实数与数轴

3）当a<b<0时， 4）若 则 与 ＝ 、
＝ 互为相反数，
5）已知0<x<1，那么x、 、 大的数是………（ ） A、 x B、 C、
中，最
D、
6）比较下列各组数中两个数的大小：
7）当－3＜a＜－1时,化简
（2）|a+1|－|3－2a|－|3＋a|
小结：
同学们，无理数的引进，把我们所研 究问题的数的范围从有理数扩充到了实 数，这样一来，我们今后研究问题的数 的范围更广泛了，我们所研究的问题也 就会更广、更深了．从现在起，在考虑 某些数学问题时，一定要有数的范围的 概念．对于不同数的范围，可能结果是 不相同的．
总之：
数学家心安理得的是建立了无懈 可击的实数体系，在坚实的基础上， 任何闲言碎语都是不足道的。无理 数所体现的完美无缺、一丝不苟的 纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的 世俗应用，可谓占尽天上人间风光， 正是数学的魅力之所在。
二、实数的定义：
有理数和无理数统称为实数．
三、实数的分类：
（1）按定义分类：
数轴上的无理数
我们把实数表示在数轴上，最直观地表明 了实数的大小，以原点为分界线，在原点的 右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我 们知道数轴上的实数从左到右是由小变大， 并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大， 这就引出了实数比较大小的问题．显然同有 理数之间的比较大小是类似的．
例2、 比较大小：
使用说明： 本课件介绍了无理数的产生背景，可以 在讲实数概念时告诉学生，使学生对所 学内容的实际意义有所了解。同时还对 实数的定义、分类以及实数轴做了介绍， 还配了一些练习题供老师们使用。
复习：
什么叫有理数？有理数如何分类？
观察下列数特点：
3
2 1.41421356 2 1.2599120
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷 坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比 值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意 大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”， 17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名 状”的数。 然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹 杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索 斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可 通约的量取名为“无理数”——这便是“无 理数”的由来．
但这样做遇到的困难更大：关键的问 题是你无法判断一个数是无限不循环的， 也不能将两个无限不循环的数进行加减 乘除。
启示：
每个有理数作为有长度 的线段，对应着数轴上的 坐标。边长为1的正方形 的对角线线段也应对应数 轴上的一个点，这意味着 如果只有有理数，数轴上 存有“空隙”——尽管有 理数非常稠密。应当填补 这些“空隙”使数轴成为 完美的，欧几里德《几何 原本》中曾记载ห้องสมุดไป่ตู้这一思 想的雏形。
关于√2不是有理数的一个证明
毕达哥拉斯学派所作 ： 设√2是既约分数p/q， 即√2=p/q，则2q2=p2， 这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p 是奇数则p2是奇数）， 设p=2k，得q2=2k2， 于是q也是偶数， 这与p/q是既约分数矛盾。
结论：“不存在这样的有理数使其平方等于2”
由于有理数可表示成有限小数或无限 循环小数，人们想到用“无限不循环小 数”来定义无理数，这也是直至19世纪 中叶以前的实际做法。它看起来很通俗， 不明白无理数奥妙的人大体也是这样理 解无理数的。
正 有 理 数 有 理 数 0 循小数 有 限 循 环 小 数 或 无 限 环 负 有 理 数 实 数 正 无 理 数 无 理 数 无限不循环小数 负 无 理 数
（2）按大小分类 ：
正 实 数 实 数0 负 实 数
无理数是一个能恰好地描述数 学特征的案例
从数学发展史看， 人类对无理数的发蒙 始于古希腊毕达哥拉 斯（Pythagoras，公 元前582-497）学派， 但二千四百年后才产 生包括无理数在内的 实数严格定义。
乘法的重复进行产生了乘方， 23 就是三个2相乘，然而哪个数 的平方会等于2呢？毕达哥拉斯 学派提出了这个问题，边长为1 的正方形的对角线的长度不是 既约分数，后来用√2表示对角 线的长度，无理数的概念初步 形成。
戴德金
历史上的两种无理数定义
戴德金的说法，一个实 数是有理数的一个集合
康托的说法，一个实数是 有理数的一个（柯西）序 列
1874年康托还证明了无理数比有理数 多得多，这也意味着，无形的、不是根 式的无理数竟比直观的、根式的无理数 多得多！数轴上代表有理数的点虽然是 稠密的——任何两个有理数点之间恒有 无数多有理数点，但是除有理数点外的 “空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠 密概念发展成了连续的概念，数轴上点 与实数完全对应，无理数问题画上了永 远的句号。
类似于 2+3=5 的事实产生了加法的概念， 然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数： 一个数的“负数”即它与该数之和等于0； 进而定义减法。产生零、负自然数，合称整 数； 加法的重复进行产生了乘法，2×3=6 就 是三个2相加。然而2乘以几会等于1呢？由 此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与 该数之积等于1，进而定义除法，产生既约 分数，合称有理数。
例1 把下列各数写入相应的集合中：
四、实数轴
我们知道数轴上的点表示的并不都是有理 数，也有无理数．如果我们把所有的有理数 连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这 其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可 见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了， 所以我们把这个数轴又称为实数轴． 实数与数轴上的点是一一对应的．这其中 包含着两层含义：第一，每一个实数都可以 用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的 每一个点都可以用一个实数来表示．
一、无理数定义：
无限不循环小数叫做无理数． 断以下说法是否正确？ (1)无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数； (3)带根号的数都是无理数。
数的发展历史
数系的扩张过程以 自然数为基础，德国 数学家克罗内克 （Kronecker，18231891）说“上帝创造 了整数，其它一切都 是人造的” 。零与 自然数的产生源于人 类在生存活动中的原 始冲动。
数学家所知道的无理数确实少的可怜：
知道得最多的只是各式各 样的根式，这是古希腊人即 已知道的；其次是π与e两 个非代数数。那些比代数数 多得多的无理数在哪儿？ 1900年数学家希尔伯特 （Hilbert，1862-1943）提 出著名的23个数学问题即包 括了这一内容。然而，若稍 微追问一句“(π+e)是无理 数还是有理数”？则至今都 没有严密的答案。
3 1.73205080 3.14159265
7 2.64575131
"无理数"的由来 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯 (Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus) 发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角 线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边 长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一 不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有 理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领 导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术 界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到 百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
说明： 实数的比较，需要遵循的原则是必 须化成同类数才可作比较，对于一些 无理数，若要化成小数，只能取其近 似值，所以需要熟记一些无理数的近 似值。
例3、填空：
(1)｜3-π｜=_______．
则x=______；y=______．
1）在 3.14， sin30°, 各数中，无理数有………（ ） A 、2 个 B 、3 个 C 、4 个 D 、5 个 2）下列命题中正确的个数有………（ ） ①实数不是有理数就是无理数 ② a< a+ a ③212的平方根是21 ④在实数范围内，非负数一定是正数 ⑤ 两个无理数之和仍是无理数 A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个