湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题9

习 题 九1．证明：任何树最多只有一个完美匹配分析：树是连通没有回路的图；树的完美匹配是树存在一个匹配M ，满足树的所有顶点v 都是M-饱和点。

而两个完美匹配中不同的边所关联的顶点的度至少为2，否则如果等于1的话，则该顶点关联的边只有一条，在构造完美匹配的时候为了使得这个点成饱和点，只有一种选择。

证明：设树T 有两个或两个以上的完美匹配，任取完美匹配1M 和2M ，21M M ≠。

于是Φ≠⊕21M M 。

易知边导出子图][21M M T H ⊕=中的每个顶点v 满足2)(≥v d H 。

于是H 中存在回路，从而T 中有回路。

此与T 是树矛盾，故结论成立。

2．证明：树G 有完美匹配当且仅当对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O分析：一方面，由定理9.1.3 图G 存在完美匹配当且仅当对任意S ⊂V(G)，有||)(S S G O ≤-，所以如果树G 有完美匹配，则1|}{|)(=≤-v v G O ；而G 有完美匹配，说明=|)(|G V 偶数，所以1)(≥-v G O ；从而有1)(=-v G O 。

另一方面，如果对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O ，则对v 而言，可利用这个这个奇分支找到v 关联的唯一边，从而构造出G 的一个完美匹配。

证明：必要性 设G 有完美匹配。

由定理9.1.3，取}{v S =，则1||)()(=≤-=-S S G O v G O又 ∵G 有完美匹配，∴=|)(|G V 偶数。

于是|)(|v G V -=奇数。

故 1)(≥-v G O . 从而 1)(=-v G O .充分性 设对任意)(G V v ∈，有1)(=-v G O .即v G -恰有一个奇分支)(0v C ，因G 是树，故v 只能与)(0v C 中的一个顶点邻接。

设v 与)(0v C 的关联边为)()(G E vu v e ∈=。

显然v 确定以后，uv 是唯一确定的，且易知uv u C =)(0。

因为G-v 只有一个奇分支)(0v C ，则G-u 以后，v 应该与G-v 的其他偶分支在一个连通分支中，而这个分支的顶点数显然是奇数，从而构成G-u 的唯一一个奇分支)(0u C ，而u 与这个奇分支中的顶点显然也只有与v 邻接，所以uv u C =)(0。

于是对任意)(G V v ∈，按这样的方法构造其关联边)(v e ，所的的匹配 )}(|)({G V v v e M ∈=就是G 的一个完美匹配3．设1>k 是奇数。

举出没有完美匹配的k -正则简单图的例子。

分析：作G 如下：取2k-1个顶点1221,,,-k v v v ，在奇足标顶点和偶足标顶点间两两连以边外，再连以32527531,,,--k k v v v v v v 边，所得图记为G 0，显然G 0除12-k v 外其余顶点的度均为k ，而12-k v 的度为k-1，取k 个两两不相交的G 0的拷贝和一个新顶点v 0，并把每个G 0拷贝中对应于12-k v 的顶点与v 0相连以边。

最后所得的图记为G ，显然G 是k-正则的简单图。

又由于G 0含2k-1个顶点，则G 的顶点数为：k*(2k-1)+1。

所以如果G 有一个完美匹配M 的话，则 |M|=21)12(*+--k k =212--k k 。

假设M 是G 的一个完美匹配，则其边应来自k 个独立的G 0，和跟v 0相关联的一条边。

而每个G 0，其包含的顶点数为2k-1，所以G 0能提供给M 的边最多为k-1条，k 个这样的G 0能提供给M 的边最多为k*(k-1)，因此M 最多包含的边为k*(k-1)+1=k 2-(k-1)< 212--k k ，因此G 不可能有完美匹配。

解：令k=3，得到的图G 0及G 如下：4．设0>k 为偶数，举出没有完美匹配的k -正则简单图的例子.分析：当k 为偶数时，取G=K k+1，则G 的顶点数为k+1，显然G 的顶点数为奇数，所以G 无完美匹配。

解：令k=2时，可构造出无完美匹配的2-正则图3K 。

5．两人在图G 上进行对奕双方分别执黑子和白子，轮流向G 的不同顶点 ,,,210v v v 下子，要求当i >0时，1-i i v v 与邻接，并规定最后可下子的一方获胜。

若规定执黑子者先下子，试证明执黑子的一方有取胜的策略当且仅当G 无完美匹配。

分析：假设G 有完美匹配，则G 的每个顶点都是M-饱和点，这样先下者无论取哪个顶点，后下者都可取其相邻的M-饱和点，这样先下的人必输；因此先下的人如要赢的话，G 中肯定无完美匹配。

反过来，如果G 中无完美匹配，由于任何图都有最大匹配，则可找到G 的一个最大匹配M ，由于M 不是完美匹配，因此G 中存在M-非饱和点v ，先下的黑方就可找到这个点下，则与v 相邻的下一个点必是M-饱和点，不然，M ∪{uv}就是一个更大的匹配，与M 是最大匹配矛盾。

同理G 中不存在M 可增广路，故黑方所选i v 必是M 饱和点，如此下去，最后必是白方无子可下，故黑方必胜。

证明：必要性（反证法） 若G 中存在一个完美匹配M ，则G 中任何点v 都是M 饱和点。

故不论执黑子（先下者）一方如何取1-i v ，白方总可以取M 中和1-i v 关联边的另一端点作为i v ，于是，黑方必输。

充分性. 设G 中不存在完美匹配，令M 是G 的最大匹配，而0v 是非M 饱和点。

于是，黑方可先取0v 点，白方所选1v 必是M 饱和点（因M 是最大的匹配）由M 的最大性可知G 中不存在M 可增广路，故黑方所选i v 必是M 饱和点，如此下去，最后必是白方无子可下，故黑方必胜。

6．证明：二分图G 有完美匹配当且仅当对任何)(G v S ⊆，有)(||S N S G ≤ 成立举例说明若G 不是二分图，则上述条件未必充分。

分析：由定理9.1.2Hall 定理，对于具有二划分（X,Y ）的二分图，G 有饱和X 中每个顶点的匹配当且仅当对任意的X S ⊆,有)(||S N S G ≤，显然如果G 有完美匹配M 的话，则M 既饱和X ，也饱和Y 。

但当G 不是二分图时，这个结论不一定成立，如K 2n+1对任意的)(G V S ⊆满足|)(|||S N S G ≤，但它无完美匹配。

证明：必要性. 设G 有完美匹配M ，则M 饱和X 及Y ，由Hall 定理和对任何X S ⊆或Y S ⊆，有|)(|||S N S G ≤今任取)(G V S ⊆，有Y S X S S S S ⊆⊆⋃=2121,,于是有|)(||)(|||||||||212121S N S N S S S S S G G +≤+=⋃=|)(||)(|21S N S S N G G =⋃=充分性：设对任何)(G V S ⊆，有|)(|||S N S G ≤.即任取X S ⊆，有|)(||S N S G ≤，于是由Hall 定理，存在饱和X 的匹配)(X M ，同理，存在饱和Y 的匹配)(Y M ，从而||||Y X =，易知)(X M 和)(Y M 都是完美匹配。

当G 不是二分图时，条件不充分，如3K G =。

7．n 2个学生做化学实验，每两个人一组，如果每对学生只在一起互作一次实验，试作出一个安排，使任意两个学生都在一起做过实验。

分析：该题可转化为对具有2n 个顶点（可分别记为0，1，2，…，2n-1）的完全图构造其不同的2n-1个完美匹配，使得（0，1）（0，2）…（0，2n-1），（1，2）（1，3），…，（1，2n-1）…， （2n-2,2n-1）在这2n-1个匹配中出现且仅出现一次。

解： 共安排2n-1次实验，可使任意两个学生都在一起做过实验。

安排如下：第1次：(0, 1), (2, 2n-1), (3, 2n-2), …… , (x, y)。

其中， x+y=2n+1;第2次：(0, 2), (3, 1), (4, 2n-1), ……, (x, y) 。

其中， x+y=2n+3;………第2n-1次：(0, 2n-1), (1, 2n-2), (2, 2n-3), ……, (x, y) 。

其中， x+y=2n-1;8．试证明：任何一个（0,1）矩阵中，包含元素1的行或列的最小数目，等于位于不同行不同列的1的最大数目。

分析：由定理9.2.2，对二分图G ，均成立)()(G G βα='（其中)(G α'为G 的最大匹配数，)(G β为G 的点覆盖数）。

将给定的（0，1）矩阵表示成一个二分图),,(21E V V G},,{11n u u V =，},,{12n v v V =.其中1),(=j i M 当且仅当)(),(G E v u j i ∈该题转化为了判断G 的)(G β和)(G α'的关系。

证明： 设n m M ⨯是一个（0,1）矩阵.将n m M ⨯表示成一个二分图),,(21E V V G ，},,{11n u u V =，},,{12n v v V =.其中1),(=j i M 当且仅当)(),(G E v u j i ∈于是，G 的（最小）点覆盖数)(G β等于含n m M ⨯中元素1的行（第i 行元素1的数目表示顶点i u 覆盖的边之数目）或列（第j 列元素1的数目表示顶点j v 覆盖的边数目）的数目。

而G 的最大匹配数)(G α'等于n m M ⨯中位于不同行不同列的1的最大数目.由定理9.2.2知，若G 为二分图，则)()(G G βα='。

故结论成立.9．能否用5个21⨯的长方表将图9-13中的10个11⨯正方形完全遮盖住？图9-13 分析：按如下方法作出G '图：在图9-13的每个正方形格子中放一个顶点，u 与v 邻接当且仅当u 与v 所在的方格有公共边。

则该问题等价于判断相应图G '是否有完美匹配，解：按照分析，构造图G '如下：则有|}{|13}){(u u G O =>=-，由定理9.1.3可判断它没有完美匹配。

因此不能用5个21⨯的长方表将图9-13中的10个11⨯正方形完全遮盖住。

10．试证明：G 是二分图当且仅当对G 的每个子图H 均有|)(|21)(H V H ≥α。

分析：若G=（X ，Y ）是二分图，显然X 和Y 都构成G 的点独立集，所以G 的最大独立数||)(X G ≥α， 且||)(Y G ≥α；而二分图的每个子图显然也是二分图。

证明：必要性.设G 是二分图，于是G 的任何子图H 也是二分图，设),(Y X H =，|)(|||||H V Y X =+。

不妨设||||Y X ≥。

显然 ||)(X H ≥α， 因此，|)(|||||2)(2H V Y X X H =+≥≥α。

于是，|)(|21)(H V H ≥α。