第06讲 函数的单调性与最值课件2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测
[解析] (1)设1<x1<x2，∴x1x2>1．
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴f(x1)－f(x2)＝x1－xa1＋a2－x2－xa2＋a2 ＝(x1－x2)1＋x1ax2<0． ∵x1－x2<0，∴1＋x1ax2>0，即a>－x1x2． ∵1<x1<x2，x1x2>1，∴－x1x2<－1，∴a≥－1．
一轮总复习
【题型小结】 确定函数单调性的 4 种方法
(1)定义法．利用定义判断． (2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的 子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连 接． (4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先 确定简单函数的单调性．
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
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(2)由题意知， 3（aa>－30a，1－<10），×1＋4a≥－a，解得aaa<≥>01318，，， 所以a∈18，13．
[答案] (1)[－1，＋∞) (2)18，13
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[题型小结] 1.比较函数值的大小时，应先将自变量转化到同一个单调区间内，再利用函数的单
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题型3：函数的值域（最值） 【例 6】 (1)函数 f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
x2，x≤1， (2)已知函数 f(x)＝x＋6x－6，x>1，则 f(x)的最小值是________．
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【解析】 (1)由于 y＝13x在 R 上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所 以 f(x)在[－1，1]上单调递减，故 f(x)在[－1，1]上的最大值为 f(－1)＝3. (2)当 x≤1 时，f(x)min＝0，当 x>1 时，f(x)min＝2 6－6，当且仅当 x＝ 6时取到最小值， 又 2 6－6<0，所以 f(x)min＝2 6－6. 【答案】 (1)3 (2)2 6－6
高三 数学 一轮总复习
【新高考·新课标】
第6讲
函数的单调性与最值
一轮总复习
目录
题型1 确定函数的单调性 （单调区间）
题型2 函数单调性的应用 题型3 函数的值域（最值）
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题型1： 确定函数的单调性（单调区间）
【例 1】(1)函数 f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是
A.32，＋∞
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[例 5] (1)(2019·南京调研)已知函数 f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数， 则实数 a 的取值范围是________．
(2)若 f(x)＝（ －3aax－ ，1x） ≥x1＋4a，x<1，是定义在 R 上的减函数，则 a 的取值 范围为________．
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[解析] 由 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，可得 f－12＝f52． 由 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，知 f(x)在(1，＋∞) 上单调递减．
∵1<2<52<e，∴f(2)>f52>f(e)，∴b>a>c．
[答案]ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD
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[例 4] (1)已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x<f(1)的实数 x 的取值范围
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题型2：函数单调性的应用
[例 3] 已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，当 x2>x1>1 时，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则
a，b，c 的大小关系为
()
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
B．1，32和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和32，2
D．－∞，32和[2，＋∞)
()
(2)函数 y＝ x2＋x－6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
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【解析】 (1)y＝|x2－3x＋2| ＝x－2－(x32－x＋3x2＋，2x)≤，11或＜xx≥＜22，. 如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)；单调递减区 间是(－∞，1)和32，2.故选 B.
上的减函数且f
1 x
<f(1)，得
1x>1， x≠0，
即|xx≠|<10，. 所以－1<x<0或0<x<1．故选C．
(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以
函数在[－2，2]上单调递增，
所以－2≤2a－2<a2－a≤2，
解得0≤a<1．
[答案] (1)C (2)[0，1)
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(2)令 u＝x2＋x－6， 则 y＝ x2＋x－6可以看作是由 y＝ u与 u＝x2＋x－6 复合而成的函数． 令 u＝x2＋x－6≥0，得 x≤－3 或 x≥2. 易知 u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而 y＝ u在[0， ＋∞)上是增函数， 所以 y＝ x2＋x－6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．
是
()
A．(－1，1)
B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)定义在[－2，2]上的函数 f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，
且 f(a2－a)>f(2a－2)，则实数 a 的取值范围为________．
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[解析]
(1)由f(x)为R
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由于－1＜x1＜x2＜1， 所以 x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0， 即 f(x1)＞f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上单调递减； 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上单调递增．
【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3]
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【例 2】判断并证明函数 f(x)＝xa－x1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】 设－1＜x1＜x2＜1， f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1 ＝(x1a－(x12)－(xx2－1) 1)，
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【题型小结】
求函数最值的 5 种常用方法及其思路
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调性去比较大小． 2.解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转
化成 f(x1)＞f(x2)的形式；(2)考查函数 f(x)的单调性；(3)据函数 f(x)的单调性去掉法则“f”， 转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的常规不等式，从而得解．
3.根据函数单调性求参数问题：(1)根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的 不等式(组)，即可求出参数的值或范围；(2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在 各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的．
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高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
2021届高考新课改数学一轮复习课件：2.2 函数的单调性与最值(51张)
2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是定义区间内的任意两个值,且x1<x2. (2)作差、变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式 分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形. (3)定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不 确定时,可以进行分类讨论. (4)判断:根据定义作出结论.
【解题指引】(1)分x≤1和x>1两种情况讨论F(x),进而可得使得 等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围. (2)①先求函数 f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2的最小值,再根据F(x)的定义可得 F(x)的最小值m(a);②分0≤x≤2和2≤x≤6两种情况讨论F(x)的最 大值,进而可得F(x)在区间[0,6]上的最大值Μ(a).
2.“a=2”是“函数f(x)=x2+3ax-2在区间(-∞,-2]内单调递减” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.若函数f(x)=x2+3ax-2在区间(-∞,-2]内
单调递减,则有- 3≥a -2,即a≤ ,所以4 “a=2”是“函
[1，上单) 调递减,而在 上[0，单1调] 递增.又因为当
2
2
0<a<1时,y=logax为(0,+∞)上的减函数,所以要使g(x)
=f(logax)单调递减,需要logax∈ ≤ 1解，得x∈ ［ a，1］.
[0，1即2 ]，0≤logax
2
(2)设1≤x1<x2≤2,则
f(x2)-f(x1)=
D［. a，a 1］
函数的单调性与最值课件-2024届高考数学一轮复习
b ， c 的大小关系为（ D
）
A. c ＞ a ＞ b
B. c ＞ b ＞ a
C. a ＞ c ＞ b
D. b ＞ a ＞ c
解：因为函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，所以 f （－1）＝ f
（3）.因为函数 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递减，1＜2＜3＜4，所
以 f （2）＞ f （3）＞ f （4），即 f （2）＞ f （－1）＞ f （4）.所以 b ＞
（0，＋∞）
；无单调减区间.
3. 复合函数的单调性
复合函数 f （ g （ x ））的单调性与 y ＝ f （ u ）和 u ＝ g （ x ）的单调性
有关，规则：同
增
异
减
.
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4. 对称区间上的单调性
已知 a ＞0，函数 f （ x ）的定义域为（－ a ， a ）且 f （ x ）在区间（0，
性的定义、函数的性质、导数等先判断函数的单调性，再依据单调性
求函数的最值或值域.
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考向2 利用单调性去“ f ”
例3 （1） 已知函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，且在区间[1，
＋∞）上是减函数.设 a ＝ f （－1）， b ＝ f （2）， c ＝ f （4），则 a ，
D.
（1 )−（2 ）
对任意 x 1， x 2∈[0，＋∞），且 x 1≠ x 2，都有
＞0
1 −2
返回目录
5.
9
（RA一P86习题3.2第8（2）题改编）已知函数 f （ x ）＝ x ＋ ， x
∈[2，6]，则 f （ x ）的最大值为 7.5
高考数学一轮总复习课件：函数的单调性和最值
时，此函数均为减函数，故单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，
－1)．
(2)由11－ ＋xx≥0，得x∈(－1，1]，此即为单调递减区间．
5．函数f(x)＝log 1 (－2x2＋x)的单调增区间是_14_，__12____；f(x)
2
的值域是_[_3_，_＋__∞_) _．
6．函数y＝ x＋ x＋4的最小值是____2____．
【解析】 由题设知，当x<1时，f(x)单调递减；当x≥1 时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，所以f32＝f1＋12＝f1－12 ＝f12，
又13<12<23<1， 所以f13>f12>f23， 即f13>f32>f23.
状元笔记 利用单调性可以比较函数值的大小，但需将各自变量的值 化到同一单调区间中．
【解析】 (1)f(x)＝x42－－x42（（x－≥22<或x<x2≤）－，2）， 其图象如图所示，
∴函数f(x)的单调递增区间为[－2，0]，[2，＋∞)，单调递 减区间为(－∞，－2]，[0，2]．
(2)令u＝3－2x－x2，则y＝log0.3u. ∵u>0，∴－3<x<1，且当x∈(－3，－1]时，u为增函数，当 x∈[－1，1)时，u为减函数，又y＝log0.3u在(0，＋∞)上为减函 数，故f(x)的单调递增区间为[－1，1)，单调递减区间为(－3， －1]．
方法二：对f(x)＝ x2＋1－2x求导， 得f′(x)＝12· x22x＋1－2＝ x2x＋1－2， ∵x≥0，∴ x2x＋1<1，∴f′(x)<0. 故f(x)在[0，＋∞)上是减函数． 【答案】 证明见解析
题型三 单调性的应用(微专题)
函数的单调性与最值课件高三数学一轮复习
3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
第2课时 函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1
(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－ ，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研 核心考点
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时 函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]
第2课时 函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1
(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－ ，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研 核心考点
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时 函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]
函数的单调性与最值一轮复习课件
利用函数单调性进行数据分析
总结词
利用函数单调性进行数据分析是一种有效的数据处理方法，通过分析数据的单调性，可以更好地理解 数据的变化趋势和规律。
详细描述
在数据分析中，可以利用函数单调性对数据进行分类、排序和趋势分析。例如，对于股票价格数据， 可以利用单调性分析股票价格的涨跌趋势，从而更好地把握股票市场的变化。此外，在统计学中，可 以利用函数单调性进行数据拟合和回归分析，以揭示数据之间的内在联系和规律。
单调性是函数的一种固有属性，反映了函数值在某个区间上 的变化趋势。
函数单调性的判定方法
定义法
通过比较函数在区间端点或内点的函 数值来确定函数的单调性。
导数法
复合函数单调性判定法则
同增异减，即内外函数的单调性相同 ，则复合函数为增函数；内外函数的 单调性不同，则复合函数为减函数。
对于可导函数，通过求导数并分析导 数的符号变化来判断函数的单调性。
二次函数：$y = ax^2 + bx + c$
单调性：根据判别式 $Delta = b^2 4ac$的值判断。
当$Delta < 0$时，函 数在$mathbf{R}$上 单调。
当$Delta > 0$时，函 数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$和 $(frac{-b}{2a}, +infty)$上单调。
利用极值定理判断函数在 某点的取值是否为最值。
零点定理
利用零点定理判断函数在 某区间的取值范围，进而 求得最值。
函数最值的应用
优化问题
利用函数最值解决优化问 题，如最大利润、最小成 本等。
图像分析
通过分析函数图像，理解 函数最值的实际意义和作 用。
数学建模
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
2025届高中数学一轮复习课件《函数的单调性和最值》PPT
函数
函数
高考一轮总复习•数学
增函数
减函数
第6页
图象 描述
自左向右看图象是 上升的
自左向右看图象是 下降的
高考一轮总复习•数学
第7页
2.单调区间的定义 若函数 y＝f(x)在区间 I 上是 增函数 或 减函数 ，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间 I 叫做 y＝f(x)的单调区间．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第14页
3．(1)函数 y＝11－＋xx的单调递减区间是___(_－__∞__，__－__1_)，__(_－__1_，__＋__∞__)_____． (2)函数 y＝ 11－＋xx的单调递减区间是__(_－__1_,_1_] __．
解析：(1)∵y＝11－＋xx＝－1＋1＋2 x，故其单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)． (2)由11－＋xx≥0，得 x∈(－1,1]，即为函数 y＝ 11－＋xx的单调递减区间．
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解：函数 f(x)在(－1,1)上是增函数，证明如下： 任取 x1，x2∈(－1,1)且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x21x＋1 1－x22x＋2 1 ＝x1xx22＋12＋x11－xx2221＋x2－1 x2 ＝x1x2xx122＋－1x1＋x22＋x11－ x2 ＝x1x－21＋x211x－22＋x11x2， 变形后因式分解，得到关键因子即为 1－x1x2. 它影响代数式的符号，讨论 1－x1x2 的 符号变化，才能得到函数的单调性．
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三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
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2021新高考2版数学一轮课件：第二章 第二节 函数的单调性与最值
(2)下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是
(C)
A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1|
C.f(x)= 1 -x
x
D.f(x)=ln(x+1)
(3)判断函数f(x)=x+ a (a>0)在(0,+∞)上的单调性.
x
解析 (1)由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞, -2)∪(4,+∞).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性 知, f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).
当 a ≤x1<x2时,x1x2>a,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[ a,+∞)上是增函数. 综上可知,函数f(x)=x+ a (a>0)在(0, a ]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数.
x
方法技巧
1.求函数单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调 区间. (2)定义法,先求定义域,再利用单调性的定义求解. (3)图象法,如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,那么可由图象 的直观性写出函数的单调区间. (4)导数法,利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
1-3 求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.
解析 易知
-x2 2x 1,x 0,
f(x)=-x2 -2x 1,x 0
一轮复习节函数的单调性与最值PPT课件
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(1)利用对称性将函数值转化到区间[1，＋∞)上，根据单调性判断大小． (2)由单调性得到x2＋x>a－x，即a<x2＋2x恒成立，转化为求函数g(x)＝x2＋2x的 最小值． (3)①函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数后作出图象求解；②中的函数为 函数y＝log2u，u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．
x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由条件知函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，四个选项中只有A满足．
答案：A
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2．(2013·许昌模拟)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
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则 f(x2)－f(x1)＞0，f(x)在[ a，＋∞)上是增函数． 综上，f(x)在(0， a)上为减函数，在( a，＋∞)上为增 函数． 方法二：求导数得，f′(x)＝1－xa2. 令 f′(x)≥0，即 1－xa2≥0，xa2≤1. ∴x2≥a，∵x＞0，a＞0， ∴x≥ a，即 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
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(1)根据常见函数的单调性进行判断；
(2)利用定义法或导数法进行判断．
(1)解析：A 中函数 f(x)＝－x2＋x＋1 在定义域上不单调；
B 中 f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但在定义域
上不单调；C 中函数 f(x)在定义域上不单调；D 中，定义域
为(－∞，2)，由复合函数的单调性知 f(x)＝ln(2－x)在(－∞，
由题意知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵f(－x)＝－x＋－ax＝－x＋ax＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． ∴f(x)在(－∞，－ a)和( a，＋∞)上为增函数； f(x)在(－ a，0)和(0， a)上为减函数．
(1)利用对称性将函数值转化到区间[1，＋∞)上，根据单调性判断大小． (2)由单调性得到x2＋x>a－x，即a<x2＋2x恒成立，转化为求函数g(x)＝x2＋2x的 最小值． (3)①函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数后作出图象求解；②中的函数为 函数y＝log2u，u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．
x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由条件知函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，四个选项中只有A满足．
答案：A
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2．(2013·许昌模拟)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
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则 f(x2)－f(x1)＞0，f(x)在[ a，＋∞)上是增函数． 综上，f(x)在(0， a)上为减函数，在( a，＋∞)上为增 函数． 方法二：求导数得，f′(x)＝1－xa2. 令 f′(x)≥0，即 1－xa2≥0，xa2≤1. ∴x2≥a，∵x＞0，a＞0， ∴x≥ a，即 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
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(1)根据常见函数的单调性进行判断；
(2)利用定义法或导数法进行判断．
(1)解析：A 中函数 f(x)＝－x2＋x＋1 在定义域上不单调；
B 中 f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但在定义域
上不单调；C 中函数 f(x)在定义域上不单调；D 中，定义域
为(－∞，2)，由复合函数的单调性知 f(x)＝ln(2－x)在(－∞，
由题意知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵f(－x)＝－x＋－ax＝－x＋ax＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． ∴f(x)在(－∞，－ a)和( a，＋∞)上为增函数； f(x)在(－ a，0)和(0， a)上为减函数．