江苏省天一中学2020届高三第一次模拟考试数学试答案
2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学第一次模拟测试试卷 (解析版)
2020年高考数学第一次模拟试卷一、填空题（共14个小题）1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为．3．函数的定义域为．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．14．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为．二、解答题15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题.[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为1．解：z＝＝i+1的虚部为1．故答案为：1．3．函数的定义域为[4，+∞）．．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．解：在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，基本事件总数为n＝＝10，抽取的两张卡片编号之和是偶数包含的基本事件个数：m＝＝4，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为p＝．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．解：因为双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，可得＝，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x．故答案为：y＝±x．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．解：如图所示，设圆柱的高为h，底面半径为r．由题意，128π＝πr2•h，∴S＝2πr2+2πr•h＝＝≥3．当且仅当，即当r＝4时取等号．此时h＝＝8．∴它的底面半径和高的比值为．故答案为：．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝﹣．解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝﹣，∵tan（α+β）＝＝＝﹣2；∴tanβ＝﹣．故答案为：﹣．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝﹣42．解：由题意可得：2×（﹣8﹣6）＝6+S9﹣（﹣8），解得S9＝﹣42．故答案为：﹣42．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为3．解：因为点A1的横坐标为1，即当x＝1时，f（x）＝sin（ω+）＝，所以ω+＝2kπ+或ω+＝2kπ+（k∈Z），又直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，所以ω+＝，故ω＝，所以：函数的关系式为f（x）＝sin（）．当x2＝3时，f（3）＝sin（）＝，即点A2的横坐标为3，（3，）为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．解：如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得＝b12，∵e1＝，∴a1＝，∴b12＝a12﹣c2＝c2（），同理可得＝b22，∵e2＝，∴a2＝，∴b22＝c2﹣a22＝c2（1﹣），∴c2（﹣1）＝c2（1﹣），即，∵e2＝3e1，∴e1＝．故答案为：．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．解：作DG∥AF交BC于G；∴，∴FE＝DG；BF＝FG；①∵，∴DG＝AF；FG＝GC；②联立①②可得EF＝AF；AE＝AF；BF＝BC；∵＝（+）•＝﹣[+（﹣）]•（）＝﹣（+）•（）＝﹣[﹣﹣]＝﹣[×22﹣•﹣×22]∴＝；则＝•＝×（）•＝×（•+）＝×（×+×22）＝；故答案为：．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为3．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：314．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为{}∪[，）．解：当x≤2时，令f′（x）＝＝0，解得x＝1，所以当x≤1时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，当1≤x≤2时，f′（x）＜0，则f （x）单调递减，当x＞2时，f（x）＝＝单调递减，且f（x）∈[0，）作出函数f（x）的图象如图：（1）当a＝0时，方程整理得f2（x）＝0，只有2个根，不满足条件；（2）若a＞0，则当f（x）＜0时，方程整理得f2（x）+3af（x）+2a2＝[f（x）+2a][f（x）+a]＝0，则f（x）＝﹣2a＜0，f（x）＝﹣a＜0，此时各有1解，故当f（x）＞0时，方程整理得f2（x）﹣3af（x）+2a2＝[f（x）﹣2a][f（x）﹣a]＝0，f（x）＝2a有1解同时f（x）＝a有2解，即需2a＝1，a＝，因为f（2）＝＝＞，故此时满足题意；或f（x）＝2a有2解同时f（x）＝a有1解，则需a＝0，由（1）可知不成立；或f（x）＝2a有3解同时f（x）＝a有0解，根据图象不存在此种情况，或f（x）＝2a有0解同时f（x）＝a有3解，则，解得，故a∈[，）（3）若a＜0，显然当f（x）＞0时，f（x）＝2a和f（x）＝a均无解，当f（x）＜0时，f（x）＝﹣2a和f（x）＝﹣a无解，不符合题意．综上：a的范围是{}∪[，）故答案为{}∪[，）二、解答题：共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．解：（1）证明：D，E分别是AC，CC1的中点，∴DE∥AC1，DE⊈平面AB1C1，∵AC1⫋平面AB1C1，故DE∥平面AB1C1；（2）证明：△ABC为正三角形，所以BD⊥AC，因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，故BD⊥平面AA1C1C，A1E⊂平面AA1C1C，所以BD⊥A1E，又A1E⊥AC1，DE∥AC1，所以A1E⊥DE，又BD∩DE＝D，所以A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，化简得：，目标函数z＝240x+378y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点A时，截距z最小，解方程组，得点A的坐标为（，0），又∵x∈N，y∈N，∴点A（，0）不是最优解，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝240×8+378×0＝1920，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝，又由右准线方程为x＝2，得到＝2，解得a＝，所以b2＝a2﹣c2＝1所以，椭圆C的方程为+y2＝1（2）设B（x1，y1），而A（0，1），则M（，），∵＝，∴N（，），因为点B，N都在椭圆上，所以，解得：y1＝，x＝所以（3）由原点O到直线l的距离为1，得＝1，化简得：1+k2＝m2联立直线l的方程与椭圆C的方程：，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，且△＝8k2＞0，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）﹣+m2＝＝＝＝λ所以k2＝，所以△OAB的面积S＝1×AB＝|x1﹣x2|＝＝＝＝，因为S＝在[，]为单调减函数，并且当λ＝时，S＝，当λ＝时，S＝，所以△OAB的面积S的范围为19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论解：（I）∵f（x）＝2x2+alnx，∴f′（x）＝4x，由题意可得，f′（1）＝2，f（1）＝2∴4+a＝2，2+m＝2∴a＝﹣2，m＝0，（II）∵f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，2（2x﹣1）2+aln（2x﹣1）+2＞2（2x2+alnx），整理可得，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]＞0对任意x∈[2，+∞）恒成立，∴4﹣a（n4﹣ln3）＞0即a当a时，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]设g（x）＝4（x﹣1）2﹣，则g′（x）＝8（x﹣1）[（2x2﹣x）﹣]∵x≥2，∴x﹣1＞0，，∴g′（x）＞0，即g（x）单调递增，g（x）＞g（2）＝0综上可得，a（III）不可能有三个不同的实根，证明如下：令g′（x）＝f（x）+2cos x，若g（x）＝5有三个不同的实数根，则g（x）至少要有三个单调区间，则g′（x）＝0至少有两个不等实根，所以只要证明g′（x）＝0在（0，+∞）至多1个实根，g′（x）＝4x，g′′（x）＝4﹣2cos x﹣∵，∴g′′（x）＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＝0至多1个根，当a≥0时，（4x﹣2sin x）′＝4﹣2cos x＞0，∴y＝4x﹣2sin x在（0，+∞）上单调递增，∴y＝4x﹣2sin x＞0，又因为a≥0时，∴＞0，g′（x）＝0g′（x）在（0，+∞）上没有实数根综上可得，g′（x）＝0（0，+∞）上至多一个实数根，得证20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．解：f′（x）＝3x2+2ax+b，（x∈R），（1）当b＝1时，f′（x）＝3x2+2ax+1，因为f（x）在区间（﹣1，）上单调递增所以当x∈（﹣1，）时，f′（x）＝3x2+2ax+1≥0恒成立．函数f′（x）＝3x2+2ax+1的对称轴为x＝﹣．①﹣＜﹣1，即a＞3时，f′（﹣1）≥0，即3﹣2a+1≥0，解之得a，解集为空集；②﹣1，即﹣时，f即，解之得，所以﹣③﹣，即a时，f≥0即3+a+1≥0，解之得a≥﹣，所以﹣综上所述，当﹣函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增．…（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，且函数f（x）在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∵g′（x）＝f′（x）∴函数g（x）也是在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减∵g（x0）═f（x0）﹣f（x0）＝0，∴x0是函数g（x）的一个零点．…由题意知：x1+2x0＝3x2，g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）∵x1+2x0＝3x2，∴2x0﹣2x2＝x2﹣x1＞0，∴x0＞x2∴f（x2）＜f（x0），∴g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）＜0又g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝x13+ax12+bx1﹣（x03+ax02+bx0）＝（x1﹣x0）（x12+x1x0+x02+ax1+ax0+b）＝（x1﹣x0）（x12+x1•+（）2+ax1+a•+b）＝（x1﹣x0）（3x12+2ax1+b+9x22+6ax2+3b）∵x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，∴3x12+2ax1+b＝0，3x22+2ax2+b＝0…∴g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝0∵函数g（x）图象连续，且在区间（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增∴当x∈（﹣∞，x1）时，g（x）＜0，当x∈（x1，x0）时g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时g（x）＞0，∴函数g（x）有两个零点x0和x1．…（16分）[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C的极坐标方程是．由，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ，整理的直角坐标方程为：x2+y2＝4x+4y，所以曲线C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．（2）由（1）知圆C半径，利用圆心到直线的距离，所以．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【解答】证明：∵x1+x2+x3＝3x1x2x3，∴，∴，当且仅当“x1＝x2＝x3＝1”时取等号，故x1x2+x2x3+x3x1≥3，即得证．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．解：（1）抛物线C的焦点F坐标为，且该点在直线x+y﹣1＝0上，所以，解得p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x；（2）由点F在线段AB上，可设直线l1，l2的方程分别为y＝a和y＝b且a≠0，b≠0，a≠b．则，，D（﹣1，a），E（﹣1，b）∵P是DE的中点，∴直线AB的方程为，即4x﹣（a+b）y+ab＝0，又点F（1，0）在线段AB上，∴ab＝﹣4，，，由于AP，EF不重合，所以AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．【解答】角：（1）某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数为：m＝+＝28．（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的概率分布为：X0123PX的数学期望E（X）＝＝．。
2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}，则A∩B=()A. [0,1]B. {7}C. [0,1]∪{7}D. [1,7]2.设复数z=(5+i)(1−i)(为虚数单位)，则的虚部是()A. 4iB. −4iC. −4D. 43.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是()．A. 11月份人均用电量人数最多的一组有400人。
B. 11月份人均用电量不低于20度的有300人C. 11月份人均用电量为25度D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30，40)一组的概率为5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7−a8=5，则S11为()A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7.已知sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=()A. 58B. −78C. −58D. 788.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，B(0,2b)，若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 39.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 10B. 17C. 24D. 2610.过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1|AB|+1|CD|=()A. 2B. 4C. 12D. 1411.已知函数f(x)=3sin(πx)x2−3x+3，给出三个命题：①f(x)的最小值为−4，②f(x)是轴对称图形，③f(x)≤4π|x|.其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 312.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2√3，侧面积为8√3，则它的体积为()A. 4B. 8C. 12πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗⋅b⃗ 的值是______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，则该圆柱的侧面积为__________．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：C1F//平面ABE；(2)设P是BE的中点，求三棱锥P−B1C1F的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据：(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，直线l 1：kx −y +k =0.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的方程为cosθ−2sinθ=4ρ．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 2的直角坐标方程；(2)l 1与曲线C 交于不同的两点M ，N ，MN 的中点为P ，l 1与l 2的交点为Q ，l 2恒过点A ，求|AP|·|AQ|的值．23. 设函数f(x)=|x|．(1)设f(x −1)+f(x +2)<4的解集为A ，求集合A ；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，以及一元二次不等式的解法，属基础题．求出集合B，根据交集定义进行求解．解：集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，∴A∩B={x|0≤x≤1或x=7}=[0,1]∪{7}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：z=(5+i)(1−i)=6−4i，∴虚部是−4，故选C．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：C解析：本题考查频率分布直方图，逐一判断求解即可．解：根据频率分布直方图知，11月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；11月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；11月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为110，∴D正确．故选C．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B 解析：利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：2a7−a8=2(a1+6d)−(a1+7d)=a1+5d=a6=5，∴S11=11×a1+a112=11a6=55．故选B．7.答案：B解析：解：由sin(π3−α)=14，可得：cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=14．那么：cos(π3+2α)=cos2(π6+α)=2cos2(α+π6)−1=2×116−1=−78．故选：B．利用诱导公式和二倍角公式即可计算．本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用！属于基础题．8.答案：B解析：解：F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，B(0,2b)，若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：2b−c ⋅−ba=3，可得2b2=3ac，即2c2−2a2=3ac，可得2e2−3e−2=0，e>1，解得e=2．故选：B．求出双曲线的焦点坐标，利用直线FB与C的一条渐近线乘积，列出方程，然后求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：D解析：解：第一次，S=2，i=3，⇒S=5，i=5，⇒S=10，i =7，⇒S =17， i =9，⇒S =26， i =11>10，程序终止， 输出S =26， 故选：D根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0， 由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2， 所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2， 同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB|+1|CD|=14k 2+4+k 24k 2+4=14， 故选D ．11.答案：D解析：解：①若f(x)的最小值为−4等价为3sin(πx)x 2−3x+3≥−4恒成立，且能取等号， 即4x 2−12x +12+3sin(πx)≥0恒成立，设g(x)=4x 2−12x +12+3sin(πx)，则g(x)=4(x −32)2+3+3sin(πx)≥3+3sin(πx)≥0， 当x =32时，g(x)=3+3sin 32π=3−3=0，即0能取到，故①正确， ②∵x =32是y =3sin(πx)和y =x 2−3x +3共同的对称轴， ∴x =32是f(x)的对称轴，即f(x)是轴对称图形，故②正确， ③∵y =x 2−3x +3=(x −32)2+34≥34，∴f(x)≤|f(x)|≤|3sinπx34|=4|sinπx|，只要证明|sinπx|≤π|x|，即可， 设|sint|≤|t|，(t ≥0) 当t ≥1时不等式恒成立， 当0≤t <1时，即证明sint ≤t ，设ℎ(t)=sint −t ，ℎ′(t)=cost −1≤0，即ℎ′(t)在0≤t <1上是减函数， 则ℎ(t)=sint −t ≤ℎ(0)=sin0−0=0， 即sint ≤t 成立，综上，4|sinπx|≤4π|x|成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 故选：D ．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．12.答案：A解析：解：作PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结OE ，PE ， ∵正四棱锥P −ABCD 中，AB =2√3，侧面积为8√3， ∴O 是四边形ABCD 的中点，E 是BC 的中点，PE ⊥BC ， 4×12BC ×PE =8√3，解得PE =2，∴PO=√PE2−OE2=√4−3=1，∴正四棱锥P−ABCD的体积V=13×S正方形ABCD×PO=13×2√3×2√3×1=4．故选：A．作PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连结OE，PE，求出PE=2，从而PO=1，由此能求出正四棱锥P−ABCD的体积．本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.答案：−4解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．解：∵|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−a⃗2=−22=−4．故答案为：−4．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4√3π解析：本题主要考查了圆柱的侧面积和球的相关知识，属于基础题．由它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，可求出圆柱底面圆的半径r =√22−12=√3，进而求得侧面积．解：∵圆柱的高为2，且它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上， ∴可得圆柱底面半径r =√22−12=√3， ∴圆柱的侧面积．故答案为4√3π．16.答案：6解析：解：∵BC =6,AB =4,cosB =13，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2) ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1. (Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ， 在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点， ∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ， ∵C 1M ∩FM =M ， ∴平面FC 1M ⊄平面ABE ， ∵C 1F ⊂平面FC 1M ， ∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ， 则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ； (2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t−2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250，∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求； (Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813．∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=1x(x+1)−lnax (x+1)2=1+1x−lnax (x+1)2，由f′(1)=2−lna 4=12，解得a =1．(2)∵a =1，∴f(x)=lnx x+1，∴由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，设g(x)=2+lnx x+1，则g′(x)=1x−lnx−1(x+1)2，再设ℎ(x)=1x−lnx−1(x+1)2，则ℎ′(x)=−x+1x 2<0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上递减， 又ℎ(1)=0，∴当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为增函数； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上为减函数； ∴g(x)max =g(1)=1，∴只需b ≥g(x)max =1，即b ≥1， ∴b 的最小值b min =1．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，由导数值等于12，求得实数a 的值； (2)由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，构造g(x)=2+lnx x+1，求出g(x)max =1，即可求实数b 的最小值．本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查函数的最值，正确分离参数是关键，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，∴(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2：cosθ−2sinθ=4ρ，即ρcosθ−2ρsinθ=4， ∴x −2y =4，即x −2y −4=0. (2)∵直线l 1：kx −y +k =0， 即y =k(x +1)，∴直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C ：(x +3)2+(y −4)2=16，得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0. 设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=4(2sinα−cosα)，t 1t 2=4.设点Q 对应的参数为t 3.将l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)代入直线l 2：x −2y −4=0， 得t 3=5cosα−2sinα.∴|AP|·|AQ|=|t 1+t 22||t 3|=2|2sinα−cosα||5cosα−2sinα|=10．解析：(1)消去θ可得(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2即ρcosθ−2ρsinθ=4，可得x −2y =4； (2)直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C 得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，根据几何意义及根与系数的关系求解．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2| ={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2． 因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2，所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}； (2)由(1)知m =1，则a +b +c =1， 又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−cc =b +c a ·a +c b ·a +bc≥2√bca·2√acb·2√ab c=8，当且仅当a =b =a =13时等号成立． 所以1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1−aa ·1−bb·1−cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1−aa ·1−bb·1−cc≥8，注意等号成立的条件．。
江苏省2020届高三一模数学应用题分类练习答案
3
2
记
cos 0
2 3
,
0
( 4
,
)
2
，列表：
( 4
,
0
)
0
l( )
0
(
0
,
2
)
P
A
S
M
N ST B
O
D
C GR …………………………10 分
…………………………12 分
l( )
极小值
…………………………14 分
所以当 cos 2 时， l( ) 最小. 3
答：当 时，六边形徽标的面积为 3 a2 .
6
4
（2）设六边形徽标的周长为 l ，则
…………………………6 …………………………9 分
l 3(AA1 A1B)
3[2OAsin
2
2OA1
sin(
2 3
)]
2 3a( 1 sin 3 cos ) 2 22 2
sin(
6
)
3
3
6(
)
6
6sin( sin
) 6
6
3cos sin
，
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ……………………6 分
因为
(0,
2
)
，所以
(
,
5
)
.
6
3
66
…………………………7 分
（2） S 6 3
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。
16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。
证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。
1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
2020-2021学年高三数学第一次模拟考试试卷及答案解析(苏教)
最新高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B I = ▲ .2．已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中 从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .8．设一个正方体与底面边长为▲ . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ .10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ .12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x x mf x =+，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点.（1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .17．(本小题满分14分)如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？6318．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若r =. ①求证：1214k k =-； ②求OP OQ ⋅的最大值.19．(本小题满分16分)已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.20．(本小题满分16分)设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a L 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++L 中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-L .（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=u u u r u u u r. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60︒，求实数λ的值.23．（本小题满分10分）设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥L ，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44TS ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n nTS 的表达式，并证明之.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}1-2.3. 3104. 175. 176. 927. 3- 8. 29. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33[,]22- 14. 1(0,]1e + 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，0ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分 所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. ………6分所以()2sin()6f x x π=+. …………8分（2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以sin()[6x π+∈，即()[2]f x ∈. …………14分 16．证明：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1A C 的中点，M 是BC 的中点，所以1//OM A B . ..............4分 又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ............6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =I ，所以BC ⊥面11ACC A . .............8分 而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ，又11ACC A 是正方形，所以11A C AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =I ， 所以1AC ⊥面1A BC . .............12分 又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . .............14分 17．解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ..............2分 设5,3PA x PB x ==，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， ..............6分所以点P 到直线AB的距离sin 5h PA PAB x =∠=== ...............10分所以当234x =，即x =h 取得最大值15千米.即选址应满足PA =PB =. ...........14分 解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. .......2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >，则=化简得，222(17)15(0)x y y -+=>， ...............10分 即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ............14分 18．解：（1）因为椭圆C右焦点的坐标为0)，所以圆心M的坐标为1)2±， .......2分从而圆M的方程为2211(()24x y +±=. …………4分 （2）①因为圆M 与直线1:OP y k x ==， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， ………6分 同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， ………8分从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. …10分②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， ……12分同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分 221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以OP OQ ⋅的最大值为52. ……16分 19. 解：（1）由题意得(1)()xa x f x e -'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =，所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立，所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ………6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-， 综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分 （3）结论是12()02x x g +'<. …………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=，易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. ……12分因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-，即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ……………14分因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. …………16分20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2ii A =，12i i B +=，所以1222i i ii r +=-=-，11i m ≤≤-. ……………4分（2）根据题意可知，i i a A ≤，1i i B a +≤，因为20i i i r A B =-=-<，所以i i A B <可得1i i i i a A B a +≤<≤即1i i a a +<，又因为1,2,3,,1i m =-L ，所以{}n a 单调递增， ……7分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ……………10分（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2n n c =-. ………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2n n a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2i i i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-， 因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. ……………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）附加题答案21. A 、解：因为CD 与O e 相切于D ，所以CDA DBA ∠=∠， ……2分又因为AB 为O e 的直径，所以90ADB ∠=︒.又DE AB ⊥，所以EDA DBA ∆∆:，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠. ………4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆.所以4AE AC ==，所以5AD ==， ……… 6分又DE AE BD AD =，所以154DE BD AD AE =⋅=. …………10分 B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x xy x y'=⎧⎨'=+⎩， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=. ………10分C 、解：点A 的直角坐标为(2,2)-， …………2分圆E 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， ………6分 则点A 到圆心E的距离4d r ==>=，所以点A 在圆E 外. ………10分D、解：因24(12121212)a b c d ≤+++++++， (6)分又1a b c d +++=，所以224≤，≤ ………10分22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C ………2分 （1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-u u u u r ，11(0,4,0)AC =u u u u r ，1(1,2,2)A D =-u u u u r ，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r 则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =u r，又111111cos ,||||DB n DB n DB n ⋅<>===u u u u r u r u u u u r u r u u u u r u r ， 所以直线1DB 与平面11AC D…………6分 （2）BD DC λ=u u u r u u u r Q ，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=u u u u r ，124(,,2)11A D λλλ=-++u u u u r ， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+u r . …………8分又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =u u r ，由题意得121|cos ,|2n n <>=u r u u r ，12=，解得1λ=或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1. …………10分23.解：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分 （2）猜想12n n T n S +=. ……………5分 下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立；②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. ……6分则当1n k =+时，易知311k k S C ++=， 而当集合M 从{}1,2,3,,k L 变为{}1,2,3,,,1k k +L 时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-L 3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=， 即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立. 综上所述，猜想成立. ……………10分（说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）。
2020-2021常州市天一中学高三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021常州市天一中学高三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．122 4．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1825．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．166．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．167．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．510．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 11．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．1492412．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=ABC V 的面积为______．14．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 15．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．16．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 17．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．18．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．19．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 20．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝55-时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．23．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．24．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .25．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.26．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．2．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a ab a b a a =＝，＝4312341233a a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，，…101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．4．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．5．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．6．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.7．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,()ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值．1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．10．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈12．A解析：A 【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。
江苏省天一中学2020届高三第一次模拟考试数学试题II卷
2020届江苏省天一中学高三年级第一次模拟考试
数学II(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M 的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==22321t y t x （t 为参数），在以坐
标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是)4
sin(24θπρ+=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于两点B A ，，求线段AB 的长．
C .[选修4—5：不等式选讲
]已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号。
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5)2 2
5
，…8 分
5
5
5
所以
cos C
cos(
(
A
B))
cos( A
)
2 (cos A sin A)
10
，
42
10
又因为 0 C ，所以 sin C
1 cos2 C
1(
10 )2
3
10
，
10
10
3 10 从而 tan C sin C 10 3 ，………………………………………………12 分
即
，解之得
，所以
③
，即
时，
即
，解之得
，所以
综上所述，当
函数 在区间
上单调递增．
（2）∵ 有两个极值点
，
∴
是方程
的两个根，且函数 在区间
和
上单调递增，在 ∵
上单调递减．
∴函数 也是在区间
和
上单调递增，在
∵
，∴ 是函数 的一个零点．
由题意知：
∵
，∴
，∴
∴
又
上单调递减 ，∴
∵
是方程
的两个根，
∴
，
,
∴
∵函数 图像连续，且在区间
所以 p 1 0 ，解得 p 2 2
故所求抛物线 C 的方程为 y 2 4x （2）由点 F 在线段 AB 上， 可设直线 l1 ， l2 的方程分别为 y a 和 y b 且 a 0,b 0, a b .
则 A ( a2 ，a) ，B (b2 ，b) ，D (1，a) ，E (1，b)
S
的范围为
10 , 2
2 ．
6 5
19.（1）.a=-2,m=0………………………………………2 分
4
(2).（-∞，
）………………………………………16 分
ln4 - ln3
20.（1）当
时，
，因为函数 在
上单调递增，
所以当
时，
恒成立．
函数
的对称轴为
．
①
，即
时，
，
即
，解之得
，解集为空集；
②
，即
时，
2
2
1 k2
x1 x2
1 2
1 k2
x1 x2 2 4x1x2
1 1 k 2 2
8k 2 1 2k 2 2
2
1 k2 k2
1 2k 2 2
2 1 ，
因为 S
2
1
在
4 5
,
5 6
为单调减函数，
并且当
4 5
时， S
22 5
，当
5 6
时， S
10 ， 6
所以
OAB
的面积
A1E 平面 AA1C1C
BD A1E A1E AC1 且 DE // AC1
A1E DE ……………………11 分
DE ， BD 平面 BDE 且 DE BD D A1E 平面 BDE ……………………14 分
16.（1）在 △ABC 中，由余弦定理 b2 c2 2bc cos A a2 得，
2020 届江苏省天一中学高三年级第一次模拟考试 参考答案
3
1. [0，1] 2. 1
3.[4，+∞]
4.
5
5.y= 3 x 4
1
1
6.
7.
2
4
-3 8. 4
9.-42
5 10.3 11. 3
22 12. 9
13. 3
15.证明：
(1) D ， E 分别是 AC ， CC1 的中点
DE // AC1 ……………………2 分 DE 平面 AB1C1 ， AC1 平面 AB1C1
7 15
，
P( X
2)
C41C11C21C21 C42C22 C52C42
11 30
，
P( X
3)
C41C22 C52C42
1 15
.
故 X 的概率分布为：
X
0
1
2
3
1
7
11
1
P
10
15
30
15
所以
E(x)
7 5
.
上单调递增，在
上单调递减，在
上单
调递增
∴当
时，
，当
时
，当
时
，
∴函数 有两个零点 和 ．
21．A．矩阵
M
的特征多项式为
f
()
2 t
3 1
(
2)(
1)
3t
．…………2
分
因为矩阵 M 的一个特征值为 4，所以 f (4) 6 3t 0 ，所以 t 2 ．…………5 分
所以
M
2 2
1
3 1
，所以
M
1
21 3
2 21 3
2 2
2 2
3 1 3
2 1 3
2 2
1 4
1 2
3
4 1
2
．……10
分
B.（1）由题意可得直线 l : 3x y 2 0 ，
……………………2 分
由 4
2 sin(
) ，得 2
4 cos
4 sin
，即
x2
y2
4x 4y,
4
所以曲线 C ： (x 2)2 ( y 2)2 8 .
m
1 k2
x1x2 km x1 x2 m2
1 k 2
2m2 2 1 2k2
4k 2m2 1 2k2
m2
2m2
2
2k 2m2
2k 2 4k 2m2 1 2k2
m2
2k 2m2
3m2 2 2k 2 1 k 2 ，
1 2k2
1 2k2
所以
k2
1 2 1
OAB 的面积 S 1 1 AB 1
b2 20 2 2 5 5 b 25 ，即 b2 4b 5 0 ， …………………………4 分 5
解得 b 5 或 b 1 （舍），所以 b 5 ． ………………………………………6 分
（2）由 cos A
5 及 0 A 得， sin A 1 cos2 A 1 (
cos C 10
10
所以 tan 2C
2 tan C 1 tan2 C
23 1 32
3 4
．………………………………………14 分
17. 过程略
答：每天排除 A 型卡车 8 辆，B 型卡车 0 辆，运输队所花的成本最低，最低成本为 1920 元。
18.（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以 a 2c ，
……………………5 分
2 322
（2）由（1）知圆 C 半径 r 2 2 ，又 d
3 ，………………7 分
2
所以 AB 2 r2 d 2 2 8 3 2 5 .
……10 分
C.解：因为 x1, x2 , x3 0, ， x1 x2 x3 3x1x2 x3 ，
所以
1 x2 x3
3x12 16
x12 2
y12
1
3 1 y1 2 8
8
，将下式两边同时乘以
3 1
再减去上式，解得
y1
1 3
， x12
16 9
所以 OB
x12 y12
16 9
1 3
2
17 3
②由原点 O 到直线 l 的距离为1，得
m 1 k2
1 ，化简得：1 k 2 m2
y kx m
又由右准线方程为 x 2 ，得到 a2 2 ， c
解得 a 2, c 1 ，所以 b2 a2 c2 1
所以，椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 2
（2）①设
B
x1,
y1
，而
A0,1
，则
M
x1 2
,
1
y1 2
，
∵
ON
6
OM
，
∴
2
N
6x1 , 4
6
1
4
y1
因为点 B, N 都在椭圆上，所以
联立直线 l 的方程与椭圆 C 的方程： x2 2
y2
，得
1
1 2k 2
x2 4kmx 2m2 2 0
设
A x1,
y1 , B x2,
y2
，则
x1
x2
4km 1 2k2
, x1x2
2m2 2 1 2k2
，且
8k 2
0
OA OB
x1x2
y1 y2
x1x2
kx1
m kx2
k AP
由于 AP ， EF 不重合，所以 AP // EF
23.解：（1）选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数为 C41C11C22 C42C21C21 28 种.
（2）X 的可能取值为 0，1，2，3.
P(X
0)
C42C22 C52C42
1
，
10
P( X
1)
C41C11C22 C42C21C21 C52C42
4
4
∵ P 是 DE 的中点，∴ P(1, a b ) 2
直线
AB
的方程为
y
a
b b2
a a2
(x
a2 4
)
44
即 4x (a b) y ab 0
又点 F (1，0) 在线段 AB 上，∴ ab 4
k AP
a ab 2