2018年青浦区高考数学二模含答案
上海2018届高三二模数学卷汇总(全)
宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。
2018年青浦高三二模数学标准答案
青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准2018.04说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．{}15x x <<或(1,5)；2．52i 2-；3．13；4．1；5．33；6．12-；7．π4；8．30；9.151192；10.5m ≥-；11．1[,1]2-；12.474733M -+≤≤.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.A ；14.D ；15．B ；16.C .三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG ，22PA AB == ，6PG ∴=，21=482S S S +=+⨯⨯=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ，记AC BD O = ，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为PB AB ==，所以Rt Rt POB AOB ≅△△．所以2OA OP ==．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．所以(2,1,1)AE =- ，(2,1,1)AF =-- ．设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z = ，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n = ．因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m = 设m 与n 的夹角为ϕ，cos 5m n m n ϕ⋅==-⋅ 25arccos 5ϕ⇒=所以平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是25arccos 5．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）21cos ()cos cos 1sin 122222x x x x f x x +=-+=-+111sin cos sin()22262x x x π=-+=-+∵113() sin(; [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈ 又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+（2）由AC A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()B A A B A⇒≤+-2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A⇒≤+-2sin cos cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥∈∴111sin()(,0],()sin(()(0,62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2214x y +=；（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =-,点1122,,x y x y G（）,H()则11,x y '-G (）联立方程组222222(1)(14)844044y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得由韦达定理可得22121222844,,1414k k x x x x k k -+==++直线211121(),y y y y x x x x ++=--，G H：211212*********()4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+---当时，222212122121844[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=--2222214088[8]1414==0k k k k k x x ---++-所以直线则H 'G 过定点（4,0）20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-；②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a=；③当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x =-任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--=即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，252585,022()+5255,2ax x x a f x ax x ax x xa ⎧+-+<<⎪⎪=-=⎨+⎪-+-≥⎪⎩即()f x在区间50,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间52582a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）{}n a 不是封闭数列．因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=，233123<<即123,m a a m +≠∈*N 从而{}12n a a a +∉，所以{}n a 不是封闭数列；（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以()121-+=n a a n ，若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意,s t ∈*N ，必存在p ∈*N ，使得()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数，又对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++< ，所以11111818S <<，故118811a <<，故1a 可取的值为2,4,6经检验得：41=a 或61=a ；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ，使s t k a a a +=，则1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-⇒=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md=下面证明1m ≥-①当0d =时，显然成立②当0d ≠时，若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=，即2(1)(1)0md m d md q d qd +--=+-⇒=，这与0,0q d >≠矛盾，故存在整数1m ≥-，使1a md=（充分性）若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d=+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=，由于3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数，即{}1s m t n a a ++-∈证毕．。
2018届上海市高三(二模模拟)检测理科数学试题及答案
2018届上海市高三年级检测试卷（二模模拟）数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=2.若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += 3.现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为4.抛物线22y x =的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______5.某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为6.平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅ 等于7.已知关于x 的二项式n xa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为8.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒，则b =9.用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是10.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a1-，短轴长为椭圆方程为 11.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++若“对于任意[)+∞∈,0x ，()1f x a <+”是假ss ，则a 的取值范围为12.已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，数列{}n a 的前2018项的和为0，则q 的值为 13.][x 表示不超过x 的最大整数，若函数a xx x f -=][)(，当0>x 时，)(x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+ ，则PQ的最小值为二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 点是A ．A B.BC ．C 16.“lim,lim n n n n a A b B →∞→∞==”是“lim nn na b →∞存在”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件. 17.已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列ss ，其中真ss 的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称； ④函数()()y f x g x =⋅A.1B.2C.3D.418.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是A 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；B 此四面体的体积为定值；C 此四面体体积只存在最小值；D 此四面体体积只存在最大值。
2018届中考数学二模-青浦-答案
青浦区2018学年九年级第二次学业质量调研测试评分参考一、选择题：1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．A ； 6．B ． 二、填空题：7．68x -； 8．()()+33a a a -； 9．3x ≥； 10．x = 11． 1； 12．0k <；13．16； 14．77.5%； 15．1136a b --；1617．；18．． 三、解答题： 19．解：原式=)11--． ··················· （8分）=10． ···························· （2分）20．解：由①得+30x y =或20x y -=． ·················· （2分）原方程组可化为302 1.x y x y +=⎧⎨+=⎩，或202 1.x y x y -=⎧⎨+=⎩，············· （4分）解得原方程的解是113515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，；222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ··············· （4分） 21．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，∴DA = DB ， ························ （1分） ∴∠DAB =∠B ． ······················· （1分） ∵∠CAD ∶∠DAB =1∶2，∴∠B =2∠CAD ， ······················· （1分） ∵∠C =90°，∴∠CAD +∠DAB +∠B =90°， ·················· （1分） ∴5∠CAD =90°，（2）∵∠C =90°，AC =1，1tan 2B ∠=， ∴BC =2． ·························· （1分） 设DB =x ，则DA =x ，CD =2-x ，∵∠C =90°，∴222AC CD AD +=，∴()2212x x +-=． ····· （1分） 解得 54x =， ························ （1分） ∴CD =34， ························· （1分） ∴334sin 554CD CAD AD ∠===． ················（1分） 22．解：由题意，得∠ADH =26.6°，∠BDH =22.8°，AH =33． ········· （1分）在Rt △AHD 中， ∵tan AH ADH HD ∠=，∴33tan 26.6HD ︒=， ∴33660.5HD ==． ··· （4分）在Rt △BHD 中， ∵tan BH BDH HD ∠=，∴tan 22.866BH︒=，∴0.426627.7HB =⨯≈． · （4分） ∵AB AH BH =-，∴3327.7 5.3AB =-=． ··········· （1分） 答：该古塔塔刹AB 的高约为5.3米．23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ． ························· （1分）∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ········ （1分） 在△EAC 与△FBA 中，∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ，∴△EAC ≌△FBA ， ····················· （1分）∵∠BAF +∠F AC =60°，∴∠ACE +∠F AC =60°，∴∠FGC =60°， （1分） ∴∠FGC =∠B ． ······················ （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ··············· （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ····················· （1分） ∴△BEC ∽△DCH ， ····················· （1分） ∴BE ECDC CH=， ······················ （1分） ∴BE CH EC DC ⋅=⋅．∵AB =AC ，∴CD =AC ， ··················· （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =F A ，∴BE CH AF AC ⋅=⋅． ··················· （1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （6，−3），对称轴是直线x =4，∴366=34.2a b b a+-⎧⎪⎨-=⎪⎩，……（2分）解得1=42.a b ⎧⎪⎨⎪=-⎩， ·········· （1分）∴抛物线的解析式为2124y x x =-． 把x =4代入抛物线的解析式，得y =−4， ∴B （4，−4）． ······ （1分） （2）设直线OA 的解析式为y kx =（0k ≠），把点A （6，−3）代入得6=3k -，解得1=2k -，12y x =-． ···· （1分） ∴M （4，−2），N （4，−6）． ·················· （2分）∴1144421222OANMNO MNASSS=+=⨯⨯+⨯⨯=． ······· （1分） （3）记抛物线与x 轴的另外一个交点为C ，可得C （8，0）．设直线AN 的解析式为1y k x b =+（10k ≠），把A （6，−3），N （4，−6）代入得11366=4.k b k b -=+⎧⎨-+⎩， 解得132=12.k b ⎧=⎪⎨⎪-⎩，∴3122y x =-．∵当x =8时，y =0，∴点C 在直线AN 上． ············· （1分） ∵tan ∠CNM =213<，∴∠CNM <45°，∴点Q 在点C 右侧． ····· （1分） 过点Q 作QH ⊥NC ，交NC 的延长线于点为H ． ∵∠OCN =∠HCQ ，∴tan ∠OCN =tan ∠HCQ ，∵tan ∠OCN =32，∴tan ∠HCQ =32，················ （1分）设CH =2x ，则QH =3x ，QC．∵N （4，−6），C （8，0），∴NC= ∵∠HNQ =45°，∴HQ = HN ，∴3x =2x +x =QC =26，∴QO =34， ∴Q （34，0）． ······················· （1分）25．解：（1）联结CE ，QE ．∵QC =QD =QE ，∴∠QCE =∠QEC ，∠QED =∠QDE ，∵∠QCE +∠QEC +∠QED +∠QDE =180°，∴2∠QEC +2∠QED =180°，∴∠QEC +∠QED =90°，即∠CED =90°．（1分）∵∠ACB =90°，AC =1，BC =2，∴AB BD = ． ···· （1分）∵ ，∴．············ （1分）∴ ············· （1分）（2）联结CE ，QF ．∵QF =QC ，∴∠QCF =∠QFC ．2210DE BE BD =-==cos BE BC B BC AB ∠==BE =∵∠ACB =90°，DB =DA，∴DB =DC，∴∠B=∠DCB，∴∠B=∠QFC，∴QF//BD，·························（1分）∴GD DEGQ FQ=．························（1分）同理可证∠CED=90°．∵CB=x，∴AB∴∵cosBE BCBBC AB∠==，∴2BE=22DE=-．（1分）∴222221GD DEGQ FQxyx=⎛-==+⎭（1>x）．·（2分）（3）联结FQ．同理可证QF//BD，∴CQ∶QD=CF∶BF，∵CQ=QD，∴BF=CF．∵∠CED=90°，∴FC=FE=FB，∴∠FCE=∠FEC，∠B=∠FEB．∵BD=CD，∴∠B=∠BCD，∴∠FEB=∠BCD．··········（1分）∵CG=CE，∴∠CGE=∠CEG，∴∠CGE=∠FCE．··········（1分）∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，∴∠GCE=∠GDE，∴EC=ED．··················（1分）设CE=m，则DE=m，DC m，BD m．∵tanCE ACBBE BC∠==1BC=，···········（1分）∴BC1．·························（1分）2BD CD FQ===。
2018年青浦区高考数学二模含答案
主视图左视图俯视图（第7题图）2018年青浦(q īnɡ pǔ)区高考(ɡāo kǎo)数学二模含答案2018.04（满分(m ǎn fēn)150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题共有(ɡònɡ yǒu)12题，满分(m ǎn fēn)54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式的解集为__________________．2．若复数满足（是虚数单位），则_____________．3．若，则_______________．4．已知两个不同向量，，若，则实数____________．5．在等比数列中，公比，前项和为，若，则．6．若满足则的最小值为____________．7．如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．8．展开式中的系数为______________．9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得个A 的概率是．10．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数. 如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是.11．已知曲线，直线，若对于点，存在上的点和上的点，使得，则m取值范围是．12．已知，则的取值范围(fànwéi)是．二、选择题（本大题共有(ɡònɡ yǒu)4题，满分(mǎn fēn)20分，每题5分）每题有且只有一个(yīɡè)正确选项．考生(kǎoshēng)应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设是两个不同的平面，是直线且．则“”是“”的（）．（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件14．若已知极限，则的值为（）．（A ）（B ）（C ）（D ）f x 是上的偶函数，对于任意都有成立，当15．已知函数()，且时，都有．给出以下三个命题：f x图像的一条对称轴；①直线是函数()f x 在区间上为增函数；②函数()f x 在区间上有五个零点．③函数()问：以上命题中正确的个数有（）．（A ）个（B ）个（C）2个（D ）个16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为，并且O．若将点到正八角星个顶点的向量都写成的形式，则的取值范围为（）．（A）（B）（C）（D）三、解答(jiědá)题（本大题共有5题，满分(mǎn fēn)76分）解答(jiědá)下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题(běntí)满分14分，第1小题满分(mǎn fēn)6分，第2小题满分8分）如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．（1）求正四棱锥P ABCD的全面积；（2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量，，设函数．（1）若，，求的值；（2）在△中，角，，的对边分别是且满足求的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知椭圆的一个顶点坐标为，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率存在的直线交椭圆于，关于x轴的对称点为，求证：直线恒过定点．20.(本题(běntí)满分16分）本题(běntí)共3小题(xiǎo tí)，第（1）小题(xiǎo tí)4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.设函数(hánshù)．（1）求函数的零点；f x在区间上单调递减；（2）当时，求证：()（3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数m的取值范围．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.给定数列，若数列{}n a中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列的通项公式为，试判断{}a是否为封闭数列，并说明理由；n（2）已知数列{}a满足且，设是该数列{}n a的前项和，试n问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a，使得对任意都有，且，若存在，求数列{}n a的首项的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}a成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使n．青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．或；2．；3．；4．1；5．；6．12；7．；8．；9.；10.；11．；12..二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应(xiāngyīng)编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.；14.；15．；16.C.三、解答(jiědá)题（本大题共有5题，满分(mǎn fēn)76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要(bìyào)的步骤．17．（本题(běntí)满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为正四棱锥，取中点G，连接，，，（2）连接，连接，记，因为，，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系．因为，所以．所以．所以，，，，，，．所以，．设平面AEMF的法向量为，所以即所以．令，，所以．因为平面平面ABCD的一个法向量为设与的夹角为，所以平面AEM F与平面ABCD所成锐二面角的大小是．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）∵∴（2）由∴19．（本题(běntí)满分14分，第1小题满分(mǎn fēn)6分，第2小题满分(mǎn fēn)8分）解：（1）因为(yīn wèi)椭圆2222C1(0)x ya ba b+=>>：的一个顶点(dǐngdiǎn)坐标为(2,0)A，即又长轴长是短轴长的两倍，即，所以椭圆方程；（2）解一：设直线GH的方程为 ,点则联立方程组由韦达定理可得直线所以(su ǒy ǐ)直线(zhíxiàn)则过定点(dìn ɡ diǎn)（4,0）20.(本题(b ěntí)满分16分）本题(běntí)共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解：（1）①当时，函数的零点为；②当时，函数的零点是；③当时，函数无零点；（2）当3a =时，，令任取，且，则因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以，，从而即故在区间(),1-∞-上的单调递减当时，即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减； （3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即，当时，即()f x 在区间(qū jiān)上单调(dāndiào)递减，在区间(qūjiān)上单调(dāndiào)递增；所以(su ǒy ǐ)，又由于，，所以．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）{}n a 不是封闭数列． 因为取，则，即从而，所以{}n a 不是封闭数列；（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以，若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意，必存在，使得，即，故1a 是偶数，又对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，所以，故，故1a 可取的值为经检验得：或；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在，使，则 ，故存在，使1a md =下面证明1m ≥- ①当时，显然成立②当时，若时则取，对不同的两项，存在，使，即，这与矛盾，故存在整数1m ≥-，使1a md =（充分性）若存在(cúnzài)整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列(děnɡ chā shù liè)的两项,()s t a a s t ≠，于是(yúshì)，由于(yóuyú)，为正整数，即证毕．内容总结（1）（2）当时，，令 任取，且， 则因为，，所以，，从而 即故在区间上的单调递减 当时，即当时，在区间上单调递减（2）（3）对任意的正实数，存在使得，即， 当时，即在区间上单调递减，在区间上单调递增。
2018届青浦区高考数学二模答案
参考答案1、{}15x x <<或()1,52、512i - 3、13 4、1 5、33 6、12-7、4π 8、30 9、151192 10、5m ≥- 11、1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12、⎣⎦13-16、ADBC17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PA AB ==，PG ∴=，21=482S S S +=+⨯⨯=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ，记ACBD O =，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为PB AB ==Rt Rt POB AOB ≅△△．所以2OA OP ==．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -． 所以(2,1,1)AE =-，(2,1,1)AF =--．设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =． 因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =设m 与n 的夹角为ϕ，cos 1m n m nϕ⋅===⨯⋅ϕ⇒=所以平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）21cos ()cos cos 112222x x x xf x x +=-+=-+111i n c o s s i n ()2262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又 ∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+2sin cos 2sin()B A AB A ⇒≤+2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B AB A ⇒≤+2sin cos cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2214x y +=；（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H() 则11,x y '-G (） 联立方程组222222(1)(14)844044y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得由韦达定理可得22121222844,,1414k k x x x x k k -+==++ 直线211121(),y y y y x x x x ++=--，G H ： 211212211121214()4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+---当时， 222212122121844[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=-- 2222214088[8]1414==0k k k k k x x ---++-所以直线则G H '过定点（4,0）20.（本题满分16分）共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）① 当0a =时，函数的零点为25x =-； ② 当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a =； ③ 当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x=-，令2()3+5g x x x =-任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭ 因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，25,02()+5255,2ax x x f x ax x ax x xa ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩即()f x在区间50,2a ⎛⎝⎭上单调递减，在区间52a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--， 又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．21.（本题满分18分）共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）{}n a 不是封闭数列．因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=，233123<<即123,m a a m +≠∈*N 从而{}12n a a a +∉，所以{}n a 不是封闭数列；（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以()121-+=n a a n ， 若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意,s t ∈*N ，必存在p ∈*N ，使得()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数，又对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，所以11111818S <<，故118811a <<，故1a 可取的值为2,4,6 经检验得：41=a 或61=a ；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ，使s t k a a a +=，则1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-⇒=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md =下面证明1m ≥- ①当0d =时，显然成立②当0d ≠时，若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=，即2(1)(1)0m d m d m d q d q d +--=+-⇒=，这与0,0q d >≠矛盾，故存在整数1m ≥-，使1a md = （充分性）若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=，由于3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数，即{}1s m t n a a ++-∈证毕．。
【高二数学试题精选】上海青浦区2018
上海青浦区2018
5 青浦区12每题5分考生应在答
题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分
1 复数（是虚数单位）的虚部是
【答案】
2 平面直角坐标系中点到直线的距离为
【答案】
3 的展开式中的常数项是
【答案】
4 已知正六棱柱的底面边长为，侧棱为，则该正六棱柱的体积为
【答案】
5 已知球的半径为，为球面上两点，若之间的球面距离是，则这两点间的距离等于
【答案】
6 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为【答案】
7 过点的直线与圆相交于两点，当弦的长取最小值时，直线的倾斜角等于
【答案】
8 抛物线上一动点到点的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为
【答案】
9 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该。
2018年上海市青浦区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式|x﹣3|＜2的解集为．2．（4分）若复数z满足2﹣3=1+5i（i是虚数单位），则z=．3．（4分）若，则=．4．（4分）已知两个不同向量，，若，则实数m=．5．（4分）在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，若S5=1，则S10=．6．（4分）若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为．7．（5分）如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为．8．（5分）展开式中x2的系数为．9．（5分）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率是．10．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣2，2]，使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围是．11．（5分）已知曲线C：y=﹣，直线l：y=2，若对于点A（0，m），存在C上的点P和l上的点Q，使得=，则m取值范围是．12．（5分）已知，则M的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设α，β是两个不同的平面，b是直线且b⊊β．则“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）若已知极限，则的值为（）A．﹣3B．C．﹣1D．15．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出以下三个命题：①直线x=﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且．若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成的形式，则λ+μ的取值范围为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E，F分别为PB，PD 的中点．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的全面积；（2）若平面AEF与棱PC交于点M，求平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18．（14分）已知向量，，设函数．（1）若，，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足，求f（B）的取值范围．19．（14分）已知椭圆的一个顶点坐标为A（2，0），且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（1，0）且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G'H恒过定点（4，0）．20．（16分）设函数．（1）求函数的零点；（2）当a=3时，求证：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减；（3）若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，求实数m的取值范围．21．（18分）给定数列{a n}，若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）已知数列{a n}的通项公式为，试判断{a n}是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，设S n是该数列{a n}的前n项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*都有S n≠0，且，若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{a n}成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数m≥﹣1，使a1=md．2018年上海市青浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式|x﹣3|＜2的解集为（1，5）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由题意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式|x﹣3|＜2的解集．【解答】解：不等式|x﹣3|＜2，即﹣2＜x﹣3＜2，求得1＜x＜5，故答案为：（1，5）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的基本性质，属于基础题．2．（4分）若复数z满足2﹣3=1+5i（i是虚数单位），则z=2﹣．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得，再由共轭复数的概念求得z．【解答】解：由2﹣3=1+5i，得，∴，则z=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）若，则=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可的结果．【解答】解：若，则=cos（﹣α）=sinα=，【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．4．（4分）已知两个不同向量，，若，则实数m=1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得若，则有=1×（m﹣1）+2m=3m﹣1=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，则=﹣=（m﹣2，2﹣m）若，则有=1×（m﹣2）+m（2﹣m）=（m﹣2）（1﹣m）=0，解可得m=1或2；又由m=2时，=，则m=1；故答案为：1．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．5．（4分）在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，若S5=1，则S10=33．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】运用求和公式，解方程可得首项，计算可得所求和．【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，若S5=1，则S5==1，可得a1=，S10===33．【点评】本题考查等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．（4分）若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（，），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】利用已知条件，直接求解几何体的体积即可．【解答】解：一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）展开式中x2的系数为30．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】分析展开式中x2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【解答】解：当（1+）选择1时，（1+x）6展开式选择x2的项为；当（1+）选择时，（1+x）6展开式选择为C，所以（1+）（1+x）6展开式=30；故答案为：30．【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是明确展开式得到x2的两种情况．9．（5分）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率是．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=，这位考生至少得2个A+的概率：P=P （AB）+P（A C）+P（）+P（ABC）．【解答】解：设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的事件分别为A，B，C，∵这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，∴P（A）=，P（B）=，P（C）=，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率：P=P（AB）+P（A C）+P（）+P（ABC）=+++=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣2，2]，使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围是m≥﹣5．【考点】2I：存在量词和特称命题．【专题】35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∀x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）≥f（x1），则等价为g（x）max≥3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，则满足8+m≥3 解得m≥﹣5故答案为：m≥﹣5．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．11．（5分）已知曲线C：y=﹣，直线l：y=2，若对于点A（0，m），存在C上的点P和l上的点Q，使得=，则m取值范围是[﹣，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过=，说明A是PQ的中点，结合y的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：y=﹣，是以原点为圆心，3为半径的圆，并且y P∈[﹣3，0]，对于点A（0，m），存在C上的点P和l上的Q使得=，说明A是PQ的中点，Q的纵坐标y=2，∴m=∈[﹣，1]．故答案为：[﹣]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．12．（5分）已知，则M的取值范围是[，] ．【考点】34：函数的值域．【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】化M=为aMcosθ﹣asinθ﹣（M﹣1）（a2+1）=0，可得直线aMx﹣ay﹣（M﹣1）（a2+1）=0与圆x2+y2=1有公共点，即，得到≤，转化为关于M的不等式求解．【解答】解：化M=为aMcosθ﹣asinθ﹣（M﹣1）（a2+1）=0，可得直线aMx﹣ay﹣（M﹣1）（a2+1）=0与圆x2+y2=1有公共点，∴，得到≤（当且仅当|a|=1时，等号成立）．故3M2﹣8M+3≤0．解得：≤M≤．∴M的取值范围是[，]．【点评】本题考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设α，β是两个不同的平面，b是直线且b⊊β．则“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断即可．【解答】解：由线面垂直的定义得若⊊β．则b⊥α时，α⊥β成立，即充分性成立，反之若α⊥β，则b⊥α不一定成立，即必要性不成立，故“b⊥α”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直和面面垂直的性质和定义是解决本题的关键．14．（5分）若已知极限，则的值为（）A．﹣3B．C．﹣1D．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法．【分析】根据，对分子分母同除以n，再求极限即可．【解答】解：∵；∴=．故选：D．【点评】考查极限的概念及求法，以及极限的运算．15．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出以下三个命题：①直线x=﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，利用特殊值法分析可得f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），结合函数的奇偶性可得f（3）=0，进而可得f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，则有f （x+6）=f （x），所以f （x）的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为6，则直线x=﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴，①正确；对于②，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有，则函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数，而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数；②错误；对于③，f（3）=0，f（x）的周期为6，所以f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0，函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点；③错误；三个命题中只有①是正确的；故选：B．【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出f（3）的值，分析函数的周期与对称性．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且．若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成的形式，则λ+μ的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出λ+μ的最大值和最小值即可．【解答】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM=1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON=OM=，∴=+，此时λ+μ=1+．同理可得：=﹣，此时λ+μ=﹣1﹣．∴λ+μ的最大值为1+，最小值为﹣1﹣．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E，F分别为PB，PD 的中点．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的全面积；（2）若平面AEF与棱PC交于点M，求平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5Q：立体几何．【分析】（1）取AB的中点G，连接PG，由已知可得PG=，由全面积等于底面积+侧面积求解；（2）连接AC，BD，记AC∩BD=O，由OA，OB，OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由已知求得OA=OP=2，再求出所用点的坐标，然后分别求出平面AEMF与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小．【解答】解：（1）∵取AB的中点G，连接PG，∵PA=AB=，∴PG=，∴；（2）连接AC，BD，记AC∩BD=O，∵OA，OB，OP两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，∵PB=AB=2，∴Rt△POB≌Rt△AOB，∴OA=OP=2，∴A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1），∴，．设平面AEMF的一个法向量为，由，取x=1，得，∵平面ABCD的一个法向量为，∴cos＜＞=，∴平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小为arccos．【点评】本题考查多面体的全面积的求法，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．18．（14分）已知向量，，设函数．（1）若，，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足，求f（B）的取值范围．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（x﹣）+1，由f（x）=，求得sin（x﹣）=，可得x ﹣=arcsin，求得x结果．（2）在△ABC中，由条件2bcosA≤2c﹣ a 可得2sinAcosB≥sinA，故cosB ≥，B∈（0，]，由此求得f（B）的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=+1=sin cos﹣cos2+1=﹣+1=sin（x﹣）+．∵f（x）=，∴sin（x﹣）=．又∵x∈[0，]，∴x﹣=arcsin即x=+arcsin．（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c﹣a，可得2sinBcosA≤2sinC﹣sinA，∴2sinBcosA≤2sin（A+B）﹣sinA，∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）﹣sinA，2sinAcosB≥sinA，∴cosB≥，∴B∈（0，]．∴sin（B﹣）∈（﹣，0]，即f（B）=sin（B﹣）+，∴f（B）∈（0，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．（14分）已知椭圆的一个顶点坐标为A（2，0），且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（1，0）且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G'H恒过定点（4，0）．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】38：对应思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆长短轴得出a，b的值即可；（2）设直线GH的斜率为k，求出G′H的方程，把（4，0）代入方程验证即可．【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，且A（2，0）为椭圆的顶点，∴a=2，又长轴长是短轴长的两倍，∴b=1．∴椭圆的方程为：+y2=1．（2）证明：设GH的直线方程为y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），则G′（x1，﹣y1），联立方程组，消元得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=，直线G′H的方程为：y+y1=（x﹣x1），∴当x=4时，y=﹣y1+（4﹣x1）====0，∴直线G'H恒过定点（4，0）．【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（16分）设函数．（1）求函数的零点；（2）当a=3时，求证：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减；（3）若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，求实数m的取值范围．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）讨论a=0，a≥﹣且a≠0，a＜﹣，解方程可得零点；（2）可令g（x）=﹣3x+5，运用单调性的定义，证得g（x）在x＜﹣1递减，可得g（x）＞6，即可得到证明；（3）由题意可得f（x0）max≥m，由绝对值的含义，化简f（x），得到在x＞0的单调性，即有f（x）max=max{f（1），f（2）}，运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=|+5|的零点为x=﹣；当a≥﹣且a≠0，f（x）的零点为x=；当a＜﹣，f（x）无零点；（2）证明：当a=3时，f（x）=|﹣3x+5|，可令g（x）=﹣3x+5，任取x1＜x2＜﹣1，g（x1）﹣g（x2）=﹣3x1+5﹣+3x2﹣5=，由x1＜x2＜﹣1，可得x2﹣x1＞0，x1x2＞0，进而＞0，即g（x1）﹣g（x2）＞0，可得g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，可得x＜﹣1时，g（x）＞g（﹣1）=6，则f（x）=|﹣3x+5|=g（x），即f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减；（3）对任意的正实数a，总存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，即f（x0）max≥m，当x＞0时，f（x）=，则f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，可得f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{|7﹣a|，|6﹣2a|}，由于a＞0，设t=max{|7﹣a|，|6﹣2a|}，可得|7﹣a|≤t，|6﹣2a|≤2t，可得|14﹣2t|+|6﹣2a|≤3t，即有|14﹣2t|+|6﹣2a|≥|14﹣2t﹣6+2t|=8，可得t≥，则m≤．【点评】本题考查含绝对值函数的零点和单调性，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于难题．21．（18分）给定数列{a n}，若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）已知数列{a n}的通项公式为，试判断{a n}是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，设S n是该数列{a n}的前n项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*都有S n≠0，且，若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{a n}成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数m≥﹣1，使a1=md．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）数列{a n}不为封闭数列．由n=1，2时，a1+a2=3+9=12，可得a1+a2≠3m，m∈N*，可得a1+a2∉{a n}，即可得出结论．（2）数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，可得数列{a n}为等差数列，公差为2．a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p ∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，又由已知，，故＜，可得a1．（3）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性．【解答】解：（1）数列{a n}不为封闭数列．∵n=1，2时，a1+a2=3+9=12，32＜12＜33，可得a1+a2≠3m，m∈N*，∴a1+a2∉{a n}，因此{a n}不是封闭数列．（2）数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，∴数列{a n}为等差数列，公差为2．∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，又由已知，，故＜，可得：＜S1＜8，可得a1=4或a1=6或a1=2，经过验证可得：a1=4或a1=6．（3）证明：（必要性）若存在整数m≥﹣1，使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t（s≠t），于是a s+a t=a1+（s﹣1）d+md+（t﹣1）d=a1+（s+m+t﹣2）d=a s+m+t﹣1，由于s+t≥3，m≥﹣1，∴s+t+m﹣1∈N*为正整数，∈{a n}，∴{a n}是封闭数列．∴a s+m+t﹣1（充分性）任取等差数列的两项a s，a t（s≠t），若存在a k使a s+a t=a k，则2a1+（s+t﹣2）d=a1+（k﹣1）d⇒a1=（k﹣s﹣t+1）d，故存在m=k﹣s﹣t+1∈Z，使a1=md，下面证明m≥﹣1．当d=0时，显然成立．对d≠0，若m＜﹣1，则取p=﹣m≥2，对不同的两项a1和a p，存在a q使a1+a p=a q，即2md+（﹣m﹣1）d=md+（q﹣1）d⇒qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾，故存在整数m≥﹣1，使a1=md．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2018年上海市青浦区中考数学二模试卷
2018年上海市青浦区中考数学二模试卷-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12018年上海市青浦区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．2.C．πD．52．（4分）下列方程有实数根的是（）A．x4+2＝0B．＝﹣1C．x2+2x﹣1＝0D．＝3．（4分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（）A．图象经过点（﹣1，1）B．图象在第一、三象限C．y随着x的增大而减小D．当x＞1时，y＜14．（4分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝﹣3D．（x+2）2＝﹣3 5．（4分）“a是实数，a2≥0”这一事件是（）A．不可能事件B．不确定事件C．随机事件D．必然事件6．（4分）某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在（）A．50.5～60.5分B．60.5～70.5分C．70.5～80.5分D．80.5～90.5分二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．（4分）计算：a3÷（﹣a）2＝．8．（4分）因式分解：a2﹣4a＝．9．（4分）函数的定义域是．10．（4分）不等式组的整数解是．11．（4分）关于x的方程ax＝x+2（a≠1）的解是．12．（4分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是．13．（4分）掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是合数的概率为．14．（4分）如果点P1（2，y1）、P2（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）15．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，F在边AD上，且AF：FD＝2：1，如果＝，＝，那么＝．16．（4分）如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k•OP（k≠0），那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O 叫做位似中心．已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′＝3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是．17．（4分）如图，在△ABC中，BC＝7，AC＝3，tan C＝1，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB 的取值范围是．18．（4分）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，且CD：CE＝3：4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）计算：5+|﹣2|﹣（﹣3）0+（）﹣1．20．（10分）先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x＝．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．22．（10分）如图，海中有一个小岛A，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点M，点E在边BC上，且∠DAE＝∠DCB，联结AE，AE与BD交于点F．（1）求证：DM2＝MF•MB；（2）联结DE，如果BF＝3FM，求证：四边形ABED是平行四边形．24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线x＝2上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．25．（14分）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON＝90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC＝BM，联结BC 并延长交半径OM于点A，设OA＝x，∠COM的正切值为y．（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM＝AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值．2018年上海市青浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．2.C．πD．5【分析】根据有理数的定义，即可解答．【解答】解：，π，是无理数，2.是有理数，故选：B．2．（4分）下列方程有实数根的是（）A．x4+2＝0B．＝﹣1C．x2+2x﹣1＝0D．＝【分析】根据方程解的定义，一一判断即可解决问题；【解答】解：A、∵x4＞0，∴x4+2＝0无解；故本选项不符合题意；B、∵≥0，∴＝﹣1无解，故本选项不符合题意；C、∵x2+2x﹣1＝0，△＝8＝4＝12＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D、解分式方程＝，可得x＝1，经检验x＝1是分式方程的增根，故本选项不符合题意；故选：C．3．（4分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（）A．图象经过点（﹣1，1）B．图象在第一、三象限C．y随着x的增大而减小D．当x＞1时，y＜1【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝，图象经过点（﹣1，﹣1），故此选项错误；B、反比例函数y＝，图象在第一、三象限，故此选项正确；C、反比例函数y＝，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；D、反比例函数y＝，当x＞1时，0＜y＜1，故此选项错误；故选：B．4．（4分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝﹣3D．（x+2）2＝﹣3【分析】根据配方法可以解答本题．【解答】解：x2﹣4x+1＝0，（x﹣2）2﹣4+1＝0（x﹣2）2＝3，故选：A．5．（4分）“a是实数，a2≥0”这一事件是（）A．不可能事件B．不确定事件C．随机事件D．必然事件【分析】直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案．【解答】解：a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．故选：D．6．（4分）某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在（）A．50.5～60.5分B．60.5～70.5分C．70.5～80.5分D．80.5～90.5分【分析】由频数分布直方图知这组数据共有40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，据此可得．【解答】解：由频数分布直方图知，这组数据共有3+6+8+8+9+6＝40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，所以中位数落在70.5～80.5分，二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．（4分）计算：a3÷（﹣a）2＝a．【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案．【解答】解：原式＝a故答案为：a8．（4分）因式分解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．【分析】直接找出公因式提取公因式分解因式即可．【解答】解：原式＝a（a﹣4）．故答案为：a（a﹣4）．9．（4分）函数的定义域是x≥﹣3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．10．（4分）不等式组的整数解是﹣1，0，1．【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．【解答】解：解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，解不等式2﹣x＞0，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，所以不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1．11．（4分）关于x的方程ax＝x+2（a≠1）的解是．【分析】根据一元一次方程的步骤依次移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：ax﹣x＝2，合并同类项，得：（a﹣1）x＝2，∵a≠1，则x＝，故答案为：．12．（4分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（3，1）．故答案为：（3，1）．13．（4分）掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是合数的概率为．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中4、6是合数，所以概率为＝．故答案为：．14．（4分）如果点P1（2，y1）、P2（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】首先求得抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是x＝1，利用二次函数的性质，点M、N在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，得出答案即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是x＝﹣＝1，∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，1＜2＜3，∴y1＞y2．故答案为：＞15．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，F在边AD上，且AF：FD＝2：1，如果＝，＝，那么＝．【分析】根据＝+，只要求出、即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴＝＝，∵AF＝2DF，∴＝，∵＝，AE＝EB，∴＝，∵＝+，∴＝﹣．故答案为﹣．16．（4分）如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k•OP（k≠0），那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O 叫做位似中心．已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′＝3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是1：3．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，∴△ABC∽△A′B′C′，∵OA′＝3OA，∴△ABC与△A′B′C′的周长之比是：OA：OA′＝1：3，故答案为：1：3．17．（4分）如图，在△ABC中，BC＝7，AC＝3，tan C＝1，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB 的取值范围是．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可求得PB的取值范围．【解答】解：作AD⊥BC于点D，作PE⊥BC于点E，∵在△ABC中，BC＝7，AC＝3，tan C＝1，∴AD＝CD＝3，∴BD＝4，∴AB＝5，由题意可得，当PB＝PC时，点C恰好在以点P为圆心，PB为半径圆上，∵AD⊥BC，PE⊥BC，∴PE∥AD，∴△BPE∽△BDA，∴，即，得BP＝，故答案为：0＜PB＜．18．（4分）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，且CD：CE＝3：4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是6．【分析】设CD＝3x，则CE＝4x，BE＝12﹣4x，依据∠EBF＝∠EFB，可得EF＝BE＝12﹣4x，由旋转可得DF＝CD＝3x，再根据Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，即可得到（3x）2+（4x）2＝（3x+12﹣4x）2，进而得出CD＝6．【解答】解：如图所示，设CD＝3x，则CE＝4x，BE＝12﹣4x，∵＝，∠DCE＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△DCE，∴∠DEC＝∠ABC，∴AB∥DE，∴∠ABF＝∠BFE，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠EBF＝∠EFB，∴EF＝BE＝12﹣4x，由旋转可得DF＝CD＝3x，∵Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，∴（3x）2+（4x）2＝（3x+12﹣4x）2，解得x1＝2，x2＝﹣3（舍去），∴CD＝2×3＝6，故答案为：6．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）计算：5+|﹣2|﹣（﹣3）0+（）﹣1．【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简即可．【解答】解：原式＝+﹣2﹣1+2＝2﹣1．20．（10分）先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x＝．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝，＝，＝．当时，原式＝＝21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．【分析】（1）过点D作DH⊥AB，根据角平分线的性质得到DH＝DC根据正弦的定义列出方程，解方程即可；（2）根据三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，则AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．22．（10分）如图，海中有一个小岛A，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BC，由∠CAH＝45°可设AH＝CH＝x，根据可得关于x的方程，解之可得．【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠BAH＝60°，∠CAH＝45°，BC＝10．（设AH＝x，则CH＝x．在Rt△ABH中，∵，∴，∴，解得，∵13.65＞11，∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点M，点E在边BC上，且∠DAE＝∠DCB，联结AE，AE与BD交于点F．（1）求证：DM2＝MF•MB；（2）联结DE，如果BF＝3FM，求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）由AD∥BC可得出∠DAE＝∠AEB，结合∠DCB＝∠DAE可得出∠DCB ＝∠AEB，进而可得出AE∥DC、△AMF∽△CMD，根据相似三角形的性质可得出＝，根据AD∥BC，可得出△AMD∽△CMB，根据相似三角形的性质可得出＝，进而可得出＝，即MD2＝MF•MB；（2）设FM＝a，则BF＝3a，BM＝4a．由（1）的结论可求出MD的长度，代入DF＝DM+MF可得出DF的长度，由AD∥BC，可得出△AFD∽△△EFB，根据相似三角形的性质可得出AF＝EF，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形ABED是平行四边形．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠DCB＝∠DAE，∴∠DCB＝∠AEB，∴AE∥DC，∴△AMF∽△CMD，∴＝．∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴＝，∴＝，即MD2＝MF•MB．（2）设FM＝a，则BF＝3a，BM＝4a．由MD2＝MF•MB，得：MD2＝a•4a，∴MD＝2a，∴DF＝BF＝3a．∵AD∥BC，∴△AFD∽△△EFB，∴＝＝1，∴AF＝EF，∴四边形ABED是平行四边形．24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线x＝2上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．【分析】（1）根据对称轴方程求得b＝﹣4a，将点A的坐标代入函数解析式求得9a+3b+3＝0，联立方程组，求得系数的值即可；（2）抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，根据二次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积得到：∴．（3）联结CE．分类讨论：（i）当CE为矩形的一边时，过点C作CF1⊥CE，交x轴于点F1，设点F1（a，0），在Rt△OCF1中，利用勾股定理求得a的值；（ii）当CE为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点F3、F4，利用圆的性质解答．【解答】解：（1）∵顶点C在直线x＝2上，∴，∴b＝﹣4a．将A（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得9a+3b+3＝0，解得a＝1，b＝﹣4．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．∵y＝x2﹣4x+3═（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）．∵CM＝MA＝1，∴∠MAC＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OD＝OA＝3．∵抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点B，∴B（0，3），∴BD＝6．∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，∴．（3）联结CE．∵四边形BCDE是平行四边形，∴点O是对角线CE与BD的交点，即．（i）当CE为矩形的一边时，过点C作CF1⊥CE，交x轴于点F1，设点F1（a，0），在Rt△OCF1中，，即a2＝（a﹣2）2+5，解得，∴点同理，得点；（ii）当CE为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点F3、F4，可得，得点、综上所述：满足条件的点有，，），．25．（14分）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON＝90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC＝BM，联结BC 并延长交半径OM于点A，设OA＝x，∠COM的正切值为y．（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM＝AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）先判断出∠ABM＝∠DOM，进而判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD＝DM，进而得出，进而得出AE＝，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．【解答】解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM∴∠ODM＝∠BAM＝90°．（1分）∵∠ABM+∠M＝∠DOM+∠M，∴∠ABM＝∠DOM．（1分）∵∠OAC＝∠BAM，OC＝BM，∴△OAC≌△BAM，（1分）∴AC＝AM．（1分）（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．（1分）∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM．∵DE∥AB，∴，∴AE＝EM，∵OM＝，∴AE＝．（1分），∴OE＝OA+AE＝x+（﹣x）＝（+x）∵DE∥AB，∴，（1分）∴，在Rt△ODM中，y＝＝＝＝．（0＜x＜）（2分）（3）（i）当OA＝OC时，∵，在Rt△ODM中，．∵，∴．解得，或（舍）．（2分）（ii）当AO＝AC时，则∠AOC＝∠ACO，∵∠ACO＞∠COB，∠COB＝∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（1分）（ⅲ）当CO＝CA时，则∠COA＝∠CAO＝α，∵∠CAO＞∠M，∠M＝90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA＝2α＞90°，∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．（1分）即：当△OAC为等腰三角形时，x 的值为．21。
2024届上海市青浦区高三二模数学试题及答案
第11题图第12题图上海市青浦区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集为．2.已知向量 1,1a ， 3,4b，则,a b．3.已知复数5iz，则Im z ．4.5.6.7.8.9.10.个数字均11.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，若以303cm /s 的速度匀速往杯中注水，当水深为4cm 时，酒杯中水升高的瞬时变化率vcm /s ．第16题图12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 在棱AB 、BC 、1BB 上，且12PB，13QB ，14RB，以PQR 为底面作一个三棱柱111PQR PQ R ，使点1P 、1Q 、1R 分别在平面11A ADD 、11D DCC 、1111A B C D 上，则这个三棱柱的侧棱长为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.函数13y x x（0x ）的最小值是（）.A 4；14.已知点d ，M 是x 轴上.A .C 15.设n S ）.A 1a 16. f x kx 有（.A 2.C 2第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）对于函数 y f x ，其中22sin cos f x x x x ，x R ．（1）求函数 y f x 的单调增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若 1f A，AB AC，求ABC 的面积．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，三棱柱111ABC A B C 是所有棱长均为2的直三棱柱，D 、E 分别是棱AB 和棱1AA 的中点．（1）求证：平面1B CD 平面11ABB A ；（2）求二面角1B CD E 的余弦值大小．19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分4分，第2小题（ii ）满分6分）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A 等级和B 等级，得到如下列联表：（1）0.05 ）？0.05 ．（2）A 提问第20题图20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知双曲线22:145x y ，1F 、2F 分别为其左、右焦点．（1）求1F 、2F 的坐标和双曲线 的渐近线方程；（2）如图，P 是双曲线 右支在第一象限内一点，圆C 是12PF F 的内切圆，设圆与1PF 、2PF 、12F F 分别切于点D 、E 、F ，当圆C 的面积为4 时，求直线2PF 的斜率；（3）是否存在过点2F 的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A 、B 两点，且使得11F AB F BA ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若无穷数列 n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a 对一切正整数n 成立，则称 n a 是周期为T 的周期数列．（1）若ππsin 3n n a m（其中正整数m 为常数，n N ，1n ），判断数列 n a 是否为周期数列，并说明理由：（2）若1sin n n n a a a （n N ，1n ），判断数列 n a 是否为周期数列，并说明理由；（3）设 n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a （n N ，1n ）．求证：“存在1a ，使得 n a 是周期数列”的充要条件是“ n b 是周期数列”．上海市青浦区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案2024.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．(,1)(3,) ；2．10；3．52；4．160；5．6 ；6．2；7．；8． 0,101000, ；9.10,2；10.34；11．403π；12.12.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.D ；14.A ；15．C ；16..B三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）222sin cos 2sin cos 1)f x x x x x x xπsin 222sin 23x x x由πππ2π22π+,232k x k kZ ≤≤，得5ππππ+,1212k x k k Z ≤≤所以，函数)(x f 的单调增区间是 5πππ,π+,1212k k kZ ．（2）由已知π()2sin 213f A A，所以π1sin 232A因为π02A，所以ππ4π2333A ，即π5π236A ，所以π4A2又cos AB AC AB AC A 2AB AC，所以，△ABC的面积11sin 22222S AB AC A．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解：（1）D 为棱AB 中点，△ABC 为正三角形，CD AB .又三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，1AA 平面ABC ，又CD 平面ABC ，1CD AA ，因为1,AB AA A 1,AB AA 平面11ABB A CD 平面11ABB A ，CD 平面1B CD ，平面1B CD 平面11ABB A （2）由（1）得CD 平面11ABB A ，1,B D DE 平面11ABB A ，1,CD B D CD ED ，1B DE 是二面角1B CD E 的平面角在△1B DE中，11DE B D B E1cos 10B DE二面角1B CD E的余弦值为10．19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题（i）4分，第2小题（ii）6分)解：（1）提出原假设0H :学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，确定显著性水平0.05 ，由题意得，40,20a b c d 可得2221004020202025604060409n ad bc a b c d a c b d，由2( 3.841)0.05P ，且2593.841 ，所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.3（2）（i ）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为121223239p比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为2212111132318p ，故比赛只进行3局就结束的概率为1221591818p p ；（ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，X 0 ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故 1111032318P X ，1X ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，故 2111111111215132323232323236P X，2X ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，故 2111121211211112323233232332323P X11211111111121113323233232332323108，3X ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得151337310121183610854P X P X P X P X ，所以分布为故数学期望为1513372630123183610854108[]E X20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为双曲线22:145x y ，所以224,5a b ，所以3c ，即1(3,0)F ，2(3,0)F ，所以双曲线的渐近线方程是2y x（2）解法一：由题意可知||||PD PE ，11||||F D F F ，22||||F F F E ，所以12121212||||(||||(||||)||||||||24PF PF PD DF PE EF DF EF FF FF a ，(2,0)F ，即F 是椭圆右顶点设圆C 的半径为(0)r r ，因为圆C 的面积为4π，则2π4πr ，即2r ，12CF F F ，设直线2PF 的斜率为k ，则直线2PF 的方程为(3)y k x ，即30kx y k ，由圆心C 到直线2PF 的距离等于圆的半径，可得2 ，解得直线2PF 的斜率为43k（3）假设存在过点2F 的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得11F AB F BA ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点为0(M x ，0)y ，又1(3,0)F ，2(3,0)F ，由11F AB F BA ，可知△1F AB 为等腰三角形，11||||F A F B ，且直线l 不与x 轴重合，于是1F M AB ，即12F M MF ，因此121F M MF k k ，0000133y yx x ，22009()x y I ，点A ，B 在双曲线 上，所以22112222545141x y x y ①②，① ②化简整理得：1212121254y y y y x x x x ，01201254y y y x x x ，则54OM AB k k，可得0000534y y x x ，220004515y x x Ⅱ，联立（Ⅰ）（Ⅱ）得22002200094515x y y x x ，2035120x x ，得043x或03x（舍）所以4,3M由54OM AB k k，得AB k ，所以直线l的方程为133)y x．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）∵2ππππππsin (2)sin 2πsin 333n m nn n a n m a m m m∴{}n a 是为周期为2m 的周期数列．（2）①当12a a 时，1sin 0a ，1π()a k k Z ，∴当1π()a k k Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；②当1π()a k k Z 时，记()sin f x x x ，则1()n n a f a ，()1cos 0f x x ，当且仅当11(21)π()x k k Z 时等号成立．即()1cos 0f x x ，所以()f x 在R 上严格增．若12a a ，则12()()f a f a ，即23a a ，进而可得1234a a a a ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a ，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）证明：必要性．若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b ，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列．充分性．若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x ，则10()a f x x211()sin a f x b x ，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x ，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x ，令1()sin ()T T g x x b f x ，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b x ，1(2)2sin ()0T T g b f x ，∴()g x 存在零点c ．于是1sin ()0T T c b f c 取1a c ，则111sin ()T T T a b f c c a ，从而211112sin sin T T T a b a b a a ，322223sin sin T T T a b a b a a ，……一般地，n T n a a 对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）。
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2018年青浦区高考数学二模含答案2018.04（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式|3|2x -<的解集为__________________．2．若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 3．若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．4．已知两个不同向量(1,)OA m =u u u r ，(1,2)OB m =-u u u r，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数m =____________．5．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S =．6．若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．7．如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．8．621(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同 学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512， 这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是．10．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是.11．已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 取值范围是．12．已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且b β⊂≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（）． （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14．若已知极限sin lim0n n n→∞=，则3sin lim sin 2n n nn n →∞--的值为（ ）．（A ）3-（B ）32-（C ）1-（D ）12- 15．已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．给出以下三个命题：①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数； ③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点． 问：以上命题中正确的个数有（）． （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉 两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为O ，并且12,OA e OB e ==u u u r u r u u u r u u r．若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成 12e e λμλμ+∈R u r u u r，、的形式，则λμ+的取值范围为（）．（A）2⎡⎤-⎣⎦（B）⎡-⎣（C）1⎡--+⎣（D）12⎡⎤-⎣⎦三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；A（第16题图）（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2,cos )22x x n =r ，设函数()1f x m n =⋅+u r r ．（1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 2,b A c ≤求()f B 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点()4,0．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.设函数()2()5f x ax a x=-+∈R ． （1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<L ，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．{}15x x <<或(1,5)； 2．52i 2-； 3．13；4．1； 5．33；6．12-； 7．π4；8．30；9.151192；10.5m ≥-；11．1[,1]2-； 12.4433M ≤≤. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.A ；14.D ； 15．B ；16.C .三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG，PA AB ==Q，PG ∴=21=482S S S +=+⨯⨯=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ，记AC BD O =I ，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为PB AB ==Rt Rt POB AOB ≅△△．所以2OA OP ==．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．所以(2,1,1)AE =-u u u r ，(2,1,1)AF =--u u u r．设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =r ，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =r．因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r设m u r 与n r 的夹角为ϕ，cos 5m n m n ϕ⋅===-⋅u r ru rr ϕ⇒= 所以平面AEM F 与平面ABCD所成锐二面角的大小是． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）21cos ()cos cos 112222x x x xf x x +=-+=-+111cos sin()2262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈Q 又 ∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+ （2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()B A A B A ⇒≤+2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ⇒≤+2sin cos cos (0,]6A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2214x y +=；（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H()则11,x y '-G (） 联立方程组222222(1)(14)844044y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得由韦达定理可得22121222844,,1414k k x x x x k k-+==++ 直线211121(),y y y y x x x x ++=--，G H ：211212211121214()4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+---当时，222212122121844[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=--2222214088[8]1414==0k k k k k x x ---++-所以直线则H 'G 过定点（4,0）20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-； ②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a ±=；③当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+=⎪⎝⎭ 因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，255,022()+525,ax x x af x ax x ax x x⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩即()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增； 所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--， 又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤． 21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）{}n a 不是封闭数列．因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=，233123<<即123,ma a m +≠∈*N 从而{}12n a a a +∉，所以{}n a 不是封闭数列；（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以()121-+=n a a n ，若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意,s t ∈*N ，必存在p ∈*N ，使得()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数，又对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<L ，所以11111818S <<，故118811a <<，故1a 可取的值为2,4,6经检验得：41=a 或61=a ；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ，使s t k a a a +=，则1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-⇒=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md =下面证明1m ≥- ①当0d =时，显然成立②当0d ≠时，若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=，即2(1)(1)0md m d md q d qd +--=+-⇒=，这与0,0q d >≠矛盾，故存在整数1m ≥-，使1a md =（充分性）若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=，由于3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数，即{}1s m t n a a ++-∈证毕．。