第12讲反比例函数1
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第3单元 函数 第12讲 反比例函数
25．(2021·黔东南州)如图，若反比例函数 y＝ x 3的图象经过等边三角形 POQ 的顶点 P，则△POQ 的边长为_2_.
26．(2021·毕节)如图，直线 AB 与反比例函数 y＝kx(k＞0，x＞0)的图象交 于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，且 AB＝BC，连接 OA．已知△OAC 的 面积为 12，则 k 的值为_8_.
9．(2021·长沙模拟)如图，A 为反比例函数 y＝kx(其中 x＞0)图象上的一点，
在 x 轴正半轴上有一点 B，OB＝4.连接 OA，AB，且 OA＝AB＝2 10， 过点 B 作 BC⊥OB，交反比例函数 y＝kx(其中 x＞0)的图象于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D，则 k＝__1_2_；ADDB＝__32__.
27．(2021·绍兴)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B，C 在第一象限，顶点 D 的坐标为52，2.反比例函 数 y＝kx(常数 k＞0，x＞0)的图象恰好经过正方形 ABCD 的两个顶点，则 k 的值是__5_或__2_2_.5_____.
(2)若点 C 在 x 轴上，且△BOC 的面积为 3，求点 C 的坐标． 解：(2)过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为点 D． 设 C(a，0)． ∵点 A 与点 B 关于原点对称， ∴B(－1，－2)． ∴BD＝|－2|＝2，OC＝|a|. ∴S△BOC＝21BD·OC＝21×2×|a|＝3. 解得 a＝3 或 a＝－3. ∴点 C 的坐标为(3，0)或(－3，0)．
5．(2021·株洲)点 A(x1，y1)，B(x1＋1，y2)是反比例函数 y＝kx图象上的两 点，满足：当 x1＞0 时，均有 y1＜y2，则 k 的取值范围是__k_＜__0__.
(沪科版)中考数学总复习课件【第12讲】反比例函数及其应用
∴煅烧时的函数表达式为 y＝128x ＋32(0≤x≤6)．
第12讲┃反比例函数及其应用
4800 (2) 当 x＝480 时，y＝ ＝ 10，10－6＝4(min)，∴锻造的操 480 作时间有 4 min.
第12讲┃反比例函数及其应用
核心考点三
相关知识
常见类型
用反比例函数解决实际问题
主要知识列举 1.矩形中，当面积 S 一定时，长 a 与宽 b 的关
S 系：a＝ .2.三角形中，当面积 S 一定时，高 h b 几何问题 2S 与相应的底 a 的关系：h＝ a 当路程 s 一定时，时间 t 是速度 v 的反比例函 行程问题 s 数，即 t＝ v
第11讲┃一次函数及其应用
核心练习
k 5． [2014·邵阳] 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点( －1， 2)， x
-2 则 k＝ ________ ．
图 12 －5
第12讲┃反比例函数及其应用
k 6．[ 2014·娄底] 如图 12－5 所示，M 为反比例函数 y＝ 的 x 图象上的一点，MA 垂直于 y 轴，垂足为 A，△MAO 的面积为 2，则
第12讲┃反比例函数及其应用
(2) 求 k 的值； (3) 当 x＝16 时，大棚内的温度约为多少度？
图 12 －7
第12讲┃反比例函数及其应用
解： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度为 18 ℃的时间为 10 小时． k k (2) ∵点 B(12， 18)在双曲线 y＝ 上，∴18＝ ，∴k＝216. x 12 216 (3) 当 x＝16 时， y＝ ＝13.5 ， 16 ∴当 x ＝16 时，大棚内的温度约为 13.5 ℃.
第12讲反比例函数图像与性质
(C )
C．不变 D．无法确定
4．反比例函数 y＝kx和一次函数 y＝kx－k 在同一直角坐标系中的图象大 致是( C )
A
B
C
D
5．已知函数 y＝1x的图象如图所示，当 x≥－1 时，y 的取值范围
是( C )
A．y＜－1
B．y≤－1
C．y≤－1 或 y＞0
D．y＜－1 或 y≥0
6.反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象如图 12－3 所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，
2．已知函数 y＝－x＋5，y＝4x，它们的共同点是：①函数 y 随
x 的增大而减小；②都有部分图象在第一象限；③都经过点(1，4)，
其中错误的有( B )
A．0 个ຫໍສະໝຸດ B．1 个C．2 个
D．3 个
3．如图，P 是反比例函数 y＝6x在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x
轴，随着 x 的逐渐增大，△APO 的面积将 A．增大 B．减小
第12讲反比例函数图像和性质
反
比 概念
例 函 数 图 像 和 性
图性反k像质图性y的反义＝ 比象质反 性 反 图 一意和kx综 比例中 比 比 质 象 次函例 合过kk例例 的 例 的 函k条><数函 应双的 函 00函 应 函 应 数垂的数 用曲意 数数 用 数 用 的线定在在与线反义与义每每上比坐个个任例形 由标利 利义 分分利 意函图图如轴义y是 支支用 用一数用＝象象的所和y成 上上反 两点y＝ kx图在在函＝围可几反 ，，比 种，_象第第数kx成得 _解 何比 yy例 函的向_上 随随叫 __kx_的二_决 例 实 意__一k_函 数 图两_乘xx做 __点＝、_矩_、 的的__实 际 义_象坐(数 的积反 __x的k四_形三增增两 __y际 问 解≠_是标的 增比 ， __坐_的大大个 __0问 题 决双轴所 增 减例 象象，标面对 而而题 实曲作k以、 性函 限限的积应 __减是际线减垂数 __、k增实为量 __常 性 交小线问的__大常际的 __数解 点，意 题__数意__)决 等两__
反比例函数
k 1 ．反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象是 x 双曲线．因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0， 所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不 与 x 轴、y 轴相交．
2．反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象总是关于 x 原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响.
(1)求该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之 间的函数解析式(关系式)． (2)当平均耗油量为 0.08 升/千米时， 该轿车可以行 驶多少千米？ 【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际 问题． k k 解：(1)把 a＝0.1，s＝700 代入 s＝ ，得 700＝ ， a 0.1 70 k＝70，s＝ . a
考点三 反比例函数值的大小比较 例 3(2014· 衡阳)若点 P1(－1，m)，P2(－2，n)在 k 反比例函数 y＝ (k>0)的图象上，则 m________n(填 x “>”“<”或“＝”)．
【点拨】方法一：∵k＞0，∴在每个象限内y 随x的增大而减小．又∵0＞－1＞－2，∴m＜n.方 法二：∵k＞0，∴取k＝2，把x＝－1，x＝－2分别 2 代入y＝ ，得m＝－2，n＝－1，∴m＜n. x
k 2． (2014· 株洲)已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 x (2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( B ) A．(－6,1) C．(2，－3) B．(1,6) D．(3，－2)
k 解析：∵y＝ 的图象经过点(2,3)，∴k＝2×3＝6. x 又∵1×6＝6＝k， ∴点(1,6)也在这个函数的图象上． 故 选 B.
A．②③
B．③④
C．①②
D．①④
反比例函数及其图象
【点评】 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量， 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后 利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是 单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应 分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加 自变量的取值范围．
3．(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工 序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，在8 min时 ，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系； 锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料 初始温度是32 ℃. (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式，并且写出自变量x 的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造 的操作时间有多长？
第12讲 反比例函数及其图象
第一、三象限 减小 第二、四象限 增大
D
C
C
C
C
反比例函数图象的确定
解：这个反比例函数图象的另一支在第三象限，∵m－5＞0，∴m＞5
【点评】 一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系 数的值些性质．
A
C
待定系数法确定反比例函数解析式
【点评】 反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对 已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定 系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．
实际背景下的反比例函数的图象
【例3】 (2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有 恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最 快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温 度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝的一 部分．请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k的值； (3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？
反比例函数（基础）知识讲解
反比例函数（基础）【学习目标】1. 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例即xy k =，或表示为kyx =，其中k 是不等于零的常数是不等于零的常数.. 一般地，一般地，形如形如ky x=(k 为常数，0k ¹)的函数称为反比例函数，的函数称为反比例函数，其中其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数是函数，定义域是不等于零的一切实数. .要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ¹.故函数图象与x 轴、y 轴无交点；轴无交点；（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件这一条件. .（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式，从而得到反比例函数的解析式. .要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出即可求出k 的值，从而确定其解析式从而确定其解析式. .用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：k y x=(0k ¹)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值；的值； （4）把求得的k 值代回所设的函数关系式ky x= 中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴标轴. .要点诠释：（1）若点）若点((a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点的图象上，则点((a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ¹) ) 中，由于中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，时，双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，四象限，四象限，在每个象限内，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；的符号决定的；反过来，反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号的符号. . 要点四、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x ky =(0k ¹) ) 上任意一点作上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ¹) ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. . 【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y 是x 的反比例函数？的反比例函数？（1）5xy =； （（2）3y x =； （（3）23y x =； （（4）12xy =； （（5）21y x =-； （6）2y x=-； （（7）12y x -=； （（8）5a y x -=（5a ¹，a 是常数）是常数）【答案与解析】 解：根据反比例函数(0)k y k x=¹的形式及其关系式xy k =，1y kx -=，可知反比例函数有：有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)．．【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如k y x=(k 为常数，0k ¹)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意ky x=(k 为常数，0k ¹)常见的变化形式，如xy k =，1y kx -=等，所以(4)(7)(4)(7)也是反比例函数．在也是反比例函数．在也是反比例函数．在(5)(5)(5)中，中，y 是()1x -的反比例函数，而不是x 的反比例函数．例函数．(1)(1)(1)中中y 是x 的正比例函数．的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3y x=的图象都过点A(m ，1) 1) ．求此正比．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．例函数的关系式及另一个交点的坐标． 【答案与解析】解：解： 因为3y x=的图象经过点A(m ，1)1)，则，则31m =，所以m ＝3．把A(3A(3，，1)1)代入代入y kx =中，得13k =，所以13k =． 所以正比例函数关系式为13y x =． 由1,33,y x y x ì=ïíï=ïî得得3x =±． 当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为．所以另一个交点的坐标为((－3，－，－1)1)1)．． 【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？值为多少？ 【答案】 解：设ky x =，当6x =-时，4y =， 所以46k=-，则k ＝－＝－242424，，所以有24y x-=．当2x =时，24122y -==-． 类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点为常数）的图象上有三点((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y ，y ，的大小关系是（的大小关系是（ ））． A ．231y y y << B B．．321y y y << C C．．123y y y << D D．．312y y y << 【答案】D ； 【解析】解：当0k <时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．此题中需要注意的是大．此题中需要注意的是((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)不在同一象限内．因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数ky x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x =，当x ＝－＝－11时，y ＝－＝－22，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－，自变量由－11到1，函数值y 由－由－22到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)m y m x-=-的图象在第二、四象限，的图象在第二、四象限，(1)(1)求求m 的值．的值．(2)(2)若点若点若点((－2，1y )、(－1，2y )、(1(1，，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：解：(1)(1)(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-ìí-¹î，∴，∴ 1m =.(2)(2)由由(1)(1)得此函数解析式为：得此函数解析式为：2y x=-． ∵ ( (－－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－在第二象限，－22＜－＜－11，∴，∴ 120y y <<． 而(1(1，，3y )在第四象限，30y <． ∴ 312y y y << 类型四、反比例函数综合4、已知点A(0A(0，，2)2)和点和点B(0B(0，－，－，－2)2)2)，点，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△的图象上，如果△PAB PAB 的面积是6，求P 点的坐标．点的坐标． 【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC PC⊥⊥y 轴于点C．∵ A(0 A(0，，2)2)、、B(0B(0，－，－，－2)2)2)，， ∴ AB AB＝＝4． 又∵又∵ 0||PC x =且6PABS=△，∴01||462x =，∴，∴ 0||3x =，∴，∴ 03x =±． 又∵又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =．∴ P 的坐标为113,3P æö-ç÷èø或13,3æö-ç÷èø．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：作AC AC⊥⊥y 轴于C ，连BC BC，则△】解：由双曲线与正比例函数y 1322AOCABCSS ==△△．A 点坐标为点坐标为((A x ，A y )，而于是1113||||2222AOCA A AASAC OC x y xy ===-=△，3A y =-，kx =得A A x y k =，所以所以反比例函数解析式为3y -=．。
第12讲：正反比例函数综合
正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．一、正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是ykx=，或表示为y kx=，k是不等于零的常数．2、解析式形如y kx=（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数；正比例函数y kx=的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．3、一般地，正比例函数y kx=（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx=的图象叫做直线y kx=．正反比例综合知识结构模块一：正反比例函数图像和性质知识精讲内容分析4、正比例函数图像的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值也随着逐渐增大．（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值反而逐渐减小．二、反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k=，或表示为kyx=，其中k是不等于零的常数．2、解析式形如kyx=（k是常数，0k≠）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数．反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数．3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．4、反比例函数图像的性质：（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．【例1】函数25(1)my m x-=+：（1）当m为_______时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大；（2）当m为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大．【难度】★【答案】【解析】例题解析【例2】 （1）函数2y x =与3y x=的图像的交点坐标是_______________； （2）函数121y x y x=-=与的图像的交点坐标是___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 已知直线2y mx =与双曲线1k y x-=的一个交点A 的坐标为(12)--，，则m k +=________；它们的另一个交点坐标是___________．【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 若y 与1x成正比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与z 成___________关系． 【难度】★ 【答案】【例5】 若正比例函数和反比例函数的图像经过点A （-2，1）和点B (312)a b -+，，则2a b 的值为 ___________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 若直线1100x y =-与双曲线2(0)my m x=≠的图像有两个交点，则m 的取值范围是___________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，正比例函数1(0)y kx k =≠和反比例函数2(00)ky k x x=≠>，的图像在同一平面直角坐标系中大致是（ ）．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 若A 、B 两点关于y 轴对称，点A 在双曲线14y x=上，点B 在2y x =-上，则B 点坐标是_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 正比例函数1(0)y kx k =>和反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，若△ABC 的面积是S ，求S 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AxyO By xODyxOCyxO【例10】 已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是-1，点B 的纵坐标是2，求这两个函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点（2，3）， （1） 求这两个函数解析式；（2） 判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上； （3） 求两个函数图像的另一个交点． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 已知函数(1)y k x =-的图像上一点A (03)-，，并且它和反比例函数的图像交于点B （2，m ）求反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 已知函数124my mx y x-==，的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】 已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平行，双曲线ky x =与正方形有公共点，求k 的取值范围．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】 已知12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 且当1x =时，5y =，当4x =时，18y =，求： （1）y 与x 的函数解析式； （2）当2x =时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 已知：1223y y y =-，1y 与3x -成正比例，2y 与x+8成反比例，且当1x =和5x =-时，y 的值分别是3和-11，求y 和x 之间的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12y x=-和正反比例函数26yx=-的图像相交于P 、Q两点，点A在x 轴的负半轴上，且与原点的距离是4，（1）求P、Q两点的坐标；（2）求△APQ的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例18】A、B是双曲线3yx=上的点，分别过A、B两点向x、y轴作垂线段，重叠部分的面积为1S=阴，如图所示，求空白部分的面积之和，即12S S+的值．【难度】★★【答案】【解析】【例19】如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C 在y轴上，点B是双曲线kyx=上的点，P（m，n）是图像上任意一点，过点P分别作x、y轴的垂线段，垂足分别为E、F，若矩形OEPF和正方形OABC重合的部分的面积是S，求出S和m的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】ABO xyABCO EFGPyx【例20】 已知函数2(0)a y x x =>的图象与13(0)y x x-=<的图象关于y 轴对称．在2(0)ay x x =>的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若存在两点B 、C ，且B (0，2)，C (2，0)，使得四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图，正比例函数1y kx =（k >0）与反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连接BC ．若△ABC 的面积是S ，试指出S 是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ， 设△AOC 面积是1S ，△BOD 面积是2S ，△POE 面积是3S ，试比较123S S S ，，的大小 关系． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCP QxyOA B CDOxyABC DEPx y OL【例23】 已知：关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +-+=的两根12x x ，满足22120x x -=，双曲线4(0)ky x x=>经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ，求OBC S ∆． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例24】 已知：在矩形AOBC 中，OB =4，OA =3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F点的反比例函数ky x =的图像与AC 边交于点E ．（1）求出满足题意的k 的取值范围；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求S 关于k 的函数解析式；（3）是否存在这样的实数k ，使△OEF 和△ECF 面积相等?若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例25】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数9(0)y x x=<的图像上，斜边1OA 、ky x=都在x 轴上，则点2P 的坐标为_________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDOxyOxABC OyEF【例26】 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于P ．点E 为直线2l 一点，反比例函数(0)ky x x =>的图象过点E 且与直线1l 相交于点F . （1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍，求点E 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】yA B xO PE ABxyOP F【例27】 如图，已知直线112y x =与双曲线2(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是4，过原点O 的另一条直线L 交双曲线2(0)ky k x =>于P 、Q 两点（点P 在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形的面积是24，求点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点()215-，，那么这两个函数的另一个交点的坐标为________，两个函数解析式分别是_________________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 若正比例函数和反比例函数都经过1(0)y mx m =≠和2(0)ny n x=≠都经过点（2，3）则m =___________，n =__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测ABOxy【习题3】 已知：221(+2)mm y m m x +-=：（1）如果y 是x 的正比例函数，则m ______，函数解析式为_________； （2）如果y 是x 的反比例函数，则m ______，函数解析式为_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 点P 是反比例函数图像2y x=-上的一点，PD ⊥x 轴，则△POD 的面积为_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图，A 是反比例函数ky x=图像上的一点，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P 、C ，若矩形ACOP 的面积是3，则反比例函数的解析式是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题6】 已知函数1y ax =与反比例函数2by x=的图像在同一直角坐标系中无交点，则a 和b 的关系式（）． A ．0ba >B ．0a b ->C ．0a b +=D ．0ab <【难度】★★ 【答案】 【解析】POxDyAxCO P y【习题7】 已知函数1(0)y x x =>与反比例函数24(0)y x x=>的图像在如图所示，下列结论正确的是（）．① 两函数的交点坐标为（2，2）； ② 当212x y y >>时；③ 直线x=1分别与两函数的图像交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④ 当x 逐渐增大时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小． A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②④ D ．只有①③④【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与2x -成反比例，当x = 1时，1y =-；当x = 3时，y = 5；（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当22x =-时，求y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 点P 是反比例函数与正比例函数2y x =-的图像的交点，PQ ⊥x 轴于点Q （2，0）．（1） 求这个反比例函数的解析式；（2） 如果点M 在这个反比例函数的图像上，且△MPQ 的面积是6，求M 点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB C Oxy【习题10】 已知：如图，等腰Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴的正半轴上，斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴的负半轴于点E ，且B 恰好是DE 的中点，双曲线(0)ky k x=>经过点A ，若△BEC 的面积为5，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题11】 两个反比例函数1k y x =和21y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在1k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交21y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点，交21y x=的图象于点B ，当点P 在1ky x=的图象上运动时，以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是( )A ．①②③④B ． ①②③C ．①②④D ． ①③④【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDP xyOABCDExyO【习题12】已知：正方形1112A B PP的顶点12P P，在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点11A B，分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2223A B P P，顶点3P在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点2A在x轴的正半轴上，则点3P的坐标为______．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】已若y与3x-成反比例，x与4z成正比例，则y是z的__________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】正比例函数113y x=和反比例函数2kyx=的图像都经过A(m，1)，则m= _________，反比例函数的解析式为______________．【难度】★【答案】【解析】课后作业xOy【作业3】 A 是反比例函数ky x=图像上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，若3AOB S ∆=，则k 的值是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x=-相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，则12213x y x y -的值为() A ．-10 B ．-5C ．5D ．10【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 在同一坐标系中函数1y kx =和2-1k y x=的大致图像是（ ）ABC D【难度】★★ 【答案】 【解析】-11-1 1 1-1 1xy xyx yxy-1【作业6】 如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=的图象相交于点A 、C 两点， AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求四边形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 已知12y y y =+，1y 与22x 成正比例，2y 与x 成反比例，当x =1时，y 的值为5；当x =4时，y 的值为18，求当x =9时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，直线(0)x t x =>与反比例函数1221y y x x==-，的图象分别交于B ，C 两点，A 为y 轴上的任意一点，求△ABC 的面积 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCD O xyABCx=txyO【作业9】 如图所示，正方形OABC 、ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB上，点B 、E 在函数1(0)y x x =>的图像上，求点E 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图所示，已知正比例函数1y ax =的图像和反比例函数2ky x=的图像交于A （3，2）．（1） 试确定正比例函数和反比例函数的解析式；（2） 根据图像回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3） M （m ，n ）是反比例函数上的动点，其中03m <<，过点M 坐MN ∥x 轴，交y轴于点B ，过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线BM 于点D ，当四边形OADM 的面积是6时，请判断BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】A F BC DExy OABM D C xyO【作业11】 如图（a )双曲线1(0)ky k x=>与直线`2y k x =交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答一下问题（1）若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为______________；若A 的横坐标为m ，则点 B 的坐标可以表示为______________；（2）如图（b ）所示，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线1(0)ky k x=>于P 、Q 两点，点P 在第一象限，①说明四边形APBQ 一定是平行四边形②设点A 、P 的横坐标分别是m 、n 四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m 、n 应满足的条件；若不可能，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABOxyAQPOyBx。
反比例函数复习讲义
反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。
如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。
ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图 像直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置ｋ>0，一、三象限； ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大 ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义 反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
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发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个
正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象 限.
(1)如图所示，若反比例函数解析式为y=-
0)，图中已画出符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画
2 ，P点坐标为(1， x
出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标,M1的
【解析】选A.经计算易知图象应为A.
5.(2010·眉山中考)如图，已知双曲线
y= k (k＜0)经过直角三角形OAB斜边OA
x
的中点D，且与直角边AB相交于点C． 若点A的坐标为(-6，4)，则△AOC的面积为( (A)12 (B)9 (C)6 (D)4 )
【解析】选B.易知△ABO的面积等于12.过D作x轴垂线交x轴于 点E，由相似可得△DEO的面积为3，因为D、C皆落在双曲线上， 所以△BCO的面积等于3，所以△AOC的面积为9.
4 =1， x ∴点N在函数y= 4 的图象上． x 1 2 x x
∵当x=4时，y=
(3)4≤ m ≤8．
12.(12分)(2010·金华中考)已知点P的坐标为(m，0)，在x轴 上存在点Q(不与P点重合)，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落
2 在反比例函数y=- 的图象上.小明对上述问题进行了探究， x
坐标是_____.(温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔 或签字笔描黑哦！)
(2) 请你通过改变P点坐标，对直线M1M的解析式y=kx＋b进行
探究可得k=_____，若点P的坐标为(m，0)时，则b=_____；
(3) 依据(2)的规律，如果点P的坐标为(6，0)，请你求出点 M1和点M的坐标．
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．小明家离学校1.5 km，小明步行上学需x min，那么小明
步行速度y(m/min)可以表示为y= 1500 ；水平地面上重 1 500N的物体,与地面的接触面积为x m2，那么该物体对地面 压强y(N/m2)可以表示为y= 1500 ;„，函数关系式y= 1500 还 可以表示许多不同情境中变量之间的关系,请你再列举一例 _____. 【解析】两例中两个变量是反比例函数关系.答案不唯一，情 境合适即可.
1 得到方程m(1+m)=1，解得m= x
，所以点E的坐标是
).
8.(2010·遵义中考)如图，在第一象限
内,点P,M(a,2)是双曲线y= k (k≠0)上的
x
两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与 OM交于点C,则△OAC的面积为_____. 【解析】由图可得k=6，a=3，通过△OCA∽△OMB可求得△OAC 的面积. 答案：4
一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2010·红河中考)不在函数y=
12 图象上的点是( x
)
(A)(2,6)
(C)(3,4)
(B)(-2，-6)
(D)(-3,4)
【解析】选D.图象上的点横坐标与纵坐标的乘积为12.
x x x
答案：答案不唯一.如体积为1 500 cm3的圆柱底面积为
x cm2，那么圆柱的高y(cm)可以表示为y= 1500 .
x
7．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形
ADEF的顶点E都在函数y= 1 (x＞0)的图象上，
x
则点E的坐标是(_____，_____). 【解析】先求得B的坐标(1，1)，设E的坐标为(1+m,m)，代入 y= ( 答案：
3 60 3
11.(12分)(2010·河北中考)如图，在直角坐标系中，矩形
OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶 点B的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB， BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y=
m (x＞0)的图象过点M，求该反比例函数 x
【解析】(1)如图，M1的坐标为(-1，2) (2)k=-1,b=m (3)由(2)知，直线M1M的解析式为y=-x+6， 则M(x，y)满足x·(-x+6)=-2， 解得x1=3+ 11，x2=3，
∴y1=3- 11，y2=3+ 11，
∴M1，M的坐标分别为(3- 11，3+ 11 )，(3+ 11，3- 11)．
13．(12分)利用图象解一元二次方程x2+x-3=0时，我们采用
的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线 y=-x+3，两图象交点的横坐标就是该方程的解． (1)填空：利用图象解一元二次方程x2+x-3=0，也可以这样求 解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=_____和直线y=-x，其
v
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，
则汽车通过该路段最少 需要多少时间？
【解析】(1)将(40，1)代入t= k ，解得k=40, 函数解析式为：t= 40 ，当t=0.5时，0.5= 40 ，解得m＝80,
v m v
所以：k=40,m=80. (2)令v=60，得t= 40 2 ，结合函数图象可知，汽车通过该路 段最少需要 2 小时.
2．(2010·宁波中考)已知反比例函数y= 确的是( )
，下列结论不正
(A)图象经过点(1，1) (B)图象在第一、三象限 (C)当x＞1时，0＜y＜1 (D)当x＜0时，y随着x的增大而增大 【解析】选D.因为k=1＞0，所以当x＜0时，y随着x的增大而 减小.
3.(2010·玉溪中考)如图所示的计算程序中，y与x之间的函 数关系对应的图象所在的象限是( )
的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
x
(3)若反比例函数y= m (x＞0)的图象与△MNB有公共点，请直 接写出m的取值范围．
【解】(1)设直线DE的解析式为y=kx+b， ∵点D，E的坐标为(0，3)、(6，0)，
∴y=-
1 x+3． 2
∵点M在AB边上，B(4，2)，而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2．
1 又∵点M在直线y=- x+3上， 2 1 ∴2=- x+3．∴x=2． 2 1 ∴直线DE的解析式为y=- x+3,M(2，2). 2
(2)∵y= m(x＞0)经过点M(2，2)，
∴m=4．∴y= 4 . 又∵点N在BC边上，B(4，2)，∴点N的横坐标为4． ∵点N在直线y=- x+3上，∴y=1．∴N(4，1)．
3
9.(2010·咸宁中考)如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y
轴交于A，B两点，与反比例函数y= k 的图象相交于C，D两点，
分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF， DE，EF.
x
有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④AC把你认为正确结论的序号都填上)
答案：①②④
三、解答题(共46分)
10.(10分)(2010·嘉兴中考)一辆汽车匀速通过某段公路，
所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：
t＝ k ，其图象如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和
B(m，0.5)．
(1)求k和m的值；
(A)第一象限 (C)第二、四象限
(B)第一、三象限 (D)第一、四象限
x
【解析】选C.由题可得函数y= -5 ，因k=-5＜0，所以图象在
第二、四象限.
4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E” 图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分 的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )
交点的横坐标就是该方程的解．
(2)已知函数y=- 6 的图象(如图所示)，利用图象求方程 6 x+3=0的近似解(结果保留两个有效数字)．
x x
【解析】(1)x2-3
(2)由图象得出方程的近似解为：
x1≈-1.4，x2≈4.4.