广东省广州市高考数学二模试卷理科解析版
广东省广州高三第二次模拟考试数学试卷(理科)有答案
广东省广州市高山文化培训学校高三第二次模拟考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合＝（）A． B． C． D．2．圆与直线没有公共点的充要条件是（）A． B．C． D．3．复数的虚部是（）A． B． C． D．4．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A． B． C． D．6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（）A． B． C． D．7．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．8．设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分)9．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4；（1，2，3，4）.则 .10、函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为11、已知函数图像上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是；12．已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．13．(坐标系与参数方程选做题)点是椭圆上的一个动点，则的最大值为** ．14．(不等式选讲选做题)在三角形中，所对的边长分别为，其外接圆的半径，则的最小值为*** 。
15.(几何证明选讲选做题)如右图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD。
已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为*** ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知向量，，（1）若⊥, 且－＜＜．求；（2）求函数的单调增区间和函数图像的对称轴方程．17．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，，为的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的正切值．19．(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
广东省广州市高考数学二模试卷(理科)
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=m（3+i）-（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（）.A. （-∞，1）B. （-∞，）C. （）D. （-∞，）∪（1，+∞）2.已知集合A={x|1-＜0}，则∁R A=（）A. {x|x＜2或x≥6}B. {x|x≤2或x≥6}C. {x|x＜2或x≥10}D. {x|x≤2或x≥10}3.某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364.执行如图所示的程序框图，则输出z的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 245.已知点A与点B（1，2）关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为（）A. （3，4）B. （4，5）C. （-4，-3）D. （-5，-4）6.从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望Eξ=（）A. B. 1 C. D. 27.已知：sin，其中，则tan2α=（）A. -B. -C.D.8.过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9.若曲线y=x3-2x2+2在点A处的切线方程为y=4x-6，且点A在直线mx+ny-1=0（其中m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A. 4B. 3+2C. 6+4D. 810.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，先把函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象的一条对称轴为（）A. x=B. x=C. x=-D. x=-11.已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x0，y0），且1≤y0-x0≤7，则的取值范围为（）A. [2，]B. [-]C. [-]D. [-2.]12.若点A（t，0）与曲线y=e x上点P的距离的最小值为2，则实数t的值为（）A. 4-B. 4-C. 3+D. 3+二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，是夹角为60°的两个单位向量，向量=2+，则||=______．14.若（ax-1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是______．15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S=，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C=2sin A cos B，且b2，1，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为______．16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.己知{a n}是递增的等比数列，a2+a3=4，a l a4=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（ii）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：=27，，，=7759.6，，参考公式：相关系数r==回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且AD=PB．（l）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若AD⊥PB，求二面角D-PB-C的余弦值．20.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．21.已知函数f（x）=ln x-（k∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x l，x2，求k的取值范围，并证明x1+x2＞2．22.在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2=2p cosθ+8．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的倾斜角．23.己知函数f（x）=|2x-l|-a．（1）当a=l时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的几何意义的应用，结合复数的运算求出复数以及对应点的坐标，结合点在坐标系中的位置建立不等式关系是解决本题的关键．根据复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义求出点的坐标，根据点的象限建立不等式组关系进行求解即可．【解答】解：z=m（3+i）-（2+i）=（3m-2）+（m-1）i，复数对应点的坐标为（3m-2，m-1），若对应点的坐标在第三象限，则由得，得m＜，即实数m的取值范围是（-∞，），故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．解分式不等式求出集合A，根据补集运算即可得到结论．【解答】解：由1-＜0，即＜0，即，解得2＜x＜10，即A={x|2＜x＜10}，则∁R A={x|x≤2或x≥10}，故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：设样本中A型号车为x辆，则B型号为（x+8）辆，则=，解得x=16，即A型号车16辆，则=，解得n=72．故选：B．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：x=1，y=2，则z=x+y=1+2=3，z＜20是，x=2，y=3，z=x+y=2+3=5，z＜20是，x=3，y=5，z=x+y=3+5=8，z＜20是，x=5，y=8，z=x+y=5+8=13，z＜20是，x=8，y=13，z=x+y=8+13=21，z＜20否，输出z=21，故选A．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相互垂直直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设点A（x，y），由点A与点B（1，2）关于直线x+y+3=0对称，可得，解出即可得出．【解答】解：设点A（x，y）．∵点A与点B（1，2）关于直线x+y+3=0对称，∴，解得x=-5，y=-4．则点A的坐标为（-5，-4）．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】随机变量随机ξ的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．【解答】解：随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．所有随机变量ξ的分布列为：所以ξ的期望E（ξ）=0×+1×+2×=1．故选B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα-cosα=0，联立求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵把sinα+cosα=，①，两边平方得：（sinα+cosα）2=，即1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=-，∵，∴sinα＞0，cosα＜0，sinα-cosα＞0，∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=，解得：sinα-cosα=，②，①+②得：2sinα=，即sinα=，cosα=-，则tanα=-，tan2α==．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由，知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=a，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a=a，在Rt△PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，由此能求出离心率．【解答】解：由若，可得E为PF的中点，令右焦点为F′，O为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=a，由E为切点，可得OE⊥PF，即有PF′⊥PF，由双曲线的定义可得|PF|-|PF′|=2a，即|PF|=|PF′|+2a=a，在Rt△PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，即a2+a2=4c2，即c=a，则离心率e==．故选A．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【解答】解：设A（s，t），y=x3-2x2+2的导数为y′=3x2-4x，可得切线的斜率为3s2-4s，切线方程为y=4x-6，可得3s2-4s=4，t=4s-6，解得s=2，t=2或s=-，t=-，由点A在直线mx+ny-1=0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n=1成立，（s=-，t=-，舍去），则=（2m+2n）（）=2（3++）≥2（3+2）=6+4，当且仅当n=m，即，时，取得最小值6+4，故选：C．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，图象的平移伸缩变换，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出ω，然后利用五点作图的某一点求φ，属于中档题．由图象得到函数的周期T，然后求出ω，再由f（2π）=2求φ的值，可求f（x）的解析式，利用图象的平移伸缩变换可求g（x）的解析式，利用正弦函数的性质即可求解其对称轴．【解答】解：由图象可知，得函数的周期T=4×（3.5π-2π）=6π，∴T=6π．则ω===．∴函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）．由f（2π）=2，得2sin（φ+）=2，可得：φ+=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ-，k∈Z，又|φ|＜π，∴当k=0时，φ=-．则f（x）的解析式是：f（x）=2sin（x-）．把函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数解析式为：y=2sin（x-）．再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则：g（x）=2sin[（x-）-]=2sin（x-）．令x-=kπ+，k∈Z，可得：x=kπ+，k∈Z，可得：当k=-1时，可得函数y=g（x）的图象的一条对称轴为x=-．故选C．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1=0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1=0，而满足不等式1≤y0-x0≤7，如图，表示线段AB上的点与原点连线的斜率，A（-1，0），联立，解得B（-5，2），∵，∴的取值范围为[-，0]．故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．求得函数y的导数，设P（m，e m），可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两点的距离公式，解方程可得所求值．【解答】解：y=e x的导数为y′=e x，设P（m，e m），可得过P的切线的斜率为e m，当AP垂直于切线时，AP取得最小值2，可得=-，且=2，可得（m-t）2-（m-t）-12=0，解得m-t=-3（4舍去），即有e2m=t-m=3，解得m=，∴t=3+，故选D．13.【答案】【解析】【分析】本题考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量模的求法．根据条件即可求出，，从而可以求出，进而得出．【解答】解：，，∴=，∴．故答案为．14.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了特定项的系数，以及二项展开式的通项，同时考查了计算能力，属于基础题．二项展开式的通项T r+1=C5r（ax）5-r（-1）r=（-1）r a5-r C5r x5-r，令5-r=3可得r=2，从而有a3C52=80,可求a的值．【解答】解：二项展开式的通项T r+1=C5r（ax）5-r（-1）r=（-1）r a5-r C5r x5-r，令5-r=3可得r=2，∴a3C52=80，∴a=2.故答案为：2.15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知利用正弦定理，余弦定理可求a=b，利用等差数列的性质可求c2=2-b2=2-a2，利用已知面积公式可求S=，即可得解其最大值．【解答】解：∵sin C=2sin A cos B，∴c=2a cos B=2a•，可得：a=b，∵b2，1，c2成等差数列，∴2=b2+c2，∴c2=2-b2=2-a2，∴△ABC的面积S====，∴a2=时，△ABC的面积S的最大值为．故答案为．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA=OB=R，因为△SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，∴∠PBO=30°．所以tan30°=，即r=，即四面体的外接球的半径为r=，另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r=AA1==，∴r=，又知道r=，所以=，所以a=．故答案为．17.【答案】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，因为a2+a3=4，a1a4=3，所以,解得或,因为{a n}是递增的等比数列，所以，q=3．所以数列{a n}的通项公式为．（2）由（1）知．则，①在①式两边同时乘以3得，，②①-②得，即，所以．【解析】本题考查等比数列以及数列的性质的应用，数列求和，考查计算能力．（1）设等比数列{a n}的公比为q，利用已知条件列出方程组求出首项与公比，然后求解通项公式．（2）求出，利用错位相减法求解数列的和即可．18.【答案】解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图知，（ⅰ）；（ⅱ）回归系数r=====；因为，，所以r≈0.98；由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；（2）因为回归方程为，即，所以；【或利用===】所以y关于x的线性回归方程为，将x=50代入线性回归方程得；所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．【解析】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．（1）根据上表中的样本数据计算（ⅰ）平均数，求出（ⅱ）相关系数r，由此得出结论；（2）利用回归方程求出回归系数，写出线性回归方程，计算x=50时y的值即可．19.【答案】证明：（1）取AD中点O，连结OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以AD=AB=BD．因为O为AD的中点，所以OB⊥AD．在△APD中，∠APD=90°，O为AD的中点，所以．设AD=PB=2a，则，PO=OA=a，因为PO2+OB2=a2+3a2=4a2=PB2，所以OP⊥OB．因为OP∩AD=O，OP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以OB⊥平面PAD．因为OB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．解：（2）解法1：因为AD⊥PB，AD⊥OB，OB∩PB=B，PB⊂平面POB，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB．所以PO⊥AD．由（1）得PO⊥OB，AD⊥OB，所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD=2，则A（1，0，0），D（-1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1），所以=（-1，0，-1），=（0，，-1），=（-2，0，0），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（-）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则=（0，1，）．设二面角D-PB-C为θ，由于θ为锐角，所以cosθ=|cos＜＞|===，所以二面角D-PB-C的余弦值为．解法2：因为AD⊥PB，AD⊥OB，OB∩PB=B，PB⊂平面POB，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB．所以PO⊥AD．所以设PO=a，PD=．过点D作DH⊥PB，H为垂足，过点H作HG∥BC，交PC于点G，连接DG，因为AD⊥PB，BC∥AD，所以BC⊥PB，即HG⊥PB．所以∠DHG为二面角D-PB-C的平面角．在等腰△BDP中，BD=BP=2a，PD=，根据等面积法可以求得DH=a．进而可以求得PH=a，所以HG=，PG=．在△PDC中，PD=，DC=2a，PC=2a，所以cos∠DPC==．在△PDG中，PD=，PG=a，cos∠DPC=，所以DG2=PD2+PG2-2×PD×PG×cos∠DPG=a2，即DG=a．在△DHG中，DH=，HG=，DG=a，所以cos∠DHG==，所以二面角D-PB-C的余弦值为．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）取AD中点O，连结OP，OB，BD，推导出OB⊥AD，OP⊥OB，从而OB⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（2）法1：推导出AD⊥平面POB．PO⊥AD．PO⊥OB，AD⊥OB，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-PB-C的余弦值．法2：推导出AD⊥平面POB．从而PO⊥AD，过点D作DH⊥PB，H为垂足，过点H作HG∥BC，交PC于点G，连接DG，则∠DHG为二面角D-PB-C的平面角，由此能求出二面角D-PB-C的余弦值．20.【答案】解：（1）设动点M的坐标为（x，y），∵（x≠-2），（x≠2），∴．整理得．∴动点M的轨迹C的方程（x≠±2）；（2）1°过点（-1，0）的直线为x轴时，为直径的圆方程为：，显然此时圆和直线x相离；2°当过点（-1，0）的直线不为x轴时，可设过点（-1，0）的直线方程为x=my-1，设直线x=my-1与轨迹C的交点坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（m2+2）y2-2my-3=0．∵（-2m）2+12（m2+2）＞0，由韦达定理得，．．∴PQ的中点坐标为N（）．∵|PQ|===．点N到直线x=-的距离为d=．∵＞0，即d＞，∴直线x=-与以线段PQ为直径的圆相离．综合上述，直线x=-和以PQ为直径的圆总是相离．【解析】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．（1）设动点M的坐标为（x，y），由斜率之积为-列式求动点M的轨迹C的方程；（2）分类讨论，过点（-1，0）的直线为x轴时，直线和圆相离．当过点（-1，0）的直线不为x轴时，设过点（-1，0）的直线方程为x=my-1，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得PQ的中点坐标为N（）．再由弦长公式求|PQ|．求得点N到直线x=-的距离为d．由＞0，可得d＞，即直线x=-与以线段PQ为直径的圆相离．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）=ln x-（k∈R），∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==，x＞0．当k≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当k＜0时，由f′（x）=0，得x=（负根舍去），当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，）上单调递减；在（）上单调递增．综上所述，当k≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当k＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增．（2）先求k的取值范围：由（1）知，当k≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当k＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（）=ln+，要使函数f（x）有两个零点，首先f（x）min=ln，解得-．∵-2k，且f（1）=-k＞0，下面证明f（-2k）=ln（-2k）-＞0．设g（k）=ln（-2k）-，则g′（k）==．∵k＞-，∴g′（k）==＞＞0．∴g（k）在（-，0）上单调递增，∴f（-2k）=g（k）＞g（-）=ln＞0．∴k的取值范围是（-）．再证明x1+x2≥2：∵x1，x2是函数f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，令x2=tx1，则t＞1．∴，即ln x2-ln x1=．∴ln t=，即，-，t＞1．要证，即证（x1+x2）2＞-8k．即证，即证＞-8k．∵-，∴即证8ln t+（）（1+t)2＜0，（t＞1）．设h（t）=8ln t+（）（1+t）2，t＞1．即h（t）=8ln t-t2-2t+，t＞1．∴h′（t）=-=＜0．∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）=8ln t+（-1）（1+t)2＜h（1）=0，t＞1．∴x1+x2＞2．【解析】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==，x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性；（2）先求k的取值范围是-，再证明f（-2k）=ln（-2k）-＞0．要证明x1+x2≥2，即证8ln t+（）（1+t）2＜0，（t＞1）．设h（t）=8ln t+（）（1+t）2，t＞1．则h（t）=8ln t-t2-2t+，t＞1．由此能证明x1+x2＞2．22.【答案】解：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），当α=时，直线l的直角坐标方程为x=2．当时，直线l的直角坐标方程为y-=tanα（x-2）．因为ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，因为ρ2=2ρcosθ+8，所以x2+y2=2x+8．所以C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0．（2）曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0，将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得t2+（2+2cosα）t-5=0．因为△=（2+2cosα）2+20＞0，可设该方程的两个根为t1，t2，则，t1+t2=-（2+2c osα），t1t2=-5．所以|AB|=|t1-t2|===4．整理得（+cosα）2=3，故2sin（α+）=．因为0α＜π，所以=或，α+=解得或或=综上所述，直线l的倾斜角为或．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，属中档题．（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），当α=时，直线l的直角坐标方程为x=2，当时，直线l的直角坐标方程为y-=tanα（x-2），因为ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，因为ρ2=2ρcosθ+8，所以x2+y2=2x+8．所以C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0，（2）利用直线参数方程中参数的几何意义可得．23.【答案】解（1）当a=1时，由f（x）＞x，得|2x-1|-1＞x+1．…………………………………………（1分）当x≥时，2x-1-1＞x+1，解得x＞3．当x时，1-2x-1＞x+1，解得x＜-．…………………………………………………………（4分）综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜-}．……………………………………（5分）（2）因为||2x-1|-|2x+1||≤|（2x-1）-（2x+1）|，………………………………………………（6分）即-2≤|2x-1|-|2x+1|≤2，则|2x-1|-|2x+1|≥-2．……………………………………………（7分）所以g（x）=|2x-1|-|2x+1|+|2x-1|≥-2+|2x-1|≥-2，…………………………………………（8分）当且仅当x=时等号成立．……………………………………………………………………………（9分）所以g（x）min=-2．所以实数a的取值范围为（-2，+∞）．…………………………………………………………………（10分）【解析】（1）根据绝对值的定义，分2种情况去绝对值解不等式可得；（2）根据绝对值不等式的性质求出最值，再将不等式转化为最值可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
广东省2024届高三二模数学试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z |30A x x =∈-≤，{}1,2B =，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1,2-- C.{}2,1,1,2-- D.{}1,0,1,2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意列举法表示集合A ，再根据并集的运算求解即可.【详解】解：由题，{}{}2Z |301,0,1A x x =∈-≤=-，{}1,2B =，则A B ⋃={}1,0,1,2-.故选：D.2.已知复数isin z θθ=+（R θ∈，i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A.2 B.C.3D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数模的公式以及同角三角函数关系得z =，利用三角函数值域即可得到答案.【详解】由题意得z ==当cos 1θ=±时，等号成立，故max z =故选：D.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为233，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的性质，求出3b a =，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.【详解】设双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，因为双曲线22221x y a b -=的离心率为3，所以3c e a ==，解得3c a =，由222+=a b c ，得22222223133b c a a a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33b a =，所以渐近线方程为333a b y x x xa a =±=±=±，所以两条渐近线的倾斜角分别为π6和5π6，因为5ππ2π663-=，所以，两条渐近线所夹的锐角为2πππ33-=；即双曲线的两条渐近线的夹角为π3.故选：C.4.已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟【答案】B 【解析】【分析】求出游客到地面的距离为m y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式100y >，可得出结果.【详解】设游客到地面的距离为m y ，设y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为()()sin 0,0y A t b A ωϕω=++>>，则60A =，10A b -+=，可得70b =，函数()sin y A t b ωϕ=++的最小正周期为30T =，则2ππ15T ω==，当0=t 时，游客位于最低点，可取π2ϕ=-，所以，πππ60sin 7060cos 7015215tty ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，由100y >，即π60cos 7010015t -+>，可得π1cos 152t <-，所以，()2ππ4π2π2π3153t k k n +<<+∈N ，解得()30103020k t k k +<<+∈N ，因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.故选：B.5.现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A.27π8B.33π8 C.45π8D.55π8【答案】D 【解析】【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.【详解】作轴截面图如下：ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点,E F 为切点，由已知，可得4AB BC AC ===，2OE OF ==，60ACB ∠= ，OE AC ⊥，在OEC △中，32OE =，90OEC ∠= ，30OCE ∠= ，所以32OC CE ==，又4AC =，所以52AE =，所以圆台的母线长为52，因为CE CF =，60ECF ∠=o ，所以ECF △为等边三角形，所以32EF =，所以圆台的侧面积3555ππ2428S ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：D.6.已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若π4A =，则AB OC ⋅ 的最大值为（） A.12B.22C.1D.【答案】C 【解析】【分析】由题设易知OB OC ⊥且AB OB OA =- 、AB OC OA OC ⋅=-⋅ ，进而判断AB OC⋅最大时,OA OC的关系即可得答案.【详解】由圆O 是△ABC 的外接圆，且π4A =，故OB OC ⊥，所以AB OB OA =- ，则AB OC OB OC OA OC ⋅=⋅-⋅ ，所以cos ,AB OC OA OC OA OC ⋅=-⋅=- ，故,OA OC 反向共线时AB OC ⋅ 最大，所以max ()1AB OC ⋅=.故选：C7.已知()20232202301220231x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则122023111a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.1-B.0C.1D.20231012【答案】A 【解析】【分析】根据二项式系数的性质可得出()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，结合此性质可求得122023111a a a ++⋅⋅⋅+的值.【详解】()20231x -的展开式通项为()()()120232023C C 10,1,2,,2023kkk kk k T x x k +=⋅-=⋅-= ，所以，()()2023C 10,1,2,,2023kk k a k =⋅-= ，所以，()()()()2023202322023202320232023202320232023C 1C 11C C 10kkk k k kk k k k a a -----⎡⎤+=⋅-+⋅-=-⋅+⋅-=⎣⎦，所以，()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，且01a =，所以，122023012202311111111a a a a a a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭020231202210111012011111111a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故选：A.8.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c>> B.b a c>> C.b c a>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（）A.平面α内存在直线l 与直线m 平行B.平面α内存在直线l 与直线m 垂直C.存在平面γ与直线m 和平面α都平行D.存在过直线m 的平面β与平面α垂直【答案】BD 【解析】【分析】利用反证法可判断A 选项；对直线m 与α的位置关系进行分类讨论，结合图形可判断B 选项；利用图形可判断C 选项；利用面满垂直的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行，由于m α⊄，则//m α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错；对于B 选项，若m α⊂，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直，。
2023年广东省高考数学二模试卷【答案版】
2023年广东省高考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{﹣2，﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}2．已知复数z =√3cosθ+isinθ（θ∈R ，i 为虚数单位），则|z |的最大值为（ ） A ．2 B ．√2C ．3D ．√33．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率是e =2√33，则该双曲线两渐近线夹角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ） A ．5分钟B ．10分钟C ．15分钟D ．20分钟5．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为√32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A ．278π B ．338π C ．458π D ．558π6．已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若A =π4，则AB →⋅OC →的最大值为（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．√2 7．已知(1−x)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．202310128．已知a =ln22，b =ln3e ，c =√22，则（参考数据：ln 2≈0.7）（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞a ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A ．平面α内存在直线l 与直线m 平行B ．平面α内存在直线l 与直线m 垂直C ．存在平面γ与直线m 和平面α都平行D ．存在过直线m 的平面β与平面α垂直 10．已知f （x ）＝cos x +tan x ，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是周期函数 B ．f （x ）有对称轴C ．f （x ）有对称中心D ．f （x ）在(0，π2)上单调递增11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A ．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B ．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C ．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D ．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于2412．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 四边所在直线与x 轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD 四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（ ） A ．2B ．32C ．34D ．14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 3＝12，a 4＝16，则{a n }的公比q ＝ ．14．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，除面ABCD 外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，Ⅰ，则由点E ，F ，G ，H ，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ． 15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且MN →=4F 1N →，则椭圆C 的标准方程为 ．16．已知f （x ）＝x 3﹣x ，若过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，且这两条切线关于直线x ＝m 对称，则m 的一个可能值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且满足a 1＝1，a 1，a 2，a 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={2a n ，n 为奇数1a n a n+2，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3bcos A+B2=csinB ． （1）求C ；（2）若a +b =√3c ，求sin A ．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥CD ．（1）证明：AB ⊥PB ；（2）若平面P AB ⊥平面PCD ，且PA =√102，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（12分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立．（1）若α=25，β=25，γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当γ＝0时，（i ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E （X ）的最大值； （ii ）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程． 21．（12分）已知f （x ）＝x 2﹣ae x ，存在x 1＜x 2＜x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0． （1）求实数a 的取值范围；（2）试探究x 1+x 2+x 3与3的大小关系，并证明你的结论．22．（12分）已知A ，B 是抛物线E ：y ＝x 2上不同的两点，点P 在x 轴下方，P A 与抛物线E 交于点C ，PB 与抛物线E 交于点D ，且满足|PA||PC|=|PB||PD|=λ，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：MN 垂直于x 轴；（2）若点P 为半圆x 2+y 2＝1（y ＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC 面积的最大值．2023年广东省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{﹣2，﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}解：由题，A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z =√3cosθ+isinθ（θ∈R ，i 为虚数单位），则|z |的最大值为（ ） A ．2B ．√2C ．3D ．√3解：由题意得|z|=√(√3cosθ)2+sin 2θ=√3cos 2θ+(1−cos 2θ)=√2cos 2θ+1≤√3， 当cos θ＝±1时，等号成立，故|z|max =√3． 故选：D ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率是e =2√33，则该双曲线两渐近线夹角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：∵e =c a =2√33，∴c =2√33 a ，故在一、三象限内的渐近线的斜率为 b a =√c 2−a 2a =√33，故此渐近线的倾斜角等于30°，故该双曲线两渐近线夹角是2×30°＝60°，即π3，故选：C ．4．已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ） A ．5分钟B ．10分钟C ．15分钟D ．20分钟解：设游客到地面的距离为ym ，y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为y ＝A sin （ωt +φ）+b （A ＞0，ω＞0），则A ＝60，﹣A +b ＝10，可得b ＝70，函数y ＝A sin （ωt +φ）+b 的最小正周期为T ＝30，则ω=2πT =π15，当t ＝0时，游客位于最低点，可取φ=−π2， 所以，y =60sin(πt15−π2)+70=−60cos πt15+70， 由y ＞100，即−60cosπt 15+70＞100，可得cos πt 15＜−12， 所以，2kπ+2π3＜πt15＜2kπ+4π3(n ∈N)，解得30k +10＜t ＜30k +20（k ∈N ）， 因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟． 故选：B ．5．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为√32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A ．278π B ．338π C ．458π D ．558π解：作轴截面图如下：△ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点E ，F 为切点，由已知，可得AB ＝BC ＝AC ＝4，OE =OF =√32，∠ACB ＝60°，OE ⊥AC ，在△OEC 中，OE =√32，∠OEC ＝90°，∠OCE ＝30°， 所以OC =√3，CE =32，又AC ＝4， 所以AE =52，所以圆台的母线长为52，因为CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，所以△ECF 为等边三角形，所以EF =32， 所以圆台的侧面积S =π(34+2)52=55π8． 故选：D ．6．已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若A =π4，则AB →⋅OC →的最大值为（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．√2解：由圆O 是△ABC 的外接圆，且A =π4，故OB ⊥OC ，所以AB →=OB →−OA →，则AB →⋅OC →=OB →⋅OC →−OA →⋅OC →，所以AB →⋅OC →=−OA →⋅OC →=−cos〈OA →，OC →〉，故OA →，OC →反向共线时AB →⋅OC →最大， 所以(AB →⋅OC →)max =1． 故选：C ．7．已知(1−x)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．20231012解：（1﹣x ）2023的展开式通项为T k+1=C 2023k ⋅(−x)k =C 2023k⋅(−1)k x k (k =0，1，2，⋯，2023)， 所以，a k =C 2023k ⋅(−1)k (k =0，1，2，⋯，2023)，所以，a k +a 2023−k =C 2023k ⋅(−1)k +C 20232023−k ⋅(−1)2023−k =(−1)k [C 2023k ⋅+C 20232023−k ⋅(−1)2023−2k ]=0，所以，1a k+1a 2023−k =0(k =0，1，2，⋯，2023)，且a 0＝1，所以，1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=(1a 0+1a 1+1a 2+⋯+1a 2023)−1a 0=(1a 0+1a 2023)+(1a 1+1a 2022)+⋯+(1a 1011+1a 1012)−1a 0=−1．故选：A ．8．已知a =ln22，b =ln3e ，c =√22，则（参考数据：ln 2≈0.7）（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解：因为a =ln22=2ln24=ln44，c =lne √2√2，考虑构造函数f(x)=lnxx ，则f ′(x)=1−lnxx 2， 当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，e ）上单调递增， 当x ＞e 时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（e ，+∞）上单调递减， 因为ln 2≈0.7，所以e 0.7≈2，即e √2＞(e 0.7)2≈4，所以3＜4＜e √2， 所以ln33＞ln44√2√2，即ln33＞ln22＞√2√2，又ln33＜ln3e，所以ln3e＞ln22√2√2，故b ＞a ＞c ．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ） A ．平面α内存在直线l 与直线m 平行B ．平面α内存在直线l 与直线m 垂直C ．存在平面γ与直线m 和平面α都平行D ．存在过直线m 的平面β与平面α垂直 解：对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行， 由于m ⊄α，则m ∥α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错； 对于B 选项，若m ⊂α，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直， 若直线m 与α相交，设m ∩α＝A ，如下图所示：若m ⊥α，且l ⊂α，则m ⊥l ，若m 与α斜交，过直线m 上一点P （异于点A ）作PB ⊥α，垂足点为B ， 过点A 作直线l ，使得l ⊥AB ，因为PB ⊥α，l ⊂α，则l ⊥PB ， 又因为l ⊥AB ，PB ∩AB ＝B ，PB 、AB ⊂平面P AB ，所以l ⊥平面P AB ， 因为m ⊂平面P AB ，所以l ⊥m ，综上所述，平面α内存在直线l 与直线m 垂直，B 正确；对于C 选项，因为直线m 与平面α有公共点，所以m ⊂α或m 与α相交，故C 错误； 对于D 选项，若m ⊥α，则过直线m 的任意一个平面都与平面α垂直， 若m 与α不垂直，设直线m 与平面的一个公共点为点A ，则过点A 有且只有一条直线l 与平面α垂直，记直线l 、m 所确定的平面为γ，则α⊥β，D 正确． 故选：BD ．10．已知f （x ）＝cos x +tan x ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）有对称轴C ．f （x ）有对称中心D ．f （x ）在(0，π2)上单调递增解：因为f （x ）＝cos x +tan x ，所以f （x +2π）＝cos （x +2π）+tan （x +2π）＝cos x +tan x ＝f （x ）， 所以函数f （x ）为周期函数，A 正确；因为f(π2+x)=cos(π2+x)+tan(π2+x)=−sinx −cosxsinx ， f(π2−x)=cos(π2−x)+tan(π2−x)=sinx +cosxsinx ， 所以f(π2+x)=−f(π2−x)，所以函数f(π2+x)为奇函数，故函数f(π2+x)的图象关于原点对称， 所以(π2，0)为函数f （x ）的中心对称，C 正确；当x ∈(0，π2)时，f ′(x)=−sinx +cos 2x+sin 2x cos 2x =−sinx +1cos 2x，因为0＜cos x ＜1，0＜sin x ＜1，所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在(0，π2)上单调递增，D 正确； 由f ′(x)=−sinx +1cos 2x可得， 当−π2＜x ＜π2时，由0＜cos x ≤1，﹣1＜sin x ＜1，可得f ′（x ）＞0， 函数f （x ）在(−π2，π2)上单调递增， 当π2＜x ＜3π2，由﹣1≤cos x ＜0，﹣1＜sin x ＜1，可得f ′（x ）＞0，函数f （x ）在(π2，3π2)上单调递增， 又f （0）＝1，f （π）＝﹣1， 作出函数f （x ）在(−π2，π2)∪(π2，3π2)的大致图象可得：结合函数f （x ）是一个周期为2π的函数可得函数f （x ）没有对称轴，B 错误． 故选：ACD ．11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A ．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B ．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C ．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D ．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24解：对于A ，设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5，x 3＝26，且24至少出现2次， 故x 1＝x 2＝24，故A 正确；对于B ，设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为y 1，y 2，y 3，y 4，y 5， 则y 1≤y 2≤y 3≤y 4≤y 5，y 3＝29，取y 1＝20，y 2＝23，y 4＝29，y 5＝29，可得其满足条件，但有2场得分低于24，故B 错误； 对于C ，设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为z 1，z 2，z 3，z 4，z 5， 由已知15[(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2]=9.6，所以(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2=48， 若z 4≥32，则z 5≥32，所以(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2＞72，矛盾， 所以z 5＝32，(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2=12， 因为z 1，z 2，z 3，z 4，z 5的平均数为26，所以z 1+z 2+z 3+z 4＝98，取z 1＝23，z 2＝25，z 3＝25，z 4＝25，满足要求，但有一场得分低于2（4分），故C 错误； 对于D ，因为5×60%＝3，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为z 3+z 42，若z 3+z 42≤24，则z 1+z 22≤24，故z 1+z 2+z 3+z 4＜98，矛盾，所以z 3+z 42＞24，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，故D 正确．故选：AD ．12．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 四边所在直线与x 轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD 四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（ ） A ．2B ．32C ．34D ．14解：因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点（0，0）， 设直线AB 的倾斜角为α∈(0，π2)，斜率为k ，①若CD 所在的直线过点（1，0），如图，可得BC ＝sin α，CD ＝2cos α， 因为BC ＝CD ，即sin α＝2cos α，则k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点（2，0），如图，可得BC ＝2sin α，CD ＝3cos α， 因为BC ＝CD ，即2sin α＝3cos α，则k =tanα=32；③若CD 所在的直线过点（4，0），如图，可得BC ＝4sin α，CD ＝cos α， 因为BC ＝CD ，即4sin α＝cos α，则k =tanα=14；综上所述：k 的可能值为2，32，14． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 3＝12，a 4＝16，则{a n }的公比q ＝ 2 ． 解：由题意可得{a 2+a 3=a 2(1+q)=12a 4=a 2q 2=16，则a 2≠0，上述两个等式作商可得q 21+q=43，即3q 2﹣4q ﹣4＝0，因为q ＞1，解得q ＝2． 故答案为：2．14．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，除面ABCD 外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，Ⅰ，则由点E ，F ，G ，H ，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 √33． 解：连接AC ，BD ，由题意可得AC ⊥BD ，AC =2√3，BD =2，分别过E ，F ，G ，H 作底面ABCD 的垂线，垂足分别为E 1，F 1，G 1，H 1， 可得E 1，F 1，G 1，H 1分别为AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 连接E 1F 1，F 1G 1，G 1H 1，H 1E 1，可得E 1F 1⊥F 1G 1，E 1F 1=G 1H 1=12AC =√3，F 1G 1=H 1E 1=12BD =1， 由题意可得：EFGH ﹣E 1F 1G 1H 1为四棱柱， 则S EFGH =S E 1F 1G 1H 1=E 1F 1⋅F 1G 1=√3，四棱锥的高为直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高的一半，即为1， 所以四棱锥的体积V I−EFGH =13×1×√3=√33． 故答案为：√33．15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且MN →=4F 1N →，则椭圆C 的标准方程为x 281+y 254=1 ．解：由对称性不妨令点M 在第一象限，令直线MN 交y 轴于点A ，过N 作NB ⊥x 轴于B ，令F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），因为MF 2⊥x 轴，则OA ∥MF 2，而O 为F 1F 2的中点，又A 为MF 1中点，而|OA |＝3， 于是|MF 2|＝2|OA |＝6，由MN →=4F 1N →知，|NF 1||MF 1|=13，显然NB ∥MF 2，因此|NB|=13|MF 2|=2，|BF 1|=13|F 1F 2|=2c3，于是N(−5c3，−2)，又M （c ，6），则{25c 29a 2+4b 2=1c 2a 2+36b 2=1，解得b 2＝54，a 2＝3c 2， 而a 2＝b 2+c 2，则c 2＝27，a 2＝81， 所以椭圆C 的标准方程为x 281+y 254=1．故答案为：x 281+y 254=1．16．已知f （x ）＝x 3﹣x ，若过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，且这两条切线关于直线x ＝m 对称，则m 的一个可能值为2√69（或−2√69或2√3015或−2√3015） ．解：设切点坐标为（t ，t 3﹣t ），因为f （x ）＝x 3﹣x ，则f '（x ）＝3x 2﹣1，切线斜率为f '（t ）＝3t 2﹣1， 所以，曲线y ＝f （x ）在x ＝t 处的切线方程为y ﹣（t 3﹣t ）＝（3t 2﹣1）（x ﹣t ）， 将点P 的坐标代入切线方程可得2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0，设过点P 且与曲线y ＝f （x ）相切的切线的切点的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1≠x 2，因为这两条切线关于直线x ＝m 对称，则f ′(x 1)+f′(x 2)=3x 12−1+3x 22−1=0， 所以x 12+x 22=23，易知x 1、x 2关于t 的方程2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0的两个根，设该方程的第三个根为x 3， 则2t 3﹣3mt 2+m +n ＝2（t ﹣x 1）（t ﹣x 2）（t ﹣x 3），则2t 3−3mt 2+m +n =2t 3−2(x 1+x 2+x 3)t 2+2(x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3)t −2x 1x 2x 3，所以{ x 1+x 2+x 3=3m2x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=0x 1x 2x 3=−m+n2x 12+x 22=23， 因为过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则关于t 的方程2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0只有两个不等的实根，不妨设x 3＝x 1， 则{ 2x 1+x 2=3m22x 1x 2+x 12=0x 12x 2=−m+n 2x 12+x 22=23， 若x 1＝0，则{x 2=3m 2x 22=23，可得9m 24=23，解得m =±2√69；若2x 2+x 1＝0，则x 1＝﹣2x 2，所以，2x 1+x 2=−3x 2=3m 2，可得x 2=−m2，x 1＝m ， 所以x 12+x 22=5m 24=23，解得m =±2√3015．综上所述，m =±2√69或±2√3015． 故答案为：2√69（或−2√69或2√3015或−2√3015）． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且满足a 1＝1，a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={2a n ，n 为奇数1a n an+2，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．解：（1）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 22=a 1a 4，即（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1，∵d ＞0，∴d ＝1， ∴a n ＝1+1×（n ﹣1）＝n ．（2）由（1）得b n ={2n ，n 为奇数，1n(n+2)，n 为偶数，∴b n ={2n ，n 为奇数，12(1n−1n+2)，n 为偶数， ∴T 2n ＝b 1+b 2+b 3+…+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（21+23+...+22n ﹣1）+12[（12−14）+（14−16）+...+（12n −12n+2）]=21−22n−1⋅221−22+12(12−12n+2)=22n+13−14n+4−512， ∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =22n+13−14n+4−512．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3bcos A+B2=csinB ． （1）求C ；（2）若a +b =√3c ，求sin A ． 解：（1）由正弦定理b sinB=csinC，得√3sinBcos A+B2=sinCsinB ，因为B ∈（0，π），则sin B ≠0，所以√3cosA+B2=sinC ， 因为A +B +C ＝π，所以cos(A+B2)=cos(π2−C2)=sin C2， 所以√3sin C2=2sin C2cos C2，因为C ∈（0，π），则C2∈(0，π2)，可得sin C2≠0，所以cos C 2=√32， 则C2=π6，所以C =π3；（2）因为a +b =√3c ，由正弦定理asinA=b sinB=csinC，得sin A +sin B =√3sinC =32，因为A +B =π−π3=2π3， 所以sinA +sinB =sinA +sin(2π3−A)， =sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)=32，即sin(A +π6)=√32，因为A ∈（0，π），则A +π6∈(π6，7π6)， 所以A +π6=π3或2π3，所以A =π6或π2，故sinA =12或1．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥CD ．（1）证明：AB ⊥PB ；（2）若平面P AB⊥平面PCD，且PA=√102，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．证明：（1）如图1，连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝2，所以CD＝1，∠BCD＝60°，AB∥CD，所以BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=1+4−2×1×2×12=3，所以BD=√3，所以BC2＝BD2+CD2，所以CD⊥BD，又因为CD⊥PD，BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面PBD，所以CD⊥平面PBD，因为PB⊂平面PBD，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB；解：（2）如图2，设平面P AB和平面PCD的交线为直线l，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，因为CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面P AB＝l，所以CD∥l，因为CD⊥平面PBD，所以l⊥平面PBD，因为PB，PD⊂平面PBD，所以∠BPD是平面P AB与平面PCD的二面角，因为平面P AB⊥平面PCD，所以∠BPD＝90°，即BP⊥DP在Rt△ABP中，因为PA=√102，AB＝1，所以PB=√62，在Rt△BPD中，因为BD=√3，则PD=√62，所以△BPD为等腰直角三角形，由（1）得CD⊥平面PBD，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(√3，−1，0)，B(√3，0，0)，C （0，1，0），P(√32，0，√32)，所以AC →=(−√3，2，0)，BC →=(−√3，1，0)，BP →=(−√32，0，√32)， 设平面PBC 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅BC →=−√3x +y =0n →⋅BP →=−√32x +√32z =0， 取x ＝1，则y =√3，z =1，得n →=(1，√3，1)， 记直线AC 与平面PBC 所成角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，AC →〉|=|n →⋅AC→|n →|⋅|AC →||=−√3+2√3+01+3+1×3+4=√10535，所以直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值为√10535．20．（12分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立．（1）若α=25，β=25，γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当γ＝0时，（i ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E （X ）的最大值； （ii ）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程． 解：（1）用事件A ，B ，C 分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”， 则P(A)=α=25，P(B)=β=25，P(C)=γ=15， 记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N ，则事件N 包括事件ABAA ，BAAA ，ACCA ，CACA ，CCAA 共5种，所以P （N ）＝P （ABAA ）+P （BAAA ）+P （ACCA ）+P （CACA ）+P （CCAA ） ＝2P （B ）P （A ）P （A ）P （A ）+3P （C ）P （C ）P （A ）P （A ）=2×(25)4+3×(15)2×(25)2=44625； （2）（i ）因为γ＝0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β＝1， 由题意得X 的所有可能取值为2，4，5，则 P （X ＝2）＝α2+β2，P （X ＝4）＝（αβ+βα）α2+（αβ+βα）β2＝2αβ（α2+β2）， P （X ＝5）＝（αβ+βα）•（αβ+βα）•1＝4α2β2． 所以X 的分布列为：所以X 的期望E （X ）＝2（α2+β2）+8αβ（α2+β2）+20α2β2 ＝2（1﹣2αβ）+8αβ（1﹣2αβ）+20α2β2＝4α2β2+4αβ+2，因为α+β=1≥2√αβ，所以αβ≤14，当且仅当α=β=12时，等号成立， 所以αβ∈(0，14]，所以E(X)=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1)2+1≤(2×14+1)2+1=134， 故E （X ）的最大值为134；（ii ）记“甲学员赢得比赛”为事件M ，则P(M)=α21−2αβ=α2α2+β2． 由（1）得前两局比赛结果可能有AA ，BB ，AB ，BA ，其中事件AA 表示“甲学员赢得比赛”， 事件BB 表示“乙学员赢得比赛”，事件AB ，BA 表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以 P （M ）＝P （AA ）•1+P （BB ）•0+P （AB ）•P （M ）+P （BA ）•P （M ） ＝P （A ）P （A ）+P （A ）P （B ）P （M ）+P （B ）P （A ）P （M ） ＝α2+αβP （M ）+βαP （M ） ＝α2+2αβP （M ）所以（1﹣2αβ）P （M ）＝α2，即P(M)=α21−2αβ， 因为α+β＝1，所以P(M)=α2(α+β)2−2αβ=α2α2+2αβ+β2−2αβ=α2α2+β2．21．（12分）已知f （x ）＝x 2﹣ae x ，存在x 1＜x 2＜x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0． （1）求实数a 的取值范围；（2）试探究x 1+x 2+x 3与3的大小关系，并证明你的结论．解：（1）由题意得f （x ）＝x 2﹣ae x 有三个零点， 所以方程x 2﹣ae x＝0有三个根，即方程x 2e x=a 有三个根，所以函数y ＝a 与函数y =x 2e x的图象有三个公共点， 设g(x)=x 2e x ，则g ′(x)=2x−x 2e x ，令g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，解得x ＜0或x ＞2，所以g （x ）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减， 因为当x →﹣∞时，g （x ）→+∞，当x →+∞时，g （x ）→0， 且g （0）＝0，g(2)=4e 2， 所以g （0）＜a ＜g （2），所以0＜a ＜4e 2，即实数a 的取值范围为（0，4e 2）． （2）x 1+x 2+x 3＞3，证明如下：因为x 1＜x 2＜x 3，由（1）得x 1＜0＜x 2＜2＜x 3，由a =x 22e x 2=x 32e x 3，得2lnx 2﹣x 2＝2lnx 3﹣x 3，设h （x ）＝2lnx ﹣x ，则h （x 2）＝h （x 3）， 求导得ℎ′(x)=2x−1， 令h ′（x ）＞0，解得0＜x ＜2，令h '（x ）＜0，解得x ＞2， 所以h （x ）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 设m （x ）＝h （4﹣x ）﹣h （x ），0＜x ＜2，则m （x ）＝2ln （4﹣x ）﹣4+x ﹣2lnx +x ＝2ln （4﹣x ）﹣2lnx +2x ﹣4，0＜x ＜2，求导得m ′(x)=2x−4−2x +2=2(x−2)2x(x−4)＜0恒成立，所以m （x ）在（0，2）上单调递减，所以m （x ）＞m （2）＝0，即h （4﹣x ）＞h （x ）， 因为0＜x 2＜2，所以h （4﹣x 2）＞h （x 2）＝h （x 3）， 又因为x 3＞2，4﹣x 2＞2，h （x ）在（2，+∞）上单调递减， 所以4﹣x 2＜x 3，即x 2+x 3＞4， 设g(x 0)=4e 2且x 0＜0，则g(x 1)=a ＜4e2=g(x 0)， 因为g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x 1＞x 0， 因为e 3＞4，所以1e−1＞4e 2，所以g(−1)=1e −1＞4e 2=g(x 0)，因为g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x 0＞﹣1， 所以x 1＞x 0＞﹣1， 所以x 1+x 2+x 3＞4﹣1＝3．22．（12分）已知A ，B 是抛物线E ：y ＝x 2上不同的两点，点P 在x 轴下方，P A 与抛物线E 交于点C ，PB 与抛物线E 交于点D ，且满足|PA||PC|=|PB||PD|=λ，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：MN 垂直于x 轴；（2）若点P 为半圆x 2+y 2＝1（y ＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC 面积的最大值． （1）证明：因为|PA||PC|=|PB||PD|=λ，且P ，A ，C 共线，P ，B ，D 共线，所以AB ∥CD ，所以直线AB 和直线CD 的斜率相等，即k AB ＝k CD ，设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，C(x 3，x 32)，D(x 4，x 42)，则点M 的横坐标x M =x 1+x 22，点N 的横坐标x N =x 3+x42， 由k AB ＝k CD ，得x 22−x 12x 2−x 1=x 42−x 32x 4−x 3，因式分解得(x 2−x 1)(x 2+x 1)x 2−x 1=(x 4−x 3)(x 4+x 3)x 4−x 3，约分得x 2+x 1＝x 4+x 3，所以x 1+x 22=x 3+x 42，即x M ＝x N ，所以MN 垂直于x 轴．（2）解：设P （x 0，y 0），则x 02+y 02=1，且﹣1≤y 0＜0，当λ＝2时，C 为P A 中点，则x 3=x 0+x 12，y 3=y 0+x 122，因为C 在抛物线上，所以y 0+x 122=(x 0+x 12)2，整理得x 12−2x 0x 1+2y 0−x 02=0，当λ＝2时，D 为PB 中点，同理得x 22−2x 0x 2+2y 0−x 02=0， 所以x 1，x 2是方程x 2−2x 0x +2y 0−x 02=0的两个根， 因为Δ=4x 02−4(2y 0−x 02)=8(x 02−y 0)＞0， 由韦达定理得x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2=2y 0−x 02，所以x 0=x 1+x 22=x M ，所以PM 也垂直于x 轴， 所以|PM|=x 12+x 222−y 0=4x 02−4y 0+2x 022−y 0=3(x 02−y 0)， 因为|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4x 02−8y 0+4x 02=2√2⋅√x 02−y 0，所以S 四边形ABDC =34S △PAB =34×12⋅|PM|⋅|x 1−x 2|=38⋅(3x 02−y 0)×2√2⋅√x 02−y 0=9√24(√x 02−y 0)3=9√24(√−y 02−y 0+1)3，﹣1≤y 0＜0，当y 0=−12时，−y 02−y 0+1取得最大值54，所以S 四边形ABDC ≤9√24×(√54)3=45√1032， 所以四边形ABDC 面积的最大值为45√1032．。
广东二模 高三数学考试(理科)-含答案
广东二模 高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）AB ．C ．D ．6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．2310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ）A ．4B ．8C． D．12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：D 解析：因为64i32i 1iz -=-=+-，所以2i z =-． 3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin 5α=-，从而27cos 212sin 25αα=-=．4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）A B ．C ．D ．5．答案：B解析：11,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△，得b =，又根据余弦定理得：2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos 2y x x =-的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-8．答案：B解析：因为134PF =，所以13224p +=，解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为114014=--．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE =====tan ACE ∠=．ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m +，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时4P y a =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==． 12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e12．答案：B解析：因为()ln x x f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x x x xf x a a e a a a e '=+-=-+．当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0xa a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．13．答案：32 解析：44214422rr rr r rr T C xC x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．14．答案：4-解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 取得最大值4-．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． 16．答案：解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，则四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设四面体A BCD -的外接球半径为r，由3433V r π==，得r =2CD x =，在Rt OAN △中，1ON ==，在Rt ADN △中，DN =，在Rt DMN △中，MN ==1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分 又对任意正整数n ，111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+，所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n nS S n n+-=+，………………………………………………3分 即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分则234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．解析：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分（2）列联表如下：5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．……………………………………………7分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，则311132333819(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 33381(3)56C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n =…9分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则2cos 2n m n mθ⋅==⋅，……………………………11分 所以4πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π．20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．21．（1）解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分 因为()(1)1xxf x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．…………………………………………2分 所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 （2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分 设函数()2,()10xxh x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈．………………………………9分当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分 解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分（2）将3πθ=代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分 （2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤，令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。
2021年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|��1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（） A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N 2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C． D．2）的值是（）3．已知cos（A．B．��θ）=，则sin（C．�� D．��4．已知随机变量x服从正态分布N（3，?2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组b）的解集记为D，若（a，∈D，则z=2a��3b的最小值是（）A．��4 B．��1 C．1 6．使（x2+A．3B．4D．4）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（） C．5D．6）的图象的一个对称中心为（，0），则函7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ��C．[kπ��，2kπ+，kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（） A．π B．π C．π D．π，则下列命题9．已知命题p：?x∈N*，（）x≥（）x，命题q：?x∈N*，2x+21��x=2中为真命题的是（） A．p∧q B．C．p∧（�Vq） D．（�Vp）∧q （�Vp）∧（�Vq）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）第1页（共21页）A．4+6π B．8+6π C．4+12π D．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2��y2=λ（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|?|MN|的值为（） A．B．C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（��x）=f（x），f（x）=f（2��x），当x∈[0，1]时，f （x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|��f（x）在区间[��，]上的所有零点的和为（）A．7B．6C．3D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______． 14．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|��2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2��cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（2n��1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：2 3 4 5 6 7 学生序号i 1 数学成绩 60 65 70 75 85 87 90 xi 物理成绩 70 77 80 85 90 86 93 yi （i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；第2页（共21页）（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526 19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=��1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e��x��ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=��1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（��x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．第3页（共21页）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极=．点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x��2|��a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f （x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．第4页（共21页）2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|��1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（） A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={��1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={��1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C． D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z=∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（A．B．��θ）=，则sin（C．�� D．��）的值是（）===，【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（��θ）=sin[��（��θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，?2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，第5页（共21页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试(二)广州二模数学试卷
【新结构】（广州二模）2024年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,2,4,12A B x x ==∈-≥Z ，则()A B ⋂=Zð（）A.{}2 B.{}0,2 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,4【答案】B 【解析】【分析】求出B 中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出B Z ð即可得出答案．【详解】由12x -≥解得，1x ≤-或3x ≥，即{}13B x x x =∈≤-≥Z 或，{}{}130,1,2B x x =∈-<<=Z Z ð{}0,2,4A = ，(){}0,2A B ∴=Z ð.故选：B ．2.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．3.某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（）A.24种 B.48种C.60种D.96种【答案】D 【解析】【分析】由2天相连的情况有4种，利用排列数即可求解.【详解】由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，则不同的安排方法共有444A 96=种.故选：D4.某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是（）A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】C 【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁做对，结合题意分析推理，利用矛盾律得出结论．【详解】若甲做对了，则甲说错了，乙说对，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；若乙做对了，则甲说对了，乙说错误，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说错了，其中只有甲1人说对了，满足条件；若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，不满足条件；故做对的是丙，说对的是甲．故选：C.5.已知,,αβγ是三个不重合的平面，且,l m αγβγ== ，则下列命题正确的是（）A.若,αγβγ⊥⊥，则lm B.若l m ，则αβ∥C.若,αβγβ⊥⊥，则l m ⊥ D.若l m ⊥，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线面位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误．【详解】若,αγβγ⊥⊥，则l m 或l 与m 相交，故A 错误；若lm ，则αβ∥或α与β相交，故B 错误；若,αβγβ⊥⊥，则l m ⊥，故C 正确；若l m ⊥，则α与β相交，不一定是垂直，故D 错误．故选：C ．6.若0x 是方程()()()()f g x g f x =的实数解，则称0x 是函数()y f x =与()y g x =的“复合稳定点”．若函数()(0xf x a a =>且1)a ≠与()22g x x =-有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a 的取值范围为（）A.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.2,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.(D.)+∞【答案】D 【解析】【分析】2222x x a a -=-即()222220xx a a a a -+=有两个不同实根，令x t a =，则222220t a t a -+=在()0,∞+上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可．【详解】()(0xf x a a => 且1)a ≠与()22g x x =-有且仅有两个不同的“复合稳定点”，2222x x a a -∴=-，即()222220x x a a a a -+=有两个不同实根，令x t a =，则222220t a t a -+=在()0,∞+上有两个不同实根，()22222Δ280220a a a a a ⎧=->⎪∴⇒>⇒>⎨>⎪⎩则a的取值范围为)∞+．故选：D ．7.已知函数π())(0,||2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移(0)θθ>个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A 【解析】【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和ϕ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由π()14f =，得π2sin()42ωϕ+=，又点π(,1)4及附近点从左到右是上升的，则ππ2π,Z 44k k ωϕ+=+∈，由5π(08f =，点5π(,0)8及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5ππ2π,Z 8k k ωϕ+=+∈，联立解得2ω=，π2π,Z 4k k ϕ=-+∈，而π||2ϕ<，于是π4ϕ=-，π()2sin(2)4f x x =-，若将函数()f x 的图像向右平移(0)θθ>个单位后，得到πsin(22)4y x θ=--，则ππ2π,Z 42k k θ--=-∈，而0θ>，因此3ππ,N 82k k θ=-+∈，所以当1k =时，θ取得最小值为π8.故选：A8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()11,02f x f x f x f ++-==，则()()2024f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意分析可知()f x 为偶函数，结合偶函数可得()()210f x f x ++-=，进而可知6为()f x 的周期，赋值可知()21f =-，结合周期性运算求解.【详解】由题意可知：函数()f x 的定义域为R ，因为()()()11f x f x f x ++-=，则()()()11f x f x f x -++=-，可得()()=f x f x -，所以()f x 为偶函数，由()()()11f x f x f x ++-=可得()()()21f x f x f x ++-=+，即()()()21f x f x f x ++=+，整理得()()210f x f x ++-=，可得()()()()330f x f x f x f x ++-=++=，则()()630f x f x +++=，可得()()6f x f x +=，所以6为()f x 的周期，由()()()()11,02f x f x f x f ++-==，令0x =，可得()()()1201f f f +==，可得()11f =；令1x =，可得()()()2011f f f +==，可得()21f =-；所以()()()()202420121f f f f +=+=-+=．故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()1ln 1x f x x x +=--，则（）A.()f x 的定义域为()0,∞+B.()f x 的图像在()()22f ,处的切线斜率为52C.()01f f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭= D.()f x 有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意直接求出x 的范围即可判断A ；求出导函数，进而求得()2f '即可判断B ；求得1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可判断C ；易知()f x 的单调性，结合零点存在定理及C 即可判断D ．。
2020届广东省广州市高三二模数学(理)试题(解析版)
当0＜x＜m时， ＜0，f（x）单调递减；当x＞m时， ＞0，f（x）单调递增，
可得x＝m处f（x）取得极小值，且为最小值e2m﹣alnm，
由题意可得e2m﹣alnm a，即 alnm a，
化为m+2mlnm≤1，设g（m）＝m+2mlnm， ＝1+2（1+lnm），
所以面NEMF∥平面BCC1B1，而EF 面MN，
所以EF∥平面BCC1B1，
所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
7．函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图,
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.
则A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1].
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知复数 ，若 是纯虚数，则b＝（）
A．﹣2B． C． D．1
【答案】A
【解析】根据复数的除法法则把 化成复数的一般形式，然后由实部为零，虚部不等于零计算即可．
【答案】广州市2023届高三二模数学试题
17．（1）1，2；（2）2122n +-18．（1）20010y x =+；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值． 19．（1）π3A =；（2）tan BAD ∠=20．（1）证明见解析；（2．21．（1）24y x =；（20y -=0y += 22．（1）0a ≥；（2）证明见解析．1．【答案】C 【解析】由题意得，(2i)(3i)7i1i ia -+--===-，故选：C ． 2．【答案】B 【解析】因为*{|32,}A x x n n ==-∈N ，{6,7,10,11}B ，则{7,10}A B = ，故集合A B 的元素个数为2．故选：B ．3．【答案】D 【解析】因为()a b b +⊥ ，所以()0a b b +⋅= ，所以20a b b ⋅+= ，所以2a b b ⋅=- ，221cos ,33b b ab a b a b a b b b--⋅〈〉====-⋅⋅⋅，故选D ．4．【答案】D 【解析】由213339a ==，314428b ==，134c =，则111334889b a =<<<，ca <，又14223log log 84b ==，13222log log 43c ==，则22log log cb <，即c b<，所以c b a <<．故选：D ．5．【答案】A【解析】如图：正四棱台，由题意可知：O 是底面正方形的中心也是球O的球心，且50R OB ==，40OO '=，所以BC =， 30O B ''===，进而可得B C ''=取BC 的中点为N ，过B C ''的中点P 作PM ON ⊥，连接PN ， 所以12OM O P B A '''===，12ON BA ==，故MN ON OM =-= 在直角三角形PMN 中，tan PM PNM MN ∠===， 故sin PNM ∠=，由于PN BC ⊥，ON BC ⊥， 所以PNM ∠即为正四棱台的侧面与底面所成二面角， ，故选：A 6．【答案】A【解析】设过点,()0A a -且方向向量为(1,1)n =-的光线，经直线y b =-的点为B ，右焦点为C ．因为方向向量(1,1)n =-的直线斜率为1-，则45CAB ∠=︒，1AB k =-，又由反射光的性质可得1BC k =，故AB BC ⊥，所以ABC △为等腰直角三角形，且B 到AC 的距离为b ，又AC c a =+，故2a c b +=，22222244()a c ac b a c ++==-，则(35)()0a c a c -+=，故35a c =，离心率35c e a ==．故选：A7．【答案】D 【解析】因为π()3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤恒成立，所以max π()13f f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2πsin 13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以2ππ2π32k ϕ+=+或2π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ，所以π2π6k ϕ=-+或5π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 当π2π,6k k ϕ=-+∈Z 时，π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，ππππsin 2πsin 4263f k ⎛⎫⎛⎫=+-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π()4f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，与题意矛盾，当5π2π,6k k ϕ=+∈Z 时，5π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，ππ5π5πsin 2πcos 4266f k ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以5π2π,6k k ϕ=+∈Z ，所以5π5π()sin 22πsin 266f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令ππ2π5π22π226k k x +-++≤≤，得2ππππ,36Z x k k k --++∈≤≤， 所以()f x 的单调递增区间为2πππ,π()36Z k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦．故选：D ． 8．【答案】B 【解析】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，等式两边求导可得()()f x f x ''=--，① 因为函数()e x f x x -++'为偶函数，则()e ()e x x f x x f x x -'++=-+-'，②联立①②可得e e ()2x x f x x --'=-，令()()g x f x '=，则e e()1102x xg x -+'=-=≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在R 上为增函数，即函数()f x '在R 上为增函数，故当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由(21)(1)f a f a -<+可得()()211f a f a -<+，所以，211a a -<+，整理可得220a a -<，解得02a <<．故选：B ．9．【答案】BC 【解析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)8%P A B =，2(|)3%P A B =，3(|)2%P A B =，1()10%P B =，2()40%P B =，3()50%P B =， 对于A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008P AB P A B P B ==⨯=，故A 错误； 对于B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；对于C ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98P A B P A B =-=-=，故C 正确；对于D ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为3333()(|)()2%50%21(|)11()()0.033P AB P A B P B P B A P A P A ⨯-=-==-=，故D 错误．故选：BC ．10．【答案】ACD 【解析】显然24()14xf x x =-+是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为[0,1]，且a ，b ∈Z ， 则2a =-，0,1,2b =；1a =-，2b =；0a =，2b =． 故选：ACD ． 11．【答案】BD【解析】双曲线Γ的标准方程为22221x y a a-=，则c ==，易知点1(,0)F、2,0)F ， 双曲线Γ的渐近线方程为y x =±．对于A 选项，当BC x ⊥轴，直线BC的方程为x =，联立222x x y a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得x y a⎧=⎪⎨=±⎪⎩，此时，2BC a =，则()()11222246BF CF BF a CF a BC a a +=+++=+=，此时，1BCF △的周长为118BC BF CF a ++=，A 错；对于B 选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线Γ上，因为若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则点B 、E 关于原点对称，即BE 、12F F 的中点均为原点，故四边形12BF EF 为平行四边形，所以，12//EF BF ，即1//EF BC ，B 对；对于C 选项，易知OA 的方程为y x =，OD 的方程为y x =-，所以，OA OD ⊥， 因为直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，则直线l 不与x 轴重合，设直线l的方程为x my =+，则11m -<<，设点11(,)B x y 、22(,)C x y ，联立x my y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得x y ==，即点A ⎝⎭，联立x my y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得x =y =D ⎝⎭，所以，21A a OA x m =⋅=-，21Da OD x m=⋅+， 所以，222221222211AODa a S OA OD a m m=⋅==--△≥，当且仅当0m =时，等号成立，C 错； 对于D 选项，12222AB BF AB BF a AF a +=++=+，2AF 的最小值为点2F 到渐近线的距离，为a ， 当2AF 与渐近线垂直时，直线2AF 与双曲线只有一个交点，所以不能取等号，所以13AB BF a +>，D 正确．12．【答案】BCD【解析】选项A ，因为CN ⊥平面ABD ，且,AN BN ⊂平面ABD ，所以CN AN ⊥，CN BN ⊥， 所以当点P 与点N 重合时，AP BP +取得最小值，A 错误；若3CP PN =，则点P 为正四面体的中心，此时必有DP ⊥平面ABC ，B 正确； 若DP ⊥平面ABC ，则是外接球的圆锥模型，圆锥底面半径r =高h =，设外接球半径为R ，则222()h R r R -+=， 代入并解得：222h r R h +==， 外接球的表面积2247π2S R π==，C 正确；1133MN ACD N ACD B ACD d d d ---====，D 正确． 13．【答案】8【解析】由X （单位：分）服从正态分布2(80,)N σ，知正态密度曲线的对称轴为80x =，成绩在[80,90]A上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24168-=．14．【答案】3或者*3()k k ∈N【解析】二项式21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为3121C (1)C ,0,1,2,,rr n r r r n r r n n T x x r n x --+⎛⎫=-=-⋅= ⎪⎝⎭ ，因为二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，所以30n r -=有解，即3n r =，可得n 的一个值为3．故答案为：3（答案不唯一）15．【答案】10【解析】由12a =，m n m n a a a +=+，令1m =，则112n n a a a +-==，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，即2(1)22n a n n =+-⨯=，又k 为正整数，所以122(1)440k k a a k k +=⨯+=，即(1)110k k +=，解得10k =或11k =-（舍去）．故答案为：10．16．【答案】①．12##0.5 ②．133212⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设(,)P x y ，1(,)12d Q P x y =-+=，当1,0x y ≥≥时，则112x y -+=，即302x y +-=，当1,0x y <≥时，则112x y --=，即302x y --=，当1,0x y <<时，则112x y --=，即102x y +-=当1,0x y <≥时，则112x y -+=，即102x y --=，故点P 的轨迹所围成图形如图阴影部分四边形ABCD 的面积：则111142222S =⨯⨯⨯=． 如下图，设00(,)P x y ，11(,)M x y ，显然10x x >，10y y >，101010101100(,)()d P M x x y y x x y y x y x y =-+-=-+-=+-+，求(,)d P M 的最小值，即11x y +的最小值，00x y +的最大值，又00max ()32x y +=，下面求11x y +的最小值， 令111211y x y x x =+=+，3133112210x y x x -'=-==，即1312x =， 令0y '>，解得：1312x >，令0y '<，解得：1312x <，所以y 在13,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在132,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1312x =时，y 有最小值，且min2332y =， 所以13min 23333(,)21222d P M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：12；133212⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．【答案】（1）11a =，23a =；（2）2122n +-【解析】（1）由1(1)2n nn n a S ++-=得212a a -=，即212a a =+，····································1分23242a S +==，即1324a a a +=+，··········································································3分又30a =，所以11a =，23a =．·················································································5分（2）当2n k =时，22122kk k a S ++=， ①······························································6分 当21n k =-时，221212k k k a S --=-， ②······························································7分两式相加可得22121221222kk k k k k a S a S +--=+-++，得2212121222322k k k k k a a --++=⨯+=，···8分由于12n n n b a a +=+，所以3254724622126(2)(2)(22)()n n n a a a a a a b b b b a a +=++++++++++++135213(2222)n -=⨯++++ ·····················································································9分 212(14)32214n n +-=⨯=--．·························································································10分18．【答案】（1）20010y x =+；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．【解析】（1）令1u x =，则y 关于u 的线性回归方程为y u αβ=+，···································1分由题意可得 1221103502102001.60.910ni ni i i iu y u yu uβ==--===--∑∑，·······················································3分702000.310y x αβ=-=-⨯=，···············································································4分 则10200y u =+，·····································································································5分所以y 关于x 的回归方程为20010y x =+．·····································································6分（2）由20010y x=+可得20010x y =-，·········································································7分年利润10M m x =--································································································8分2220020010010500251010y y y y =-+++----······································································9分21(20)90.8500y =--+，··························································································10分当20y =时，年利润M 取得最大值，此时20020020102010x y ===--，·······························11分 所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．··································12分19．【答案】（1）π3A =；（2）tan BAD ∠= 【解析】（1）因为cos cos b A a B b c -=-，由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac+-+-⋅-⋅=-，·················································2分化简可得222b c a bc +-=，························································································3分由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，····································································4分因为0πA <<，所以π3A =．·····················································································5分（2）因为cos B =，则B为锐角，所以sin B ===，···········6分因为πA B C ++=，所以，2π3C B =-， 所以2π2π2πsin sin sin cos cos sin 333C B B B ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭1122==，(7分) 设BAD θ∠=，则π3CAD θ∠=-，在ABD △和ACD △中，由正弦定理得sin sin BD AD B θ==，······························································································································8分πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭··················································································9分 因为2CD BD =π(33θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，·························10分1sin (32θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2θθ=，·························11分所以tan tan BAD θ∠===································································12分20．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：取1BC 的中点M ，连接DM ，EM ，因为点D 是BC 的中点，所以11////DM CC AA ，则A ，E ，M ，D 四点共面．····················································································1分 因为//AD 平面1BC E ，平面AEMD 平面1BC E EM =，所以//AD EM ．······················2分 因为AB AC =，所以AD BC ⊥．···············································································3分 在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则1AD CC ⊥．又1BC CC C = ，BC ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以AD ⊥平面11BB C C ．····························································4分 所以EM ⊥平面11BB C C ．又EM ⊂平面1BC E ，所以平面1BC E ⊥平面11BB C C ．··············5分（2）由（1）知ME ⊥平面11BB C C ，则111113B BC E B BC V S ME -=⋅⋅△， 设2BC a =，则BD a =，AD =，1112332B BC S a a =⨯⋅=△，11221993322B BC E a a V a -+-∴=⋅=，······························································7分由基本不等式知，当且仅当a =时等号成立，即三棱锥11B BC E -的体积最大，此时，a =．·····································································································8分 以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DM 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有A ⎫⎪⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32E ⎫⎪⎪⎝⎭，10,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，13)C B =-，32BE ⎫=⎪⎪⎝⎭，····················9分设平面1BC E 的一个法向量为111(,,)x n y z =，则有11111130302n C B z n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =2)n = ，·····················10分 设直线AC 与平面1BC E 所成的角为θ，sin cos ,n AC θ∴===，·············11分 故直线AC 与平面1BC E．····························································12分 21．【答案】（1）24y x =；（20y -=0y +=【解析】（1）设(,)P x y ，则以PF 为直径的圆的圆心为1,02x +⎛⎫⎪⎝⎭，···································1分 根据圆与y 轴相切，可得1122x PF +==，············································2分 化简得24y x =，所以C 的方程为24y x =．···································································4分 （2）由题意可知：直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22222(1)2(2)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩， 所以21222(2)k x x k++=，121x x =，·············································································5分 设直线l 的倾斜角为θ，则tan AM AF θ=⋅，tan BN BF θ=⋅，································6分所以tan tan tan AM BN AF BF AB AB k θθθ+=⋅+⋅=⋅=⋅，······························7分所以2212222(2)4422k k AB AF BF x x k k++=+=++=+=，········································8分 由题意可知四边形为梯形， 所以()222318(1)22AMF BMFAB k k S S S AB AM BN k+=+=⋅+==△△······························9分 4238(21)k k k++=，(10分)设0t k =>，则42338(21)21()8t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 所以422442323()818t t S t t t t ⎛⎫--⎛⎫'=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，当t >，()0S t '>，()S t 单调递增，当0t <<，()0S t '<，()S t 单调递减，所以当t =时，即k =········11分此时k =，故直线的方程为：1)y x =-0y -=0y +-=．·12分 22．【答案】（1）0a ≥；（2）证明见解析． 【解析】（2）令()ln(1)(1)h x x x x =+->-，则1()111xh x x x '=-=-++， 当10x -<<时，()0h x '>，则函数()h x 在()1,0-上单调递增，当0x >时，()0h x '<，则函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，即ln(1)x x +≤，···································································1分 所以当0a ≥时，2ln(1)x x ax x ++≤≤，即()()f x g x ≤，··········································2分当0a <时，取010x a =->，由于0ln(1)ln10x +>=，而2200110ax x a a a ⎛⎫+=⋅--= ⎪⎝⎭，得2000ln(1)x ax x +>+，故00()()f x g x >，不符合题意．····················································3分 综上所述，0a ≥．···································································································4分 （2）证明：当0a =时，由（1）可得ln(1)x x +≤，则ln 1x x -≤，可得11ln 1x x -≤，即1ln 1x x --≤，即1ln 1(1)x x x ->≥，··········································5分令111t x =-，则1t x t =-，所以1ln1t t t -≥，即1ln ln(1)(1)t t t t-->≥，························6分 所以1ln()ln(1)n k n k n k+-+-+≤，(0,1,2,,)k n ∈ ，················································7分 令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g >=，············································8分 则sin (0)x x x <>，··································································································9分所以11sinln()ln(1)n k n k n k n k <+-+-++≤，{0,1,2,,}k n ∈ ，·································10分 所以111sinsin sin 122n n n+++++ [][][]ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)n n n n n n <+-++-+++-- ···································11分 2ln(2)ln ln2nn n n=-==．·······················································································12分。
广东省广州高三综合测试(二)数学(理科)试题(解析版)有答案
广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
(1)已知集合}{11M x x =-<<，{22,N x x =<x ∈Z}，则(A) M N ⊆ (B) N M ⊆ (C){}0M N = (D) MN N =答案：C解析：解一元二次不等式：2x ＜2，得：x <<，又x Z ∈，所以，N ＝{}1,0,1-，所以，{}0MN =。
(2)已知复数z =1i +，其中i 为虚数单位， 则z =(A) 12(B) 1(C) (D) 2答案：B 解析：因为z1i +＝112222i i i -==--，所以，||z = 1(3)已知cos1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是(A) 13(B)3(C) 13-(D) 3-答案：A 解析：5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin ()212ππθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(4)已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ， 且()40.84P X ≤=， 则()24P X <<=(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16 答案：B解析：由于随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()40.84P X ≤=，所以，(4)(2)0.16P X P X ≥=≤=，()24P X <<=1－0.32＝0.68 (5)不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D ， 若(),a b D ∈， 则23z a b =-的最小值是(A) 4- (B) 1- (C) 1 (D) 4 答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC 为所示，当23z a b =-过A(－2，0)时取得最上值为－4(6)使231(2nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 答案：C 解析：2251311()()22kn kk k n k k nn k T C x C x x --+==，令25n k -＝0，得52n k =，所以n 的最小值是5 (7)已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭， 则函数()f x 的单调递减区间是(A)32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (B)52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )(C)3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (D)5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )答案：D 解析：3sin(2)8πϕ⨯+=0，得：4πϕ=，所以，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得()f x 的单调递减区间是5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) (8)已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=， 则球O 的表面积为(A) 169π(B) 163π(C) 649π(D) 643π答案：D解析：由余弦定理，得：BCABC 外接圆半径为r ，2r=，得r ＝2，又22144R R =+，所以，2R ＝163， 表面积为：24R π＝643π(9)已知命题p ：x ∀∈N *，1123xx ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈N *，122x x -+=则下列命题中为真命题的是(A) p q ∧ (B)()p q ⌝∧ (C) ()p q ∧⌝ (D)()()p q ⌝∧⌝答案：C解析：因为n y x =(n 为正整数)是增函数，又1123>所以，x ∀∈N *， 1123x x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，p 正确；122x x -+≥=，当且仅当122x x-=，即1*x N =∉，所以，q 假命题， 所以()p q ∧⌝为真命题。
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广东省广州市高考数学二模试卷理科解析版集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．MN B．NM C．M∩N={0} D．M∪N=N2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C．D．23．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A． B．C．﹣D．﹣4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=，则P（2＜x＜4）=（）A．B．C．D．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b 的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．已知命题p：x∈N*，（）x≥（）x，命题q：x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON||MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f （x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩60 6570 7585 8790x i物理成绩7077 8085 9086 93y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．7683 81252619．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．MN B．NM C．M∩N={0} D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C．D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z====，∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A． B．C．﹣D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=，则P（2＜x＜4）=（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=，∴P（x＞4）=1﹣=∴P（x＜2）=P（x＞4）=，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=﹣=故选B．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b 的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b有最小值为﹣4，故选：A．6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r 的关系值，即可求得n的最小值．【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1=x2n﹣5r，令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．9．已知命题p：x∈N*，（）x≥（）x，命题q：x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x =2，化为：（2x）2﹣22x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣22x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON||MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|===，可得|ON||MN|===．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f （x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称．∴x1+x2=0，x+x4=2，x5+x6=4，∴x1+x2+x+x4+x5+x6=6．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+4 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+3，则f′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1，∵f（1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5），则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4，故答案为：y=x+414．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2， =||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为+=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为： +=1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，∴2b=a+c=4，∴b=2．∵a+c=4，∴a=4﹣c．∴S==∵（3﹣c）（c﹣1）≤=1，∴S≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）3n+1=（2﹣2n）3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩60 6570 7585 8790 x i物理成绩7077 8085 9086 93y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．7683 812526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为．（Ⅱ）（ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P （ξ=3）==，∴ξ的分布列为ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=．（ⅱ）解：∵b=，a==83﹣×75=．∴线性回归方程为=+当x=96时， =×96+=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB平面OMAB，OM平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n，n，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；（Ⅱ）由割线定理：ECEB=EDEA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC，∵BC=CD，∴∠CAB=∠CAD．…1分∵AB是圆O的直径，∴OC=OA．∴∠CAB=∠ACO．…2分∴∠CAD=∠ACO．∴AE∥OC．…3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．…4分∴CF是圆O的切线．…5分（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．…6分由割线定理：ECEB=EDEA，且AE=9．…7分得．…8分在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．∴．…9分在Rt△CFD中，．…10分∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．2016年10月6日。