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2023届高考数学一轮复习讲义：第5讲 基本不等式
第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．(3)其中 称为正数a ，b 的算术平均数， 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 ．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+ D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥C D ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b 不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．➢考点4 基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件336a ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++≥33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2 故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++， 当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥∴1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；(22224m ⎡⎤+≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [答案] A [解析] 由x >0，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，令t ＝x ＋1x，则t ≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2. x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立， 故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5． 故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40 B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694. 故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确； 对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()2112212331212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21212++=++x x y x x y，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥ CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确； 对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥记u =0u >，所以21111336u ab b =+++++≤+=，所以0u <≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误. 故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________． 【答案】 6-3【解析】a ,b 为正实数, 且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=++++2111a b a b =++-++2111a b =+++ ()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331ba ab ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭ (1133≥++=当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-38．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________. 【答案】9 【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy yx y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥， 当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n+≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________. 【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭. 因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23. 故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++ 222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(3)24≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274.➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++. 【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥， 当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝ ()19322222=+++=， 当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++. [举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>， 又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++ 当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号. 即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值. 【解】(1)111abc abc abcbc ac ab a b c a b c++=++=++ 222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立. (2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=b c =时等号成立. 所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号． 又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a xx >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x ==++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥⎪--⎝⎭， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a b a b b c --=++≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4.故选：C. [举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥． 故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++， 当a b =时，不等式恒成立；当ab时，222aba b a b ab a bλ+≥=+-+12=，a b =时等号成立，a b12=，故12λ≥. 故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x m m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AB【解析】因为0x >，0y >，所以222y x x y +≥=，当且仅当2x y =时，等号成立． 因为()222111m m k m k k -++=--++≤+．若2222y xm m k x y+>-++恒成立，则12k +<，解得1k <． 故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________． 【答案】1 【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以 2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥， 解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2【解析】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>， 则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2. 故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____． 【答案】2【解析】()()22222=22x x y a x y x x y x x y x y +≤+∴+≤+++，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >>0x y ∴+>()22x x y a x y +≤+max2x ya y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭ 22222x x y x yx y x y ++≤=++max2=2x y a y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭，a ∴的最小值为2 故答案为：2➢考点4 基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[ 【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+， 当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈， 当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而42214sin (2sin )233sin 3sin 3x x x x +=+≥， 当且仅当12sin sin x x=，即2sin 2x 时取“=”，则有423a ≤， 当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而42214sin [(2sin )]233sin 3sin 3x x x x +=--+≤--， 当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-， 综上得，424233a -≤≤所以实数a 的取值范围是4242[,]33-. 故答案为：4242,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．[答案] 1 [解析] 由题意知x >0，∴(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)≥ 2x 2 018·1×12(21·x 2 016＋2x 2·x 2 014＋…＋2x 2 016·1)＝2 018x 2 017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米.故选：C. [举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+23060≥=⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立. 所以f （Q ）的最小值是60. 故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=， 两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误． 故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】 4 48 【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+， 则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫=++=++⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当483x x=，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48． 即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。
2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版原卷版)
专题23 不等式选讲【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-，当且仅当221a x a -≤≤时取等号，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b )(b−c )≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12nn a a a n+++≥当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．（2020·山西省高三）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．2．（2020·四川省泸县第二中学高三二模）已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 3．（2020·深圳市宝安中学（集团）高三月考）已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（1）求a 的值.（2）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥.4．（2020·江西省高三）已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值. 5．（2020·山西省高三月考）已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈，记()f x 得最小值为m . （1）解不等式()5f x ≤；（2）若2a b m +=，求22a b +的最小值.6．（2020·吉林省高三）已知函数()12f x x x =-+（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥； （2）若不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥.7．（2020·山西省高三）已知函数()12f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围.8．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()1211f x x x =-+++ （1）求不等式()8f x <的解集；（2）若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围.9．（2020·全国高三）设函数()|2|f x x x =+-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集. （1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n ++.10．（2020·山西省高三）已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同．（1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值． 11．（2020·重庆高三）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M . （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足3311a b +=Mab ，证明：a 4b +ab 443≥. 12．（2020·福建省高三）已知函数()1f x x a x =-+-. （1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A . （2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 13．（2020·福建省高三）已知函数()12f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333abb cc a++≤+++---.14．（2020·山西省高三）已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 15．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+．16．（2020·山西省高三）已知函数()()220f x x a x a a =-++>. （1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->17．（2020·陕西省西安中学高三）已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.（1）求证:22213a b c ++≥（2）求证 18．（2020·江苏省高三）已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 19．（2019·四川省高三月考）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤﹣1的解集M ；（2）结合（1），若m 是集合M 中最大的元素，且a +b ＝m （a ＞0，b ＞0），求+ 20．（2020·广东省高三月考） 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）已知()12f x x x =-+-. （1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 22．（2020·河南省高三三模）已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111abc++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥. 23．（2020·江西省高三三模）已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.24．（2020·河北省高三）已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 25．（2020·南昌市新建一中高三）已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-． （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围． 26．（2020·四川省高三三模）已知函数()||f x x a =-.（1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集； （2）设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 27．（2020·福建省高三）已知函数()212f x x x =--+，()221g x x m x =-++. （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得()()120f x g x +=，求m 的取值范围. 28．（2020·青海省高三）设函数()21|1|f x x x =---. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，求a 的取值范围. 29．（2020·贵州省高三）设函数()16f x x x a =++--. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）若()23f x a ≥-，求a 的取值范围.30．（2020·重庆高三）已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 31．（2020·广州市天河外国语学校高三月考）已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式()230m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 32．（2020·广东省高三）已知函数()1=-f x x . （1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥.33．（2020·福建省高三）已知函数2()1,()|||21|,f x x g x x a x a R =+=---∈.（1）当12a =时，解不等式27()2g x <-；（2）对任意12,x x R ∈，若不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 34．（2020·湖北省高三）已知函数()|4||24|f x x x =--+． （1）解不等式()3f x ；（2）若()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，其中0a ，0b ，3c >，求(1)(1)(3)a b c ++-的最大值．35．（2020·辽宁省高三三模）已知a ，b ，c 均为正数，设函数f （x ）＝|x ﹣b |﹣|x +c |+a ，x ∈R ． （1）若a ＝2b ＝2c ＝2，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若函数f （x ）的最大值为1，证明：14936a b c++≥． 36．（2020·广西柳城县中学高三）设函数()133f x x x a a =-+-+，x ∈R ． （1）当1a =时，求不等式()7f x >的解集； （2）对任意m R +∈，x ∈R 恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围． 37．（2020·安徽相山淮北一中高三月考）已知函数()|2|f x ax =-. （Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围. 38．（2020·河南高三月考）已知函数()21f x x x =--+.（1）解不等式()2f x <；（2）若正实数m ，n 满足3m n +=，试比较122m n +与()32f x -的大小，并说明理由. 39．（2020·湖南衡阳市八中高三）已知实数正数x ，y 满足1x y +=.（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 40．（2020·湖南雨花雅礼中学高三）已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围. 41．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥. 42．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知1()||f x x a x a=++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集M ； （2）若a M ∈，求证：10()3f x . 43．（2020·河北桃城衡水中学高三三模）已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．44．（2020·宁夏原州固原一中高三）已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 45．（2020·河南郑州一中高三）已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥； （2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3. 46．（2020·贵州贵阳一中高三）已知函数()3f x x x a =--．（1）当0a =时，求解关于x 的不等式2()10f x x +->的解集；（2）当[]2,3x ∈时，该不等式()1f x ≥-恒成立，求a 的取值范围．47．（2020·云南红河高三）已知函数()|1||1|f x x x =++-．（Ⅰ）求不等式()8f x ≤的解集M ；（Ⅱ）若m 为M 中的最大元素，正数a ，b 满足．12m a b +=，证明2142a b ab ++≥．48．（2020·重庆九龙坡高三）已知函数()f x =（1）求()f x 的最大值；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a -有解，求实数a 的取值范围.49（2019·河北辛集中学高三月考）已知函数()43f x x x =-++．（1）解不等式()9f x <；（2）若不等式()21f x a <-+在实数R 上的解集不是空集，求正数a 的取值范围.50．（2020·河南南阳高三二模）已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c =+-++的最小值为1.证明：（1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 51．（2020·河南高三）已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数()1y f x x =++的最小值为k ，求()220km m m+>的最小值. 52．（2020·安徽六安一中高三）已知()()2f x x m m m R =-+∈．（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的值； （2）在（1）的条件下，若a ，b ，c +∈R ，且4a b c m ++=，求证：4436ac bc ab abc ++≥． 53．（2020·辽宁实验中学高三）设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥． 54．（2020·安徽芜湖高三一模）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）证明：22213x y z ++≥； （2）求()()()222111x y z -++++的最小值.55．（2020·河南高三）已知函数()2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若0x R ∃∈，()03f x a ≤-，求实数a 的取值范围.56．（2020·河南开封高三二模）已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0a >，0b >，4a b M +=，求2221a b a b +++的最大值． 57．（2020·福建高三）已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.58．（2020·湖南雅礼中学高三月考）已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ； （2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c ++=，求2993a b c ++的最小值.59．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 60．（2020·广东东莞高三）已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．。
安徽省六安市(新版)2024高考数学统编版真题(评估卷)完整试卷
安徽省六安市（新版）2024高考数学统编版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知两个非零向量，满足，，则（）A．B．C．D．第(2)题折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（）图1 图2A．B．C．D．第(3)题已知等差数列中，，前5项的和满足，则公差取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知.是函数()在上的两个零点，则.满足（）A．B．C．D．第(5)题如图，在四面体中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点在线段（不含端点）上运动.若线段（不含端点）上存在点，使异面直线与所成的角为，则线段的长度的取值范围是A．B．C．D．第(6)题如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层有个球，，设从上往下各层的球数构成数列，则（）A．380B．399C．400D．400第(7)题已知是虚数单位，且，则实数分别为A．B．C．D．第(8)题的展开式中，常数项为（）A．B．C．180D．300二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线的左、右焦点，点在上，设的内切圆圆心为，半径为，直线交于，若，，则（）A．B．圆心的横坐标为 1C．D．的离心率为2第(2)题已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（）A．线段的长度大于B．线段的长度小于C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为第(3)题已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，则（）A．任意，B．存在，直线与直线相交C．平面与底面交线长为定值D．当时，三棱锥外接球表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数、满足，则的最小值为________.第(2)题函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是_________．第(3)题长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．第(2)题如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.(1)求与的方程；(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.第(3)题已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．第(4)题已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．第(5)题已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设不与y轴垂直的直线l过点且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当时，求的取值范围．。
2024年安徽高考数学真题及答案
2024年安徽高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m-C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r =即=，故3r =，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则5352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即42sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.》》》》》》考试真题整理《《《《《《31/31而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
2024年安徽省巢湖市含山县数学三上期末综合测试模拟试题含解析
2024年安徽省巢湖市含山县数学三上期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、用心思考，我会选。
1．一件上衣298元，一条裤子比一件上衣便宜110元，一条裤子要（）元。
A．408 B．188 C．4862．下列算式中，得数大于300的算式是（）A．869﹣689 B．124+286 C．701﹣4073．下图中可以看作轴对称图形的是（）。
A．B．C．4．乐乐在计算3+□×9时弄错了运算顺序，结果得数是72。
正确的得数应该是（）。
A．5 B．8 C．48 D．455．把15吨白糖平均分成2袋，每袋白糖的质量是总质量的（）。
A．110吨B．12吨C．110D．12二、认真辨析，我会判。
6．长方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形．（_____）7．任何数和1相乘都得任何数。
（________）8．从明明家去超市有4条路，从超市去图书馆有3条路。
明明从家经过超市去图书馆，一共有7种不同的走法。
（________）9．534×8中，用十位上的3与8相乘得到的是240。
（______）10．计量物体的质量时，只能用千克作单位。
（______）三、仔细观察，我会填。
11．把一个边长为8厘米的正方形剪成两个大小一样的长方形，每个长方形的周长是（________）厘米。
12．跑道一圈长400米，小帅跑了5圈，他一共跑了（________）千米。
13．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
1 9（______）11048950⨯（______）2600 1吨300千克（______）4000千克5 7（______）679516⨯（______）5300 700毫米（______）70厘米14．在（）里填上适当的单位名称。
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（1）一般式：
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）
(1)三角形的外接圆:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.
33.12—3.18加与减（一）3 P13-17
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
(5)直角三角形的内切圆半径
面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合
2023年安徽省示范高中皖北协作区高考数学联考试卷(3月份)+答案解析(附后)
2023年安徽省示范高中皖北协作区高考数学联考试卷（3月份）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则( )A. B. C. D.3. 已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C上的一点，且，则点P到坐标原点O的距离是( )A. 2B.C.D. 44. 宿州市三角洲生态公园是多功能的综合性公园，其标志性雕塑“生命之源”为水滴形状，寓意水是生命之源，此雕塑顶部可视为一个圆锥.已知此圆锥的高为3m，其母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面展开图的面积为( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B.C. D.6. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值不为的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是( )A. B. C. D.7. 已知，，其中…是自然对数的底数，则下列大小关系正确的是( )A. B. C. D.8. 许多建筑物的地板是用正多边形的地砖铺设而成的可以使用多种正多边形的地砖用正多边形地砖可以铺出很多精美的图案，如图.若用边长相等的正多边形地砖铺满地面，且保持每块地砖完整不受损坏，则至少使拼接在同一顶点处的所有正多边形地砖的内角和恰为2元.现用正多边形地砖给一个地面面积较大的客厅铺设地板所有类型地砖边长均相等，要求每块地砖完整不受损坏，铺设地砖后无空余地面不考虑客厅墙角和周边地带，每个顶点周围只有3块正多边形地砖拼接在一起，则在某一顶点处的拼法不考虑排列顺序最多有( )A. 16种B. 15种C. 4种D. 5种9. 下列说法正确的是( )A. 数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11B. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为C. 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为D. 设随机事件A和B，已知，，，则10. 设数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C.若，，则 D. 若，，则11. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于点对称B. 在区间上单调递增C. 在区间内有7个零点D. 的最大值为12. 定义在R上的函数满足，，若，则( )A. 是周期函数B.C. 的图象关于对称D.13. 已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量的坐标为______ .14. 的展开式中的系数为______ 用数字作答15. 已知正四棱台内接于半径为1的球O，且球心O是四边形ABCD 的中心，若该棱台的侧棱与底面ABCD所成的角是，则该棱台的体积为______ .16. 已知F为双曲线的一个焦点，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为M，直线l与另一条渐近线交于点N，若，则双曲线C的离心率为______ .17. 已知数列各项都为正数，且求的通项公式；若，数列的前n项和为，证明：18. 为贯彻落实《健康中国行动年》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.求这200名学生体重的平均数和方差同一组数据用该区间的中点值作代表；由频率分布直方图可知，该校学生的体重Z服从正态分布，其中近似为平均数，近似为方差①利用该正态分布，求；②若从该校随机抽取50名学生，记X表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求参考数据：若，则，，19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角C；若为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围.20. 如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，E，F分别是棱PC，PB的中点，G是棱AB上的动点，且若，证明：平面求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的最大值.21. 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，若椭圆C的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点求椭圆C的标准方程；过椭圆C的右焦点F作一条直线交椭圆C于M，异于A，B两点两点，连接AM，AN并延长，分别交直线于不同的两点P，证明：直线MQ与直线NP相交于点22. 已知函数，其中，…是自然对数的底数.若，证明：当时，；当时，；设函数，若是的极大值点，求实数a的取值范围.参考数据：答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得，，则，，故故选：根据对数不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，结合交集的概念和运算即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设，则，整理得，从而解得，，故故选：写出复数通式，代入上述式子化简，根据相等复数的要求，可列式求出复数实部和虚部，继而求出复数的模．本题主要考查了复数的四则运算及复数模长公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设，由题意可得，解得，则，故选：设，由已知可得，进而可求点P到坐标原点O的距离．本题考查抛物线的性质，考查两点间的距离，属基础题．4.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为，母线长为l，由题意得，则，从而，所以，圆锥的侧面展开图的面积故选：由已知求得圆锥底面半径，进而确定母线长，应用圆锥侧面积的求法求侧面展开图面积．本题考查圆锥侧面积的求法，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：因为，所以，且定义域为R，所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A、B，当时，，排除故选：利用奇函数的定义可判断函数为奇函数，结合上函数符号，应用排除法即可得答案．本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设点P的坐标为，因为，则，即，所以点P的轨迹方程为，因为P点的轨迹关于直线对称，所以圆心在此直线上，即，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：设P的坐标为，由题意计算得P的轨迹方程为，根据对称性，则圆心在直线方程上，得到，利用乘“1”法即可得到最值．本题考查动点的轨迹方程以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由题意可得，，，设，则，当时，，所以在上单调递增，则，从而，即，故，即，设，则，当时，，所以在上单调递减，则，即，即，从而，即，故，即，设，则，当时，，所以在上单调递增，则，即，从而，即，故，即故选：由题意可得，，，构造函数，，，利用导数判断函数的单调性，从而可得出结论．本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，构造函数，，是解决本题的关键，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：一个正边形各内角的和是，则每个内角为，设在顶点处有k块砖拼凑在一起，它们的边数分别为，，，⋅⋅⋅，，则有，所以，，由式可得，当时，，，设式的一组解为，首先求出式的全部整数解，①当时，由式可解得，这组解给出的正多边形可以铺设地板，如图所示：故这时只有一种拼法，②当，，中恰有两个相等，不妨设，由式得，即，易知式的全部解为，，，依题设可知用正五边形和正十边形铺设地面，一定会出现两个正十边形有一条边重合的情况，这时，要铺满地面，另一个角是，而正五边形的1个内角是，则，不合要求．而对于解，，给出的拼接方法符合要求，如图2和图3：故这时有两种拼法，③当，，两两不相等，不妨设，由式得，即，类似②对于解不能铺设地面的讨论可知，必须是偶数，同理可得，，都是偶数，由知，，代入式得，，则，解得故可推出，则，从而，，两两不相等的解为能铺设地面，它们对应一种拼法，如图：综上，满足条件的拼法最多有4种．故选：通过多边形的内角和计算多边形的内角大小，再由拼接的几种正多边形铺满地面需要满足每个正多边形取一个内角，内角和为，找出正多边形各边数的关系求解即可．本题主要考查简单的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A，选项中的数据从小到大排列为5，7，8，10，11，15，20，中位数是10，故A错误；对于B，选项中的数据共有10个数，，即第8个数与第9个数的平均数为，则这组数据的第80百分位数是，故B正确；对于C，只有3，4，5这3个数符合，则，故C正确；对于D，由全概率公式，故D正确．故选：根据中位数及百分数的定义即可判断AB；根据古典概型公式即可判断C；根据全概率公式即可判断本题考查中位数、百分数、古典概型公式、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：当，时，，所以，因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则，故A正确；当，时，，即因为，所以，则，故B错误；当，时，，因为，所以，，所以是周期为2的周期数列，则，故C错误；当，时，，则，即因为，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故D正确．故选：将选项中的a、b值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可．本题主要考查了等比数列的性质，考查了数列的递推式，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：，所以函数的图象不关于点对称，故A错误．因为，所以当时，故B正确．由，则在内共有6个零点，故C错误．由题意可得，令，则，从而，当，，或，故在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．因为，，所以的最大值为，故D正确．故选：根据函数对称性的性质、二倍角公式，结合导数的性质、函数零点的定义、换元法逐一判断即可．本题主要考查了三角函数的对称性，单调性及最值和函数，零点个数的判断，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为，，所以，所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确；在中，令，得，则，因为，所以的图象关于直线对称，则C正确；因为，所以，所以，则B错误；由函数的对称性与周期性可得，因为，即，所以，则，则D正确．故选：根据，可得，进而可得，从而可得函数的周期性，即可判断A；结合，可得函数的对称性，即可判断C；根据函数的周期性及对称性计算即可判断本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由，得在上的投影向量为故答案为：根据投影向量的计算公式计算即可．本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：的展开式中有两项：，，则系数为故答案：展开式中的系数是由两部分组成，求得系数相加即可得出结果．本题主要考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意球心O是四边形ABCD的中心可知，侧棱与底面ABCD所成的角是，则，所以是等边三角形，则棱台的侧棱长为1，棱台的高为，上底面边长，下底面边长为，所以该棱台的体积是故答案为：根据正四棱台的几何特征应用线面角分别求出上下底面边长及高，再应用棱台的体积公式计算即可．本题考查棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】或【解析】解：当直线l与双曲线C的一支交于两点时，不妨设，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为M，直线l与另一条渐近线交于点N，则，，因为，所以，设渐近线的倾斜角为，则，解得或舍去，即，故双曲线C的离心率当直线l与双曲线C的两支各交于一点时，不妨设，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为M，直线l与另一条渐近线交于点N，则，，因为，所以，设渐近线的倾斜角为，则，解得或舍去，即，故双曲线C的离心率，综上，双曲线C的离心率是或故答案为：或由题意计算点F到渐近线的距离，从而得，，再由，计算，设，分类讨论可计算得，即得，从而得离心率．本题考查双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．17.【答案】解：由，得，，所以，则，又，故，整理得，首项符合通项，故证明：由得：，所以，由于故故【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．18.【答案】解：由题意得，，，所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；①由可知，，则；②由①可知1名学生的体重位于的概率为，则，所以【解析】根据频率分布直方图平均数的求法即可求出，利用方差公式计算即可求解；由可知，，结合题意给的参照数据即可求出，进而得，利用二项分布求数学期望公式计算即可求解．本题主要考查了平均数和方差的估计，考查了正态分布曲线的对称性，以及二项分布的期望公式，属于中档题．19.【答案】解：，由正弦定理，得，即，因为，所以，由，得，即，因为，所以；因为D为AB边的中点，所以，所以，在中，由正弦定理，得，因为为锐角三角形，且，所以，则，故，所以，即线段CD长的取值范围为【解析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，即可求解；由向量的线性运算可得，等式两边同时平方可得，由正弦定理可得，结合角B的范围可得，即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了向量数量积的性质及正切函数的性质，属于中档题．20.【答案】证明：连接AC，记，连接OE，四边形ABCD是正方形，是AC的中点，是PC的中点，，，F分别是棱AB，PB的中点，，，平面BDE，平面BDE，平面BDE，解：易证OB，OC，OP两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，从而，，，，，，则，设平面BDE的一个法向量为，则，令，则，设平面PDG的一个法向量为，则，令，得，设平面BDE与平面PDG的夹角为，则，，，，，则当时，平面BDE与平面PDG夹角余弦值的最大值为【解析】连接AC，记，连接OE，可得，进而可得，可证平面易证OB，OC，OP两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可得，可求最大值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，属中档题．21.【答案】解：由题意可得，解得故所求椭圆C的标准方程为证明：由题意可设直线MN的方程为，，，联立，消元得因为焦点在椭圆内部，则直线MN与椭圆必有两交点，所以，①，而，，直线AM的方程为，与直线联立，可得点P 的纵坐标，其横坐标为，直线AN 的方程为与直线联立，可得点Q 的纵坐标，其横坐标为，则，，故②，把①代入②，可得，所以直线MQ 与x 轴相交于右顶点同理可得直线NP 与x 轴相交于右顶点故直线MQ 与直线NP 相交于点【解析】直接由题得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；设直线MN 的方程为，，，联立直线与椭圆得到韦达定理式，写出直线AM ，AN 的方程，得到点P ，Q 的纵坐标，计算证明本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，解题的关键在于设出直线MN的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，然后得到直线AM ，AN 的方程，得到和，计算的表达式，最后将韦达定理式直接代入即可，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：当时，，则，令，则，令得，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，所以当时，，即，则在上单调递减，因为，所以当时，，当时，解：由题意可得，则，且，令，则，令，则，当时，，，所以，即，所以在上是增函数，则，①当，即时，在上恒成立，即在上是增函数，因为，所以，所以在上单调递增，与是极大值点矛盾，即不符合题意，所以当，即时，因为在上是增函数，且，，所以，，则当时，，即在上是减函数，从而，故在上单调递减，当时，对，，，即，，所以，则当时，，故在上是增函数，因为，即当时，在上是减函数，所以，则在上单调递增，符合是极大值点．故所求实数a的取值范围为【解析】先求出函数的导函数，再由导函数的导数的单调性和最值判断出的符号，从而得到函数的单调性与最值，可证命题；本题需对进行多次求导，从而确定函数的单调性与极值，求得实数a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
安徽省六安市省示范高中2023届高三教学质量检测数学含答案解析
2023年安徽省六安市省示范高中高三教学质量检测（数学）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集{}33U x x =-<<，集合{}2320A x x x =-+<，则U A =ð（）A.()1,2B.[]1,2C.(][)3,12,3-⋃D.()()3,12,3-⋃2.若复数z 满足21z z z ⋅-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知ABC 中，O 为BC 的中点，且4BC = ，AB AC AB AC +=- ，π6ACB ∠=，则向量AO 在向量AB上的投影向量为（）A.14AB B.13AB C.12AB D.AB4.已知圆()22:11C x y -+=，点P 在直线:230l x y -+=上，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ､B ，则切线段PA 的最小值为（）A.1B.2D.35.2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国､美国､奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个.已知1个超导量子比特共有“0>，1>”2种叠加态，2个超导量子比特共有“00>，01>，10>，11>”4种叠加态，3个超导量子比特共有“000>，001>，010>，011>，100>，101>，110>，111>”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设66个超导量子比特共有N 种叠加态，则N 是一个（）位的数.（参考数据：lg20.3010≈）A.19B.20C.66D.676.已知函数()y f x =的图象的一部分如图所示，则该函数解析式可能是（）A.()2sin f x x x=⋅ B.()2cos f x x x=⋅C.())2cos ln1f x x x x=⋅+- D.()()2cos ln1f x x x x=⋅++7.已知ABC 中，a ､b ､c 为角A ､B ､C 的对边，cos cos sin a B b A c C +=，若BAC ∠与ABC ∠的内角平分线交于点I ，ABC 2，则IAB 面积的最大值为（）A.222B.2421- D.228.已知111a =，110b =，11ln 10c =.则（）A.a b c>> B.b c a>> C.c b a>> D.cb a >>二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（）A.已知命题:3p x ∀>，都有2230x x -->，则:3p x ⌝∃>，使2230x x --≤B.数列{}n a 前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列是数列{}n a 成等比数列的充要条件C.1a =±是直线1:10l ax y +-=与直线2:10l x ay ++=平行的充要条件D.直线l 的斜率为k ，则()1,a k =为直线l 的方向向量10.椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下顶点分别A ､B ，焦点为1F ､2F ，P 为椭圆上异于A ､B 的一动点，离心率为e ，则（）A.12PF F 的周长为()21a e +B.离心率e 越接近1，则椭圆C 越扁平C.直线PA ､PB 的斜率之积为定值22b a -D.存在点P 使得12PF PF ⊥，则,12e ⎫∈⎪⎪⎣⎭11.设函数()()2π12sin 06f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若函数()f x 的最小正周期为2π，则1ω=B.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到的函数图象关于原点对称C.若12ω=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x的值域为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.若()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12.已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =点P 是四边形1111A B C D 内（包含边界）的一动点，设二面角P AD B --的大小为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则（）A.点P 的轨迹为一条抛物线B.线段PB 长的最小值为3C.直线1PA 与直线CD 所成角的最大值为π4D.三棱锥11P A BC -体积的最大值为3三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线2y x =的准线方程为__________.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1717S =，513S S =，则数列{}n a 的前20项和是__________.15.正三棱锥P ABC -的侧棱长为2，M 为AB 的中点，且PM PC ⊥，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______.16.已知函数()ln f x x x =+，()ln g x x x =，若()12ln f x t =，()22g x t =，则12ln tx x 的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明､证明过程和演算步骤.17.（本题满分10分）cos sinA a C-=，②sin sin sin sinA C A Bb a c--=+这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且满足__________.（1）求角C的大小：（2）若ABC，点D在边AB上，且13AD AB=，求CD的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.）18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，2AB=，3CD=，AB CD∥，PD⊥平面ABCD，π2BAD∠=，M为线段PC上一点且2PM MC=.（1）证明：BM∥平面PAD；（2）若2AD=，二面角M BD C--的正弦值为33，求PD的长.19.（本题满分12分）已知n S是数列{}n a的前n项和，且()1*21nnS n N+=-∈.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()()11211nnn nba a++=--，n T是{}n b的前n项和，证明：43nT<.20.（本题满分12分）随䍰六安市经济发展的需要，工业园区越来越受到重视，成为推动地方经济发展的重要工具，工业园区可以有效创造和聚集力量，共享资源，克服外部负面影响，带动相关产业发展，从而有效促进产业集群的形成.已知工业园区内某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成.设矩形的两边长分别为AD y =，CD x =（单位：cm），要求12y x >，部件的面积是2.（1）求y 关于x 的函数解析式，并求出定义域；（2）为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值.21.（本题满分12分）已知函数()ln 1f x mx x =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）函数()2x x g x e=，若()()f x g x >在()0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.22.（本题满分12分）已知两点()1,0A -､()1,0B ，动点M 满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为3.，动点M 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）过点()2,0F 作直线l 交曲线C 于P ､Q 两点，且两点均在y 轴的右侧，直线AP ､BQ 的斜率分别为1k ､2k .①证明：12k k 为定值；②若点Q 关于x 轴的对称点成点H ，探究：是否存在直线l ，使得PFH △的面积为92，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的补集运算，属于基础题.先求出集合A ，结合补集的运算性质求解.【解答】解：由题意可得{12}A xx =<<∣，所以][()U 3,12,3A =-⋃ð.故选C.2.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了复数的几何意义，考查了复数相等的条件等知识，属于基础题.设()i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，利用复数相等的知识求得,a b 的值，进而求解.【解答】解：设()i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，由题意得2222i 1a b a b +--=+，所以22212a b a b ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1z =，其对应的点坐标为(1,，所以z在复平面内所对应的点为(在第一象限.故选：A.3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查投影向量的求法，属于中档题.根据题意得出ABC 为直角三角形，从而求出向量AO 在向量AB上的投影向量.【解答】解：||||AB AC AB AC +=-，则22||||AB AC AB AC +=- ，得0AB AC ⋅=，π2BAC ∠∴=，又π4,6BC ACB ∠== ，所以2AB =，故选C .4.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系中的最值问题，点到直线的距离，属于中档题.根据PA =PC l ⊥时，PC 最小，PA 最小，即可求解.【解答】解：依题意，圆心()1,0C ，半径为1，由于PA 为圆的切线，则PA =当PC l ⊥时，PC 最小，则PA 最小，PC 的最小值为点C 到:230l x y -+=的距离为d ==所以min ||2PA ==，故选B .5.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数运算的应用，对数的运算，考查了知识的迁移与应用，属于中档题.根据n 个超导量子比特共有2n 种叠加态，得到662N =，然后两边同时取常用对数，由此进行分析求解即可.【解答】解：由题意，设n 个超导量子比特共有2n 种叠加态，所以66个超导量子比特共有662N =种叠加态，两边同时取常用对数，则66lg lg266lg2660.301019.866N ==≈⨯=，所以19.8660.86619101010N ==⨯，因为00.8661101010<<，故N 是一个20位数.故选：B.6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断以及函数值符号的分析，属于中档题.根据题意，用排除法分析：利用函数的奇偶性排除B ，再根据()0,1x ∈时，()f x 的符号排除C ，根据图象与x 轴的交点排除A ，即可得答案.【解答】解：图像关于原点对称，故函数为奇函数，所以B 错误；对于C 选项，当()0,1x ∈时，)ln ln0x =，此时()0f x <，与图像不符，所以排除C 选项；对于A 选项，函数图象与x 轴的交点为()πx k k Z =∈，且各交点间距离相等，与图像不符合，所以排除A 选项；所以选D.7.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，属于较难题.利用正弦定理以及三角恒等变换化简已知等式可得sin 1C =，结合0πC <<，可求C 的值，由已知利用正弦定理得AB =，由题意可求3π4AIB ∠=，设ABI ∠θ=，则π04θ<<，可得π4BAI ∠θ=-，由正弦定理，三角恒等变换可求ABI的面积为π224θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，可求ππ3π2444θ<+<，利用正弦函数的性质即可求解其最大值.【解答】解：cos cos sin a B b A c C += ，由正弦定理可得，sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，()2sin sin A B C ∴+=，2sin sin C C ∴=，又在三角形中0sin 1C < ，sin 1C ∴=，又0πC <<，π2C ∴=.ABC的外接圆半径为，∴由正弦定理知，πsin sin 2AB ABACB ∠==，AB ∴=，由于BAC ∠与ABC ∠的内角平分线交于点I ，及π2C =，则3π4AIB ∠=，设ABI ∠θ=，则π4BAI ∠θ=-，且π04θ<<，在ABI 中，由正弦定理得4πsin sin sin 4BI AI ABAIBθ∠θ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，π4sin ,4sin 4BI AI θθ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，ABI ∴ 的面积为13πsin 24AI BI ⋅⋅1π24sin 4sin 242θθ⎛⎫=⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()24sin cos sin θθθ=-11cos24sin222θθ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭π224θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由于π04θ<<，则ππ3π2444θ<+<，所以当ππ242θ+=，即π8θ=时，ABI 的面积取得最大值，最大值为2，故ABI 面积的最大值为2-.8.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，利用导数比较大小，属于较难题.构造新函数，利用导数研究其单调性并比较大小即可.【解答】解：令()()ln 1f x x x =-+，则()111f x x =-+'，当()0,1x ∈时，()()110,1f x f x x =->+'在()0,1上单调递增，故()()00f x f >=，所以()ln 1x x >+，令()()1ln 11,011g x x x x =+-+<<+，则()221101(1)(1)x g x x x x '=-=>+++，所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()00g x g >=，即()1ln 111x x +>-+.又当01x <<x >，所以当01x <<()1ln 111x x x >>+>-+.则当110x =1111ln 101011>>>，即b c a >>.故选B.9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查的是命题的真假与否定，等比数列前n 项和的性质，直线间位置关系的判定，直线的方向向量，属于中档题.根据相关概念逐项检查即可.【解答】解：A 选项，根据命题的否定可知该命题为真命题；B 选项中，当n 为偶数，1q =-时，2320,0,0n n n n n S S S S S =-=-=，等比数列的项不可为0，所以该命题为假命题；C 选项中当1a =-时，两条直线重合，所以该命题为假命题；D 选项，1kk =，则()1,a k = 为直线I 的方向向量，命题为真命题，故选B C.10.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.根据条件及椭圆的几何性质､直线与椭圆的位置关系等相关知识逐项计算判断即可.【解答】解：12PF F 的周长为22a c +，而ce a=，所以周长是()21,a e A +选项正确.c e a ==e 越接近1,b a 的值越小，所以椭圆越扁平，B 选项正确.()()0,,0,A a B a -，设()00,P x y ，则220002000PA PBy a y a y a k k x x x -+-⋅=⋅=，将2220021x y a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入可得：22,PA PB a k k C b ⋅=-选项错误.当P 点在短轴端点时12F PF ∠最大，若存在点P 使得12PF PF ⊥，则P 点在短轴端点时12π2F PF ∠ ，所以c b ，有22222,c b c a c - ，故2,1,2e D ⎫∈⎪⎪⎣⎭选项正确，故选ABD.11.【答案】BD 【解析】【分析】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象与性质，考查正弦（型）函数的零点，考查函数的单调性与单调区间，属于中档题.依题意()πcos 2,03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，在分别对选项进行分析，讨论其正确性即可得到答案.【解答】解：由倍角公式降幂可得：()πcos 2,03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.对于选项2π,2π2A T ω==，可知：12ω=，所以A 选项错误；对于选项B ，将()f x 图象向右平移π6得到ππcos 233y x ωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，该函数图象关于原点对称，则()ππππ332k k Z ω+=+∈，所以132k ω=+，当0k =时，12ω=满足题意，B 选项正确；对于选项C ，当12ω=时，()πcos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,336x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦，所以C 选项错误；对于选项D ，由于[]0,πx ∈，则πππ2,2π333x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为函数有且仅有4个零点，所以7ππ9π2π232ω-< ，解得2329,,1212D ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭选项正确.故选BD.12.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角和棱锥的体积，线面角和二面角，是中档题.根据题意找到线面角和二面角，再根据抛物线定义，异面直线所成角和棱锥的体积逐一判定即可.【解答】解：过P 点作PO 垂直于底面ABCD ，垂足为O ，过O 作OH AD ⊥，垂足为H ，连接,,OB PH PB ，因为PO ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ，所以PO AD ⊥，又,,OH AD OH PO O OH PO ⊥⋂=⊂､平面POH ，所以AD ⊥平面POH ，因为PH ⊂平面POH ，所以AD PH ⊥，则PHO ∠即为二面角P AD B --的平面角，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PBO ∠即为直线PB 与平面ABCD 所成的角则,PHO PBO ∠α∠β==，tan ,tan PO POOH OBαβ==，因为αβ=，所以PO POOH OB =，可得OH OB =，过P 作11PM A D ⊥，垂足点为M ，连接1,PB MH ，可知MP ∥OH ，点,,,P M H O 四点共面，因为PO ⊥平面1,ABCD AA ⊥平面ABCD ，所以PO ∥1AA ，又1AA ⊂平面11,ADD A PO ⊄平面11ADD A ，所以PO ∥平面11ADD A ，因为平面PMHO ⋂平面11ADD A MH =，所以PO ∥MH ，则四边形PMHO 为平行四边形，可得PM OH =，又PO ∥1AA ∥11,BB PO BB =，可知四边形1POBB 为平行四边形，则1,PB OB =可得1PM PB =，所以P 到直线11A D 的距离等于点P 到点1B 的距离，而P 是在四边形1111A B C D 内（包含边界），所以P 点的轨迹是抛物线的一部分，A 选项错误；在平面1111A B C D 内，以线段11A B 的中点1O 为坐标原点，11A B 所在直线为X 轴，建立如图所示直角坐标系，可知直线11A D 方程为()11,1,0x B =-，则以点1B 为焦点的抛物线方程为24y x =，过点()11,2C ，可知点P的轨迹方程为)01y x =，PB ==当1PB 取得最小值时，PB 取得最小值，当点P 为11A B 的中点时，1PB 最小，为1，此时3,PB B =选项正确；因为CD ∥11A B ，所以1PA 与CD 所成的角即1PA 与11A B 所成的角，为11PA B ∠，设(00,,01P x x，110tan PA B ∠=，当00x =时，11tan 0PA B ∠=；当001x <时，1122tan 112PA B ∠== ，当且仅当01x =时取等号，即当点P 与点1C 重合时，11tan PA B ∠取得最大值1，此时11PA B ∠取得最大值π4，即直线1PA 与直线CD 所成角的最大值为π,4C 选项正确；1111P A BC B PA C V V --=，当P 点在11A B 的中点时，P 点到11A C 距离最大，此时11PA C 面积最大，三棱锥11B PA C -体积最大，()11max11222,3223B PAC VD -=⨯⨯⨯=选项正确.故选BCD.13.【答案】14y =-【解析】【分析】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题.由22x py =的准线方程为2py =-，即可求抛物线2y x =，即2x y =的准线方程.【解答】解：由22x py =的准线方程为2p y =-，抛物线2y x =，即2x y =，则12p =，所以其准线方程为14y =-.故答案为14y =-.14.【答案】202【解析】【分析】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，属于基础题.设等差数列{}n a 的公差为d ，由题目条件可求得d 与1a ，从而可得192n a n =-对n 分9n 与10n讨论，即可求得数列{}n a 的前20项和.【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则11117161717,2541312513,22a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+=+⎪⎩解得1172a d =⎧⎨=-⎩，所以192n a n =-.当9n时，n n a a =，当10n 时，n n a a =-.所以()()1220129101120a a a a a a a a a +++=+++-+++ 19102091122a a a a ++=⨯-⨯17112191120222+--=⨯-⨯=.故答案为202.15.【答案】12π【解析】【分析】本题考查了球的表面积以及球的切､接问题，是中档题.易得正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥是棱长为2的正方体的一个角，所以其外接球与该正方体的外接球相同，得出R ，可得外接球的表面积.【解答】解：由于正三棱锥中对边相互垂直，所以PC AB ⊥，而,,,PM PC PM AB M PM AB ⊥⋂=⊂平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，故PC PA ⊥，又该三棱锥为正三棱锥，所以三条侧棱两两互相垂直，所以该三棱锥是棱长为2的正方体的一个角，所以其外接球即为该正方体的外接球，所以半径R =所以该三棱锥的外接球的表面积为24πR 12π=.故答案为12π.16.【答案】12e【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的最值，考查了方程思想和转化思想，属于中档题.由题意可得211ln ln x x t +=，结合目标式可得21222ln ln ln ln t t t x x x x t ==，令()2ln (0)th t t t=>，利用导数研究单调性，再确定()h t 的最大值即可.【解答】解：因为函数()()()()2212ln ,ln ,2ln ln ,f x x x g x x x f x t t g x t =+====，所以211ln ln x x t +=可知11ln 2x x e t +=，即121x x e t =，且由222ln x x t =，可知12ln 1222ln ln xx x e x x x e==，而易得函数x y x e =⋅在()0,∞+上单调递增，所以12ln x x =，所以21222ln ln ln ln t t tx x x x t ==，令()2ln (0)t h t t t =>，则()312ln th t t'-=，令()0h t '>，得120x e<<，令()0h t '<，得12x e >，所以()h t 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在12,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，所以12max 1()2h t h e e⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为12e.17.【答案】解：（1）方案一：选条件①.cos sin A a C =，可得3cos sin 3b c A a C -=，由正弦定理得3sin sin cos sin 3B C A A C -=，因为()πB A C =-+，所以()sin sin B A C =+，所以3sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C C A A C +-=，故3sin cos sin sin 3A C A C =，又sin 0A ≠，于是sin C C =，即tan C =，因为()0,πC ∈，所以π3C =.方案二：选条件②.sin sin sin sin A C A B b a c --=+，由正弦定理得a c a bb a c--=+，即222222,,a c ab b a bc ab -=-∴+-=∴由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）1sin 42S CA CB C CA CB =⋅⋅=∴⋅= ，又13AD AB = ，()11213333CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB ∴=+=+=+-=+，22222414412999999CD CA CB CA CB CA CB CA CB∴=++⋅=++ 42289933CA CB CA CB CA CB +==，当且仅当2133CA CB =时，等号成立，CD ∴的最小值为263.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，平面向量的线性运算以及数量积运算，考查基本不等式求最值，属于中档题.（1）选条件①，根据正弦定理以及两角和与差的三角函数公式化简可得tan C =，即可求得C ；选条件②，根据正弦定理和余弦定理求得1cos 2C =，即可求得C ；（2）根据三角形面积公式求得4CA CB ⋅=，根据平面向量的线性运算以及数量积运算，利用基本不等式，即可求出结果.18.【答案】解：（1）过点M 作MG ∥CD 交PD 于点G ，连接AG ，所以23GM PM CD PC ==，所以23GM CD =，又2,3AB CD AB =∥CD ，所以GM ∥,AB GM AB =，所以四边形ABMG 是平行四边形，所以BM ∥AG ，又BM ⊄平面,PAD AG ⊂平面PAD ，BM ∴∥平面PAD；（2）因为PD ⊥平面,,ABCD AD CD ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD CD ⊥⊥，又,AD CD ⊥以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 为所在直线y 轴，DP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，令,(0)PD b b =>，则()()()0,3,0,0,0,,2,2,0C P b B ，()()22,2,0,0,3,,0,2,33b DB PC b DM DP PC ⎛⎫==-=+= ⎪⎝⎭ ，设平面MBD 的法向量为(),,n x y z =，0n DB n DM ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ ，即220,203x y by z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则61,1,n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知平面CBD 的法向量为()0,0,1m =，则6cos ,m n bm n m n⋅==，设二面角M BD C --的平面角为θ，因为sin 3θ=，所以6cos ,3m n =，663b =，又0b >，解得3b =，3PD ∴=.【解析】本题考查了线面平行的判定以及平面与平面所成角的向量求法，是中档题.（1）利用线面平行的判定定理可得BM ∥平面PAD ；（2）建立合适的空间直角坐标系，得出平面MBD 的法向量和平面CBD 的法向量，由空间向量求解即可.19.【答案】解：（1）1n =时，211213a S ==-=，2n 时，()()1121212n n n n n n a S S +-=-=---=，经验证1n =时1132a =≠，*3,12,2n nn a n n N =⎧∴=⎨∈⎩且 .（2）证明：1n =时，12433T =<，2n 时，()()111211221212121n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，2334121111112*********2121n n n T +⎛⎫=+-+-++- ⎪------⎝⎭ ，14243213n +=-<-，43n T ∴<.【解析】本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查裂项相消法求和，考查运算能力，属于中档题.（1）运用1n =时，11a S =，当2n时，1n n n a S S -=-，即可得到通项；（2）化简n b ，写成差的形式，再由裂项相消法求和，即可得到不等式成立.20.【答案】解：（1）部件的面积2213sin60324S xy x xy x =+=+=，22343x y x -==.312y x >2312x >，又0x >，解得0x <<故2y =(.（2）设圆形铁片的半径为R .如图所示：作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，连接OC .故133326OE x x =⨯=，故222222222264312x x x R OC CF OF y y xy ⎛⎫⎛⎫==+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221313131313134836666x x =++=+，当221313483x x=，即2x =时等号成立.故当2x =时，圆形铁片面积最小值为21313πcm 6.【解析】本题考查函数模型的应用及由基本不等式求最值，属于中档题.（1）根据条件可得函数的解析式以及定义域；（2）设圆形铁片的半径为R ，作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，连接OC ，可得36OE x =，故2221313134836R x x =++，根据基本不等式即可求得最小值.21.【答案】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11mx f x m x x-=-='，当0m时，()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，当0m >时，当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，综上可得，当0m时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）由()()f x g x >得，2ln 1x x mx x e-->，ln 1x x x m x e +∴>+，令()()ln 1,0,x x x F x x x e∞+=+∈+，()2ln 1x x x F x x e--=+'，当()0,1x ∈时，()0F x '>；当()1,x ∞∈+时，()0F x '<.所以()F x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，()max 1()11F x F e ∴==+，故11m e>+.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题.（1）对()f x 求导，对m 分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；（2）由()()f x g x >得，ln 1x x x m x e +>+，令()ln 1x x x F x x e+=+，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.22.【答案】解：（1）令(),M x y ，根据题意可知：311y y x x ⋅=+-，化简，可得：()22103y x y -=≠；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，易得直线l 的斜率不为0，可设直线:2l x my =+，联立方程22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()22311290m y my -++=，则122122Δ012319031m y y m y y m ⎧⎪>⎪⎪+=-⎨-⎪⎪⋅=<⎪-⎩，故213m <且()121234my y y y ⋅=-+，①11122211y k x y k x +=-()()122113y my y my +=+1211223my y y my y y +=+()()12112234334y y y y y y -++=-++121213443944y y y y -=-+13=-.②Q 与H 关于x 轴对称，()22,H x y ∴-，由两点式方程可得直线PH 的方程为：()122212y y y y x x x x ++=--，()()12122112x x y x y x y y y x ∴-++=+，将11222,2x my x my =+=+代入可得：()()()1212121222m y y y my y y y y y x -+++=+，将()121234my y y y ⋅=-+代入上式，得到：()()()12121212m y y y y y y y x -++=+，所以直线PH 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，1212213331292244312PHF m S y y y y m ∴=⨯⨯-=+==- ，解得219m =或21m =（舍），所以存在直线I ，使得PFH 的面积为92，直线I 的方程为：360x y +-=或360x y --=.【解析】本题考查直线与双曲线的综合应用，涉及定值问题和面积问题，属于较难题.（1）令(),M x y ，根据题意可知：311y y x x ⋅=+-，化简整理即可；（2）①设直线:2l x my =+，联立双曲线方程，利用根与系数的关系和斜率公式即可求得12k k 为定值；②求出PH 的直线方程，进而可得直线PH 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，由三角形的面积公式求出2m ，即可得直线方程.。
安徽省合肥2023-2024学年高三上学期名校名师测评卷(四) 数学含解析
2024届名校名师测评卷（四）数学（答案在最后）考生注意：1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合{}*11,2,3,5,6,05x A B x x +⎧⎫=-=∈⎨⎬-⎩⎭N ∣，则A B ⋂=（）A.{}2,3,5B.{}1,2,3,5-C.{}1,2,3- D.{}2,32.已知数列{}n a 是无穷项等比数列，公比为q ，则“1q >”是“数列{}n a 单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.已知角α为钝角，且角(02π)θθ<<终边上有一点()sin ,cos P αα-，则角θ=（）A.πα+ B.π2α+ C.2πα- D.3π2α-4.如图，C 半径为3,A B ､为圆上两点，若2AB AC ⋅=，则ABC S = （）A.4B.2C.5.已知偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有()()31f x f x -=-+，且当01x 时有()2f x x =，则方程()1680f x x ⋅-=的解的个数为（）A.167B.168C.169D.1706.任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,,231,.nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时若81a =，则m 的取值可能为（）A.{}2,3,16,20,128B.{}2,3,16,20,21,128C.{}2,16,20,128 D.{}2,16,20,21,1287.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c S 为ABC 的面积，且222()S a b c =--，则sin sin BC的取值范围为（）A.35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C.50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭8.如图，在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（）A.327aB.336aC.354aD.372a 二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知ABC 中，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列命题正确的有（）A.若A B >，则cos cos A B <B.若A B >，则sin sin A B>C.若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰三角形D.若cos2cos2A B =，则ABC 为等腰三角形10.若等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则下列命题是真命题的为（）A.数列{}n a 是递增数列B.数列{}n na 是递增数列C.n S 一定有最小值D.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列11.设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为()122311112πk k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ ∠∠∠∠--++++ ，其中(1i Q i =，2,,,3)k k 为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23,Q PQ ，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体M 的所有以P 为公共点的面.已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为菱形，1AA AB =，则下列说法正确的是（）A.四棱柱1111ABCD A B C D -在其各顶点处的离散曲率都相等B.若AC BD =，则四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为12C.若四面体1A ABD 在点1A 处的离散曲率为712，则1AC ⊥平面1A BD D.若四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为13，则直线1BC 与平面1ACC 所成的角的正弦值为412.已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数,a b ∈R 且0a ≠，则下列结论正确的是（）A.()f x 必有两个极值点B.当()0,a y f x <=有且仅有3个零点时，b 的范围是()4,0aC.当2b a =时，点()1,0是曲线()y f x =的对称中心D.当0,56a a b a ><<时，过点()2,A a 可以作曲线()y f x =的2条切线三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()()()1,3,1,2,2,a b c m =-==，若b c - 与a c - 共线，则m =__________.14.已知函数()sin (0,0π)y x ωθωθ=+><<为偶函数，其图象与直线1y =的交点的横坐标为12,x x .若12x x -的最小值为2，则()sin ωθ+的值为__________.15.如图，在山脚A 处测得山顶P 处的仰角为π4，沿着倾斜角为π6的斜坡向上走200米后到达山坡上的B 处，在B 处测得山顶P 的仰角为π3.则山高()PQ 为__________米.16.已知222x xy y -+=，则22x y -的最大值为__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）已知函数()π4sin sin 36f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若不等式()m f x >在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*51225,21n n S a a a n ==+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若14(1)nn n n nb a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（12分）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3,22cos a bc a c b a B =-=.（1）求A ；（2）M 为ABC 外心，AM 的延长线交BC 于点D ，且32MD =，求ABC 的面积.20.（12分）已知函数()1ex f x x +=.（1）求()f x 在原点处的切线方程；（2）当02πx 时，不等式()112sin f x ax x --+ 恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，11,4,60,,AB BC ABC C C CD E ∠===⊥ 为AD 的中点，且1C E EC ⊥.（1）过点C 作四棱柱的截面使其与面ABCD 垂直，并予以证明；（2）若平面1BDC 与平面11ADD A 的夹角的余弦值为427，求三棱锥11B BDC -的体积.22.（12分）已知函数()e x ax f x =和()ln xg x ax=有相同的最大值.（1）求a 的值；（2）已知直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别设为1234,,,x x x x ，证明：1423x x x x ⋅=⋅.2024届名校名师测评卷（四）·数学参考答案､提示及评分细则一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】D【解析】{}{}*101,2,3,4,2,35x B x A B x +⎧⎫=∈=∴⋂=⎨⎬-⎩⎭N ∣ ，故选D.2.【答案】D【解析】若10,1a q <>，则数列{}n a 单调递减；若{}n a 单调递增，则10,1a q >>或10,01a q <<<，则“1q >”是“数列{}n a 单调递增”的既不充分也不必要条件，故选D.3.【答案】B【解析】点()sin ,cos P αα-，由诱导公式可化为ππcos ,sin 22P αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由三角函数的定义知π2π2k θα=++，又因为02πθ<<，所以π2θα=+，故选B.4.【答案】C【解析】21||2,2,2AB AC AB AB ⋅==∴=∴ 弦心距12ABC d S AB d =∴=⋅⋅= C.5.【答案】C【解析】由()()31f x f x -=-+知，()f x 关于1x =对称，又()f x 为偶函数，所以2是()f x 的一个周期，方程()1680f x x ⋅-=的解的个数，即为()y f x =与168xy =的交点个数，所以作出()y f x =的图象以及168xy =的图象，得出交点个数为28321+⨯+=169个，故选C.6.【答案】B【解析】876124a a a =⇒=⇒=，①若58a =，则3416162a a =⇒=或33116a +=，332a ∴=或35a =，1.若332a =则2164,128a a =∴=或21，2.若35a =，则2110,20a a =∴=或3；②若51a =，则432,4a a ==，则21a =或8，12a ∴=或16，综上：2,3,16,20,21,128m =.故选B.7.【答案】A【解析】因为222()S a b c =--，所以可得()222212sin 2cos 22bc A b c bc A b c bc ⨯=+--+-，化简得sin 2cos 2A A +=，又22π0,,sin cos 12A A A ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A CB AC A C C C C C ++===+，为ABC 为锐角三角形，所以ππ0,π22C B A C <<=--<，所以ππ22A C -<<，所以π13tan tan 2tan 4C A A ⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4160,5tan 15C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4335,5tan 553C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭.故选A.8.【答案】C【解析】设容器的高为x ，则容器底面正三角形的边长为a -，()()2322()120446V x x a x a x x a ⎛⎫∴=⋅⋅-=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭，()()()()22333644V x x a a a =-+=-'- ，∴当0,18x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()0,V x V x '>单调递增；当,186x a a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()0,V x V x '<单调递减，∴当18x a =时，3max 54a V =.故选C.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.【答案】ABD【解析】对于A.因cos y x =在()0,π上单调递减，且()0,πA B ∈､，故A 正确；对于B.由正弦定理sin sin a b A B=以及三角形中大边对大角，所以若A B >，则a b >，则sin sin A B >，故B 正确；对于C.sin2sin2A B =，且A B ､为三角形内角，所以22A B =或者22πA B +=，所以ABC 为等腰三角形或者直角三角形，故C 错误；对于D.cos2cos2A B =，则22A B =，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故D 正确.故选ABD.10.【答案】ACD【解析】10,0n n d a a d +>-=>，所以{}n a 是递增数列，故A 正确；()()2111n na n a n d dn a d n ⎡⎤=+-=+-⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故B 不正确；()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，因为0d >，且n 为正整数，所以n S 必有最小值，故C 正确；()111222n n n na dS d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故D 正确.故选ACD.11.【答案】CD【解析】A.当直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A 错误；B.若AC BD =，则菱形ABCD 为正方形，因为1AA ⊥平面,,ABCD AB AD ⊂平面ABCD ，所以11,AA AB AA AD ⊥⊥，所以直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为1πππ112π2224⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故B 错误；C.在四面体1A ABD 中111,,AA AB AA AD AA AB AD ⊥⊥==，所以11π4AA B AA D ∠∠==，所以四面体1A ABD 在点1A 处的离散曲率为11ππ712π4412BA D ∠⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，解得1π3BA D ∠=，易知112A B A D AB ==，所以2BD =，所以AB AD ⊥，所以直四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，因为11C D ⊥平面111,ADD A A D ⊂平面11ADD A ，所以111C D A D ⊥，又111111111,,,AD A D AD C D D AD C D ⊥⋂=⊂平面11AC D ，所以1A D ⊥平面11AC D ，又1AC ⊂平面11AC D ，所以11AC A D ⊥，同理1BD AC ⊥，又11,,A D BD D A D BD ⋂=⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，故C 正确；D.直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为1ππ112π223DAB ∠⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则π3DAB ∠=，即DAB 是等边三角形，设AC BD O ⋂=，则1BC O ∠即为1BC 与平面1ACC 所成的角，1122sin 42ABBC O AB∠==，故D 正确；故选CD.12.【答案】ABC【解析】对于()()2A,36320f x ax ax ax x ='-=-=，得0x =或2x =，所以A 正确；对于B ，要使()y f x =有且仅有3个零点，只需()()0020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即08120b a a b <⎧⎨-+>⎩，所以40a b <<，故B 正确；对于C ，当2b a =时，()3232f x ax ax a =-+，()32322(2)3(2)232f x a x a x a ax ax a -=---+=-+-，()()20f x f x +-=，所以点()1,0是曲线()y f x =的对称中心，所以C 正确；对于()2D,36f x ax ax =-'，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在C 点处的切线方程为：()()()3220000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,A a ，所以()()()32200003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得：320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，所以过点A 可以作曲线()y f x =的切线条数转化为()y g x =与y b =图象的交点个数，()()()()2261812632612g x ax ax a a x x a x x '=-+=-+=--，令()0g x '=，解得：1x =或2x =，因为0a >，所以令()0g x '>，得1x <或2x >，令()0g x '<，得12x <<，则()g x 在()(),1,2,∞∞-+上单调递增，在()1,2上单调递减，()()16,25g a g a ==，如图所示，当56a b a <<时，()y g x =与y b =图象有3个交点，即过点A 可以作曲线()y f x =的3条切线，所以D 错误.故选ABC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】32【解析】()()()()()1,2,3,3,13320b c m a c m m m -=---=---⋅----= ，得32m =.14.【答案】1-【解析】2πππ,22ωθ===，所以()sin 1ωθ+=-.15.【答案】100)31+【解析】如图，在ABP 中，180150,ABP BPA∠γβ∠=-+= ()()()180********ABP αβ∠αβγβγα=---=----+=-= ，在ABP 中，根据正弦定理sin sin AP AB ABP APB ∠∠=，即200100,sin150sin15sin15AP AP =∴= ，∴山高)100sin45sin4510031sin15PQ AP === 米.16.【答案】433【解析】令,m x y n x y =+=-，则()22222222433()3()48,83,3m n x y x y x xy y m n mn mn +=++-=-+==+∴= （当且仅当2m ==时等号成立），即33mn - ，又22x y mn ∴-=，所以22x y -的最大值是3.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.【解析】（1）()ππ4sin sin 2sin 263f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ2T ==，单调减区间为5π11ππ,π,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）()[]ππππ2π,,2,,1,2122363x x f x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此1m >-.18.【解析】（1）5311525,2S a a d a ==∴=，又211121,1,2,21n a a a d a d a n =+=+∴==∴=-；（2）()()14(1)(1)(1)21212121n n nn n b n n n n +--=-=--+-+，1(1)121n n T n +-∴=--+.19.【解析】（1）3,6cos 2a b B c =+= ，在ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又()sin sin C A B =+，则()sin 2sin cos 2sin B A B A B +=+，即sin 2cos sin B A B =，()0,πB ∈ ，即()1πsin 0,cos ,0,π,23B A A A ≠∴=∈∴= ；（2）由（1）得π3A =，设ABC 的外接圆M 的半径为R ，在ABC 中，由正弦定理得2sin a R A==R =，则BM CM R ===，在BMC 中，由余弦定理得2221cos 22BM CM BC BMC BM CM ∠+-==-⋅，2ππ,,362BMC MBD MD ∠∠∴=== ，∴在BDM 中，由正弦定理得sin sin 1BM BDM MBD MD ∠∠=⋅=，π2BDM ∠∴=，即,MD BC ABC ⊥∴ 是等边三角形，ABC ∴ 的面积为213224⨯⨯=.20.【解析】（1）因为()()()()1,1e ,0e,00x x f x x f f +∈=+=''=R ，故切线方程为e y x =；（2）令()()()[]112sin 1e 2sin 1,0,2πx g x f x ax x x ax x x =--+-=---+∈，则原不等式即为()0g x ，显然()00g =，又()e 2cos xg x x a x =--'，且()02g a '=--，再令()e 2cos x h x x a x =--，则()()1e 2sin xh x x x =++'，当0πx < 时，()1e 0,2sin 0xx x +> ，所以()0h x '>恒成立，当π2πx 时，()()()()ππ1e 2sin π1e 2sin π1e 20x h x x x x '=++++>+-> ，所以当02πx 时，恒有()0h x '>，所以()h x 在区间[]0,2π上为增函数，即()e 2cos xg x x a x =--'在区间[]0,2π上为增函数，①当20a -- ，即2a - 时，()()020g x g a =-'-' ，所以()g x 在区间[]0,2π上为增函数，所以()()min ()00,0g x g g x ==∴ ，不等式成立；②当20a --<，即2a >-时，()020g a =--<'，所以存在(]00,2πx ∈使得当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在区间()00,x 上为减函数，且()()00g x g <=，与题设不符，综上所述，实数a 的取值范围为(],2∞--.21.【解析】（1）证明：如图，取11A D 中点M ，连接1,C M EM ，则面1CC ME 即为所求截面，由四边形ABCD 是平行四边形，1,60AB ABC ∠== ，且E 为AD 的中点，则在DCE 中，12,1,602DE AD DC CDE ∠==== ，由余弦定理得，222cos 3CE DE DC DE DC EDC ∠=+-⋅=所以222CE CD DE +=，即CD EC ⊥，又由1C C CD ⊥，且11,,C C EC C CC EC ⋂=⊂平面1ECC ，所以CD ⊥平面1ECC ，因为1C E ⊂平面1ECC ，所以1C E CD ⊥，又因为1C E EC ⊥，且,,EC CD C EC CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以1C E ⊥平面ABCD ，又1C E ⊂平面1,CC ME ∴平面1CC ME ⊥平面ABCD ；（2）解：取BC 的中点F ，连接EF ，则EF EC ⊥，又EF ⊂平面1,ABCD C E ⊥平面ABCD ，所以1EF C E ⊥，以E 为坐标原点，1,,EF EC EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1(0)EC a a =>，可得()()()()()10,0,,3,0,2,3,0,3,0,1,3,0C a D B C A ---，所以()()13,23,0,3,BD BC a =-=- ，设平面1BDC 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则11111111330230n BD x y n BC x y az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令13y =1112,x z a ==，所以平面1BDC 的一个法向量113,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，又由()()112,23,0,0,3,D AD D CC a =-==- ，设平面11ADD A 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则222212223030n AD x y n DD az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2y =2233,x z a ==，所以平面11ADD A的一个法向量23n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以212121239cos ,7n n a n n n n +⋅== ，解得1a =或7a =，因为1CC ∥1BB ，又1CC ⊄平面11,BDB BB ⊂平面1BDB ，所以1CC ∥平面1BDB ，当1a =时，111111111141sin120332B BDC C BDB C BDB B BDC BDC V V V V S EC ----====⋅=⨯⨯⨯⨯ 313⨯=；当7a =时，111111111141sin120332721B BDC C BDB C BDB B BDC BDC V V V V S EC ----====⋅=⨯⨯⨯⨯⨯ ，综上可得，三棱锥11B BDC -的体积为3或21.22.【解析】（1）()()()1,e ex x a x ax f x f x -=∴='，当0a >时，()f x 在()[)()max ,1,1,,()1e a f x f ∞∞-↑+↓∴==，当0a <时，()f x 在()[)(),1,1,,f x ∞∞-↓+↑无最大值，()()2ln 1ln ,x x g x g x ax ax-=∴='，当0a >时，()g x 在()0,e ↑，[)()max 1e,,()e eg x g a ∞+↓∴==，当0a <时，()g x 在()[)()0,e ,e,,g x ∞↓+↑无最大值，max max 1()(),1e e a f x g x a a =∴=∴= ；（2）由（1）知，()()ln ,e x x x f x g x x==，()f x 在()[),1,1,∞∞-↑+↓且()max 1()1e f x f ==，()g x 在()[)0,e ,e,∞↑+↓且()max 1()e eg x g ==，设两曲线交点的纵坐标为m ，当1,e y b m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，从左到右四个交点的横坐标依次记为1x ，234,,x x x ，且123401e x x x x <<<<<<，则()()()()123124123434ln ln ,e e x x x x x x f x f x g x g x x x ===∴===，由31331ln 3ln ln e ex x x x x x ==，且()()13,ln 0,1,x x f x ∈在()0,1上单调递增，13ln x x ∴=，由24244ln 4ln ln e e x x x x x x ==，且()()24,ln 1,,x x f x ∞∈+在()1,∞+上单调递减，2244ln ,e x x x x ∴=∴=，214332ln e x x x x x x ∴=⋅=⋅，结论得证，。
最新整理高考数试题数理安徽卷及参考答案.doc
绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分钟，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果A 与B 是两个任意事件，()0P A ≠，那么()()()|P AB P A P B A =第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、i= A、1412i - B、1412+ C、126+ D、126- 2、若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R ð A 、2(,0],2⎛⎫-∞+∞⎪ ⎪⎝⎭B 、2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭C 、2(,0][,)-∞+∞D 、)+∞ 3、设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫=⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是A 、=a bB 、2∙=a b C 、-a b 与b 垂直D 、a ∥b4、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -= A 、－1B 、1C 、－2D 、25、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、⎫⎪⎪⎝⎭B 、2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎝⎭D 、)6、设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是A 、B 、C 、D 、7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 的点的个数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、48、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A 、280 B 、292 C 、360 D 、3729、动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷
第3至第4页。
全卷满分l50分，考试时间l20分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：
S 表示底面积，h 表示底面上的高 如果事件A 与B 互斥，那么 棱柱体积V=Sh P(A+B)=P(A)+P(B ） 棱锥体积V=13
Sh
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
(1)若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A
B =
(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) (2)已知2
1i =-，则i(13i -)=
(A)3i - (B)3i + (C)3i -- (D)3i -+ (3)设向量(1,0)a =,11(,)22
b =,则下列结论中正确的是
(A)a b = (B)22
a b =
(C)//a b (D)a b -与b 垂直
（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0
(5)设数列｛
n
a｝的前n项和n s=2n，则8a的值为
（A）15 (B) 16 (C) 49 （D）64 （6）设ab c＞0,二次函数f(x)=a2
x+bx+c的图像可能是
（7）设a=
2
5
3
5
⎛⎫
⎪
⎝⎭，b=
3
5
2
5
⎛⎫
⎪
⎝⎭,c=
2
5
2
5
⎛⎫
⎪
⎝⎭，则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a
（8）设x,y满足约束条件
260,
260,
0,
x y
x y
y
+-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
则目标函数z=x+y的最大值是
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 （9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是
（A）372 （C）292
（B）360 （D）280
（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，一页从该正方形四个顶点中任意选择连个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是
（A）
3
18
3
18
（A）
4
18
（A）
5
18
（A）
6
18数学(文科)(安徽卷)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上大体无效。
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置·
(11)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是
(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是
(13)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=
(14)某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是.
(15)若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a．
b恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②
a+b≤2；③a2+b2≥2；
④a3+b3≥3;
2
1
1
≥
+
b
a
⑤
三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内。
(16)△ABC 的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=1312
.
(1)求
;·A C
−→−−→−AB
(2)若c-b=1，求a 的值.
（17）椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率21=
e .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.
18、（本小题满分13分）
某市20104月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表； （Ⅱ）作出频率分布直方图；
（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
(19) (本小题满分13分)
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，E F ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，
(Ⅰ)求证：F H ∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：A C ⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；
（20）（本小题满分12分）
设函数f （x ）=sinx-cosx+x+1, 0﹤x ﹤2∏,求函数f(x)的单调区间与极值.
（21）（本小题满分13分) 设
1
c ，2
c
...,
n
c
,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直
线y=
3
3
x 相切，对每一个正整数n,圆n c 都与圆1n c +相互外切，以n r 表示n c 的半径，已知{}n
r 为递增数列.
(Ⅰ)证明：{}n
r 为等比数列；
（Ⅱ）设1r =1，求数列n n r ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和.
2010年安徽高考数学(文科)答案(部分)：1.C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C 12.(2,0) 13.12 14.12% 15.①③④⑤。