人教版数学八年级上册 第十三章 轴对称 综合提高复习 教案

第十三章 轴对称综合提高复习 年 级

初二 学 科 数学 版 本 人教版 课程内容

第十三章 轴对称综合提高复习

一、学习目标：

1. 总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；

2. 培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；

3. 归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力。

二、重点难点：

重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用。

难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力。

三、考点分析：

中考对本章的要求是通过具体实例识别轴对称、轴对称图形；理解轴对称图形和利用轴对称进行图案设计，探索图形之间的变换关系；掌握等腰三角形的性质和等腰三角形、等边三角形的识别，并能运用其性质解答实际问题。

从中考试题来看，本章知识以基础题为主，题型多以填空题、选择题的形式出现，也有简单的作图题和解答题。等腰三角形图形的折叠与拼图和轴对称性质的应用是中考的热点题型。

【思维导图】

【典型例题】

知识点一：轴对称的应用

例1. 已知AOB α∠=，P 是AOB ∠内一点，分别作点P 关于,OA OB 的对称点',''P P 。

（1）求证：'''2P OP α∠=；

（2）若P 点在AOB ∠外，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由。

思路分析：本题考查的是轴对称的性质。成轴对称的两个图形、或者轴对称图形在对称轴两侧的部分是“一模一样”的，严谨地说就是对应线段相等、对应角度相等、对应面积相等、对应点的连线被对称轴垂直平分等等。

解答过程：

（1）如图（1）所示，当点P 在∠AOB 内部时，连接OP

',P P 关于OA 对称，则OA 垂直平分'P P

∴'OP OP =，OA 平分'P OP ∠

∴'2P OP AOP ∠=∠，同理可证''2POP BOP ∠=∠

∴''''''2()22P OP P OP POP AOP BOP AOB α∠=∠+∠=∠+∠=∠= （2）如图（2）所示，当点P 在AOB ∠外部时，结论还成立。

由（1）的证明可知，'2POP POA ∠=∠,''2POP POB ∠=∠

∴''''''2()22P OP POP POP POB POA AOB α∠=∠-∠=∠-∠=∠=

解题后的思考：此题的第（2）小题是一个开放性问题，需要我们用运动的观点来认识它，点P 从角的内部运动到了角的外部，有些量和位置关系发生了改变，但有些量和位置关系没有改变，大家一定要仔细研究。

例2. 如图，,A B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使C 到,A B 的距离之差最大。

思路分析：此题的突破点是作点A （或点B ）关于直线l 的对称点'A （或'B ），作直线'A B （或'AB ）与直线l 交于点C ，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边从而使问题得以解决。

解答过程：如图所示，以直线l 为对称轴，作点A 关于直线l 的对称点'A ，作直线'A B 与直线l 交于点C ，则点C 即为所求。

理由如下：

在直线l 上找异于点C 的一点'C ，连接,','','CA C A C A C B 。

因为，,'A A 关于直线l 对称