医科高等数学知识点

1.极限存在条件A x f x f A x f x x ==⇔=+-→)()()(lim 0002. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数)(1x f 、)(2x f 及)(x f 有如下关系:)()()(21x f x f x f ≤≤且A x f x f ==)(lim )(lim 21 则A x f =)(lim3.法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限4.无穷小定理0])(lim[)(lim =-⇔=A x f A x f 以~-A 为无穷小，则以A 为极限。

性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,≠αβα且个无穷小是同一变化过程中的两)(,,0lim)1(αβαβαβo ==记作较高阶的无穷小是比就说如果 ;,,lim)2( 较高阶的无穷小是比或者说较低阶的无穷小是比就说如果βααβαβ∞= ;),0(lim)3(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C C C=1时，为等价无穷小。

无穷小阶的的是就说如果k k C C kαβαβ),0,0(lim )4( >≠= 6. 则有若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==)0()(lim )(lim )()(lim)3()()(lim )]()(lim[)2()(lim )(lim )]()(lim[)1(≠==•=•=•±=±=±B BAx g x f x g x f B A x g x f x g x f B A x g x f x g x f推论 则为常数而存在若,,)(lim c x f )(lim )(lim x f c x cf =则为正整数而存在若,,)(lim n x f n n x f x f )]([lim )](lim [= 例题11lim 22--→x x x 11lim 22--→x x x 1lim 1lim lim 2222--=→→→x x x x x 31= 7. 为非负整数时有和所以当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 0110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 8.例题)2(lim 2x x x x -+∞→求 )2(lim 2x x x x -+∞→xx x x x x x x ++++-+=∞→2)2)(2(lim222xx x x ++=∞→22lim21212lim2++=∞→xx =1 9.两个重要的极限例题nx mx x sin sin lim 0→求 nx mx x sin sin lim 0→nxnx mx mx n m x sin sin lim 0⋅⋅=→n m nx nx mx mx n m x x =⨯=→→sin lim sin lim 00x x x 1sin lim ∞→求 所以时则当令.0,,1→∞→=t x x t x x x 1sin lim ∞→1sin lim 0==→t tt例题x x x 3)21(lim -∞→求 xx x3)21(lim -∞→)3)(2(2])21[(lim x x xx x --∞→-=662])21[(lim ---∞→=-=e x xx 例题2 x x x x )11(lim -+∞→求 x x x x )11(lim -+∞→xx x )121(lim -+=∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=-∞→)121(])121[(lim 221x x x x 221e e =•=解法2 x x x x x )11()11(lim -+=∞→211])11[(lim )11(lim e ee xx x x xx ==-+=---∞→∞→10.函数在一点连续的充分必要条件是;)()1(0处有定义在点x x f ;)(lim )2(0存在x f x x →).()(lim )3(00x f x f x x =→11..)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数x x f x x f ⇔12.满足下列三个条件之一的点0x 为函数)(x f 的间断点.;)()1(0没有定义在点x x f ;)(lim )2(0不存在x f x x →).()(lim ,)(lim )3(00x f x f x f x x x x ≠→→但存在跳跃间断点.)(),(lim )(lim ,,)(000断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果x f x x f x f x x f x x x x +-→→≠可去间断点.)(,)(),()(lim ,)(00000的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果x f x x x f x f A x f x x f x x ≠=→跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷） 震荡间断点（xx 1sinlim 0→） 13.例题.)1ln(lim 0xx x +→求 xx x 10)1ln(lim +=→原式e ln ==114.（最值定理）若函数)(x f y = 闭区间],[b a 上连续，则)(x f y =在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值．（有界性定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则其在闭区间上必有界（介值定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任何数C ，至少存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。

15.函数在一点可导的充分必要条件为：)()(0'0'x f x f -+=16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导. .0)(常数的导数是零='C .)(1-='n n nx x cos )(sin x x =' sin )(cos x x -='a x x a ln 1)(log =' xx 1)(ln =' .csc )(cot 2x x -=' .sec )(tan 2x x =' x x x tan sec )(sec =' .cot csc )(csc x x x -=' a a a x x ln )(=' x x e e =')()(arcsin 'x .112x -=.11)(arccos 2x x --=' ;11)(arctan 2x x +='.11)(cot 2x x +-=' 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 )0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2≠'-'=''+'='⋅'±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u n n u u u u u u '±⋅⋅⋅±'±'='±⋅⋅⋅±±2121)()1( u C Cu '=')()2( n n n u u u u u u u u u 212121)()3('+'='⋅⋅⋅n u u u '⋅⋅⋅++21 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则))()()(x v u f y ψϕ'''='隐函数求导法则 两边对X 求导 例题 已知函数y 是由椭圆方程12222=+by a x 所确定的 求y '方程两边分别关于x 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有02222='+y bya x 解得y a xb y 22-=' 例题2 e xy e y += y x y y e y '+=' xe yy y -='对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 例题3)4)(3()2)(1(+-+-=x x x x y)]4ln()3ln()2ln()1[ln(31ln +---++-=x x x x y)41312111(311+---++-='x x x x y y)41312111()4)(3()2)(1(313----++-+-+-='x x x x x x x x y 高阶导数x y sin = )2sin()(π⋅+=n x yn )2cos()(cos )(π⋅+=n x x n18.).(,)()(000x f A x x f x x f '=且可导处在点数可微的充要条件是函在点函数即).(.0x f A '=⇔可微可导19.dx x x arc d dx x x d 2211)cot (1)(arctan +-=+=xdxx x d xdx x x d xdxx d xdxx d xdx x d xdx x d dx x x d C d cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan sin )(cos cos )(sin )(0)(221-==-==-====-αααdxxx d dxxx d dxx x d dxax x d dxe e d adxa a d a x x x x 2211)(arccos 11)(arcsin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(--=-=====20.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(v udv vdu v u d udvvdu uv d Cdu Cu d dv du v u d -=+==±=± 例题.,cos 31dy x ey x求设-= )(cos )(cos 3131x d e e d x dy x x ⋅+⋅=--x x e e x x sin )(cos 3)(3131-='-='-- dx x e dx e x dy x x )sin ()3(cos 3131-⋅+-⋅=∴-- dx x x e x )sin cos 3(31+-=-微分形式不变性 微分形式始终为dx x f dy )('= 21.Lagrange 中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可导,则在),(b a 内至少存在一点 ,使下面等式成立 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ 推论 则有如果对于任意,0)(),,('=∈x f b a x c x f =)()(为常数c则有如果对于任意),()(),,('x g x f b a x '=∈c x g x f +=)()()(为常数c 例题 证明2arccos arcsin π=+x x x x x f arccos arcsin )(+=设0)11(11)(22=--+-='xxx f C x f ≡∴)( 0arccos 0arcsin )0(+=f 又20π+=2π=2π=C 即 2arccos arcsin π=+∴x x22. 洛必达法则型未定式解法型及:00∞∞如果函数)(x f 与)(x g 满足下列三个条件 0／0 ∞／∞，导数都存在且0)(≠'x g ，)()(limx g x f ''存在或者无穷大 则当0x x →或∞→x 则有 )()(lim )()(limx g x f x g x f ''=∞⋅∞⇒∞⋅10.0100⋅⇒∞⋅或 0101-⇒∞-∞0000⋅-⇒⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒ 例题x x x 1)(lim +∞→求 x xx x x e x ln 11lim lim +∞→+∞→=011lim ln lim ln 1lim ===+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x 1)(lim 0ln 1lim 1===∴+∞→+∞→e e x x x x x x洛必达法则不是万能的.lim x xxx x e e e e --+∞→+-求 洛必达不能求解 111lim lim 22=+-=+---+∞→--+∞→x x x x x x x x ee e e e e (两边同乘以x e -) 23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点.（驻点为可导但是导数值为0的点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同求驻点处的二阶导数 若二阶导数为正值 则为极小值 负值 则为极大值 为零则不能判断 24.二阶导数为正值则为凹的 负值则为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在函数作图求定义域 函数的奇偶性和周期性 求一阶和二阶导数 讨论极值点和拐点 渐近线 25.⎰=dx x kf )(⎰dx x f k )( ⎰=±dx x g x f )]()([⎰⎰±dx x g dx x f )()();1(1)1(1-≠++=+⎰ααααC x dx x ⎰+=C x x dxln )2( 3=⎰dx a xC a a x+ln4=⎰dx e xC e x + ⎰=xdx cos )5(C x +sin ⎰=xdx sin )6(C x +-cos=⎰x 2sec)7(C x +tan =⎰x 2csc)8(C x +-cot=+⎰dx x 211)9(C x arc C x +-=+cot arctan=-⎰dx x211 )10(C x C x +-=+arccos arcsin26.第一类换元法(凑微分法) 可导具有原函数设)(),()(x u u F u f ϕ=则有⎰='dx x x f )()]([ϕϕC x F du u f x u +=⎰=)]([])([)(ϕϕ⎰xdx sec C x x ++=)tan ln(sec C x x xdx +-=⎰)cot ln(csc csc⎰⎰+=+++1)()()(.1111n x d x f dx x xf n n nn ⎰⎰=)()(2)(.2x d x f dx xx f⎰⎰=)(ln )(ln )(ln .3x d x f dx x x f ⎰⎰-=)1()1()1(.42x d x f dx xx f 、 ⎰⎰=)(sin )(sin cos )(sin .5x d x f xdx x f ⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(.6 ⎰⎰=x d x f xdx x f tan )(tan sec )(tan .72 ⎰⎰=+)(arctan )(arctan 1)(arctan .82x d x f dx xx f 27.第二类换元积分法dt t t f dx x f )(])([)(ψψ'=⎰⎰（根式代换）例题 求.)1(13dx x x ⎰+ 令6t x =dt t dx 56=⇒dx x x ⎰+)1(13⎰+=dt t t t )1(6235 ⎰+=dt t t 2216dt t t ⎰+=2216dt t t ⎰+-+=221116dt t dt ⎰⎰+-=21166C t t +-=)arctan (6 C x x +-=)arctan (666三角代换的形式 22)1(x a - ;sin t a x = 22)2(x a + ;tan t a x =22)3(a x - .sec t a x = 倒数代换ux 1=也为常用的形式28.使用时应注意的问题 要容易求得；）（v 1⎰⎰.2容易积出要比）（udv vdu例题.arctan ⎰xdx x 令,arctan x u =dv x d xdx ==22⎰xdx x arctan )(arctan 2arctan 222x d x x x ⎰-=dx x x x x 222112arctan 2+⋅-=⎰x x arctan 22=dx x)111(212+-⋅-⎰C x x x x +--=)arctan (21arctan 22 例题2.ln ⎰dx x xx u = udu dx 2= ⎰⎰=udu dx x xln 2ln ⎰-=)ln (2du u uC u u +-=)1(ln 2C x x +-=)1(ln 229.有理函数的积分 待定系数法 分母中若有因式ka x )(-，则分解后为ax A a x A a x A k k k -++-+-- 121)()( k A A A ,,,21 待定的常数分母中有kq px x )(2++分解后为qpx x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-21222211)()( 其中042<-q p i i N M ,待定的常数 例题.136222dx x x x ⎰+++ 分母实数范围内不能因式分解 则用凑分法dx x x x dx x x x ⎰⎰++-+=+++1364621362222⎰⎰++-++++=22222)3(4136)136(x dx dx x x x x d C x x x ++-++=23arctan2)136ln(2 30.定积分i i ni bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξλ相关性质⎰⎰=ba badx x f k dx x kf )()( k 为常数⎰±badx x g x f )]()([⎰=badx x f )(⎰±badx x g )(⎰badx x f )(⎰⎰+=bcc adxx f dx x f )()(.],[b a 上)()(x g x f ≤dx x f b a⎰)(dx x g ba⎰≤)(设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰定积分中值定理dx x f ba⎰)())((a b f -=ξ)(b a ≤≤ξ积分上限函数⎰=xadt t f x G )()(],[b a x ∈ 有)(])([)(x f dt t f x G xa='='⎰)(b x a ≤≤例题dt t t y x ⎰+-=13321求导数 先化为积分上限函数dt tt y x ⎰+--=31321 视为dt tt y u⎰+--=13213x u =的复合函数)()21(313'⋅+--=⋅=⎰x dt t t du d dx du du dy dx dy u xx x +-=2)1(332例题2 ][322'⎰-dt e x xt ][][][3222322'+'='⎰⎰⎰---dt e dt e dt e x at axt x xt ][][3222'+'-=⎰⎰--dt e dt e x atx at)()(3264'+'-=--x e x ex x 64232x x e x xe --+-=微积分基本定理)()()()(a F b F abx F dx x f ba -==⎰dt t t f dx x f ba⎰'=βαϕϕ)()]([)(例题⎰+132)1(dx x x 设t x =+12 0=x ;1=⇒t 1=x 2=⇒t所以有⎰⎰++=+10232132)1()1(21)1(x d x dx x x 8151281214213===⎰t dt t 不换新变量 就不要改变积分上下限⎰⎰++=+10232132)1()1(21)1(x d x dx x x 81501)1(8142=+=x例题2.1122⎰-dx x x 设tdt dx t x cos ,sin ==0=x ;0=⇒t 1=x 2π=⇒t⎰-1221dx x xtdt t t cos sin 1sin 2022⎰-=πdt t tdt t ⎰⎰==2022222sin 41cos sin ππ02)4sin 41(81)4cos 1(8120ππt t dtt -=-=⎰16π=⎰-=b ab avdu a b uv udv 例题.1⎰dx xe x⎰⎰⎰-==111001dx e xexdedx xe x xxx1)1(01=--=-=e e ee x⎰⎰⋅-=e edx xx e x x xdx 1111ln ln 11=-=ex e31.用定积分求面积 和 旋转体的体积 旋转体的体积dx y dx x f V baba22)]([⎰⎰==ππ（绕x 轴形成的）⎰=dcV πdy y 2)]([ϕdx x d c2⎰=π(绕y 轴形成的)例题42x y = 0=x 1=y 绕y 轴形成的体积用公式dy x ba⎰2πdy x V ⎰=102πdy y ⎰=104πππ20122==y32.无穷区间的广义积分⎰+∞adx x f )(⎰+∞→=bab dx x f )(lim极限存在 则为广义积分存在或收敛 极限不存在 则为广义积分不存在或发散 相应的有形式⎰∞-bdx x f )(⎰-∞→=baa dx x f )(lim⎰∞-bdx x f )(⎰-∞→=baa dx x f )(lim牛顿公式ax F a F b F dx x f b a∞+=-=+∞→∞+⎰)()()(lim )()(0)()(∞+-∞-=⎰∞+∞-x F x F dx x f∞-=-=-∞→∞-⎰b x F a F b F dx x f a b)()(lim )()(例题.1)3(2⎰+∞∞-+xdx⎰+∞∞-+21x dx ⎰∞-+=021x dx π=++⎰+∞021xdx （原函数为正切函数） 无界函数的广义积分⎰badx x f )(⎰+→+=ba dx x f εε)(lim 0⎰badx x f )(⎰=cadx x f )(⎰+b cdx x f )(⎰⎰+→-→+++=bc c adx x f dx x f 2211)(lim )(lim 0εεεε)0,0(21>>εε 若∞=→)(lim x f cx 只有当上式右端两个极限都存在时 则称⎰b adx x f )(收敛否则为发散。