第二章2.3-2.3.1离散型随机变量的均值
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图像表示1.3 离散型随机变量的数学期望数学期望的定义数学期望的计算方法数学期望的性质第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的定义均值的定义均值的计算方法均值的性质2.2 离散型随机变量的均值的计算均值的计算公式均值的计算实例均值的近似计算方法均值的估计方法均值的估计误差均值的估计实例第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的定义方差的定义方差的计算方法方差的性质3.2 离散型随机变量的方差的计算方差的计算公式方差的计算实例方差的近似计算方法3.3 离散型随机变量的方差的估计方差的估计方法方差的估计误差方差的估计实例第四章：离散型随机变量的标准差4.1 离散型随机变量的标准差的定义标准差的定义标准差的计算方法标准差的性质标准差的计算公式标准差的计算实例标准差的近似计算方法4.3 离散型随机变量的标准差的估计标准差的估计方法标准差的估计误差标准差的估计实例第五章：离散型随机变量的均值的性质与应用5.1 离散型随机变量的均值的性质均值的线性性质均值的单调性质均值的连续性质5.2 离散型随机变量的均值的应用均值在统计推断中的应用均值在决策分析中的应用均值在概率论中的应用5.3 离散型随机变量的均值的估计的应用均值的估计在置信区间中的应用均值的估计在假设检验中的应用均值的估计在样本调查中的应用第六章：离散型随机变量均值的极限收敛性的定义收敛性的判定条件收敛性的性质6.2 大数定律与均值的极限大数定律的定义及其意义大数定律的证明方法均值的极限性质6.3 中心极限定理与均值的极限中心极限定理的定义及其意义中心极限定理的条件均值的极限应用第七章：离散型随机变量均值的变换7.1 离散型随机变量的函数随机变量函数的定义随机变量函数的性质随机变量函数的图像表示7.2 离散型随机变量均值的变换均值的变换公式均值的变换性质均值的变换应用7.3 离散型随机变量条件的均值条件概率与条件均值的概念条件均值的计算方法条件均值的应用第八章：离散型随机变量均值的推断8.1 离散型随机变量均值的估计均值的估计方法均值的估计误差均值的估计应用8.2 离散型随机变量均值的置信区间置信区间的概念置信区间的计算方法置信区间的应用8.3 离散型随机变量均值的假设检验假设检验的概念与步骤均值的假设检验方法均值的假设检验应用第九章：离散型随机变量均值的实际应用9.1 离散型随机变量均值在经济学中的应用均值在需求与供给分析中的应用均值在市场预测中的应用均值在决策分析中的应用9.2 离散型随机变量均值在工程中的应用均值在质量控制中的应用均值在信号处理中的应用均值在其他工程领域的应用9.3 离散型随机变量均值在社会科学中的应用均值在社会调查中的应用均值在心理学研究中的应用均值在其他社会科学领域的应用第十章：总结与展望10.1 离散型随机变量均值的重要性质与方法总结均值的性质与方法强调均值在概率论与统计学中的重要性10.2 离散型随机变量均值的研究进展介绍均值研究的新进展展望均值研究的发展方向10.3 离散型随机变量均值的进一步学习建议推荐进一步学习的教材与参考书鼓励学生参与实际应用与研究项目强调理论与实践相结合的学习方法重点和难点解析一、离散型随机变量的概念：理解离散型随机变量的定义及其与连续型随机变量的区别是教学的重点。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
栏 目 链 接
每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
栏 目 链 接
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
2.3.1离散型随机变量的均值(第一课时)
X P
0
1
… …
m
m n m CM CN M n CN
0 n 0 1 n 1 CM CN C C M M N M n n CN CN
（3）二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，若事件A每次发生 的概率都是p，则称事件A发生的次数X服从二项分布.
X P
0 n
0
1
0 n
…
k
…
n
C pq
五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … …
则称 EX＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋… 为X的均值或数 学期望，数学期望又简称为期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
∴ EX=1×P(X=1)＋0×P(X=0) =1×0.7＋0×0.3 =0.7 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 EX=1×p+0× (1-p)=p 于是有 若X服从两点分布，则EX=p
3.两点分布的均值：
若X服从两点分布，则EX=p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚 2 次球的得分X的期望.
2、随机变量ξ的分布列是
.
ξ P
4 0.3
7 a
0.1 b=
9 b
10 0.2
0.4.
Eξ=7.5,则a=
练习二
1.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 （2）E(ξ－Eξ)= 0 . .
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分ξ的期望为 ． 这是一个两点分布随机变量的期望
选修2-3：2.3.1离散型随机变量的均值(1)
2. 若X服从两点分布，则EX=p
3.若X～B（n , p），则 E( X ) np
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生 甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
例题5
根据气象预报,某地区近期有小洪水的概 率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某 工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失 60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设 备,有以下3种方案:
4.例题讲解
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的概率分布； （2）求X的数学期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2) E（X） 0 0.33 1 C310.7 0.32 2 C320.72 0.3 3 0.73
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项， 其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
最新-2021高中数学选修23课件：第二章23231离散型随机变量的均值 精品
值，是随机变量 X 的一个固有的数字特征，不具有随机
性．
2．离散型随机变量的性质
如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋ b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
解析：(1)错，随机变量 X 的数学期望是一个常量． (2)错，随机变量的均值与样本的平均值是两个不同 的概念． (3)对，E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6. 答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2
P
1 4
311 848
则 ξ 的均值为( )
A．0
B．－1
法二 由于 Y＝2X－3，
所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3Leabharlann 1 511 6 20所以
E(Y) ＝
(
－
7)× 14
＋(－
5)×
1 3
＋
(
－ 3)× 15 ＋ ( －
1)×16＋1×210＝－6125.
归纳升华 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b，a，b 为常数．一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX＋b) ＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．也可以利用 ξ 的分布列得到 η 的分 布列，关键由 ξ 的取值计算 η 的取值，对应的概率相等， 再由定义法求得 E(η)．
防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解
各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的
n
性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2) pi＝1 来检验．
人教版高中数学选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
当堂自测
[答案] A
当堂自测
3.设随机变量X~B(3,0.2),则
E(2X+1)= ( )
A.0.6
B.1.2
C.2.2
D.3.2
[答案] C
[解析] ∵随机变量 X~B(3,0.2),∴E(X)=3×0.2=0.6,∴E(2X+1)=2E(X)+1 =2×0.6+1=2.2,故选C.
当堂自测
故选D. (2)设该学生在这次测验中选对的题数 为X,该学生在这次测验中成绩为Y,则 X~B(20,0.9),Y=5X.由二项分布的均值公
式得E(X)=20×0.9=18.由随机变量均值 的线性性质得E(Y)=E(5X)=5×18=90.
考点类析
考点三 利用随机变量均值的性质解决问题
[导入] 若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,试分析随机变量Y的均值E(Y)和E(X) 的关系.
考点一 随机变量X均值定义的应用
ξ012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x
[答案] C
考点类析
例2 袋中有4只红球、3只 黑球,现从袋中随机取出4 只球,设取到1只红球得2分, 取得1只黑球得1分,试求得 分X的均值.
X5678 P
考点类析
考点二 两点分布、二项分布的均值
例3 (1)设X~B(40,p),且E(X)=16,则p=
的均值. (2)随机变量的均值是常数,其值不随X的变化而变化.
预习探究
[探究] 随机地抛掷一枚骰子,怎样求向上的点数X的均值?
X123456 P
预习探究
知识点二 离散型随机变量均值的性质
若Y=aX+b(a,b为常数),则E(Y)=E(aX+b)=
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。
通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。
高中数学人教A版选修2-3课件：2.3.1离散型随机变量的均值
当 X=3 时,表示前 2 次中取得一红球,一白球或黑球,第 3 次取红球, ∴ P(X=3)=
1 2 ������1 2 ������3 ������2
������3 5
=
1 ; 5
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
x
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
解:由题意知 X 的取值为 2,3,4,5. 当 X=2 时,表示前 2 次取的都是红球, ∴ P(X=2)=
������2 2 ������2 5
=
1 ; 10
预习交流 2
若随机变量 X~B(5,0.3),则 E(X)= 提示:E(X)=5× 0.3=1.5. .
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
一、求离散型随机变量的均值(数学期望)
活动与探究 问题:某商场要将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg 的 3 种 糖果按 3∶ 2∶ 1 的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?
当 X=4 时,表示前 3 次中取得一红球,2 个不是红球,第 4 次取红球, ∴ P(X=4)=
2 3 ������1 2 ������3 ������3
2.3.1__离散型随机变量的均值ppt课件
引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元 /kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量 都相等，如何对混合糖果定价才合理？ 定价为
18+24+36 26 3
可以吗？
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 糖果所属种类的单价（元 kg）,你能写出X的分布列吗？
定义
一般地：
对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已
知 P( i)(i 0,1, 2,L ,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0) 1 P( 1) L 10 P( 10) 记为E
我们称E 为此射手射击所得环数的期望，它刻
划了所得环数随机变量 所取的平均值.
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数. 分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P( i)100 .
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100.
故100次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. 一般地6
结论1
结论1：若 a b, 则 E aE b
Q P( axi b) P( xi ), i 1, 2, 3L
所以， 的分布列为
L ax1 b ax2 b
L LL P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 L (axn b) pn
2.3.1离散型随机变量的均值
§2.3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值学习目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(ax i＋b)p i＋…＋(ax n＋b)p n＝a(x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n)＋b(p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考(1)离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？(2)随机变量X的数学期望E(X)，其值随X的变化而变化吗？答案(1)①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．(2)随机变量的均值是常数，其值不随X的变化而变化．知识点二两点分布、二项分布的均值1．两点分布的均值由数学期望的定义可知，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p.这表明在只有两个可能结果的随机试验中，离散型随机变量X的均值为p.2．二项分布的均值在n次独立重复试验中，若X～B(n，p)，则E(X)＝np.1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()2．随机变量的均值与样本的平均值相同．()3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.()4．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝0或E(X)＝P(X)．()一、利用定义求离散型随机变量的均值例1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．跟踪训练1某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为23，12，13，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．二、常见分布的均值例2 (1)设X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4(2)一次单元测试由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为________．反思感悟 (1)常见的两种分布的均值 设p 为一次试验中成功的概率，则 ①两点分布E (X )＝p ； ②二项分布E (X )＝np .熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度． (2)两点分布与二项分布辨析①相同点：一次试验中要么发生要么不发生． ②不同点：a ．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X ＝0,1,2，…，n .b ．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验．跟踪训练2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的均值．三、离散型随机变量均值的性质 例3 已知随机变量X 的分布列为：若Y ＝－2X ，则E (Y )＝________. 引申探究本例条件不变，若ξ＝aX ＋3，且E (ξ)＝－112，求a 的值．跟踪训练3 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E (η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18四、离散型随机变量均值的应用例4某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，请确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？反思感悟(1)解答概率模型的三个步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．(2)利用题目提供的相关数据进行分布列及费用决策的研究，体现了数据分析的数学素养．跟踪训练4 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．1．求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式求出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为16，12，13，随机变量X 表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X 的均值为( )A ．1.18B ．3.55C ．1.23D ．2.382．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n 号的有n 个(n ＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X 表示所取到球的标号，则E (X )等于( ) A ．2 B.32 C.45 D.753．离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)，E (X )＝3，则a ＋b 等于( ) A ．10 B ．5 C.15 D.1104．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，取出的球的最大编号X 的均值为________．5．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．一、选择题1．已知X 的分布列为则X 的均值为( ) A ．0 B ．－1 C.18 D.142．已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，η～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．203．已知某一随机变量X 的分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )A.5 B ．6 C ．7 D ．8 4．设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E (η)等于( ) A.76 B.176 C.173 D.3235．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X ，则X 的均值是( ) A.65 B.310 C.45D.15 6．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值是( ) A ．20 B ．30 C ．25 D ．407．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为35，12，23，34，13，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试．假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有( ) A ．1人 B ．2人 C ．3人D ．4人二、填空题8．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·⎝⎛⎭⎫13k ·⎝⎛⎭⎫23300－k (k ＝0,1,2，…，300)，则E (X )＝________. 9．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为23，则此人试验次数ξ的均值是________．10．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x ，y ，z 分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X ＝x ＋y ，则E (X )＝________. 三、解答题11．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．12．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，求X 的分布列及均值．13．某电视台智力闯关游戏节目中，准备从甲、乙、丙三名幸运观众中确定一人免费参加“台湾十日游”活动，方案是：甲、乙两人轮流抛掷一对骰子，甲先掷，乙后掷，然后甲再掷，…，规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获得免费参加“台湾十日游”活动，一旦决出胜负游戏便结束，且限定每人最多掷两次，若甲、乙均未获得，则由丙获得，求游戏结束时抛掷次数ξ的均值．14．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立． (1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．。
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第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值
A 级 基础巩固
一、选择题
1．一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X
的均值为( )
A ．60
B ．70
C ．80
D ．90
解析：易知发芽的种子数X ～B (100，0.8)，
所以E (X )＝100×0.8＝80.
答案：C
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E (ξ)的值为( )
A.118
B.19
C.209
D.920
解析：根据概率和为1，可得x ＝
1
18
， 所以E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x ＝20
9
.
答案：C
3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，
3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值是( )
A ．20
B ．25
C ．30
D ．40
解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为C2525＝5
16
.所以
X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫80，516.故E (X )＝80×5
16＝25.答案：B
答案：B
4．若随机变量ξ～B (n ，0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( )
A ．2×0.44
B ．2×0.45
C ．3×0.44
D ．3×0.64
解析：因为ξ～B (n ，0.6)，所以E (ξ)＝n ×0.6，故有0.6n ＝3，解得n ＝5.P (ξ
＝1)＝C 15×0.6×0.44＝3×0.44.
答案：C
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取
2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )
A.13
B.23 C ．2 D.8
3
解析：X ＝2，3所以P (X ＝2)＝1C23＝13，P (X ＝3)＝C12C 23＝2
3
.
所以E (X )＝2×
13
＋3×23＝8
3. 答案：D 二、填空题
所以E (X )＝2×13＋3×23＝8
3
.
答案：D
二、填空题
6．已知X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
100，12，则E (2X ＋3)＝________． 解析：E (X )＝100×1
2
＝50，E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝103.
答案：103
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
y 的值为________．
解析：
答案：0.4
8．对某个数学题，甲解出的概率为2
3，乙解出的概率为
3
4，两人独立解题
．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．
解析：P(X＝0)＝1
3×
1
4＝
1
12，P(X＝1)＝
2
3×
1
4＋
1
3×
3
4＝
5
12，P(X＝2)＝
2
3×
3
4＝
6
12，E(X)＝
1×5＋2×6
12＝
17
12.
答案：
17
12
三、解答题
9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求：
(1)一次投篮时投中次数X的均值；
(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．
解：(1)X的分布列为
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6
即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.
(2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故E(Y)＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.
10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．解：从10件产品中任取3件，共有C310种结果．从10件产品任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C k3C3－k
7，其中k＝0，1，2，3.
所以P(X＝k)＝Ck3C3－k
7
C310
，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列是：
所以E(X)＝0×7
24＋1×21
40＋2×
7
40＋3×
1
120＝
9
10.
B级能力提升
1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元B．2 200元
C．2 400元D．2 600元
解析：出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800
＝2 200(元)．
答案：B 2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，
2，3，4)，且E(ξ)＝3，则a＋b＝________．解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，且E(ξ)＝
30a＋10b＝3，所以a＝1
10，b＝0，所以a＋b＝
1
10.
答案：
1
10
3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？”
代替)，其表如下：
X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
解：(1)由分布列的性质可知
0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.
故0.？5＋0.1？＝0.40.
由于小数点后只有两位有效数字，
故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.
即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.
(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.
(3)法一由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，
E(η)＝E(X)＝3.50.
法二由于η＝2X－E(X)，
所以η的分布列如下：
所以E(η)＝－ 6.5×0.15＋
8.5×0.20＝3.50.。