高等数学求导公式
I.基本函数的导数 01.()0C '=;
02.()1x x μμμ-'=;
03.()sin cos x x '=; 04.()cos sin x x '=-;
05.
()2tan sec x x '=; 06.()2
cot csc x x '=-;
07.()sec sec tan x x x '=; 08.()csc csc cot x x x '=-;
09.()
ln x x a a a '=; 10.()x
x e e '=;
11.()1
log ln a
x x a
'=; 12.()1ln x x
'
=;
13.
(
)1
arcsin x '=
;
14.(
)arccos x '
=-; 15.()2
1
arctan 1x x '
=
+; 16.
()2
1
arc cot 1x x '=-+。
II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±; 02.()Cu Cu ''=; 03.()uv u v uv '''=+; 04.2(0)u u v uv v v v '''
-??=≠ ???
。
III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==,则
dy dy du
dx du dx
= 或 ()()()y x f u x ?'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小
0lim sin x x x → 0lim tan x x x → ()2
01lim 1cos 2
x x x →-
()0
lim 1x x e x →- ()0lim ln 1x x x →+
01
1x x n
→- ● 两个重要极限: 0
sin lim 1x x x →= 1lim 1x
x e x →∞??
+= ???
● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=,则 ()
()
lim g x B f x A =
● 罗尔定理:()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()f a f b =,则存在一(),a b ξ∈,使()0f ξ'=。
● 拉格朗日中值定理:若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则存在一
(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
● 柯西中值定理:若()f x 、()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()0
F x '≠则存在一(),a b ξ∈,使得0x x δ-<,则()()()()()
()
f b f a f F b F a F ξξ'-=
'-。 ● 罗必达法则:若(1)()()()()
lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或,(2)()f x '及()F x '在00x x δ<-<(或x X >)处存在,且()0F x '≠,(3)()
()
lim
()
x a f x F x →∞''或存在(或∞),则()()
()()lim lim ()()
x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式:
()()()()()()()()()()200000001!2!!
n
n
n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+
其中:()()()()()11
01!
n n n f R x x x n ξ++=-+ ,()0,x x ξ∈。
● 马克劳林公式: ()()()()()()()200001!2!!
n
n
n f f f f x f x x x R x n '''=+++++
其中:()()()()11
1!
n n n f R x x n ξ++=
+,()0,x ξ∈。 1.
()()231
1 012!3!!1!
n x x
n x x x e e x x n n θθ+=++++++<<+ ()x -∞<<∞ 2. ()()357211
sin 13!5!7!21!
m m x x x x x x m --=-+-++-+- ()x -∞<<∞ 3. ()()()2462cos 11 2!4!6!2!
n
n x x x x
x x n =-+-++-+-∞<<∞ 4.
()2311 111n
x x x x x x =++++++-<<- 5. ()()24
22
111 111n n x x x x x
=-+-+-+-<<+ 6. ()()2341
ln 112341
n n x x x x
x x n ++=-+-++-++ ()11x -<≤ ● 驻点:导数为零的点
拐点:()()121222f x f x x x f ++??>
???
,则称()f x 在[],a b 上是凸的, ()()121222f x f x x x f ++??<
???
,则称()f x 在[],a b 上是凹的, 若曲线在0x 两旁改变凹凸性,则称()()00,x f x 为曲线的拐点。
● 凹凸性判断(充分条件):设()f x ''存在,若a x b <<时()0f x ''<,则曲线是为凸的,若a x b <<时()0f x ''>,则曲线是为凹的。
设曲线方程()y f x =,()f x 具有二阶导数,则函数()y f x =在(),x y 的曲率K 为:()
2/3
21y K y ''
=
'+(工程中,若1y '<<时,K y ''=)。
基本积分公式:
kdx kx C =+? 11x x dx C μμ
μ+=++? 1ln dx x C x =+?
21
arctan 1dx x C x =++?
1arcsin x C =+?
cos sin xdx x C =+? sin cos xdx x C =-+?;
221sec tan cos dx xdx x C x ==+??2
21csc cot sin dx xdx x C x ==-+??
sec tan sec x xdx x C =+? csc cot csc x x x C =-+?
x x
e dx e C =+? ln x
x a a dx C a
=+? shxdx chx C =+? chxdx shx C =+?
*tan ln cos dx x C =-+? *cot ln sin xdx x C =-+?
*sec ln sec tan xdx x x C =++? *csc ln csc cot xdx x x C =-+?
*22
11arctan x
dx C x a a a
=++? *2211ln 2x a dx C x a a x a -=+-+?
*arcsin
dx x C a =+?
*(ln dx x C =++?
*ln dx
x C =++?
基本积分方法
1换元法:(1)设()f u 具有原函数()F u ,而()u x ?=可导,则有:
()()()()f x x dx f u du F x C ???'==+?
?????????; (2)设()x t ?=在区间[],αβ上单调可导,且()0t ?'≠,又设()()f x x ??'????具
有原函数()F t ,则有:()()()()1
f x dx f t t dt F t C ???-'??==+????????。
2分布积分法: udv uv vdu =-?? 3.有理函数积分:①()
n
A
dx x a -?
②()
2
n
Mx N
dx x
Px q +++?
4.万能代换(三角函数的有理式的积分):设tan 2
x
u =,则2
2
1dx du u =
+, 22sin 1u x u =+,2
2
1cos 1u x u -=+。
●
()()2222
1
1231216
n n n n ++++=++ 。 ● 定积分中值定理:
()()()() b
a
f x dx f b a a b ξξ=-≤≤?。
● 定理:如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限的函数
()()x
a x f t dt Φ=?在[],a
b 上具有导数,并且它的导数是
()()()() x
a d x f t dt f x a x
b dx
'Φ=
=≤≤? ● 定积分换元公式: ()(), a b ?α?β==,
()()()b a
f x dx f t t dt β
α
??'=??????。
●
()()2
20
sin cos f x dx f x dx π
π
=??
()()0
sin sin 2
xf x dx f x dx π
π
π
=
?
? ● 定积分的分步积分: []b
b
b
a a
a
udv uv vdu =-?
?
()()201331 , 2422
sin 1342 , 253
n n n n n n n I xdx n n n n n ππ
--???-==?--??-?? 为正偶数为大于1的奇数
● 弧长计算公式:①
b
a
s =
?
;
②()()() t x t y t ?αβφ=??≤≤?=??
,
s β
α=?; ③()()()cos sin x r y r θθαθβθθ=??≤≤?=??
,
s β
αθ=?。
向量代数
● 定比分点公式:121212
, , 111x x y y z z x y z λλλλλλ
+++===+++。
● 数量积: cos a b a b θ=
, x x y y z z a b a b a b a b =++ 。
cos a b a b a b a b
a b θ++==
。 ● 向量积:
x
y z x
y
z
i j k a b a a a b b b ?= 。
● 平面
平面的一般方程:0Ax By Cz D +++=(向量{},,n A B C =
为平面法向
量)。
平面点法式方程:()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=。
平面的截距式方程:1x y z
a b c
++=(,,a b c 为平面在三个坐标轴上的截
距)。
两个平面的夹角:两个平面方程为:1π平面:1110A x B y C z D +++=,
2π平面:2220A x B y C z D +++=,则两平面的夹角?的余弦为:
cos ?=
两平面平行的条件:
1111
2222
A B C D A B C D ==≠
。 两平面垂直的条件: 1212120A A B B C C ++=。
点到平面的距离:平面:0Ax By Cz D +++=,平面外一点:()111,,M x y z ,则点M
到平面的距离:d =
● 空间直线
两个平面的交线:111222
0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?。
点向式方程:直线上的一点()0000,,M x y z ,直线的一个向量{},,S m n p =
,
则直线方程为:000x x y y z z m n p ---==,参数方程为:000x x mt
y y nt z z pt
=+??
=+??=+?
两直线的夹角:010*******:
x x y y z z L m n p ---==,020202
2222
:x x y y z z L m n p ---==
,则
两直线的夹角余弦为:cos ?=
两直线平行:
111
222
m n p m n p ==, 两直线垂直:1212120m m n n p p ++=, 两直线共面(平行或相交):
两直线:010*******
020202
2
222
::x x y y z z L m n p
x x y y z z L m n p ---?==???
---?==??,共面的条件:21212111
122
2
0x x y y z z m n p m n p ---=。
直线与平面的夹角
平面: :0Ax By Cz D π+++=,直线:000
:x x y y z z L m n p ---==
①
若直线与平面相交,夹角:sin ?=
;
②若直线与平面平行:0Am Bn Cp ++=; ③若直线与平面垂直:A B C
m n p
==。
● 多元函数微积分
1.方向导数:
sin f f f
cos l x y
?????=+??? (?为x 轴到方向l 的转角) 2.梯度: () ,,f f f grad f x y z i j k x y z
???=
++??? 3.二元函数的极值:(),z f x y =,()00,0x f x y =,()00,0y f x y =。令()00,xx f x y A =,
()00,xy f x y B =,()00,yy f x y C =。①当20AC B ->时具有极值,且当0A <时具有
极大值,当0A >具有极小值;②当20AC B -<时没有极值;③当20AC B -=时可能有极值,也可能没有极值,还需令作讨论。
3.二重积分的计算()()()()
()()()
2211,,,b
x d
y a x c y D
f x y d dx f x y dy dy f x y dx ?φ?φσ==??????
()(),cos ,sin D
D
f x y d f r r rdrd σθθθ=????
()()()()()()
()2121cos ,sin cos ,sin cos ,sin D
f r r rdrd f r r rdr d d f r r rdr
β
?θα
?θβ
?θα
?θθθθθθθθθθ??=????
=??????
4.曲面的面积计算:
D D A σ==????
平面薄片的重心: ()()()(),,, ,,D D
D
D
x x y d y x y d M
M
x y M M x y d x y d ρσ
ρσ
ρσ
ρσ==
==
????????
平面薄片的转动惯量: ()()22
,, ,x y D
D
I y x y d I x x y d ρσρσ==????
5.三重积分的计算:
()()
()()()
()
2211,,,,,,b
y x z x y a
y x z x y D
f x y z dv dx dy f x y z dz =????
?
?
曲线积分和曲面积分 1.对弧长的曲线积分: ()
()() x t t y t ?αβφ=??≤≤?
=??
()()()
,,L
f x y ds f t t β
α
?φ=?????
? ()()()()
,,,,f x y z ds f t t t β
α
?φωΓ
=???
? 2.对坐标的曲线积分: ()(), x t y t ?φ==
()()()()()()()(){}2
2
,,,,L
P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt β
α
?φ??φφ''+=+?????????
?
3.对曲面的积分:
()()
,,,,,xy
D f x y z dS f x y z x y ∑
=????
?? 4.对坐标的曲面积分:
● 无穷级数
收敛级数的基本性质:
1.如果级数1n n u ∞
=∑收敛于和s ,则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数
1
n
n ku
∞
=∑也收敛,且其和为ks 。
2.如果级数s 、1
n n v ∞
=∑分别收敛于和s 、σ,则级数()1
n n n u v ∞
=±∑也收敛,且其和
为s σ±。
3.在级数中去掉、加上或者改变有限项,不会改变级数的收敛性。
4.如果级数1n n u ∞
=∑收敛,则对这级数的项任意加括号所成的级数
()()()
1
1221
1
1k n n n n n u u u
u u u ++++++++++++ 仍收敛,且其和不变。
5.(级数收敛的必要条件)如果级数1
n n u ∞
=∑收敛,则它的一般项趋于零,即
lim 0n n u →∞
=。
常数项级数的审敛法:
定理1.正项级数1n n u ∞
=∑收敛的充分必要条件是:它的部分和数列{}n s 有界。
定理2(比较审敛法).设1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑都是正项级数,且()1,2,n n u v n ≤= 。
若级数1
n n v ∞=∑收敛,则级数1
n n u ∞=∑收敛;反之,若级数1
n n u ∞=∑发散,则级数1
n n v ∞
=∑发
散。
推论1.设1
n n u ∞
=∑和1
n n v ∞
=∑都是正项级数,如果级数1
n n v ∞
=∑收敛,且存在自然数N ,
使当n N ≥时有()0n n u kv k ≤>成立,则级数1n n u ∞=∑收敛;如果级数1
n n u ∞
=∑发散,
且当n N ≥时有()0n n u kv k ≥>成立,则级数1
n n v ∞
=∑发散。
推论2. 设1n n u ∞
=∑为正项级数,如果有1p >,使()1
1,2,n p u n n ≤= ,则级数1n
n u ∞
=∑收敛;如果()1
1,2,n u n n ≥= ,则级数1
n n u ∞
=∑发散。
定理3(比较审敛法的极限形式). 设1
n n u ∞
=∑和1
n n v ∞
=∑都是正项级数,如果
()lim 0n
n n
u l l v →∞=<<+∞,则级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞
=∑同时收敛或同时发散。 定理4(比值审敛法,达朗贝尔(D’Alembert )判别法).若正项级数1
n n u ∞
=∑的
后项于前项之比值的极限等于ρ:1
lim n n n
u u ρ+→∞=,则当1ρ<时级数收敛;1ρ>(或
1
lim
n n n
u u +→∞=∞)时级数发散;1ρ=时级数可能收敛也可能发散。
定理5(根值审敛法,柯西判别法). 设1
n n u ∞
=∑为正项级数,如果它的一般
项n u 的n 次根的极限等于ρ
:n ρ=,则当1ρ<时级数收敛;1ρ>
(或n =∞)时级数发散;1ρ=时级数可能收敛也可能发散。
定理6(莱布尼茨定理).如果交错级数()1
1
1n n n u ∞
-=-∑满足条件:(1)
()1 1,2,3n n u u n +≥= ,
(2)lim 0n n u →∞
=,则级数收敛,且其和1s u ≤,其余项n r 的绝对值1n n r u +≤。
定理7.如果级数1
n n u ∞
=∑绝对收敛,则级数1
n n u ∞
=∑必定收敛。
幂级数
定理1(阿贝尔(Abel )定理).如果级数1n n ax ∞
=∑当()000x x x =≠时收敛,则
适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛;反之,如果级数1
n n ax ∞
=∑当
0x x =时发散,则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散。
推论:如果幂级数1
n n ax ∞
=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收
敛,则必有一个完全确定的正数R 存在,使得:当x R <时,幂级数绝对收敛;当x R >时,幂级数发散;当x R =与x R =-时,幂级数可能收敛也可能发散。
定理2.如果1
lim n n n
a a ρ+→∞=,其中1n a +、n a 是幂级数1n n ax ∞
=∑的相邻两项的系数,
则这幂级数的收敛半径()()()1 0 00 R ρρ
ρρ?≠??=+∞=??=+∞??
性质1. 设幂级数1
n n ax ∞
=∑的收敛半径()0R R >,则其和函数()s x 在区间()
,R R -内连续。如果幂级数在x R =(或x R =-)也收敛,则和函数()s x 在(],R R -(或
[),R R -)连续。
性质2.设幂级数1n n ax ∞
=∑的收敛半径()0R R >,则其和函数()s x 在区间(),R R -内
是可导的,且有逐项求导公式()()111
1n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞
-==='??''=== ???∑∑∑,其中
x R <,逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质3.设幂级数1
n n ax ∞
=∑的收敛半径()0R R >,则其和函数()s x 在区间(),R R -内
是可积的,且有逐项积分公式()100
01111x x
x n n
n n n n
n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===??===??+??
∑∑∑???,其中x R <,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 ● 欧拉公式:
cos sin ix
e x i x =+
● 傅立叶级数
()cos 0 n=1,2,3,nxdx ππ-
=? ()sin 0 n=1,2,3,nxdx π
π-
=?
()sin cos 0 n=1,2,3,kx nxdx π
π-
=?
()sin sin 0 n=1,2,3,,kx nxdx k n π
π-
=≠?
()cos cos 0 n=1,2,3,,kx nxdx k n π
π-
=≠?
函数展开成傅里叶级数 (()f x 是周期为2π的周期函数)
()()01
cos sin 2k k k a f x a kx b kx ∞
==++∑
其中:()()()()()011cos n=0,1,2,1sin n=1,2,3,n n a f x dx a f x nxdx b f x nxdx ππππππππ
π---?
=??
?
=???
=??
??? 定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet )充分条件):设()f x 是周期为2π的周期函数,如果它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则()f x 的傅里叶级数收敛,并且:
当x 是()f x 的连续点时,级数收敛于()f x ;
当x 是()f x 的间断点时,级数收敛于()()1
002f x f x -++????。 定理. 设()f x 是周期为2π的函数,在一个周期上可积,则 (1)当()f x 为奇函数时,它的傅里叶系数为:
()
()()00 n=0,1,2,3,2sin n=1,2,3,n n
a b f x nxdx ππ=???=??
?
(2)当()f x 为偶函数时,它的傅里叶系数为:
()()()02cos n=0,1,2,3,0 n=1,2,3,n n a f x nxdx b ππ?
=???=?
? 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数
定理:设周期为2l 的周期函数()f x 满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级
数展开式为:()()01
cos sin 2k k k a f x a kx b kx ∞
==++∑
其中系数,n n a b 为:()()()()1cos n=0,1,2,1sin n=1,2,3,l n l l n l n x a f x dx l l
n x b f x dx l l ππ--?=????=????
当()f x 为奇函数时,()1
sin n n n x f x b l π∞
=?
?= ???∑
其中系数n b 为:()()02sin n=1,2,3,l n n x
b f x dx l l
π=? 当()f x 为偶函数时,()01cos 2n n a n x f x a l π∞=??
=+ ???
∑
其中系数n a 为:()()02cos n=0,1,2,l n n x
a f x dx l l π=?
● 微分方程:
齐次方程: dy y dx x ???= ???
()()()y dy du u y ux u x x dx dx dy du dx u y du u u x u dx x d u x x ????=
→=→=+??
==→+=→ ???
=-
高等数学常用导数和积分公式
高等数学常用导数和积分公式 导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分: (一)含有的积分() 1.= 2.=() 3.= 4.= 5.= 6.= 7.= 8.= 9.= (二)含有的积分10.=11.=12.=13.=14.=15.=16.=17.=18.= (三)含有的积分19.=20.=21.= (四)含有的积分22.=23.=24.=25.=26.=27.=28.= (五)含有的积分29.=30.= (六)含有的积分31.==32.=33.=34.=35.=36.=37.=38.=39.=40.=41.=42.=43.=44.= (七)含有的积分45.==46.=47.=48.=49.=50.=51.=52.=53.=54.=55.=56.=57.=58.=
(八)含有的积分59.=60.=61.=62.=63.=64.=65.=66.=67.=68.=69.=70.=71.=72.=(九)含有的积分73.=74.=75.=76.=77.=78.=()含有或的积分79.=80.=81.=82.=(一)含有三角函数的积分83.=84.=85.=86.=87.==88.==89.=90.=91.=92.=93.=94.=95.=96.=97.=98.=99.==100.=101.=102.=103.=104.=105.=106.=107.=108.=109.=110.=111.=112.=(二)含有反三角函数的积分(其中)113.=114.=115.=116.=117.=118.=119.=120.=121. =(三)含有指数函数的积分122.=123.=124.=125.=126.=127.=128.=129.=130.=131.=(四)含有对数函数的积分132.=133.=134.=135.=136.=(五)含有双曲函数的积分137.=138.=139.=140.=141.=(六)定积分142.==0143.=0144.=145.=146.==147. ===(为大于1的正奇 数),=1 (为正偶数),=
高等数学公式导数基本公式
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式总结(绝对完整版).
高等数学公式大全 导数公式: 基本积分表: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式: 二 基本积分表: 三 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
声明:第一次弄这些,花了本人好些时间,o(∩_∩)o ,版权所有,严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=
等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=
高等数学重要公式(必记)
高等数学重要公式(必记) 一、导数公式: 二、基本积分表: 三、三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
高等数学中的求导公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =, )(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则 设 ) (u f y= ,而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导,则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' =
高等数学求导公式
I.基本函数的导数 01.()0C '=; 02.()1x x μμμ-'=; 03.()sin cos x x '=; 04.()cos sin x x '=-; 05. ()2tan sec x x '=; 06.()2 cot csc x x '=-; 07.()sec sec tan x x x '=; 08.()csc csc cot x x x '=-; 09.() ln x x a a a '=; 10.()x x e e '=; 11.()1 log ln a x x a '=; 12.()1ln x x ' =; 13. ( )1 arcsin x '=; 14.( )arccos x ' =-; 15.()21 arctan 1x x '= +; 16.()2 1 arccot 1x x '=- +。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±; 02.()Cu Cu ''=; 03.()uv u v uv '''=+; 04.2 (0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==,则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小 limsin x x x → 0 lim tan x x x → () 20 1lim 1cos 2x x x →- () lim 1x x e x →- () limln 1x x x → + 0 11 x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=,则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理:()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()f a f b =,则存在一(),a b ξ∈,使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理:若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则存在一 (),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理:若()f x 、()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈,使得0x x δ-<,则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则:若(1)()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或,(2)()f x '及()F x '在00x x δ<-<(或x X >)处存在,且()0F x '≠,(3)() () lim () x a f x F x →∞''或存在(或∞),则()() () ()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式: ()()()()()()()()()()2 00000001!2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+ +-+ 其中:()( ) ()()() 1101! n n n f R x x x n ξ++= -+ , ()0,x x ξ∈。
最全高等数学导数和积分公式汇总表
高等数学导数及积分公式汇总表 一、导数公式 1.幂函数 0='c 1)(-='n n nu u 2.指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3.对数函数 a u a u ln 1 )(log =' u u 1)(ln = ' 4.三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan =' u u 2csc )(cot -=' u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -=' 5.反三角函数 2 11)(arcsin u u -= ' 2 11)(arccos u u -- =' 11)(arctan u u +=' 11)cot (u u arc +-=' 6.其他 1='u 2 11)(u u -=' u u 21)(= ' 2 3 21 1 )( u u - =' 2 2 )(22a u u a u ±= '± 二、积分公式 1.幂函数 C du =?0 C u du u n n n += ++?11 1 2.指数函数 C e du e u u +=? C du a a a u u += ?ln 3.有关对数 C u du +=? ln 4.三角函数 C u udu +-=?cos sin C u udu +=?sin cos C u udu +=?tan sec 2 C u udu +-=?cot csc 2 C u udu u +=?sec tan sec C u udu u +-=?csc cot csc C u udu +-=?cos ln tan C u udu +=?sin ln cot C u u udu ++=?tan sec ln sec C u u udu +-=?cot csc ln csc 5.反三角函数 C a u u a u du +±+=? ±22ln 2 2 C a u u a du +=?-arcsin 2 2 C u a u a a u a du += -+-?ln 212 2 C a u a u a du +=? +arctan 12 2 6.其他 C u u du +-=? 12 C u du u +=? 23 3 2 C u du u +=? 2 1 21 C u u udu +-=? -222 2 C u u udu ++=? +2 2111ln 2
高等数学积分导数公式
高等数学 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 2 2 2 122 11cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+= , , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 2 2 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-= '? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0π π
高数公式大全
高等数学公式汇总 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式: sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1 cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ αβ αβαβαβαββα αβαβαβαβαβαβ ±=±±=±±= ??±= ±±=±±=±m m m 和差角公式: sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式: 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()]21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式: 2222222 222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα αααααααα ==-=-=-= --= ==+= =-=+ 倍角公式:22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1 sin 2 cos 2 1cos sin tan 2 sin 1cos 1cos sin cot 2 sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα ααααα αα +=+=+=-===-===++=== -半角公式:
高等数学中的求导公式
高等数学中的求导公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = ', (13) 2 11 )(arcsin x x -= ' (14) 2 11 )(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为
高等数学中的求导公式新编
高等数学中的求导公式 新编 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = ', (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211 )(arccos x x -- =' (15) 21 (arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则 设 )(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为
高等数学求导公式打印版
I.基本函数的导数 01.()0C '=; 02.()1x x μμμ-'=; 03.()sin cos x x '=; 04.()cos sin x x '=-; 05. ()2tan sec x x '=; 06.()2 cot csc x x '=-; 07.()sec sec tan x x x '=; 08.()csc csc cot x x x '=-; 09.() ln x x a a a '=; 10.()x x e e '=; 11.()1 log ln a x x a '=; 12.()1ln x x ' =; 13. ( )1 arcsin x '=; 14.( )arccos x ' =; 15.()21 arctan 1x x '= +; 16.()2 1 arccot 1x x '=- +。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±; 02.()Cu Cu ''=; 03.()uv u v uv '''=+; 04.2 (0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==,则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小 0limsin x x x →: 0lim tan x x x →: ()2 01lim 1cos 2x x x →-: ()0lim 1x x e x →-: ()0limln 1x x x →+: 01 1x x n →-: ● 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=,则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理:()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()f a f b =,则存在一 (),a b ξ∈,使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理:若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则存在一(),a b ξ∈,使得 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理:若()f x 、()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()0F x '≠则存在一 (),a b ξ∈,使得0x x δ-<,则 ()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-='-。 ● 罗必达法则:若(1)()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或,(2)()f x '及()F x '在00x x δ<-<(或x X >)处存在,且()0F x '≠,(3)() () lim () x a f x F x →∞''或存在(或∞),则()() () ()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式: ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L 其中:()()() ()()11 01! n n n f R x x x n ξ++= -+ ,()0,x x ξ∈。 ● 马克劳林公式: ()()()()()()()200001!2!! n n n f f f f x f x x x R x n '''=+++++L
高等数学公式大全(免费下载)
本人费了好大的力才弄到,谢谢收藏 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式大全 史上最全的高等数学公式
高等数学公式大全 微分方程的相关概念: 即得齐次方程通解。 , 代替分离变量,积分后将,,,则设的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方称为隐式通解。 得:的形式,解法: 为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程:u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0 ),(),(),(???一阶线性微分方程: ) 1,0()()(2))((0)(,0)() ()(1)()()(≠=+? +?=≠? ===+?--n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程: 全微分方程: 通解。 应该是该全微分方程的,,其中:分方程,即: 中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程: 时为非齐次 时为齐次,0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d
高数导数公式
【导数】 一、 导数的定义 设函数)(x f y = 在点 x 0的某个邻域内有定义,当x 在x 0处取得 增量x ?(点x 0+x ?仍在该邻域内)时,相应的函数y 取得增量())(00x f x x f y -?+=?,如果当0→?x 时,增加量y ?与 x ?之比的极限 x y x ??→?lim 0=x x f x x f x ?-?+→?)()(000lim =0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→ 存在,则称此极限值为函数)(x f y =在点 x 0处的导数,并称函 数)(x f 在x 0处可导, 记作: x x f x x f x f x ?-?+= '→?) ()()(000 0lim 如果x y x ??→?lim 0 不存在,则称函数)(x f 在x 0处不可导 二、 左右导数 1) 左导数 若当-→?0x 时,x y ??的极限存在,则称此极限值为函数) (x f 在x 0处的左导数, 即:()0x f -'=x y x ??-→?lim 0=()() x x f x x f x ?-?+- →?000 lim 2) 右导数 若当+→?0x 时,x y ??的极限存在,则称此极限值为函数) (x f 在x 0处的右导数,
即:()0x f +'=x y x ??+→?lim 0=()() x x f x x f x ?-?++ →?000 lim 定理1:函数)(x f 在x 0处的可导的充要条件是,)(x f 在x 0处左右导数均存在,且()0x f -'=() 0x f +' 三、 可导与连续的关系 若)(x f y = 在 x 0处可导,则在x 0处必定连续,可导?连续,反 之不对。 四、 求导公式 1) 基本初等函数的导数公式 ① 0='C (C 为常数) ② ()1-=' n n nx x (n 为任意常数) ③ () a a a x x ln =' (a >0,a ≠1)特别的:()x x e e =' ④ ()a x e x x a a ln 1 log 1log ==' (a >0,a ≠1) 特别的:()x x 1 ln =' ⑤ () x x cos sin =' ⑥ () x x sin cos -='
常用微积分公式大全
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.
分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式. 解: (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解: (为任意常数) 例5 求不定积分. 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:
高等数学中的求导公式
高等数学中的求导公式 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = ', (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211 )(arccos x x -- =' (15) 21 (arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设 )(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''=
高数公式汇总
高数公式汇总 经管学生会内部资料 高等数学公式 导数公式: (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 ( ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (cscx) cscx ctgx (arctgx ) 1 ( a x ) a x ln a 1 x 2 1 (arcctgx ) 1 (log a x) 1 x 2 x ln a 基本积分表: tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2 2 a x dx x 2 a 2 dx 2 2 a x dx 2 2 a x ln cosx C ln sin x C ln secx tgx C ln cscx ctgx C 1 x arctg C a a 1 x a ln x C 2a a 1 a x ln a C 2a x x arcsin C dx sec 2 xdx tgx C cos 2 x dx 2 sin 2 x csc xdx ctgx C secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx a 2 ln( x x 2 a 2 ) C x 2 2 sin n xdx 2 cos n xdx n 1 I n I n 2 0 0 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 x C a 2 2 arcsin a 三角函数的有理式积分: sin x 2u , cos x 1 u 2 , u tg x , dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2