蛮力算法
维数组a[n],每个元素记录一个锁的状 态，1为被锁上，0为被打开。 2）用数学运算方便模拟开关锁的技巧，对i号锁的一次开 关锁可以转化为算术运算：a[i]=1-a[i]。 3）第一次转动的是1，2，3，„„n号牢房； 第二次转动的是2，4，6，„„号牢房； 第三次转动的是3，6，9，„„号牢房； „„ 第 i 次转动的是 i ， 2i ， 3i ， 4i ，„„号牢房，是起点 为i，公差为i的等差数列。 4）不做其它的优化，用蛮力法通过循环模拟狱吏的开关 锁过程，最后当第i号牢房对应的数组元素a[i]为0 时，该牢房的囚犯得到大赦。
17
main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
3
【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
14
算法如下： main( ) {int i,j,a[100][100],n; input(n); for(i=1;i<=n;i=i+1) for(j=1;j<=n;j=j+1) {if (i=j or i+j=n+1) a [i][j]=0; if (i+j<n+1 and i<j) a [i][j]=1; if (i+j<n+1 and i>j) a [i][j]=2; if (i+j>n+1 and i>j) a [i][j]=3; if (i+j>n+1 and i<j) a [i][j]=4;} for(i=1;i<=n;i=i+1) { print( “换行符”); for( j=1;j<=n;j=j+1) print(a[i][j]); } }
9
算法设计 2 ：将算式变形为除法： DDDDDD/A=ABCAB 。 此时只需枚举 A： 3——9 D：1——9，共尝试 7*9=63
次。每次尝试，测试商的万位、十位与除数是否相
同，千位与个位是否相同，都相同时为解。
10
main（） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
print("the chick number is ",z);} } } 算法分析：以上算法只需枚举尝试20*33=660次。实现时约束条 件限定Z能被3整除时，才判断“5*x+3*y+z/3=100”。这样省去 了z不整除3时的算术运算和条件判断，进一步提高了算法效率。
7
【例3.2】解数字迷
A
表3.1
n d(n)
编号与因数个数的关系
11 12 13 14 15 16 „„ 2 6 2 4 4 5 „„
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
数学模型2：d(n)有的为奇数，有的为偶数，由于牢房的门开 始是关着的，这样编号为i的牢房，所含1——i之间的不重复 因子个数为奇数时，牢房最后是打开的；反之，牢房最后是 关闭的。
20
算法分析2：
狱吏开关锁的主要操作是a[i]=1- a[i]；共执行 n*(1+1/2+1/3+……+1/n)次，时间复杂度近似为O （n logn）。使用了n个空间的一维数组。算法2没 有使用辅助空间，但由于求一个编号的因子个数也 很复杂，其主要操作是判断i mod j是否为0，共执 行了1+2+3+……+n次，时间复杂度为O（n2 /2）。
数学模型3：仔细观察表3.1，发现当且仅当n为完全平方 数时,d(n)为奇数；这是因为n的因子是成对出现的,也即 当n=a*b且a≠b时，必有两个因子a，b; 只有n为完全平方 数，也即当n=a2时,才会出现d(n)为奇数的情形。 算法设计3：只需找出小于n的平方数即可。
蛮力法并不总是因为减少了人脑的思维，就一 定是效率差的算法。对规模不是太大的问题， 蛮力法还是一种比较好的算法策略。
21
表3.1
n d(n) 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4
编号与因数个数的关系
7 2 8 4 9 3 10 4 11 2 12 6 13 2 14 4 15 4 16 „„ 5 „„
2
1 枚举法
枚举法（穷举法）是蛮力策略的一种表现形式，根据问题 中条件将可能情况一一列举出来，逐一尝试从中找出满足 问题条件的解。但有时一一列举出的情况数目很大，则需 要进一步考虑，排除一些明显不合理的情况，尽可能减少 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。
11
【例3.3】编程打印有如下规律的n×n方阵。
例如下图：使左对角线和右对角线上的元素为0，它们 上方的元素为1，左方的元素为2，下方元素为3，右方 元素为4，下图是一个符合条件的5阶矩阵。
0 2 2 2 0 1 0 2 0 3 1 1 0 3 3 1 0 4 0 3 0 4 4 4 0
12
构造趣味矩阵：经常用二维数组来解决
8
算法1如下： 算法分析1：该算法 main（ ） 的尝试范围是A： { int A,B,C,D,E,E1,F,G1,G2,i; 3—9，B：0—9， C：0—9 。共尝试 for(A=3; A<=9; A++) 700次，不是一个 for(B=0; B<=9; B++) 好的算法。 for(C=0; C<=9; C++) { F=A*10000+B*1000+C*100+A*10+B; E=F*A； E1=E; G1=E1 mod 10; for(i=1; i<=5; i++) { G2=G1; E1=E1/10; G1= E1 mod 10; if(G1<>G2 ) break; } if(i=6) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
15
【例3.5】狱吏问题 某国王对囚犯进行大赦，让一狱吏n次通过一排锁着 的n间牢房，每通过一次，按所定规则转动n间牢房中的某 些门锁, 每转动一次, 原来锁着的被打开, 原来打开的被 锁上；通过n次后，门锁开着的，牢房中的犯人放出，否则 犯人不得获释。 转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，要转动 每一把门锁，即把全部锁打开；第二次通过牢房时，从第 二间开始转动，每隔一间转动一次；第k次通过牢房，从第 k间开始转动，每隔k-1 间转动一次；问通过n次后，哪些 牢房的锁仍然是打开的？
18
问题分析2：转动门锁的规则可以有另一种理解，第一次转动 的是编号为1的倍数的牢房；第二次转动的是编号为2的倍数 的牢房；第三次转动的是编号为3的倍数的牢房；„„则狱吏 问题是一个关于因子个数的问题。 令d(n)为自然数n的因子个数，这里不计重复的因子，如4 的因子为1，2，4共三个因子，而非1，2，2，4。则d(n)或为 奇数，或为偶数，见下表:
4
算法1如下： 算法分析：此算 法需要枚举尝试 main( ) 20*34*100=68000 { int x,y,z; 次。算法的效率 for(x=1;x<=20;x=x+1) 显然太低。 for(y=1;y<=34;y=y+1) for(z=1;z<=100;z=z+1) if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3) {print("the cock number is",x)； print("the hen number is", y)； print("the chick number is ",z); } }
19
算法设计2: 1）算法是求出每个牢房编号的不重复的因子个数，当它为 奇数时，这里边的囚犯得到大赦。 2）一个数的因子是没有规律的，只能从1——n枚举尝试。 main2( ) { int s,i,j,n; input(n); for (i=1; i<=n;i++) 为什么从2开始？ { s=1; for (j=2; j<=i;j=j++) if （i mod j=0） s=s+1; if （s mod 2 =1） print(i,”is free.”); } }
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main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
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【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
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算法如下： main( ) {int i,j,a[100][100],n; input(n); for(i=1;i<=n;i=i+1) for(j=1;j<=n;j=j+1) {if (i=j or i+j=n+1) a [i][j]=0; if (i+j<n+1 and i<j) a [i][j]=1; if (i+j<n+1 and i>j) a [i][j]=2; if (i+j>n+1 and i>j) a [i][j]=3; if (i+j>n+1 and i<j) a [i][j]=4;} for(i=1;i<=n;i=i+1) { print( “换行符”); for( j=1;j<=n;j=j+1) print(a[i][j]); } }
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算法设计 2 ：将算式变形为除法： DDDDDD/A=ABCAB 。 此时只需枚举 A： 3——9 D：1——9，共尝试 7*9=63
次。每次尝试，测试商的万位、十位与除数是否相
同，千位与个位是否相同，都相同时为解。
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main（） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
print("the chick number is ",z);} } } 算法分析：以上算法只需枚举尝试20*33=660次。实现时约束条 件限定Z能被3整除时，才判断“5*x+3*y+z/3=100”。这样省去 了z不整除3时的算术运算和条件判断，进一步提高了算法效率。
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【例3.2】解数字迷
A
表3.1
n d(n)
编号与因数个数的关系
11 12 13 14 15 16 „„ 2 6 2 4 4 5 „„
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
数学模型2：d(n)有的为奇数，有的为偶数，由于牢房的门开 始是关着的，这样编号为i的牢房，所含1——i之间的不重复 因子个数为奇数时，牢房最后是打开的；反之，牢房最后是 关闭的。
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算法分析2：
狱吏开关锁的主要操作是a[i]=1- a[i]；共执行 n*(1+1/2+1/3+……+1/n)次，时间复杂度近似为O （n logn）。使用了n个空间的一维数组。算法2没 有使用辅助空间，但由于求一个编号的因子个数也 很复杂，其主要操作是判断i mod j是否为0，共执 行了1+2+3+……+n次，时间复杂度为O（n2 /2）。
数学模型3：仔细观察表3.1，发现当且仅当n为完全平方 数时,d(n)为奇数；这是因为n的因子是成对出现的,也即 当n=a*b且a≠b时，必有两个因子a，b; 只有n为完全平方 数，也即当n=a2时,才会出现d(n)为奇数的情形。 算法设计3：只需找出小于n的平方数即可。
蛮力法并不总是因为减少了人脑的思维，就一 定是效率差的算法。对规模不是太大的问题， 蛮力法还是一种比较好的算法策略。
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表3.1
n d(n) 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4
编号与因数个数的关系
7 2 8 4 9 3 10 4 11 2 12 6 13 2 14 4 15 4 16 „„ 5 „„
2
1 枚举法
枚举法（穷举法）是蛮力策略的一种表现形式，根据问题 中条件将可能情况一一列举出来，逐一尝试从中找出满足 问题条件的解。但有时一一列举出的情况数目很大，则需 要进一步考虑，排除一些明显不合理的情况，尽可能减少 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。
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【例3.3】编程打印有如下规律的n×n方阵。
例如下图：使左对角线和右对角线上的元素为0，它们 上方的元素为1，左方的元素为2，下方元素为3，右方 元素为4，下图是一个符合条件的5阶矩阵。
0 2 2 2 0 1 0 2 0 3 1 1 0 3 3 1 0 4 0 3 0 4 4 4 0
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构造趣味矩阵：经常用二维数组来解决
8
算法1如下： 算法分析1：该算法 main（ ） 的尝试范围是A： { int A,B,C,D,E,E1,F,G1,G2,i; 3—9，B：0—9， C：0—9 。共尝试 for(A=3; A<=9; A++) 700次，不是一个 for(B=0; B<=9; B++) 好的算法。 for(C=0; C<=9; C++) { F=A*10000+B*1000+C*100+A*10+B; E=F*A； E1=E; G1=E1 mod 10; for(i=1; i<=5; i++) { G2=G1; E1=E1/10; G1= E1 mod 10; if(G1<>G2 ) break; } if(i=6) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
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【例3.5】狱吏问题 某国王对囚犯进行大赦，让一狱吏n次通过一排锁着 的n间牢房，每通过一次，按所定规则转动n间牢房中的某 些门锁, 每转动一次, 原来锁着的被打开, 原来打开的被 锁上；通过n次后，门锁开着的，牢房中的犯人放出，否则 犯人不得获释。 转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，要转动 每一把门锁，即把全部锁打开；第二次通过牢房时，从第 二间开始转动，每隔一间转动一次；第k次通过牢房，从第 k间开始转动，每隔k-1 间转动一次；问通过n次后，哪些 牢房的锁仍然是打开的？
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问题分析2：转动门锁的规则可以有另一种理解，第一次转动 的是编号为1的倍数的牢房；第二次转动的是编号为2的倍数 的牢房；第三次转动的是编号为3的倍数的牢房；„„则狱吏 问题是一个关于因子个数的问题。 令d(n)为自然数n的因子个数，这里不计重复的因子，如4 的因子为1，2，4共三个因子，而非1，2，2，4。则d(n)或为 奇数，或为偶数，见下表:
4
算法1如下： 算法分析：此算 法需要枚举尝试 main( ) 20*34*100=68000 { int x,y,z; 次。算法的效率 for(x=1;x<=20;x=x+1) 显然太低。 for(y=1;y<=34;y=y+1) for(z=1;z<=100;z=z+1) if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3) {print("the cock number is",x)； print("the hen number is", y)； print("the chick number is ",z); } }
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算法设计2: 1）算法是求出每个牢房编号的不重复的因子个数，当它为 奇数时，这里边的囚犯得到大赦。 2）一个数的因子是没有规律的，只能从1——n枚举尝试。 main2( ) { int s,i,j,n; input(n); for (i=1; i<=n;i++) 为什么从2开始？ { s=1; for (j=2; j<=i;j=j++) if （i mod j=0） s=s+1; if （s mod 2 =1） print(i,”is free.”); } }
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第3章 蛮力法
计 算
i 1 ji 1
i 1
i 1
机 学
(n 1) (n 2) (n 3) 3 2 1
院
黄
襄 念
结论
n(n 1) (n2 ) 2
1. 选择排序算法效率属于 (n2 ) 型
2. 元素交换次数 (n 1) (n)，该特性使选择排序算法效率超过了
学 增长函数：
数
n1 ni
n1
n1
学 与
T(n) 1 [(n i 1) 1] [n i]
计 算
i 1 j1
i 1
i 1
机 学 院
n(n 1) (n2 ) 2
黄 结果讨论：
襄 念
1. 冒泡排序算法效率属于(n2 ) 类型 —— 与选择排序相同
描述：在一个包含 n 个点的点集中，找到距离最近的两个点
西 简化：二维平面上两点 Pi (xi , yi) 和 Pj (xj , yj) 的欧氏距离
华
大 学
d(Pi , Pj ) ( xi x j )2 ( yi y j )2
数 学
蛮力法：穷举计算 每一对点 的距离，然后找出距离最小的那对点。
大
学 顺序查找的蛮力法
数 学
查找键与表中元素从头至尾逐个比较。结果：找到 或 失败
与 计
限位器：把查找键添加到列表末尾—— 一定成功，避免每次循环时
算
对检查是否越界（边界检查）
机
学 院
SequentialSearch( A[0...n], K ) {
最佳效率：Tbest (n) = 1 最差效率：Tworst(n) = n + 1
算法设计与分析-第3章-蛮力法
哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
清华大学出版社
算法设计与分析
算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
清华大学出版社
算法设计与分析
第3章 蛮力法
3.1 蛮力法的设计思想 3.2 查找问题中的蛮力法 3.3 排序问题中的蛮力法 3.4 组合问题中的蛮力法 3.5 图问题中的蛮力法 3.6 几何问题中的蛮力法 3.7 实验项目——串匹配问题
清华大学出版社
算法设计与分析
3.1 蛮力法的设计思想
蛮力法的设计思想：直接基于问题的描述。 例：计算an
52 37 65 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行
清华大学出版社
算法设计与分析
对于一个具有n个元素的集合，其子集 数量是2n，所以，不论生成子集的算法 效率有多高，蛮力法都会导致一个Ω(2n) 的算法。
清华大学出版社
算法设计与分析
3.4.4 任务分配问题
假设有n个任务需要分配给n个人执行， 每个任务只分配给一个人，每个人只分配一 个任务，且第j个任务分配给第i个人的成本 是C[i, j]（1≤i , j≤n），任务分配问题要求 找出总成本最小的分配方案。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个 物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重 量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价 值，然后在他们中找到价值最大的子集。
清华大学出版社
算法设计与分析
10
蛮力法
C( n )
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
蛮力算法的特点范文
蛮力算法的特点范文蛮力算法（Brute-Force Algorithm）是一种简单直接、不依赖与特定问题领域知识的解决问题的方法。
它通过尝试所有可能的解，然后比较它们的结果来达到问题求解的目标。
蛮力算法的主要特点如下：1.直接暴力：蛮力算法不依赖于任何问题的特定知识，它直接从问题的定义出发，尝试所有可能的解，找到最优解。
这种直接暴力的方法保证了算法的通用性和适用性，适用于各种类型的问题。
2.简单易懂：蛮力算法的实现通常很简单直观，思路清晰。
它不需要过多的问题分析和优化技巧，避免了复杂的数学推导和算法设计。
相对于其他高级算法，蛮力算法容易理解和实现。
3.穷尽所有可能性：蛮力算法通过列举所有可能的解来寻找最优解。
它不会漏掉任何可能的解，同时也不会因为其中一种假设或剪枝操作而丢失最优解。
蛮力算法的穷举特性保证了结果的准确性。
4.时间复杂度高：蛮力算法的主要缺点是其时间复杂度通常较高。
由于蛮力算法需要遍历所有可能的解，所以算法的时间复杂度很容易达到指数级别。
这意味着对于大规模问题，蛮力算法的执行时间可能会非常长。
5.可以用于验证其他算法：蛮力算法具有确定性和可靠性的特点。
因此，它常常被用于验证其他算法的正确性。
通过比较其他算法的结果和蛮力算法的结果，可以判断其他算法的准确性和可行性。
6.常用于小规模问题：尽管蛮力算法的时间复杂度较高，但对于小规模问题，蛮力算法仍然是一个可行的求解方法。
在问题规模较小的情况下，蛮力算法通常能够在较短的时间内给出结果。
7.可用于优化问题：蛮力算法也可以用于优化问题。
通过遍历所有可能的解，可以找到问题的最优解或近似最优解。
虽然时间复杂度较高，但对于一些优化问题，蛮力算法依然是一种可行的求解方法。
8.需要合理的问题建模：蛮力算法的有效性和效率很大程度上依赖于问题的建模。
将问题正确地建模为待求解的空间，是保证蛮力算法正确性的前提。
合理的问题建模可以减少问题空间的范围，从而提高蛮力算法的效率。
ACM蛮力(穷举)PPT课件
{ printf("%2d:cock=%-2d hen=%-2d
chicken=%-2d\n", j, x, y, z); j++;} } }
.
10
运行结果： Possible solutions to buy 100 fowls whith 100 wen:
1: cock=0 hen=25 chicken=75 2: cock=4 hen=18 chicken=78 3: cock=8 hen=11 chicken=81 4: cock=12 hen=4 chicken=84
.
14
#include "stdio.h" main() { int m, count=0;
运行结果： 52 157 262 367 472 577 682 787 892 997
for ( m=1; m<=1000; m++ )
if ( m%3==1&&m%5==2&&m%7==3)
{ printf("%5d",m);
count++;
if(count%5==0) printf("\n");
}
}
.
15
常用的蛮力法
1.搜索所有的解空间。 2.搜索所有的路径。 3.直接进行计算。
.
16
搜索所有的解空间
案例1：假金币 案例2：现在的时间是多少？
.
17
案例1：假金币
False coin
Time Limit:3000MS Memory Limit:10000K
蛮力法是一种直接解决问题的方法，常常 直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
chicken=%-2d\n", j, x, y, z); j++;} } }
.
10
运行结果： Possible solutions to buy 100 fowls whith 100 wen:
1: cock=0 hen=25 chicken=75 2: cock=4 hen=18 chicken=78 3: cock=8 hen=11 chicken=81 4: cock=12 hen=4 chicken=84
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#include "stdio.h" main() { int m, count=0;
运行结果： 52 157 262 367 472 577 682 787 892 997
for ( m=1; m<=1000; m++ )
if ( m%3==1&&m%5==2&&m%7==3)
{ printf("%5d",m);
count++;
if(count%5==0) printf("\n");
}
}
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常用的蛮力法
1.搜索所有的解空间。 2.搜索所有的路径。 3.直接进行计算。
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搜索所有的解空间
案例1：假金币 案例2：现在的时间是多少？
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案例1：假金币
False coin
Time Limit:3000MS Memory Limit:10000K
蛮力法是一种直接解决问题的方法，常常 直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
蛮力算法的基本条件
蛮力算法的基本条件
我觉得这蛮力算法啊，它得有几个基本条件。
首先呢，得是直来直去的那种思维，就像我老家村里头的二柱子，那家伙，脑子一根筋。
看他那模样，脸黑黝黝的，眼睛瞪起来像铜铃，头发乱得跟鸡窝似的，每次决定做啥事儿，就直接冲着目标去，啥弯儿都不拐，这就有点蛮力算法那味儿。
这算法得有个明确的目标，就好比我去集上找老王头买他那只芦花鸡。
我心里就想着那只芦花鸡，其他鸡啊鸭啊的，我看都不看。
我到了集上，人挤人，那气味儿啊，混杂着鸡屎味、汗臭味，还有各种小吃的香味儿。
可我不管这些，我就一门心思找老王头和他的芦花鸡。
这目标明确了，才好施展这蛮力算法。
还有啊，这算法不能怕麻烦。
我记得有次我想找个旧书，那书可稀罕了，在一堆旧书堆里找。
那些书啊，堆得像小山似的，灰扑扑的，有的还破破烂烂。
我就一本一本地翻，旁边有人就笑我，说我傻，这么多书咋找得到。
我就跟他说，“你懂啥，我这就是要找，哪怕把这堆书全翻遍喽。
”这就像蛮力算法，不管多麻烦，就是一个劲儿地干。
再有呢，这蛮力算法在做的时候，还不能想太多旁的东西。
我有一回跟人打赌，看谁先把一块地的杂草拔完。
我就蹲下来，开始拔草。
旁边那人呢，一会儿看看天，一会儿看看地，还跟路过的人聊天。
我就不管，我就看着我眼前的草，一根一根地拔。
那草的叶子刺得我手痒痒的，我也不管，就这么干。
这就像蛮力算法，专注于自己要做的事儿，其他的都先放一边。
这蛮力算法啊，说起来简单，但真要做起来，也得有点像我这样的憨劲儿才行。
蛮力法
i=n; while (r[i]!=k) i--; return i; }
2 查找问题中的蛮力法—串的匹配
BF算法
KMP算法
下一次开始位置 下一次开始位置
本趟开始位置
i 回溯
ii
S 模式T
si
…
tj
回溯
j
j
回溯next[j]
……
3 排序问题中的蛮力法—选择排序
选择排序开始的时候，扫描整个序列，找到整个序列的最小记
录和序列中的第一个记录交换，从而将最小记录放到它在有序
区的最终位置上，然后再从第二个记录开始扫描序列，找到n-1
个序列中的最小记录，再和第二个记录交换位置。一般地，第i
趟排序从第i个记录开始扫描序列，在n-i+1（1≤i≤n-1）个记录中
找到关键码最小的记录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i
个记录。
4 组合问题中的蛮力法—任务分配问题
可以用一个n元组(j1, j2, …, jn)来描述任务分配问题的一个可能 解，其中第i个分量ji（1≤i≤n）表示在第i行中选择的列号，因此 用蛮力法解决任务分配问题要求生成整数1~n的全排列，然后把 成本矩阵中的相应元素相加来求得每种分配方案的总成本，最 后选出具有最小和 18
是否最短
否 是 否 是 否 否
蛮力法求解TSP问题存在的问题
注意到图中有3对不同的路径，对每对路径来说，不同 的只是路径的方向，因此，可以将这个数量减半，则 可能的解有(n-1)!/2个。随着n的增长，TSP问题的可 能解也在迅速地增长。
一个10城市的TSP问题有大约180,000个可能解。 一个20城市的TSP问题有大约
依次处理所有元素是蛮力法的关键，为 了避免陷入重复试探，应保证处理过的 元素不再被处理。
2 查找问题中的蛮力法—串的匹配
BF算法
KMP算法
下一次开始位置 下一次开始位置
本趟开始位置
i 回溯
ii
S 模式T
si
…
tj
回溯
j
j
回溯next[j]
……
3 排序问题中的蛮力法—选择排序
选择排序开始的时候，扫描整个序列，找到整个序列的最小记
录和序列中的第一个记录交换，从而将最小记录放到它在有序
区的最终位置上，然后再从第二个记录开始扫描序列，找到n-1
个序列中的最小记录，再和第二个记录交换位置。一般地，第i
趟排序从第i个记录开始扫描序列，在n-i+1（1≤i≤n-1）个记录中
找到关键码最小的记录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i
个记录。
4 组合问题中的蛮力法—任务分配问题
可以用一个n元组(j1, j2, …, jn)来描述任务分配问题的一个可能 解，其中第i个分量ji（1≤i≤n）表示在第i行中选择的列号，因此 用蛮力法解决任务分配问题要求生成整数1~n的全排列，然后把 成本矩阵中的相应元素相加来求得每种分配方案的总成本，最 后选出具有最小和 18
是否最短
否 是 否 是 否 否
蛮力法求解TSP问题存在的问题
注意到图中有3对不同的路径，对每对路径来说，不同 的只是路径的方向，因此，可以将这个数量减半，则 可能的解有(n-1)!/2个。随着n的增长，TSP问题的可 能解也在迅速地增长。
一个10城市的TSP问题有大约180,000个可能解。 一个20城市的TSP问题有大约
依次处理所有元素是蛮力法的关键，为 了避免陷入重复试探，应保证处理过的 元素不再被处理。
第4章 蛮力法
int maxSum=a[0],thisSum;
for (i=0;i<n;i++)
//两重循环穷举所有的连续子序列
{ for (j=i;j<n;j++) { thisSum=0; for (k=i;k<=j;k++) thisSum+=a[k]; if (thisSum>maxSum) //通过比较求最大连续子序列之和 maxSum=thisSum; }
第4章 蛮力法
4.1 蛮力法概述 4.2 蛮力法的基本应用 4.3 递归在蛮力法中的应用
4.1 蛮力法概述
• 蛮力法也称穷举法，枚举法，暴力法，是一种简单直接地 解决问题的方法，是算法中最常用的方法之一
• 通常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义，找出所有 可能的解。然后选择其中的一种或多种解，若该解不可行 则试探下一种可能的解。
//进行n-1趟排序
{
} }
exchange=false;
//本趟排序前置exchange为false
for (j=n-1;j>i;j--)
//无序区元素比较,找出最小元素
if (a[j]<a[j-1])
//当相邻元素反序时
{ swap(a[j],a[j-1]); //a[j]与a[j-1]进行交换
for (m=2;m<=1000;m++) { 求出m的所有因子之和s;
if (m==s) 输出s; }
对应的程序如下：
void main() { int m,i,s;
for (m=2;m<=1000;m++) { s=0;
for (i=1;i<=m/2;i++) if (m%i==0) s+=i; //i是m的一个因子
for (i=0;i<n;i++)
//两重循环穷举所有的连续子序列
{ for (j=i;j<n;j++) { thisSum=0; for (k=i;k<=j;k++) thisSum+=a[k]; if (thisSum>maxSum) //通过比较求最大连续子序列之和 maxSum=thisSum; }
第4章 蛮力法
4.1 蛮力法概述 4.2 蛮力法的基本应用 4.3 递归在蛮力法中的应用
4.1 蛮力法概述
• 蛮力法也称穷举法，枚举法，暴力法，是一种简单直接地 解决问题的方法，是算法中最常用的方法之一
• 通常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义，找出所有 可能的解。然后选择其中的一种或多种解，若该解不可行 则试探下一种可能的解。
//进行n-1趟排序
{
} }
exchange=false;
//本趟排序前置exchange为false
for (j=n-1;j>i;j--)
//无序区元素比较,找出最小元素
if (a[j]<a[j-1])
//当相邻元素反序时
{ swap(a[j],a[j-1]); //a[j]与a[j-1]进行交换
for (m=2;m<=1000;m++) { 求出m的所有因子之和s;
if (m==s) 输出s; }
对应的程序如下：
void main() { int m,i,s;
for (m=2;m<=1000;m++) { s=0;
for (i=1;i<=m/2;i++) if (m%i==0) s+=i; //i是m的一个因子
算法设计(第3章蛮力法)
d = dx*dx + dy*dy;
if (d<d_best) then
d_best d;
(a,b) (i,j);
return (a,b);
时间复杂度O(n2)：存在改进可能？
end
3.5.2 (0-1)背包问题
输入：n件物品的集合S (其中第i件物品的重量 和价值分别为S[i].w和S[i].v)，以及背包的最大 承重量W
[最小顶点覆盖问题的蛮力算法]
Algorithm Brute_VertexCover(V: set<int>; E: set<intint>)
begin
let C = V;
foreach V’ Powerset(V) do
let cover = true;
foreach ((u,v) E) do
3.1 字符串匹配
蛮力法：从左到右扫描T，检查T中是否含有子串P
m i c r o s o f t wi n dows sof t
匹配成功，返回位置索引5
3.1 字符串匹配
[字符串匹配算法] Algorithm Brute_Match(T, P: string) begin let i = 0, n = |T|, m = |P|; while (i ≤ n−m) do
时间复杂度O(n2)
3.5 若干最优化问题最优化问 Nhomakorabea：在问题的可行域F中找到一个解x， 使得某目标函数值f(x)最小或最大。
约束条件：解x应满足某项约束c(x)=true 连续优化问题：解的数量可能有无穷多 组合优化问题：解的数量有限时，总是可以用
蛮力法求解，但算法效率可能很低。
3.5 若干最优化问题
蛮力法 (2)
11
【例】贴纸问题 有A、B、C、D、E五人，每人额头上都帖了一张黑或白的纸。五人对 坐，每人都可以看到其他人额头上的纸的颜色。五人相互观察后， A说：“我看见有三人额头上帖的是白纸，一人额头上帖的是黑纸” B说：“我看见其他四人额头上帖的都是黑纸” C说：“我看见有一人额头上帖的是白纸，其他三人额头上帖的是黑纸” D说：“我看见其他四人额头上帖的都是白纸” E说：什么也没有说 现在已知额头上帖黑纸的人说的都是谎话，额头上贴白纸的人说的都 是实话，请你编写程序，求出这五个人谁的额头上帖的白纸，谁的额 头上帖的黑纸。
蛮力算法的优缺点：
（1）可以用来解决广阔领域的问题； （2）算法设计思想简单明了； （3）可以解决一些小规模的问题； （4）算法的效率不高，随着问题规模的增大，算法效率急剧下降； （5）问题规模过大时，在时间上，有些蛮力算法不可行。
15
作业1：用蛮力算法求解古堡问题
福尔摩斯到某古堡探险，看到门上写着一个奇怪的算式： ABCDE * ? = EDCBA 他对华生说：“ABCDE应该代表不同的数字，问号也代表某个数字！” 华生：“我猜也是！” 于是，两人沉默了好久，还是没有算出合适的结果来。 请你利用计算机的优势，找到破解的答案。 把 ABCDE 所代表的数字写出来。
蛮力法
1
蛮力法
蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性，在解决问题 时采取的一种“懒惰” 策略。这种策略不经过（或者说经过 很少）思考，把问题所有情况或所有过程交给计算机去一 一尝试，从中找出问题的解。 蛮力策略应用：选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序 查找、朴素的字符串匹配等。比较常用还有枚举法、盲目
搜索算法等。
2
1 枚举法
枚举法（穷举法）是蛮力策略的一种表现形式，根据问题 中条件将可能情况一一列举出来，逐一尝试从中找出满足 问题条件的解。但有时一一列举出的情况数目很大，则需 要进一步考虑，排除一些明显不合理的情况，尽可能减少 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。