奥数培训第10讲—反比例函数
初中奥数系列：.反比例函数B级.第01讲.学生版
模块一 反比例函数的概念 ☞反比例函数的定义函数k y x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.【例1】 下列是反比例函数的是（ ）A ．2x y =B ．k y x= C ．12y x -=⋅ D ．2+1a y x =【例2】 已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。
【巩固】已知函数1mm y x-=是y 关于x 的反比例函数，求m 的值.例题精讲中考要求反比例函数图象性质及应用模块二 例函数的图象及性质 ☞反比例函数的图像反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线. ☞反比例函数图像的性质反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线； 当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.【例3】 已知点P (1，a )在反比例函数ky x=(0k ≠)的图像上，其中223a m m =++(m 为实数)，则这个函数的图像在第_____象限.【例4】 反比例函数()2231my m x -=-的图像所在的象限内，y 随x 增大而增大，则反比例函数的解析式是（ ） A.4y x = B.4y x =- C.4y x =或4y x=- D.不能确定【例5】 已知反比例函数xky =的图像在第二、第四象限内，函数图像上有两点()()12,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A.12y y >B. 12y y =C. 12y y <D. 无法确定【巩固】若点A (1-，1y )、B (2，2y )、B (π，3y )都是反比例函数21k y x+=的图像上，试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 ..【例6】 在同一坐标系中，(1)y m x =-与my x=-的图象的大致位置不可能的是( )．A B C D【巩固】已知a b >，且0a ≠，0b ≠，0a b +≠，则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是（ ）DC B A【例7】 已知双曲线ky x=经过点()-13，,如果()11A a b ，，()22B a b ，两点在该双曲线上，且12a a <， 那么1b 与2b 的大小关系为 ．【例8】 如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C ，BA x ⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 ．【例9】 如图，已知A 是一次函数y x =的图象与反比例函数2y x=的图象在第一象限内的交点，B 点在x 轴的负半轴上，且OA OB =，那么AOB △的面积为 ．。
奥数培训第10讲—反比例函数
泸州翰林初二暑假奥数培训第10讲（讲稿）反比例函数 姓名__________例1在反比例函数y=12mx-的图像上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m<0B ．m>0C ．m<12 D ．m>12例2如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，和反比例函数的图象交于C 、D 两点，如果点A 的坐标为（2，0），且OA=OB=AC=BD ，求一次函数和反比例函数的解析式。
例3 （09分班考试）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x =>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，． 点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x =>的交点，428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图12－1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，． 过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．图1232494AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图12－2，过点CA ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，点C 在双曲线8y x =上，当8y =时，1x =．∴点C 的坐标为(18)，． 点C ，A 都在双曲线8y x =上，4COE AOF S S ∴==△△ CO EC O ACE F A S S SS∴+=+△△△梯形．COA CEFAS S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△． （3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形．设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m ，． 过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△．若04m <<，如图12－3，POE POA AOFPEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·． 解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图12－4，AOF AOP AFEP S S S S +=+△△△梯形图12－2图12－36POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭， 解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．例4 有一个R t △ABC ，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=x3的图像上，求点C 的坐标．分析：由于反比例函数的图像是双曲线，所以把Rt △ABC 放在直角坐标系中，并且把顶点A 在反比例函数y=x3的图像上时，可以放在双曲线的两支上，而且Rt △ABC 的另两个顶点B 、C 的左右位置也可以“不同”，应考虑四种放法，即本题共有四种情况，从而形成“一题多解”．解：（1）如图5（1），过点A 作AD ⊥BC 于D ，则AD=ABsin600=23，所以点A 的纵坐标为23，将其代入y=x3，得x=2．即OD=2．在RtADC 中，DC=23，所以OC=27，即点C 1的坐标为（27，0）．（2）如图5（2），过点A 作AE ⊥BC 于E ，则AE=23，OE=2，CE=23，所以OC=21，即点C 2的坐标为（21，0）． 根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-27，0），点C4的坐标为（-21，0）． 故，点C 的坐标分别为（27，0），（21，0），（-27，0），（-21，0）．变式训练：图5图5（1）图5（2）1．已知反比例函数xky =的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A (72，y 1)、B (5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）。
九年级数学秋季教材班第10次课 反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质姓名 日期 【知识要点】1． 反比例函数的概念．（1）函数xky =()0≠，k k 是常数叫做反比 例函数．2． 反比例函数的图象和性质． 反例函数的图象是双曲线，其图象因为反比例函数的解析式x ky =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此一般只要给出一组y x ,的 对应值或图象上一点的坐标，代入xky =中即可求出k 值，从而确 定反比例函数的解析式.【典型例题】例1 画出反比例函数xy 6=与x y 6-=的图象.（1）函数x y 6=的图象位于第 象限,在每一象限内,y 的值随x 的增大而 ,当x ＞0时,y 0,这部分图象位于第 象限.（2） 函数xy 6-=的图象位于第 象限, 在每一象限内,y 的值随x 的增大而 , 当x ＞0时,y 0,这部分图象位于 第 象限例2 已知y 与2x 成反比例，并且当3=x 时，4=y ，求5.1=x 时,y 的值.例3 已知21y y y +=，1y 与1+x 成正比例，2y 与x 成反比例， 当1=x 时，0=y ；当4=x 时，9=y ，求y 与x 的函数关系式.例4 对于函数，当m 为何值时是反比例函数，且图象在每个象限内y 随x 的增大而减小？例5 在反比例函数xy 1-=的图象上有三点),)(,)(,(332211y x y x y x ，若3210x x x >>>，则下列各式中正确的是（ ）A.213y y y >>B.123y y y >>C.321y y y >>D.231y y y >>例6 已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3， 到y 轴的距离是4，求它们的解析式。
例7 如图：Rt △AOB 中，∠ABO=90°，点B 在x 轴上，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且3=∆AOB S . （1）求m 的值； （2）△ACB 的面积.课堂练习1．已知a x a y )1(-=是反比例函数，则它的图象在（ ） A ．第一，三象限 B ．第二，四象限C ．第一，二象限D ．第三，四象限 2．若点),(),,(),,(332211y x y x y x 都是反比例函数xy 1-=的图象上的 点，并且3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ） A ．321y y y << B ．132y y y <<C ．123y y y <<D ．231y y y << 3．图象大致为如图所示的函数是（A ．()01<=x x y B ．()01>=x x yC ．()01>-=x x yD ．(1<-=x xy 4．如图：正比例函数)0(>=k kx y 与反比例函数xy =的图象相交 于A ，C 两点，过A 点作x 的轴的垂线交x 轴于B ，连BC ，若△ABC 的面积为S ，则（ ）。
《反比例函数》 讲义
《反比例函数》讲义一、什么是反比例函数在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的变量和它们之间的关系。
而反比例函数，就是其中独特而重要的一种。
反比例函数的一般形式为：y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0，x ≠ 0）。
通俗地说，当两个变量 x 和 y 的乘积始终等于一个非零常数 k 时，我们就说 y 是 x 的反比例函数。
例如，如果有一个矩形的面积始终为 12 平方米，设长为 x 米，宽为 y 米，那么就有 xy ＝ 12，即 y ＝ 12/x，这里的 y 就是 x 的反比例函数。
二、反比例函数的图像反比例函数的图像是一种特殊的曲线，它有自己独特的性质。
以 y ＝ 2/x 为例，我们来绘制它的图像。
首先，我们可以通过给 x 取值，计算出对应的 y 值，得到一些点的坐标。
比如，当 x ＝ 1 时，y ＝ 2；当 x ＝ 2 时，y ＝ 1；当 x ＝－1 时，y ＝－2 等等。
然后，把这些点在坐标系中描出来，并用平滑的曲线连接起来，就得到了反比例函数的图像。
反比例函数的图像有两个分支，分别位于第一、三象限或者第二、四象限，这取决于常数 k 的正负。
当 k ＞ 0 时，图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。
当 k ＜ 0 时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称。
这意味着如果点（a, b) 在反比例函数的图像上，那么点（a, b) 也一定在图像上。
2、渐近线当 x 趋近于 0 或者无穷大时，反比例函数的图像会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
对于 y ＝ k/x，x 轴和 y 轴就是它的渐近线。
3、定义域和值域定义域为x ≠ 0，值域为y ≠ 0。
四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用。
比如，在物理学中，当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系。
反比例函数的质教学课件
⑶ 求当边长满足0 < x < 15时，这条边上的高y的取值范围。
y
22 20 18 16
(1)y 1（ 8 x 0） x
(3)当x 15时， y 18 1.2 15
14
18
y (x 0)
12
x
10
图象法：由图y得1.2 增减性：
8
6
k 180，y随x的增大而减小
反比例函数的质教学课件
反比例函数的性质
1.当k>0时,图象的两个分支分别在第 一、三象限内； 2.当k<0时,图象的两个分支分别在第 二、四象限内。 3.图象的两个分支关于直角坐标系的 原点成中心对称。
双曲线的两个分支无限接近 x轴和y轴，但永远不会与x 轴和y轴相交.
复习题：
1．反比例函数 y k ( k 0 )的图象经过点（－1，2），那么这个
y
y
=
6 x
0
x
y
0
x
y=
6 x
（ 1） y 6 x
第三象限
第一象限
x
… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y 6 x
… -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
（ 2） y 6 x 第二象限
第四象限
x
… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
八年级奥数知识点：反比例函数
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数知识点：反⽐例函数，欢迎⼤家阅读。
概念 形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反⽐例函数，其中k叫做反⽐例系数，x是⾃变量，y是⾃变量x的函数，x的取值范围是不等于0的⼀切实数。
性质 1、在⼀般的情况下,⾃变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数； 2、k⼤于0时，图像在1、3象限。
k⼩于0时，图像在2、4象限.k的绝对值表⽰的是x与y的坐标形成的矩形的⾯积。
图象画法 1、列表； 2、在平⾯直⾓坐标系中标出点； 3、⽤平滑的曲线连接点。
当K>0，Y随X的增⼤⽽减⼩； 当K<0，Y随X的增⼤⽽增⼤。
练习题 1、下列函数中，反⽐例函数是()A、y=x+1B、y=1/x2C、y/x=1D、3xy=2 2、当三⾓形的⾯积⼀定时，三⾓形的底和底边上的⾼成()关系A、正⽐例函数B、反⽐例函数C、⼀次函数D、⼆次函数 3、若点A(x1,1)、B(x2,2)、C(x3,-3)在双曲线y=1/x上，则()A、x1>x2>x3B、x1>x3>x2C、x3>x2>x1D、x3>x1>x2 参考答案1.D2.B3.C。
北师大版九年级数学上册《反比例函数》示范公开课教学课件
问题1：什么是函数？
若两个变量x，y的关系可以表示成y=kx+b (k，b是常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量).特别地，当常数b＝0时，一次函数y=kx+b(k≠0)就成为：y=kx(k是常数，k≠0)，称y是x的正比例函数.
∵x=3时，y=6，
，解得：k=18．
∴y与x之间的函数关系式为：
∴
3.电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式P=I²R．已知P=5W，填写下表并回答问题：(1)变量R是变量I的函数吗？
解：由函数的定义可知，对于I确定一个值，就有唯一的R值对应，所以变量R是变量I的函数．
变量q与p之间的关系可以表示成：
由上面三个问题，我们可以得到三个函数关系式：
思考：它们有什么共同特点？
共同点
分子
常数
右边
分式
函数
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：
的形式，那么称y是x的反比例函数．
1.一个矩形的面积是20cm2，相邻的两条边长为xcm和y cm，那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
是，对于v每一个给定的值，t都有唯一的一个值与其对应．
变量t与v之间的关系可以表示成：
已知两个实数的乘积为-8，如果其中一个因数为p，另一个因数为q，则q与p之间的函数关系是什么？
变量q与p之间的关系可以表示成：
你还能举出类似的实例吗？与同伴交流.
已知两个实数的乘积为-8，如果其中一个因数为p，另一个因数为q，则q与p之间的函数关系是什么？
1
3
y
Байду номын сангаас
2
-1
907.一次函数与反比例函数-奥数精讲与测试
知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。
解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。
设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。
北师大版九年级数学上册《反比例函数》(同步+复习)串讲精品讲义.ppt
（1）写出这个反比例函数表达式； （2）将表中空缺的 x、y 值补全.
【睿德一练通】
1.函数 y=－x，y=
1 2 1 ，y＝－x2，y= ，y=－ x x 1 2x
m2 3m 4
中________表示 y 是 x 的反比例函数。 2. 已 知 y=(m － 1)x m=_________。 3.反比例函数 y= 是反比例函数，则
三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 时，图象的两支分别位于二、四象限；
第三十六章 ■通关口诀：
反比例函数
A. xy = 2 C. y = 3 x-1
B. y = -
k (k≠0) 3x
D. x = 5y-1
函数关联代数式；当然也有整和分。 反比函数归分式；无零函数要记清。 灵活应用有三形；图分两支性质明。 学习函数要牢记；确定关系是核心。 类型确定用待定；类型不定列方程。 设横表纵求坐标；系数面积有两形。 比较大小找交点；交原切横高低清。
1
考点二：由给出的表格确定函数关系式进而求两变 量的对应值。 例 2．已知 y 是 x 的反比例函数，下 表给出了 x 与 y 的一些值： x y 3 4 -3 -1 -2 -3 1 1 4
8.下列各问题中的两个变量成反比例的 是（ ） ； A.某人的体重与年龄 B.时间不变时，工作量与工作效率 C.矩形的长一定时，它的周长与宽 D.被除数不变时，除数与商
考点二：判断点是否在函数的图象上： 例 2．反比例函数 y=－
1 中，k= 2x
,
写出函数图象上的一点的坐标（ ） 。 考点三：变量互求+已知对应值（图象上的点的坐 标）求关系： 例 3．已知 y 与 x 成反比例， 并且 x= 时，y = -1，则当 x = -4 时，y = .；y=-3 时，x= 。 考点四：知道函数类型确定系数（参数） ： 例 4．若 y (k 2 k ) xk
专题20反比例函数(3个知识点4种题型1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题20反比例函数（3个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值题型2.反比例关系的应用题型3.反比例函数关系的判断及应用题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。
2.能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.注意：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式kx无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y 是x 的反比例函数的是（）A ．xy ＝1B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝【答案】A【解答】解：A 、由原式得到y ＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；B 、该函数式表示y 与x 2成反比例关系，故本选项错误；C 、该函数式表示y 与x 成正比例关系，故本选项错误；D 、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；故选：A ．【变式】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（）A ．y ＝3x﹣1B ．y ＝﹣C ．xy ＝5D ．y ＝【答案】B【解答】解：A 、y ＝3x ﹣1＝是反比例函数，故本选项错误；B 、y ＝﹣是正比例函数，故本选项正确；C 、xy ＝5是反比例函数，故本选项错误；D 、y ＝是反比例函数，故本选项错误．故选：B ．知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）待定系数法求反比例函数解析式一般步骤：【例2】（2022秋·九年级单元测试）已知y ＝y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y ＝5；当x ＝1时，y ＝－1；求当x ＝－1时，y 的值．【答案】3-【分析】设出解析式，利用待定系数法求得解析式，代入x 【详解】设1ay x=，()22y b x =-，（a 、b 不等于0）∵12y y y =-，a【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值一、单选题解得62 km=⎧⎨=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2.（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4D．0【答案】A【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0，解得：m＝4．故选：A．3.（2022秋•惠来县期末）函数y＝x k﹣1是反比例函数，则k＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1，解得：k＝0，故选：D．k6,104【答案】()【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．题型3.反比例函数关系的判断及应用48【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．【解答】解：根据题意得：Vt＝105，∴V＝，V与t满足反比例函数关系；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．2．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答．【方法四】成果评定法一、单选题A．①②B．【答案】B【分析】分别求出三个问题中变量【详解】解：①∵正方形的周长为二、填空题【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD ∴()1,1B ,()3,4D ,三、解答题。
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反比例函数例1在反比例函数y=12mx-的图像上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m<0B ．m>0C ．m<12 D ．m>12例2如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，和反比例函数的图象交于C 、D 两点，如果点A 的坐标为（2，0），且OA=OB=AC=BD ，求一次函数和反比例函数的解析式。
例3 （09分班考试）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x =>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，． 点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x =>的交点，428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图12－1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，． 过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．图1232494AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图12－2，过点CA ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，点C 在双曲线8y x =上，当8y =时，1x =．∴点C 的坐标为(18)，． 点C ，A 都在双曲线8y x =上，4COE AOF S S ∴==△△ CO E C O ACE F AS SSS∴+=+△△△梯形．COA CEFAS S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△． （3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形．设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m ，． 过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△．若04m <<，如图12－3，POE POA AOFPEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·． 解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图12－4，AOF AOP AFEP S S S S +=+△△△梯形图12－26POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭， 解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．例4 有一个R t △ABC ，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=x3的图像上，求点C 的坐标．分析：由于反比例函数的图像是双曲线，所以把Rt △ABC 放在直角坐标系中，并且把顶点A 在反比例函数y=x3的图像上时，可以放在双曲线的两支上，而且Rt △ABC 的另两个顶点B 、C 的左右位置也可以“不同”，应考虑四种放法，即本题共有四种情况，从而形成“一题多解”．解：（1）如图5（1），过点A 作AD ⊥BC 于D ，则AD=ABsin600=23，所以点A 的纵坐标为23，将其代入y=x3，得x=2．即OD=2．在RtADC 中，DC=23，所以OC=27，即点C 1的坐标为（27，0）．（2）如图5（2），过点A 作AE ⊥BC 于E ，则AE=23，OE=2，CE=23，所以OC=21，即点C 2的坐标为（21，0）． 根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-27，0），点C4的坐标为（-21，0）． 图5 图5（1） 图5（2）故，点C 的坐标分别为（27，0），（21，0），（-27，0），（-21，0）．变式训练：1．已知反比例函数xky =的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A (72，y 1)、B (5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）。
AA 、y 1＞y 2B 、y 1＝y 2C 、y 1＜y 2D 、无法确定 2.（2009年泸州）已知反比例函数x ky =的图象经过点P(一l ，2)A ．第二、三象限B ．第一、三象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限3．（2009年河池）如图5，A 、B 是函数2y x=BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S > *2．若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数xy 2-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ）D A ．b 1＜b 2B ．b 1 = b 2C ．b 1＞b 2D ．大小不确定*3．如图6，Rt △ABC （∠ABC=90°）的顶点A 是双曲线ky x=与直线k x y +=的在第一象限的交点，C 为k x y +=与x 轴的交点。
若=∆ABO S 1，（1）求出这两个函数的表达式；（2）求出△ABC 的面积。
*4．已知一次函数32y x k =-的图象与反比例函数3k y x-=的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标。
设（m ，6），则32636m k k m-=⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得45,3k m =-=-，32310y x k x =-=+，与两坐标轴的交点坐标分别为10,0,(0,10)3⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=12x的图像经过点A ， （1）求点A 的坐标；（2）如果经过点A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点B ，且OB=AB ，•求这个一次函数的解析式．【分析】（1）用含一个字母a 的代数式表示点A 的横坐标，纵坐标，把点A 的坐标代入y=12x可求得a 的值，从而得出点A 的坐标．（2）设点B 的坐标为（0，m ），根据OB=AB ，可列出关于m 的一个不等式，•从而求出点B 的坐标，进而求出经过点A ，B 的直线的解析式．【解答】（1）由题意，设点A 的坐标为（a ，3a ），a>0． ∵点A 在反比例函数y=12x 的图像上，得3a=12a，解得a 1=2，a 2=－2，经检验a 1=2，a 2=－2•是原方程的根，但a 2=－2不符合题意，舍去． ∴点A 的坐标为（2，6）．（2）由题意，设点B 的坐标为（0，m ）．∵m>0，∴．解得m=103，经检验m=103是原方程的根， ∴点B 的坐标为（0，1013）．设一次函数的解析式为y=kx+1013．由于这个一次函数图像过点A （2，6）， ∴6=2k+103，得k=43．∴所求一次函数的解析式为y=43x+103． *6．如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xky =的图象上．（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．5.（2008，金华）如图所示，已知双曲线y=kx（k>0）与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限，试解答下列问题：（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为_______；若点A的横坐标为m，则点B•的坐标可表示为______．（2）如图所示，过原点O作另一条直线L，交双曲线y=kx（k>0）于P，Q两点，点P•在第一象限．①证明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？•若可能，直接写出m，n应满足条件；若不可能，请说明理由．（1）（－4，－2）（－m，－k′m）或（－m，－km）（2）①由勾股定理∴OA=OB．同理可得OP=OQ，∴四边形APBQ一定是平行四边形．②四边形APBQ可能是矩形，m，n应满足的条件是mn=k．由两点距离公式OA=OP：222222k km nm n+=+推得四边形APBQ不可能是正方形．理由：点A ，P 不可能达到坐标轴，即∠POA ≠90°．8. （2008，南通）如图所示，已知双曲线y=k x 与直线y=14x 相交于A ，B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线y=kx上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．•过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线y=kx于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 的坐标是（－8，0），求A ，B 两点的坐标及k 的值；（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式；（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入y=14x 中，得y=－2． ∴B 点坐标为（－8，－2），而A ，B 两点关于原点对称，∴A （8，2）． 从而k=8×2=16．（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上，∴mn=k ，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． S 矩形DCNO =2mn=2k ，S △DBO =12mn=12k ，S △OEN =12mn=12k ，∴S 四边形OBCE =S 矩形DCNO －S △DBO －S △OEN =k ． ∴k=4． 由直线y=14x 及双曲线y=4x，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．设直线CM 的解析式是y=ax+b ，由C ，M 两点在这条直线上，得42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩解得a=b=23．∴直线CM 的解析式是y=23x+23．（3）如图所示，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M 1．设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ，于是p=111A M MA a mMP M O m-==． 同理q=MB MQ=m am +，∴p －q=a m m -－m a m+=－2．。