a 2x ＋12ax 2＞0，当a ＞0时，ln x －ax ＋12x 2＞0，a ＜ln x x ＋12x ，令g (x )＝ln x x ＋12x ，x ≥1，则g ′(x )＝1－ln x x 2＋12＝2－2ln x ＋x22x 2，令h (x )＝2－2ln x ＋x 2，则h ′(x )＝2x －2x，当x ≥1时，h ′(x )≥0，h (x )是增函数，h (x )≥h (1)＝3＞0，∴g ′(x )＞0.∴当x ≥1时，g (x )是增函数，g (x )的最小值为g (1)＝12，∴0＜a ≤12.当a ＝0时，显然f (x )＋x ＞0不成立，当a ＜0时，由g (x )的最小值为12，且g (x )没有最大值，得a ＞g (x )不成立，综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 22．在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为(ρcos φ＋k )2＋(ρsin φ－2)2＝k 2＋25(φ为参数，k ∈R )．(1)写出C 1，C 2的直角坐标方程；(2)是否存在曲线C 2包围曲线C 1？请说明理由． 解 (1)C 1：x 236＋y 29＝1，C 2：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0.(2)若k ≥0，由62＋02＋12k －0－21＝15＋12k >0可知点(6,0)在曲线C 2外； 若k <0，(－6)2＋02－12k －0－21＝15－12k >0可知点()－6，0在曲线C 2外．综上，无论k 取何值，曲线C 2都不能包围曲线C 1. 23．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x ＋1|.(1)在图中画出f (x )和g (x )的图象，并写出不等式f (x )>g (x )的解集； (2)若|f (x )－2g (x )|≤a (a ∈R )恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )，g (x )的图象如图，不等式f (x )>g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >0或x <－23.(2)|f (x )－2g (x )|＝||2x ＋1|－2|x ＋1||＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >－12或x <－1，|4x ＋3|，－1≤x ≤－12，所以|f (x )－2g (x )|≤1，所以a ≥1.解答题(五)17．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．某共享单车公司为了更好地服务用户，在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对该公司的车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中较为详细的评价信息里随机选出200条进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计 对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意40 30 70 合计14060200(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系？(2)为了回馈用户，该公司通过APP 向用户随机派送骑行券．用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP 转赠给好友．某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券．现该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的2张中至少有1张是一元券的概率．参考数据：P (K 2≥k 0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)由2×2列联表的数据，得K 2的观测值 k ＝200×100×30－40×302130×70×140×60＝200×18213×7×14×6＝5400637≈8.48<10.828. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系．(2)把2张一元券分别记作A ，B ，其余3张券分别记作a ，b ，c ，则从5张骑行券中随机选取2张的所有情况有：{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{A ，B }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，共10种．记“选取的2张中至少有1张是一元券”为事件M ，则事件M 包含的基本事件个数为7， 所以P (M )＝710，所以该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，选取的2张中至少有1张是一元券的概率为710.18．已知△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝42，点D 在线段AC 上，∠DBC ＝π4.(1)若△BCD 的面积为24，求CD 的长；(2)若C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且c ＝122，tan A ＝13，求CD 的长．解 (1)由S △BCD ＝12·BD ·BC ·22＝24，解得BD ＝12.在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos45°， 即CD 2＝32＋144－8×12，解得CD ＝4 5.(2)因为tan A ＝13，且A ∈(0，π)，可以求得sin A ＝1010，cos A ＝31010.由正弦定理，得asin A ＝c sin C ，即421010＝122sin C， 解得sin C ＝31010.因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos C ＝1010，故sin ∠BDC ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝255.在△BCD 中，由正弦定理可得CDsin ∠DBC＝BCsin ∠BDC，解得CD ＝2 5.19．(2019·广东天河区毕业综合测试二)如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，∠FBD ＝60°，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2.(1)若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (2)求六面体ABCEF 的体积．解 (1)证明：如图，连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且∠FBD ＝60°，∴△DBF 为等边三角形． ∵M 为BF 的中点， ∴DM ⊥BF ，∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，又D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC .∵平面BDEF ∩平面ABC ＝BD ，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF . 又BF ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥BF ，由DM ⊥BF ，AC ⊥BF ，DM ∩AC ＝D ，∴BF ⊥平面AMC .(2)∵S 菱形BDEF ＝2·12·BD ·BF ·sin60°＝32，又AC ⊥平面BDEF ，D 是AC 的中点，∴V 六面体ABCEF ＝2V 四棱锥C －BDEF ＝2×13S 菱形BDEF ·CD＝2×13×32×1＝33.∴六面体ABCEF 的体积为33. 20．(2019·湖南株洲二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得的线段的长度为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA →＋OB →＝OD →，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝－1或x ＝1，此时四边形OADB 的面积为 6.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1 ⇒(1＋2k 2)x2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，Δ＝8(4k 2＋2－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－41＋2k2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·2 2 4k 2＋2－m21＋2k 2， 又点O 到直线AB 的距离是d ＝|m |1＋k2，由OA →＋OB →＝OD →，得x D ＝－4km 1＋2k 2，y D ＝2m 1＋2k 2. 因为点D 在曲线C 上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1＋2k 222＝1，整理得1＋2k 2＝2m 2，由题意知四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为 S OADB ＝|AB |d ＝1＋k 22 2 4k 2＋2－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝22|m |4k 2＋2－m21＋2k2. 由1＋2k 2＝2m 2得S OADB ＝6， 故四边形OADB 的面积是定值，其定值为 6. 21．(2019·河南洛阳第二次统一考试)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＞0，函数f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12x 2－a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax.①当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a ，f ′(x )＜0得0＜x ＜a . 即f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)当a ＞0时，由(1)知f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， ①若a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )在(1，e)上单调递增，f (1)＝12，f (x )在区间(1，e)上无零点．②若1＜a ＜e ，即1＜a ＜e 2时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝12a (1－ln a )．∵f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝12＞0，f a ＝12a 1－ln a ＜0，fe ＝12e 2－a ＞0，∴e ＜a ＜12e 2.③若a ≥e，即a ≥e 2时，f (x )在(1，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝12e 2－a ＜0，则f (x )在区间(1，e)上有一个零点．综上，f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点时a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，12e 2. 22．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)解法一：由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点.综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.解法二：因为C 2：(x ＋1)2＋y 2＝4，所以C 2是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆． 又因为C 1：y ＝k |x |＋2是关于y 轴对称的曲线，且C 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0，显然，若k ＝0时，C 1与C 2相切，此时只有一个交点； 若k >0时，C 1与C 2无交点． 若C 1与C 2有且仅有三个公共点，则必须满足k <0且y ＝kx ＋2(x >0)与C 2相切，所以圆心到射线的距离为d ，则d ＝|2－k |1＋k2＝2，所以k ＝0或k ＝－43，因为k <0，所以k ＝－43，所以C 1：y ＝－43|x |＋2.23．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.解答题(六)17．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＋2a cos B ＝c . (1)求证：B ＝2A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求a 的取值范围． 解 (1)证明：因为a ＋2a cos B ＝c ，由正弦定理知sin A ＋2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A ＝cos A sin B －sin A cos B ＝sin(B －A )．因为A ，B ∈(0，π)，所以B －A ∈(－π，π)， 且A ＋(B －A )＝B ∈(0，π)，所以A ＋(B －A )≠π， 所以A ＝B －A ，B ＝2A .(2)由(1)知A ＝B 2，C ＝π－A －B ＝π－3B2.由△ABC 为锐角三角形得⎩⎪⎨⎪⎧0<B 2<π2，0<B <π2，0<π－3B 2<π2，得π3<B <π2. 由a ＋2a cos B ＝2，得a ＝21＋2cos B∈(1,2)．18．(2019·安徽江淮十校第三次联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点，点E 在侧棱CC 1上，DE ∥平面AB 1C 1.。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第9讲函数的图象与性质练习2
(4)对于抽象函数一般用定义法． 3.三招判断函数奇偶性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
1.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的
1
1
e11k＝2，当 x＝33 时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝8×192＝24.
1 本题易错点有二：一是指数式的运算 e22k＋b＝e22keb 能否正确运用；二是利用 e11k＝2整体代换的 技巧而求解本题.
真题自检感悟 1.(2018·浙江高考)函数 y＝2|x|sin2x 的图象可能是( )
答案 D
1 解析 如图，分别画出两函数 y＝f(x)和 y＝－4x＋a 的图象．
1
(1)先研究当 0≤x≤1 时，直线 y＝－4x＋a 与 y＝2 x的图象只有一个交点的情况．
1
当直线 y＝－4x＋a 过点 B(1,2)时，
1
9
9
2＝－4＋a，解得 a＝4.所以 0≤a≤4.
1
1
(2)再研究当 x>1 时，直线 y＝－4x＋a 与 y＝x的图象只有一个交点的情况：
是( )
A.0<f(1)<f(3)
B．f(3)<0<f(1)
C.f(1)<0<f(3)
D．f(3)<f(1)<0
答案 C
解析 由 f(x＋2)＝－f(x)得 f(x＋4)＝f(x)，故函数的最小正周期为 4，又函数 f(x)为奇函数，
且 f(x)在[0,2)上单调递减，
2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版考前强化练：9 解答题综合练：B Word版含解析
考前强化练9解答题综合练B1.已知函数f(x)=x2+mx(m>0),数列{a n}的前n项和为S n.点(n,S n)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为-.(1)求数列{a n}的通项公式;,记数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<1.(2)数列{b n}满足b n=--2.(2019山西大同高三三模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.3.2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩,按照成绩[50,60),[60,70),…,[90,100]分成了5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).(1)求频率分布直方图中的x的值,并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)若高三年级共有2 000名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数;(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有1人被抽到的概率.4.(2019河北石家庄高三模拟,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r2(0<r≤)的两条切线PA,PB,切线PA,PB与抛物线C的另一交点分别为A,B,线段AB中点的横坐标记为t,求t的取值范围.5.(2019山东潍坊高三二模,理)已知函数f(x)=x e x-1-a ln x(无理数e=2.718…).(1)若f(x)在(1,+∞)单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,设g(x)=·f(x)-x2-x,证明:当x>0时,g(x)>1--2.6.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若a∈M,试比较|a-1|+|a+1|,-2a的大小.参考答案考前强化练9解答题综合练B1.(1)解f(x)=(x+m)2-,故f(x)的最小值为-=-,又m>0,所以m=,即S n=n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=n;当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=n.(2)证明由(1)知b n=----,所以T n=1-+…+--=1--,所以T n<1.2.(1)证明因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥BD.因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD.因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(2)证明因为底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,所以△ACD为正三角形,所以AE⊥CD,因为AB∥CD,所以AE⊥AB.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以AE⊥PA.因为PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.(3)解存在点F为PB中点时,满足CF∥平面PAE.理由如下:分别取PB,PA的中点F,G,连接CF,FG,EG.在△PAB中,FG∥AB且FG=AB.在菱形ABCD中,E为CD的中点,所以CE∥AB且CE=AB, 所以CE∥FG且CE=FG,即四边形CEGF为平行四边形,所以CF∥EG.又CF⊄平面PAE,EG⊂平面PAE,所以CF∥平面PAE.3.解(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2,故x=0.02.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74(分).由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4,前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7,故中位数在第3组中.设中位数为t分,则有(t-70)×0.03=0.1,所以t=73,即所求的中位数为73分.(2)由(1)可知,50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,由以上样本的频率,可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6=1 200.(3)由(1)可知,后三组中的人数分别为15,10,5,故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90)这组的2名学生分别为d,e,成绩在[90,100]这组的1名学生为f,则从中任抽取3人的所有可能结果为(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b, d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)共20种.其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(a,b,c),只有1种,故后两组中至少有1人被抽到的概率为P=1-.4.解(1)由抛物线定义,得|PF|=x0+,由题意得解得所以抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意知,过P引圆(x-3)2+y2=r2(0<r≤)的切线斜率存在,且不为0.设切线PA的方程为y=k1(x-1)+2,则圆心M(3,0)到切线PA的距离d==r, 整理得,(r2-4)-8k1+r2-4=0.设切线PB的方程为y=k2(x-1)+2,同理可得(r2-4)-8k2+r2-4=0.所以,k1,k2是方程(r2-4)k2-8k+r2-4=0的两根,k1+k2=-,k1k2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由-得k1y2-4y-4k1+8=0,由韦达定理知,2y1=-,所以y1=--2=4k2-2,同理可得y2=4k1-2.设点D的横坐标为x0,则x0=--=2()-2(k1+k2)+1=2(k1+k2)2-2(k1+k2)-3.设t=k1+k2,则t=-∈[-4,-2),所以x0=2t2-2t-3,对称轴t=>-2,所以9<x0≤37.5.(1)解由题意可得f'(x)=(1+x)e x-1---≥0在(1,+∞)内恒成立.∴a≤ x+x2)e x-1.令h(x)=(x+x2)e x-1,则h'(x)=(1+3x+x2)e x-1>0, ∴函数h(x)=(x+x2)e x-1在(1,+∞)内单调递增.∴a≤h(1)=2.∴实数a的取值范围是(-∞,2].(2)证明当a=0时,g(x)=·f(x)-x2-x=e x-x2-x.g'(x)=e x-2x-1.令u(x)=g'(x)=e x-2x-1,则u'(x)=e x-2,可得x=ln 2时,函数u(x)取得极小值,g'(ln 2)=u(ln 2)=1-2ln 2<0.∵g'(0)=0,又g'1+ln 2=-21+ln 2-1=e-3-ln 2>0.∴存在x0∈ln 2,1+ln 2,使得g'(x0)=-2x0-1=0,=2x0+1.由单调性可得,当x=x0时,函数g(x)取得极小值,即最小值,∴g(x ≥g(x0)=-x0=2x0+1--x0=-+x0+1=-x0-2+.由x0∈ln 2,1+ln 2,可得函数y=g(x0)单调递减,故g(x ≥g(x0)>-1+ln 2-2+>1--2.∴当x>0时,g(x)>1--2.6.解(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,解得t1=0,t2=-2, 所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2.(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==|2cos θ+-|.当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+,所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2,即△ABP的面积的最大值为2+2.7.解(1)f(x)=----根据函数f(x)的单调性可知,当x=时,f(x)min=f=.所以函数f(x)的值域M=,+∞.(2)∵a∈M,∴a≥,∴0<≤1.又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3 ∴a≥,知a-1>0,4a-3>0, ∴-->0,∴-2a,所以|a-1|+|a+1|>-2a.。
2020届高考二轮数学选做题题型专练 Word版含答案
2020届高考数学查漏补缺之选做题题型专练1、在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x t y kt==⎧⎨⎩ (t 为参数),直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时, P 的轨迹为曲线 C . (1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3:cos sin 0l ρθθ+=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.2、设函数()()11f x ax x x =++-∈R ．（1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）对任意实数[]2,3x ∈，都有()23f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围．3、在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=1.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；2.直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点, ||AB =,求l 的斜率。
4、已知函数12f x x x =+--（）．（1）求不等式1f x ≥（）的解集；（2）若不等式2–f x x x m ≥+（）的解集非空，求m 的取值范围5、在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=.1.说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;2.直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a.6、已知函数11()22f x x x =++-,不等式()2f x <的解集为M . 1.求M;2.当,a b M ∈时,证明: 1a b ab +<+.7、在平面直角坐标系中,已知曲线:2sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(a 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线():2cos sin 6l ρθθ-=.(1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
卷09-2020年高考数学(文)冲刺逆袭必备卷(解析版)
2020年高考数学（文）冲刺逆袭必备卷09（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是（ ）A ．AB U B ．A B IC ．()U C A B ID ．()U C A B ⋃【答案】D 【解析】 【分析】根据{}{},2,7,82,7,8A B ⊄⊄，再根据全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，求得U A ð，U B ð，再求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，所以{}1,2,6,7,8U A =ð，{}2,3,4,5,7,8U B =ð，所以(){}2,7,8U UU A B A B ⋂=⋃=痧?.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z zω=+，则ω在复平面上对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】设z x yi =+，由1z =，得221x y +=，然后化简ω，得到ω对应的点坐标，再判断.【详解】 设z x yi =+， 因为1z =，所以221x y +=，所以22121x yi x yi x yi x yi x yi x x yi z y z x ω-++=++=++-=+=+=+， 所以ω在复平面上对应的点坐标为()2,0x ， 又因为复数z 的实部不为0， 所以ω在复平面上对应的点在实轴上 故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1 BCD ．2【答案】D【解析】圆224x y +=在点(-处的切线为:4l x -+=，即:40l x --=，点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点，圆心(2,0)到直线:40l x +=的距离3d ==，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ．4．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S = A ．32 B ．31 C ．30D ．29【答案】B【解析】∵174a a =，∴2444,0,2n a a a =>∴=Q .∵47522a a +=，∴714a =. 则3111,,1682q q a =∴==，故55116[1()]2=31112S -=-. 故选B.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．16B．40C．824D．48【答案】A【解析】【分析】判断几何体的形状，上下是正四棱锥中间是正方体，然后求解几何体的表面积．【详解】由题意可知几何体的中间是正方体，上下是两个相同的正四棱锥，如图：正方体的棱长为2，棱锥的高为3，所以该几何体的表面积为：142282162S =⨯⨯+⨯⨯=+ 故选：A.【点睛】本题考查三视图求解几何体是表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于基础题．6．在等腰直角ABC ∆中，,AC BC D =在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-u u u r u u u r u u u r，若60ACD ︒∠=，则t 的值为（ ）AB1CD【答案】A 【解析】根据题意，D 在线段AB 上，过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，作DF BC ⊥ ，垂足为F ，若设AC BC a ==，由于(1)CD tCA t CB =+-u u u r u u u r u u u r，得,(1)CE ta CF t a ==- ，根据题意0060,30ACD DCF ∠=∠= ；00cos60cos30CE CF =，即12ta =，t =， 故选A.7．设函数()f x 定义如下表：执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据流程图执行循环，确定周期，即得结果 【详解】 执行循环得：(5)3,1;(3)2,2;(2)4,3;(4)5,4;x f t x f t x f t x f t ============L所以周期为4，因此5,2020,x t ==结束循环，输出5x =，选B. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.8．把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60o 时，三棱锥D ABC -的体积为( )A ．3B C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】取AC 的中点O ，作DM BO ⊥，结合等腰三角形三线合一、线面垂直判定定理可证得AC ⊥平面BOD ，由线面垂直性质证得BM AC ⊥；根据线面垂直判定定理和线面角的定义可知60DBO ∠=o ，由此可确定DM 的长，即所求三棱锥的高；由棱锥体积公式计算可得结果.【详解】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，作DM BO ⊥AD DC =Q ，AB BC = AC DO ∴⊥，AC BO ⊥,BO DO ⊂Q 平面BOD ，BO DO O =I AC ∴⊥平面BODDM ⊂Q 平面BOD DM AC ∴⊥又DM BO ⊥，,BO AC ⊂平面ABC ，BO AC O ⋂= DM ∴⊥平面ABCBD ∴与平面ABC 所成角即为DBO ∠，则60DBO ∠=oDO BO =Q DBO ∴∆为等边三角形12BO DO ===Q DM ∴=11144332D ABC ABC V S DM -∆∴=⋅=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，涉及到直线与平面所成角的求解、线面垂直的判定与性质定理的应用；关键是能够确定直线与平面所成角的位置，进而求得三棱锥的高.9．函数()()e 11ex xf x x +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵f （−x ）()()()e 11e e 11e e 11e x x x x x xx x x --+++====-----f （x ），∴f （x ）是偶函数，故f （x ）的图象关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0，∴排除B ， 故选A ．10．已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是 A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图象关于直线π3x =对称 D ．()y f x =的图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】函数21()sin cos 2f x x x x =+=1cos 21222x x -+=sin （2x π6-）+1. 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x π6-）+1可知最大值为2，则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x π6-）+1的最小正周期为T ＝π，则B 不对； 对于C ：令2x π6-=ππππ,223k k x k ，Z +\=+?，故图象关于直线π3x =对称，则C 正确；对于D ：令2x π6-=πππ,212k k x k ，Z \=+?，故()y f x =的图象关于点7π,112⎛⎫⎪⎝⎭对称，则D 不对． 故选C ．11．已知命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间；命题q ：函数22g()x x x x ae -=-+，且5()()02g x g x '+-=有三个实根.若p q ⌝∧为真命题，则实数a 的取值范围是：（ ） A ．650,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2312e ⎛⎤-⎥⎝⎦，- C ．651,2e -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间，转化为命题P ⌝：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上不存在单调递减区间，即1()20f x x a x'=-+≥在区间[)1,+∞上恒成立求解.根据5()()02g x g x '+-=有三个实根，转化为227()2x a e x x =+-有三个实根求解，p q ⌝∧为真命题，则两者取交集.【详解】因为命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间， 所以命题P ⌝：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上不存在单调递减区间， 所以1()20f x x a x'=-+≥在区间[)1,+∞上恒成立， 即12a x x≥-+在区间[)1,+∞上恒成立， 因为12y x x=-+在区间[)1,+∞上是减函数， 所以1y ≤-， 所以1a ≥-.所以命题P ⌝：1a ≥-. 因为22g()x x x x ae -=-+，所以2g ()212xx x ae-'=--，又因为5()()02g x g x '+-=有三个实根， 所以22702x x x ae -+--=有三个实根， 即227()2x a e x x =+-有三个实根，令227()2x t e x x =+-， 2222(23)2(1(3)x x t e x x e x x '=+-=-+），当1x >或3x <-时，0t '>，t 是增函数，当31x -<<时，0t '<，t 是减函数，所以当3x =-时，t 取得最大值652e -， 当1x =时，t 取得最小值232e -， 所以263522e a e --<<. 若p q ⌝∧为真命题，则实数a 的取值范围是：651a<2e --≤. 故选：C【点睛】本题主要考查复合命题，导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率为43的直线l 与C 及其准线分别相交于A ，B ，D 三点，则||||AD BD u u u r u u u r 的值为（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．1 D ．4或14【答案】D【解析】【分析】根据题意，设直线方程432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立24322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 得22302y py p --=，设AF FB λ=uu u r uu r ，有12y y λ-=，再由韦达定理()212121221924y y y y y y y y +=++=，解得4λ=或14λ=，再根据抛物线的定义，利用三角形相似性分类讨论求解. 【详解】抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线方程为432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ， 与抛物线方程联立24322p y x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得22302y py p --=， 所以212123,2y y p y y p +==-， 设AF FB λ=uu u r uu r ， 所以1122,,22p p x y x y λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12y y λ-=，而()212121221924y y y y y y y y +=++=-， 所以1924λλ--+=-，即241740λλ-+=，解得4λ=或14λ=， 当4λ=时，如图所示：4AF FB =u u u r u u u r ， 所以5AB FB =u u u r u u u r ， 由抛物线得定义得1FB BB =u u u r u u u r ， 又因为直线的作斜率为43， 所以113sin 5BB BDB BD ∠==u u u r u u u r ， 所以15533BD BB BF ==u u u r u u u r u u u r ， 所以203AD AB BD BF =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以||4||AD BD =u u u r u u u r . 当14λ=时，如图所示：4AF FB =u u u r u u u r ， 所以5AB FA =u u u r u u u r ， 又因为1FA AA =u u u r u u u r ，直线的斜率为43， 所以113sin 5AA ADA AD ∠==u u u r u u u r ， 所以15533AD AA AF ==u u u r u u u r u u u r ，203BD AB AD AF =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以||14||AD BD =u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r ，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r 的值是__________.【答案】12- 【解析】已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r ，所以0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，即AB BC CA +=-u u u r u u u r u u u r ，所以()()22AB BC CA +=-u u u r u u u r u u u r 所以()2222AB AB BC BC CA +⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以12AB BC ⋅=-u u u r u u u r . 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查向量的基本运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 14．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为2π3的等腰三角形，则M 的离心率是__________．【解析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限，故2||2PF c =，等腰12PF F △有一内角为2π3，即212π3PF F ∠=，由余弦定理可得，1||PF ==，由双曲线的定义可得，12||22||PF PF c a -=-=，即1)c a =，解得：e = 15．如图平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为__________．【答案】1+【解析】设∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由余弦定理得，AC 2＝1+3﹣2×1cosα＝4﹣； 由正弦定理得AC AB sin sin αβ=， 则sinβ=；所以BD 2＝3+（4﹣）﹣2cos （90°+β）＝7﹣sinα＝sin （α﹣45°），所以α＝135°时，BD=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16．若数列{}n a 满足：23123222a a a ++()*22n n a n n ++=∈L N ，则数列{}n a 的前n 项和n S 为___________. 【答案】1122n -- 【解析】由()23*12322222n n a a a a n n ++++=∈L N， 得：()2311231222221n n a a a a n --++++=-L (2n ≥且)*n ∈N ，两式作差可得：22n n a =，即：112n n a -=(2n ≥且)*n ∈N ， 由已知等式可得，122a =，解得：11a =，适合上式，()*112n n a n -∴=∈N ， 又11112122n n n n a a +-==， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， 则11111221212n n n S -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--． 故答案为1122n --. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()n a n b n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+， 由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；（2）设()*112n a n a b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n， 可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值；当d ＜0时，T n ()21221212dnd d-=--＜，对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d ≥-，且d ＜0， 解得d ≤29log 10． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥底面,ABCD PDC △是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且60,,22DAB AB CD DC AD AB ∠====P °（1）证明：BD PC ⊥；（2）求A 到平面PBD 的距离.【解析】（1）由余弦定理得BD =222,90,,,BD AB AD ABD BD AB AB DC BD DC ∴+=∴∠=⊥∴⊥Q P °又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC U 底面ABCD DC =，BD ⊂底面ABCD ，BD ∴⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，∴BD PC ⊥.（2）设A 到平面PBD 的距离为h取DC 中点Q ，连结QP ,∵PDC △是等边三角形，∴PQ DC ⊥.又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC U 底面ABCD DC =，PQ ⊂平面PDC ，∴PQ ⊥底面ABCD ，且PQ =由（1）知BD ⊥平面PDC ，又PD ⊂平面PDC ，BD PD ∴⊥.A PBD P ABD V V --∴=，即1111213332h ⨯⨯=⨯⨯解得h . 19．某省确定从2021年开始，高考采用“3十l +2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目，“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学进行讲行调查．（1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理’’的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率，附：2K ()()()()2() n ad bc a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a +b +c +d ． 【解析】（1）因为11020001100n =，所以200n =，女生人数为20011090-=.（2）列联表为：2k 的观测值()2200606050308.9997.8791109090110k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a 、b 、c 、d ；2名女生记为A 、B ，抽取2人所有的情况为(a,?b)、(a,?c)、(a,?d)、(a,?A)、(a,?B)、(b,?c)、(b,?d)、(b,?A)、(b,?B)、(c,?d)、(c,?A)、(c,)B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种， 故所求概率为93155P ==． 20．已知函数()ln (0)b f x a x x a =+≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1].【解析】【分析】(1)通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)原问题等价于()()max min f x f x -，)2e ≤-成立，可得()()11min f x f ==，可得()()f x max f e b eb ==-+，即10b e b e --+≤，设()1bb e b e ϕ=--+，(0)b >，可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式10b e b e --+≤的解集即可．【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22'x a f x x +=． ①当0a >时，()'0f x >，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()'0f x =，解得：x =，当0x <<()'0f x <，所以函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >时，()'0f x >，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． (2)Q 对任意1x ，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()122f x f x e -≤-成立，()()12()()max min f x f x f x f x -≤-，()()max min f x f x ∴-，)2e ≤-成立，0a b Q +=，0b >时，()()()1ln .'b b b x f x b x x f x x -=-+=．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >，()f x ∴在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,e 单调递增， ()()11min f x f ==，1f b e b e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()b f e b e =-+，设()()12b b g b f e f e e b e -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，(0)b >，()'220b b g b e e -=+->=．()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1.f e f e ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭可得()()b max f x f e b e ==-+， 12b b e e ∴-+-≤-，即10b e b e --+≤，设()1b b e b e ϕ=--+，(0)b >，()'10bb e ϕ=->在()0,b ∈+∞恒成立． ()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式10b e b e --+≤的解集为(]0,1．∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数研究函数的单调区间，恒成立问题，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．21．如图，椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率是2，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||QA QB ＝||||PA PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）()0,2Q 【解析】（1）因为过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为，所以椭圆过点.()，所以222112a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,a b ==，所以椭圆得方程为：22142x y +=. （2）当l 平行于x 轴，设直线与椭圆相交于C ，D ，两点，如果存在Q 点满足条件， 则有||||QC QD ＝||1||PC PD =，即||||QC QD =，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为()00,y ， 当 l 垂直于x 轴时，设直线与椭圆相交于M ，N ，两点，如果存在Q 点满足条件，则有||||QM QN ＝||||PM PN=，解得01y =或02y = 所以若存在不同于点P 的顶点Q 满足条件，则Q 点的坐标为()0,2当l 不平行于x 轴，当 l 不垂直于x 轴时，设直线方程为()()12211,,,,y kx A x y B x y =+， 与椭圆方程联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2212420k x kx ++-=， ()()221212224248120,1212k k k x x x x k k --∆=++>+==++， 又因为点B 关于y 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -， 又1122111222212111,,QA QB y kx y kx k k k k x x x x x x '----===-===-+--， 且121220QA QB x x k k k x x '+-=-=，所以QA QB k k '=，则,,Q A B '三点共线， 所以12||||||||x QA QA QB QB x =='＝||||PA PB .故存在存在与点P 不同的定点Q ，使得||||QA QB ＝||||PA PB 恒成立. 【点睛】本题主要考查椭圆方程得求法和直线与椭圆得位置关系以及定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．【解析】（1）将,x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48， 得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-0），又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48， 化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8， 所以12FA FB t t +=-===． （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（02πθ<<），所以内接矩形的面积82S sin θθθ=⋅=，当4πθ=时，面积S取得最大值【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2ρ，cos ρθ,sin ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲选修4-5：不等式选讲已知函数() 1.f x x =+（Ⅰ）解不等式()32f x x >-+；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且2a b +=()f x x -≤【解析】（Ⅰ）()32f x x >-+，即123x x +++>，由绝对值的几何意义得：(,3)(0,)x ∈-∞-⋃+∞；（Ⅱ）()[]11,1f x x x x -=+-∈-Q ，要证()f x x -≤1≤22a b a b +==+≥Q 1,4ab ≤1.==≥【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，还考查了转化思想及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题。
2020届高考数学二轮复习刷题型选填题八文数9
、选择题 1. 设全集 U ^ =x 3x >1 ■，集合 A ={x |x — 1>0}，则？u A =()A. { — 1,1} B . [ — 1,1) C. [ —1,1] D . ( — 1,1] 答案 C解析 因为 U ={x |3 x >3— 1} = {x | x >— 1} , A = {x | x >1}，所以？U A = [ — 1,1]2. 如图，在复平面内，复数 Z 1, Z 2对应的向量分别是 OA OB 则|乙+ Z 2| =()A. 2 C. 2 2 答案 A解析 由题图可知，OA= ( — 2,— 1), 0B= (0,1),Z 1 =— 2— i , Z 2= i , Z 1 + Z 2 =— 2,「. | Z 1 + Z 2| = 2.故选 A.3. 执行右面的程序框图，若输入 a = 5 , b = 2,则输出的i =()A. 3B. 4选填题(八)D. 3 3/输Z fC. 5D. 6 答案 B解析执行程序框图如下：a = 5,b = 2, i = 1, a = 5 + 0.5 X 5= 7.5 , b =2X 2= 4, a w b 否，i = 2. a = 7.5 + 0.5 X 7.5 = 11.25 , b =2X 4= 8, a w b 否，i = 3. a = 11.25 + 0.5 X 11.25 = 16.875 , b =2X 8= 16, a w b 否，i = 4. a = 16.875 + 0.5 X 16.875 = 25.3125 , b =2X 16= 32, a w b 是，输出 i = 4.4.已知等差数列｛a n ｝的前7项和为21，且a s = 7,则数列｛夫啲前10项和为（）A . 1024B . 1023C . 512D . 511 答案 B解析 设等差数列｛a n ｝的公差为d , 「 7X67a 1 +飞一d = 21,由已知得 2解得a 1= 0, d = 1,a+ 7d = 7,所以 a n = 0+ （n — 1） X 1 = n — 1, ?-a n = 2 n = 2 .5. （2019 •浙江嘉兴期中）若a , b , c € R,且a >b ,则下列不等式一定成立的是 （ ）2A . a + O b - cB . （a - b ）c >0 b b + c C. ac >bc D. va a + c答案 B解析 当c v 0时，a + c > b — c 不一定成立；因为 c >0, a — b >0，所以（a — b ） c >0； b b +c当c v 0时，ac >bc 不成立；当c = 0时， < 不成立.故选 B.a a + c6.若函数f （x ）= a x -a -x （a >0且a z 1）在R 上为减函数，则函数 y = log a （| x | — 1）的图象n 「1｝是首项为1，公比为2的等比数列，所以S 10 =IX 1-210 1-2=1023.数列可以是（）答案 D解析 因为f （x ） = a x - a _x = a x —° ；在R 上为减函数，所以 0<a <1.函数y = log a （x — 1）的图象如图所示.lOg a X - 1, X >1,因为 y = |oga(|x | —1)「og a — x — , x <— 1 为偶函数，所以其图象为D 项.7. （2019 •全国卷川）已知曲线xy = a e + x in x 在点（1 , a e ）处的切线方程为y = 2x + b ,A . a = e , b =— 1B . a = e , b = 1―1 — 1C. a = e , b = 1 D . a = e , b =— 1 答案 D解析 T y '= a e x + ln x + 1，二 k = y'l x = 1= a e + 1,二切线方程为 y — a e = (a e + 1)( x—1)，即y = (a e + 1)x — 1.又已知切线方程为 y = 2x + b ,a e + 1 = 2,b =— 1,厂 —1a = e , 解得*b =— 1.故选D.8. （2018 •全国卷I ）某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如右图，圆柱表面上的 点M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 217 B . 2 5 C . 3 D . 2答案 B解析 根据题意，圆柱的侧面展开图是长为 16,宽为2的矩形DEFG 如图.答案 Axv| — bc |解析 经过两点(c, 0) , (0 , b )的直线方程为- + = 1,即bx + cy — bc = 0,由题意得——22c b\b + cc2 2 2b 1=2又b + c = a ，所以b =2，离心率10 • (201 8 •全国卷I )在长方体 ABC —A 1B1CD 中，AB= BC = 2, AC 与平面BBCC 所成的 角为30°,则该长方体的体积为（）A . 8B • 6 2C • 8 2D • 8 3 答案 C解析 如图所示，/ ACB 为AC 与平面BBCC 所成的角，所以/ ACB = 30°,又因为 AB丄平面BBCC,所以AB 丄BC ,在 Rt △ ABC 中，BC = . AB ° = 2 3,tan30 u在 Rt △ BCB 中，由其三视图可知，点 A 对应矩形DEF3的D 点，B 点为EF 上靠近E 点的四等分点，则 所求的最短路径长为| AB =+ 4 = 2 , 5.2 29 •已知椭圆 C ：含+蒼=1（a >b >0）的半焦距为 c ,原点0到经过两点（c, 0） , （0, b ）的直 线的距离为|，则椭圆的离心率为（）B.C. 2D.4 HBB=Q B C- B1C = ^ 2^3 2—22= 2頁,所以该长方体的体积V= 2X 2X2.2= 8 ,2.11.设函数f(x) =—x2+ 6 |，则不等式f(2x—3)< f (1)成立的x的取值范围是()2十丨x|B. (— f 2)C. ( —g, 1) U (2 ,+s )D. (2 ,+s)答案 C26 解析因为f (x ) = — x 2+ 是偶函数. 2 + | x |2 6当 x >0 时，f (x ) = — x + 不，y = — x 在(0，+g )上为减函数，6y = 2^x 在(—2 ,+g )上为减函数，2 6所以 f (x ) =— x + 2+ | x |在(0，+g )上为减函数，所以 f (2x — 3)<f (1) ? f (|2 x — 3|)< f (1) ? |2x — 3|>1，解得 x <1 或 x >2.12 .函数y = 2cos x (0<x <n )和函数y = 3ta n x 的图象相交于 A , B 两点，O 为坐标原点, 则△ OAB 勺面积为()A.手B.辛23C亚 nDV 2nC.2 D. 3答案 A&丄l , y = 2cos x ，/口 3sin x解析 由/得2cos x= -------- , |y = 3ta n x ,cos x22所以 2cos x = 3sin x , 即卩 2— 2sin x = 3sin x , 1解得 sin x = §或 sin x =— 2(舍去). 又0<X <n ，所以x =夕或, 6 6记C 扌,0 ,易知A , B, C 三点共线,S' OAB= S OA (+ S X OBC=2x| O(p X| y A | + 尹| OC X| y B | =2X 专 X ； 3 +1X 2 X 3A . (1,2)不妨取A、填空题「2x + 3y — 6> 0,13. (2019 •全国卷n )若变量x , y 满足约束条件』x + y — 3< 0,J — 2< 0,最大值是 ________答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域 (图中阴影部分)，由图易知，当直线y = 3x — z 过 点C 时，一z 最小，即z 最大.,x + y — 3 = 0, 由t2x + 3y — 6= 0,即 C 点坐标为(3,0)，故 Z max = 3X 3— 0= 9.2 24月联考)若双曲线侖—鲁=1上一点P 到右焦点的距离为P 到左焦点的距离是 _________ .答案 10解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1, F 2，由题意得|PF 2| = 4，当点P 在双曲线的左支上时，则有|PB| —|PF |= 6，不符合题意.当点 P 在双曲线的右支上时，则有|PF | — |PF | = 6,所以|PF | = |PF | + 6= 10,符合题意•故答案为10.15 .已知 A B 与 A C 的夹角为 90°, |AB = 2 , AC = 1, AMI=入 AB+ 卩 A C 入，卩 € R ，且B C=0,贝U “的值为 _________ .□答案1解得=3,y = 0,14 . (2019 •山东四市4,则点4解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0) , B(0 , 2) , C(1,0)，所以AB= (0,2) ,AC= (1,0) , BC= (1 , —2).设Mx, y)，则AM= (x, y)，所以AM- BC= (x, y) • (1 ,-11 --12 -—2) = x — 2y = 0,所以 x = 2y ,又AM=入 AB ^ 卩 AC 即(x, y )=入(0,2) + (1,0) = (, 2 入),1、 、入 2y 1所以 x =, y = 2入，所以 一=一=-.[i x 416.设$为数列｛a n ｝的前n 项和，已知a i = 2，对任意p , q € N *,都有a p + q = a p • a q ,则 Si —1 ｝ Si —1+：丿，+ 256 * .f (n )= ----- - ------- = ------ (n € N)的最小值为a n答案 30解析 当 q = 1 时，a p +1 = a p • a ’= 2a p ,•••数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列,j S 2 ”-1 小 1 .--an = 2 , S= 2■— = 2 — 2,n n n• S —1= 2 — 2, S —1 •( S -1+ 2) = (2 — 2) .2 ,当且仅当2n = 16,即n = 4时，等号成立，f (n )min = 30. • f ( n )= =2n256 — 2= 30, 2n + 256。
2020届高考数学(文)二轮高分冲刺专题九：解析几何(6)抛物线+Word版含答案
解析几何（6）抛物线1、已知抛物线2:2C y x =，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于,A B 两点（,A B 均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．4 2、抛物线2?y x =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标是()A.()2,4B. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,13、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.3716 B. 3 C.115D. 24、设抛物线24y x =上一点P 到此抛物线准线的距离为1d ,到直线:34120l x y ++=的距离为2d ,则12d d +的最小值为( ) A. 3?B.165 C. 185D. 45、抛物线2y x =-上的一点到直线4380x y +-=的距离的最小值是( )A.75B.85C.43D.3?6、直线l 与抛物线2:2C y x =交于,A B 两点, O 为坐标原点,若直线,OA OB 的斜率12k k ，满足1223k k =,则直线l 过定点( ) A.(-3,0) B.(0,-3) C.(3,0) D.(0,3)7、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点 F 作斜率为1的直线l 交抛物线 C 于,?P Q 两点,则11PF QF+ 的值为( ) A.12 B. 78C. 1D. 28、直线l 与抛物线22016y x =交于,A B 两点, O 为坐标原点,若2015OA OB ⋅=-u u u r u u u r,则直线l 可能过定点( )A.(504,0)B.(1008,0)C.(2015,0)D.(2016,0)9、直线l 与抛物线2:2C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率12,k k 满足1223k k =，则直线l 过定点（ ） A. (3,0)B. (0,3)C. (3,0)-D.(0,3)-10、过抛物线2(0)y mx m =>焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点,以AB 为直径的圆的方程为22(4)(2)25x y -+-=,则m =( ) A.2B.4C.2或4D.1011、抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=o．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）AB ．1 D 12、抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F A 是C 上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1（O 为坐标原点），则P 的值为（ ） A.1B.2C.3D.413、已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。