倍长中线法
5.倍长中线法
DC BA全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1:直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 方式2：间接倍长1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E , 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD【经典例题】例1已知，如图△ABC 中，AB =5，AC =3， 则中线AD 的取值范围是_________.（提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在△ABC 中，AB =AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF =EF . 求证：BD =CE .（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEFEDFC BA方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小.变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F . 求证：EF CF BE >+（提示：方法1：在DA 上截取DG =BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE =EG 、CF =FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH =EF 、CH =BE ，利用三角形两边之和大于第三边）例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF（提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。
倍长中线法经典例题
倍长中线法经典例题倍长中线法是三角形测量计算中常用的一种方法，可以应用于测量不同形状的三角形以及解决许多有关三角形的问题。
倍长中线法是一种快速计算三角形高度、底边长度以及其它三角形参数的有效方法，因此极为实用。
倍长中线法是一种利用中线与边长之比来计算三角形高度和底边长度的方法。
倍长中线法可以主要应用于以下几个方面：（1）由一闭合三角形的两条边和角度确定直角三角形的参数；（2）由一闭合三角形的两条边长和一劈裂角确定另一劈裂角，以及三角形的高度和底边长度；（3）由一开端三角形的一条边和另外两条边的夹角确定三角形的高度和底边长度。
目前市面上已经有很多关于倍长中线法的微机应用，几乎所有的计算机软件都涵盖这种方法。
而利用倍长中线法解决的一般问题基本上可以分为三类：（1）求解已知三角形的一边和另外两边的夹角的情况；（2）求解已知三角形的三边的情况；（3）求解已知三角形的两边和一劈裂角的情况。
下面将介绍关于倍长中线法的几个经典例题，以期能够让我们更好地理解使用这一方法的情况：（1）已知闭合三角形ABC，a = 4.6m，C = 25°，求AB的长度：解决这道问题的过程是，由AB和C的夹角可以求出AB的长度，首先可以使用倍长中线法求出三角形ABC的中线长度，即1.5a，由此可以求出AB夹角的正切，即tan(25°) = AB/1.5a，由此AB = 1.5a×tan(25°)=4.6×tan(25°)=2.7m。
（2）已知闭合三角形ABC，a = 4.6m，b = 3.4m，求C的度数：解决这道问题的过程是由AB和BC夹角，两条边长可以求出C 的度数，在这里我们可以使用倍长中线法求出三角形ABC的中线长度，即1.5a，由此可以求出AB的正切，即tanC = (1.5a-b)/a，由此可以求出C的度数，即C = arc tan（(1.5a-b)/a）=arc tan （0.7）=40.23°。
中线倍长法
中线倍长法
中线倍长法是指使用一组具备特定功能的几何形状，并把它们重复堆叠起来，形成空间结构的设计方式。
它是以传统中国建筑中拱形拱门为设计元素，融合了现代空间建筑技术，以达成建筑空间效果的独特技术。
它最初由中国老牌建筑设计师陆文厦在上世纪八十年代提出，他基于传统的中国建筑拱形结构，提出了一种使用若干倍长的中线构建空间结构的设计方案，以此来巧妙地解决复杂的建筑空间布局问题。
中线倍长法以中线作为基本框架，通过倍长来模拟建筑拱形结构，既可以满足复杂的建筑空间布局，又可以达到拱形的空间效果，使空间变得更加宽敞、完美，并使之有着舒适的感受。
中线倍长法在其设计方法上也有着一些特点，主要体现在通过中线的使用，可以实现把传统的圆形结构形状“堆叠”，从而形成一种
较为宽敞的“拱门”形状，使建筑空间布局更加自由，不受传统拱形结构的限制。
中线倍长法由于具有灵活、高效以及适用性强等特点，被广泛运用于现代建筑空间设计，尤其是在大型建筑中，由于高度和空间结构上的复杂，中线倍长法则成为解决空间布置问题的有效方式。
中线倍长法的应用也被越来越多的应用于工业制造和现代建筑
空间设计中，可以有效地降低工程施工时间，提高工作效率。
特别是在大型建筑项目中，则可以有效地使用中线倍长法的方式简化工作，提高建筑质量，节省建筑施工费用。
因此，中线倍长法在现代建筑空
间设计中，是一个非常有用的技术工具，可以帮助建筑设计师有效地实现空间效果。
总而言之，中线倍长法是一种特定的建筑空间设计方式，它既可以满足复杂的建筑空间布局，又可以实现空间效果的最佳展示，所以在现代建筑空间设计中，中线倍长法是非常有效的工具。
全等三角形辅助线之倍长中线法
全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AEAD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似； 当连接、，则为平行四边形M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，举例：FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４654321FAB C DE如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB=AC ． 求证：△CE=2CD ；△CB 平分△DCE ．E DCB A如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：△AEF=△EAF ．F EDCBA321MA BCD EF如图，在正方形ABCD 中，CD=BC ，△DCB=90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF △BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG=CG 且EG △CG ．GF EDCB AM2134GFDA1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCB AE DCB AF E DBAGFEDCBAFED CBA6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ）GF EDCBA➢ 典型题型1. 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线21EDCBA 21EBCDA在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3321MA BCDEF∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90°321MABCD EFG∴CE =EG -CG=5-2.7 =2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3G FEAD BC三角形全等之倍长中线（作业）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A D CE FA B DCE FGFE CD B A FE CD B AA B DCE FG在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为D CBAF E DCBAFED CBA G FE D CBA∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF⊥EF ．➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中FE DB CA21ECDB A 21ECDBA DBA2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．【参考答案】➢ 巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） ➢ 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略DCB A。
倍长中线法口诀用法
倍长中线法口诀用法
倍长中线法是一种用于解决数学中直角三角形中线问题的方法，它的口诀用法可以帮助我们更快速地应用该方法。
倍长中线法的口诀用法如下：
首先，我们需要了解倍长中线法的原理。
直角三角形中，以直角边为底，连接斜边的中点，并向斜边的另一侧延长，再连接直角边与延长线的交点，得到一条中线。
倍长中线法的核心思想是，通过延长中线，将三角形转化为四边形，借助四边形的性质求解。
接下来，我们通过口诀用法来应用倍长中线法。
口诀为“倍中长乖隔离，解四算九找斜。
”下面逐句解释该口诀的用法：
1. 倍中长：将直角边向两侧延长成等长线段。
2. 乖隔离：将延长线与中线进行乖离，使它们不重合。
3. 解四：将四边形的四个顶点标记为A、B、C、D。
4. 算九：计算四边形的两个对角线之和AB+CD的数值。
5. 找斜：找到线段AC或BD上的交点E，该点即为直角三角形斜边的中点。
通过以上步骤，我们成功应用了倍长中线法，并求解出直角三角形中线问题。
总结起来，倍长中线法是一种能够帮助我们解决直角三角形中线问题的方法。
它的口诀用法通过清晰的步骤让我们能够更加快速准确
地使用该方法。
无论是解题还是应用倍长中线法，理解口诀的用法都是非常重要的。
倍长中线法总结
倍长中线法总结1. 引言倍长中线法（The Doubling Midline Method）是一种用来解决数学问题的方法，它主要应用于图形和数列的问题。
该方法通过找出中线并将其倍增来寻找问题的解。
本文将详细介绍倍长中线法的思想和应用，并通过示例展示其实际运用。
2. 思想和原理倍长中线法的思想源于对图形和数列的观察和分析。
当遇到需要找到图形或数列的某个特定点或者结果时，我们可以通过找出中线并将其倍增来逐步逼近目标。
该方法的原理是基于中线的特性，即中线两侧长度相等。
通过不断倍增中线的长度，我们可以逐步逼近目标点或结果。
3. 应用步骤倍长中线法的应用可以分为以下几个步骤：步骤一：观察问题首先，我们需要观察和分析问题，确定需要找到的目标点或结果。
这可以帮助我们确定使用倍长中线法的运算方式和步骤。
步骤二：确定初始中线然后，我们需要确定初始中线。
中线的选择要尽可能接近目标点或结果，以提高计算的准确性和效率。
步骤三：倍增中线长度接下来，我们将中线的长度倍增。
具体的倍增倍数可以根据实际情况而定。
每次倍增后，我们检查新的中线是否更接近目标点或结果。
如果是，我们继续倍增中线的长度，直到达到预定的精度要求。
步骤四：确定最终结果最后，我们确定最终结果。
根据具体的问题，我们可以根据中线的位置和长度计算出目标点的坐标或者得出数列的结果。
4. 实际应用示例为了更好地理解倍长中线法的应用，以下是一个实际示例：问题描述在平面直角坐标系中，有一条直线L通过点A(2, 3)和点B(5, 9)。
现在需要确定直线L和Y轴的交点C的坐标。
解决步骤1.观察问题，确定需要找到交点C的坐标。
2.初始中线的选择可以是线段AB的中点M，即M(3.5, 6)。
3.根据倍长中线法，将线段AM的长度倍增，得到线段CM。
4.假设线段CM的长度为d，当d接近垂直距离MC时，我们可以认为目标点C的坐标已经确定。
5.通过不断倍增线段AM的长度，我们最终确定了线段CM的长度为2.5，即MC的长度为2.5。
初中数学倍长中线法课件模板
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实战演练——证明角相等
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
实战演练
解：延长中线AE，使EF=AE，连接BF,DF,可知ABFD为平行四边形，故AB=DF，DF=CD∵∠BAD+∠ABD=∠ADC（邻角和=外角） ∠BDA +∠EDF=∠ADF且∠BDA=∠BAD（已知） ，∠ABD=∠EDF（内错角相等）∴∠ADC=∠ADF∵ AD=AD ∠ADC=∠ADF DC=DF∴△ADC≌△ADF（SAS），∠C=∠BAE
倍长中线法
——基本要点与应用
试讲人：
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授课对象：初二年级学生基本掌握三角形、全等三角形知识后学习本课内容
主要内容
学习导入
在△ABC中，D是BC的重点，延长AD至E，使DE=AD
你能得出哪些结论呢？
△ ACD≌ △ BDE △ ABD≌ △ ECD ABEC是平行四边形,AC=BE AB=EC ，AC∥BE AB∥BC
G
小结：倍长中线法只是解题的第一步！注重把握中点与直角三角形相关定理的结合，以及等边等角、对顶角相等相互转化的应用。
实战演练—— 一题多解
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
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倍长中线法(初二)
全等三角形的机关办法---经常使用帮助线之五兆芳芳创作弄清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要机关适合的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种罕有的机关办法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以机关全等三角形，从而将分离条件集中在一个三角形内.例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ．求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ，∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ，∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE=图（1）∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采取延长中线一倍的办法，即倍长中线法.它可以将分家中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以E A BCD F H利于问题的获解.中线一倍帮助线作法△ABC中方法1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，接BE方法2：直接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD例2、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值规模例3、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例4、已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE 于点F，DF=AC.求证：AE平分课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，ABC中，C=90，CM AB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB 交BC于E，求证：CT=BE.4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
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倍长中线法的初步应用
例题2 ：在△ABC, △A B C ,中 ,AD、A D 分别是BC、B C 边的中线， , , , , , , , , AB=A B ，AC=A C ，AD=A D ，请证明△ABC ≌ △A B C 。
证明：
分别延长AD至E、A D 至E 使得DE=AD、D E =A D ， 连结B,E、B ,E 。可以证明： △ADC ≌ △EDB，△A D C ≌ △E D B （SAS）。 故有BE=CA，B E =C A ，∠1=∠E，∠2=∠E 。 由于CA=C A ，故BE= B E 。进而可证明△ABE ≌ △A B E （SSS），因此∠E= ∠E 且∠BAD= ∠B A D 故∠1= ∠2，∠BAC= ∠BAD+ ∠1= ∠B A D + ∠2= ∠B A C 。 进而可证△ABC ≌ △A B C （SAS）。
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倍长中线法的进阶应用
例题3：如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且 AC=AB。求证：CE=2CD。
小论倍长中线法及其应用
郑贤镇
本讲的主要内容
• 何为倍长中线法 • 倍长中线法的初步应用
• 倍长中线法的进阶应用
• 小结
何为倍长中线法？
• 倍长中线法：将某个三角形的某条中线延长一倍，之后将新构造
所得的端点与该三角形顶点连结，进而构造出一对全等三角形。
利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。
倍长中线法的初Leabharlann 应用例题1：如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线。则 2AD的取值范围是_________.
解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则 显然AE=2AD，又易证△ADC ≌ △EDB（SAS）。 故AC=EB，在△ABE中，利用三边的不等关系， AB-BE<AE<AB+BE,可知2<2AD<12.
证明：
延长CD至点F，使DF=CD，连接B,F。 则由△ADC≌△BDF，可得AC=BF，∠1=∠A， 由AC=AB得∠ACB=∠2 因为∠3=∠A+∠ACB，故∠3=∠CBF。 再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF， 即CE=2CD。
小结
实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过SAS的全等
模型构造全等三角形。之后便能将一些看似“分散”的条件聚集于
同一个三角形中，从而将问题明晰。