习题讲评0426
广东省湛江市赤坎区培才学校2024-2025学年七年级上学期数学期中考试题
广东省湛江市赤坎区培才学校2024-2025学年七年级上学期数学期中考试题一、单选题1．2024-的倒数是（）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024-2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．如果收入100元记作100+元．那么支出80元记作（）A ．80+元B ．80-元C ．180+元D ．20-元3．举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米.55000这个数用科学记数法可表示为()A ．5.5×103B ．55×103C ．0.55×105D ．5.5×1044．下列代数式中，书写规范的是（）A ．1x -B ．0.3b ÷C ．315xyD ．2a5．下列运算中，正确的是（）A ．1393⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭B ．()212-=C ．()236-⨯-=-D ．121-+=-6．用算式表示“比﹣4℃低6℃的温度”正确的是（）A ．﹣4+6=2B ．﹣4﹣6=﹣10C ．﹣4+6=﹣10D ．﹣4﹣6=﹣27．一次社会调查中，某小组了解到某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是400.05mm ±，则下列乒乓球中，直径不符合标准的是（）A ．40.01mmB ．39.94mmC ．40.03mmD ．39.98mm8．计算13124243⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．30-9．有理数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．1b >-B ．0a b +>C ．a b >D ．0a b ->10．第十四届国际数学教育大会（14ICME -）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0-7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是32138784852021⨯+⨯+⨯+=，表示14ICME -的举办年份．按照上述方法将八进制数2067换算成十进制数为（）A ．16B ．127C ．1079D ．1143二、填空题11．用四舍五入法把0.336精确到百分位，所得到的近似数是．12．比较大小：2-3-（填“>”或“<”或“=”）．13．列代数式表示“比m 的3倍大1的数”是．14．某高山上的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.6℃．如果山脚处温度是28℃，则山上1000米处的温度是℃．15．若有理数a ，b 满足|a ＋3|＋（b －2）2＝0，则ab 的值为．16．观察下列用小棒围成的图形，第1个图形中有6根小棒，第2个图形中有11根小棒，第3个图形中有16根小棒，…，则第201个图形中有．三、解答题17．计算：()2418355÷--⨯-．18．如果,a b 互为倒数，,c d 互为相反数，m 是最大的负整数．求代数式2025ab c d m ++-的值．19．已知下列有理数：()211,3,5,0,2, 1.52--+-．(1)这些有理数中，整数有____个，负数有_____个，(2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上，再按从小到大的顺序用“<”连接起来．20．张先生给一间房子铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的数量如表：每块地砖的面积2/m 0.20.30.60.8…所需地砖数量/块30020010075…(1)从表格中得到：①张先生的房间有______2m ；②所需地砖的数量随着每块地砖的面积的增大而______（填“增大”或“减小”）．(2)若用y 表示所需地砖的数量，x 表示每块地砖的面积．请用式子表示y 与x 的关系．并写出y 与x 成什么比例关系？21．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14,9,8,7,13,6,12,5-+--+-．(1)救灾过程中，冲锋舟离出发点A 最远处有_____千米．(2)请你帮忙确定B 地在A 地的哪个方向？它们相距多少千米？(3)若冲锋舟每千米耗油0.4升，油箱容量为25升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？22．小亮房间窗户宽为b ，高为a ，窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．(1)用含,a b 的代数式表示窗户能射进阳光的面积．（结果保留π）(2)当32,2a b ==时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取3π≈）(3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算，此时窗户能射进阳光的面积是多少？（用含,a b 的代数式表示，结果保留π）23．观察下列图形与等式的关系：……根据图形及等式的关系，解决下列问题：(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是_____，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：_____；(2)用含n 的等式表示第n 个图中空白部分小正方形的个数反映的规律；(3)运用上述规律计算：()222222221202420232022202120202019211012-+-+-++-⨯ ．24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：回答下列问题：(1)数轴上表示4-和2的两点之间的距离是_____．(2)折叠纸面，若使4-表示的点与2表示的点重合，回答以下问题：①这时数轴上有一点与表示8的点重合，求出该点所表示的数；②这时如果数轴上M N 、两点之间距离为1996（M 在N 的左侧），且M N 、两点经折叠后重合，则M 、N 点表示的数分别是多少？(3)在数轴上剪下一条线段AD ，点,A D 表示的数分别为5-，4，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为1：1：2，那么折痕处对应的点所表示的数是多少？（请直接写出结果）。
2020高考数学第一轮总复习 4-6(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 4-6（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°[答案] A[解析] ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ＝32sin C ＋32cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.故选A.(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 [答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A.2．(文)(2011·湖北八校联考)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2) [答案] C[解析] 由条件知，a sin60°<3<a ，∴3<a <2.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22si n A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.3．(2011·福建质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5， 又csin C ＝b sin B ，所以sin C ＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B. 4．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B ．－725C ．±725D.2425[答案] A[解析] 由bsin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.5．(2011·辽宁理，4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sinB ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴b a＝ 2.6．(文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.7．在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin Csin B的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BAAC＝2.8．(2011·广州一测)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3.9．(文)(2012·石家庄质检)在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝2，AC ＝263，则∠B ＝________.[答案] 45°[解析] 利用正弦定理可知：BC sin A ＝ACsin B， 即2sin60°＝263sin B ，∴sin B ＝22， ∵2>263，∴BC >AC ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝45°.(理)(2012·北京西城区期末)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b ＝5，B ＝π4，tan C ＝2，则c ＝________.[答案] 2 2[解析]⎭⎪⎬⎪⎫sin 2C ＋cos 2C ＝1tan C ＝2⇒sin C cos C ＝2⇒sin 2C ＝45⇒sin C ＝255.由正弦定理，得b sin B ＝csin C ，∴c ＝sin Csin B×b ＝2 2. 10．(2012·河南商丘模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝(3a －c )cos B .(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值．[解析] (1)由正弦定理得，sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2. 又cos B ＝13，∴ac ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及b ＝22， 可得a 2＋c 2＝12，∴(a －c )2＝0，即a ＝c . ∴a ＝c ＝ 6.[点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力.能力拓展提升11.(文)(2011·泉州质检)△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] 依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝12，所以B ＝60°，选B. (理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的长度分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC的面积等于3，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝1，b ＝4B ．a ＝4，b ＝1C ．a ＝4，b ＝4D ．a ＝2，b ＝2[答案] D[解析] 由余弦定理得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，∴ab ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4.解得a ＝2，b ＝2.12.(2011·天津理，6)如图，在△AB C中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC ＝2BD，则sin C的值为( )A.33B.36C.63D.66[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD＝2，则AB＝3＝AD，BC＝4.在△ABC中，由正弦定理得3sin C ＝4sin A，在△ABD中，由余弦定理得，cos A＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A＝223，∴sin C＝3sin A4＝3×2234＝66，故选D.13．(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则∠A的大小为________．[答案] π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π，∴B ＝π4，∵bsin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b＝2×222＝12， ∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.(理)(2011·河南质量调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝2.14．(2011·安阳月考)在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则ab ＋c＋bc ＋a＝________.[答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＝1.15．(2012·天津文，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24. (1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．[分析] (1)由cos A ＝－24及0<A <π，sin 2A ＋cos 2A ＝1可求sin A ，再由正弦定理求sin C ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可求b 的值．(2)由(1)知道sin A ，cos A ，用正弦、余弦二倍角公式求sin2A ，co s2A ，展开cos(2A ＋π3)代入即可．[解析] (1)在△ABC 中， 由cos A ＝－24，可得sin A ＝144. 又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b >0，故解得b ＝1. 所以sin C ＝74，b ＝1. (2)由cos A ＝－24，sin A ＝144得， cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74. 所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218. [点评] 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦关系、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查基本运算求解能力．16．(文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＝－3cos2B ，∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3， 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，a 2＋c 2－ac －4＝0，又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)． [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A 、sin C 、sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长． [解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C . ∴m ·n ＝sin C . 又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得， 2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得，2c ＝a ＋b . ∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.。
人教版高中数学选修4-5练习：第二讲2.2综合法与分析法Word版含解析(20200621171447)
D. |a－b|≥ a－ b
解析： 因为 a＞0，b＞0，
所以
(a＋
b)
1a＋
1 b
≥
2
ab·2
a1b≥4，
当且仅当 a＝b 时等号成立，故 A 恒成立；
如： a＝12， b＝4 也满足 a＋ b＞2，ab＝2＞ 1，但不满足 a＞1，b
＞1.
答案： B
二、填空题
6．如果 a a＋b b＞ a b＋ b a，则实数 a， b 应满足的条件是
________． 解析： a a＋ b b＞ a b＋b a? ( a＋ b)( a－ b)2＞ 0? a≥0，b
a3＋ b3≥2ab2，取 a＝12，b＝23，则 B 不成立； a2＋ b2＋2－(2a＋2b)＝ (a－1)2＋ (b－1)2≥0，故 C 恒成立；
若 a＜b，则 |a－b|≥ a－ b恒成立； 若 a≥b，则 ( |a－b|)2－( a－ b)2＝2( ab－b)≥0，
所以 |a－b|≥ a－ b，故 D 恒成立．
答案： C
2．设 x，y＞0，且 xy－(x＋y)＝1，则 ( )
A．x＋y≥ 2( 2＋1) C．x＋y≤ 2( 2＋1)2
B．xy≤ 2＋1 D．xy≥2( 2＋1)
解析： 因为 x，y＞0，且 xy－(x＋y)＝1， x＋y 2
所以 (x＋y)＋1＝xy≤ 2 . 所以 (x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若 a＞0，b＞0，则必有 ( )
2006年数学二试题分析、详解和评注
2xx6年数学二试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =（3）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰.（4） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .二、选择题：7－xx 小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. [ ]（9）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[ ]（xx ）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .xy y y x '''--=（B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-= [ ]（xx ）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x . [ ]（xx ）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （xx ）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.[ ] （xx ）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］ 三 、解答题：xx －23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（xx ）（本题满分xx 分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（xx ）（本题满分xx 分）求 arcsin e d e xxx ⎰. （xx ）（本题满分xx 分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （xx ）（本题满分xx 分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （xx ）（本题满分xx 分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分xx 分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分xx 分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.1…..【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4s i n 14s i n 1l i m l i m 2c o s 52c o s 55x x x x x x xx x x →∞→∞++==--.故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例xx 】，《数学复习指南》（理工类）P.xx0【例6.30】，【例6.31】.2…….【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例xx 】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和xx 年均考过该类型的试题，本题属重点题型.3….【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b bb b b x x x x x xb +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰.【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.xx9【例3.74】.4……..【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.（1e CC =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.xx9.5……【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x y y x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d yyy x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x y x==-.方法三：令(,)1e yF x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y F F x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例xx 】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.xx 】.6…..【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2xx5年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.xx 】7…..【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>， 则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.xx5【例6.1】，P.xx3【１（３）】.8….【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰， 而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2xx6文登最新模拟试卷（数学三）（8）.9……【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例xx 】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. xx …..【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-. 则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即. 故对应的齐次微分方程为 20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e xf x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）. 【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例xx 】，《数学复习指南》P.xx6【例 5.xx 】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.xx5（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.xx6【例xx 】及练习.xx ……【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第xx 讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例xx.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.xx ….【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.4xx 【例3.7】，几乎相同试题见文登2xx6最新模拟试卷（数学一）Ｐ.２（xx ）.xx …….【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.xx 】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例xx.xx …….【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. 【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.xx4表格.xx …..【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21tx t x t t =-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln 212t C t -=+=+【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.xx …….. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xyx y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第xx 讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P.284【例xx.1】xx …. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型，令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】 对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准则来证明.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.24【例1.xx －例1.21】.xx ….【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【评注】 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证. 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第2节【例4】，《数学复习指南》（理工类）P.3xx 【例xx.25】.20……【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I）.按常规方法解（II）即可.【详解】（I）设u=，则(( z zf u f u x y∂∂'' ==∂∂.22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得2C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例xx.xx】,P.337【例xx.xx】21…..【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)-在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dd d d422d2,421dd d d2dyx y y ttt txt t x t tt-==-⇒===-2223d d d 12110,(0)d d d d 2d y y t x x t x t tt t⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L 当0t ≥时是凸的.（II ）由（I ）知，切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即2320004(2)(2)t t t t -=-+ 整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -，设L 的方程()x g y =， 则()3()(1)d S g y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =，即(221x =+.由于（2，3）在L上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰30(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y yy =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.xx7【例6.40】.22……【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则 1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.427【例4.5】，P.431【例4.xx 】.23…..【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【评注】 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第5讲【例xx 】，《数学复习指南》（理工类） P.464【例5.24】，习题五（２（３），３（３））。
四年级第五讲习题分析
2011年春季华英学校明师堂精讲班四年级数学拓展课程—列方程解应用题（二）习题分析请根据习题分析，仔细对照课上你自己所做的练习过程，重点不是列式和结果！重点是分析问题的思路和方法！大家加油！上一讲中，同学们已经学习了利用方程来解决应用题的一般步骤：（1）根据题意，找出题目中等量关系；（2）对等量关系中“未知的量”，设为x；（3）根据等量关系列方程，并解方程。
（4）检查，写出答话。
本讲中，我们重点研究“典型应用题”——和差倍问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等问题的方程解法。
只要选择了合适的未知数，准确的等量关系，应该说利用方程可以非常简单的解决这些问题。
但是在这节课中，发现了同学们在解决问题时普遍存在的几个问题：（1）等量关系不明显时，不会找；（2）对于表示数量关系的已知条件“关键句”，利用的不够灵活；（3）解决问题时不敢“下手”，对自己的正确的想法和思路信心不足；为了帮助大家更好的解决以上出现的几个问题，首先对于本节课的所有题目一一分析：课前引例：鸡兔同笼，鸡5只，兔10只，一共有腿多少只？分析：这是“鸡兔同笼”问题么？不是，这就是一道较为简单的“正向题”；问题是求“总腿数”，总鸡腿＋总兔腿＝总腿数：5×2＋4×10＝50由这个小题我们得到的启示：如果列方程，“正向”求解“鸡兔同笼”问题时，可以把“腿数”作为等量关系。
习题分析例1、鸡兔同笼，兔比鸡多15只，脚数共228只，鸡、兔各有几只？分析：这是我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，是一个“逆向题”，我们可以通过列方程对“逆向题”正向解。
先找等量关系，根据上题的提示，总鸡腿＋总兔腿＝总腿数（228）☆“总鸡腿”知道么？不知道，因为不知道有几只鸡；△“总兔腿”知道么？不知道，因为不知道有几只兔；不知道怎么办？设未知数x，设的依据：“兔比鸡多15只”解：设鸡有x只，则兔有（x＋15）只；总鸡腿：2x；总兔腿：4(x＋15)；根据等量关系可列方程：2x＋4(x＋15)＝2282x＋4x＋60＝2286x＝168x＝28..............鸡的只数x＋15＝28＋15＝43.........................兔的只数（课堂练习1）鸡、兔同笼，鸡比兔多15只，鸡的腿数却比兔的腿数少26只，鸡、兔各几只？分析：“鸡兔同笼”问题，是一个“逆向题”，和例1相比唯一的不同在于：例1告诉我们“鸡、兔腿数总和”，而这道题告诉我们“鸡、兔腿数差”；方法思路相同。
中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答 第4讲 明快简捷—构造方程的妙用
第四讲 明快简捷—构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如a y x =+，b xy =的关系式时，则x 、y 可看作方程02=+-b az z 的两实根．3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．【例题求解】【例1】 已知x 、y 是正整数，并且23=++y x xy ，12022=+xy y x ，则=+22y x ．思路点拨 xy y x y x 2)(222-+=+，变形题设条件，可视y x +、xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例2】 若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则ba 的值是( ) A ．59 B ．95 C ．52001- D ．92001-思路点拨 第二个方程可变形为09200152=++bb ，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例3】 已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围．思路点拨 由两个等式可求出b a +、ab 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．【例4】 已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ．(1)求a 、b 、c 中最大者的最小值；(2)求3=++c b a 的最小值．思路点拨 不妨设a ≥b ，a ≥c ，由条件得a c b -=+2，a bc 4=．构造以b 、c 为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a 的取值范围，并以此为基础去解(2)．注： 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨 设前后两个二位数分别为x ，y ，则有y x y x +=+100)(2，将此方程整理成关于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x )的取值范围．学历训练1．若方程01)32(22=+--x m x m 的两个实数根的倒数和是s ，则s 的取值范围是 ．2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，已知BC 、AC 是一元二次方程0)1(4)12(2=-+--m x m x 的两个根，则m 的值是 ．3．已知a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a += ． 4．已知012=-+αα，012=-+ββ，，则βααβ++的值为( )A ．2B ．-2C ．-1D ． 05．已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB ＝4，S △COD ＝9，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为( )A ．21B ． 25C ．26D ． 366．如图，菱形A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程的根，则m 的值为( )A ．一3B ．5C ．5或一3 n 一5或37．已知0522=--p p ，01252=-+q q ，其中p 、q 为实数，求221q p +的值．8．已知x 和y 是正整数，并且满足条件71=++y x xy ，88022=+xy y x ，求22y x +的值．9．已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中m 、n 为实数，则n m 1-＝ ．10．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 与542--=a a bc ，那么a的取值范围是 ．11．已知017101422522==--++y x xy y x ，则x = ，y = ．； 12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD=BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是 ．13．已知a 、b 、c 均为实数，且0=++c b a ，2=abc ，求c b a ++的最小值．14．设实数a 、b 、c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a ，求a 的取值范围． 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，813=∆ABC ABCD S S 梯形，梯形的高AE=235，且401311=+BC AD ． (1)求∠B 的度数； (2)设点M 为梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 相交于点F ，当323125=∆ADM S ，求作以CF 、DF 的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ABC 和平行于BC 的直线DE ，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线DE ，有几条?参考答案。
2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题六 高考解答题的审题与答题示范(六) Word版含解析
高考解答题的审题与答题示范(六)
函数与导数类解答题
[思维流程]——函数与导数问题重在“转”与“分”
[审题方法]——审结论
问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．
典例(本题满分14分)已知函数f(x)＝e x cos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤
0，
π
2上的最大值和最小值.
审题路线(1)要求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程⇒需求f′(0)及f(0)的值⇒利用点斜式求切线方程.
(2)要求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤
0，
π
2上的最大值和最小值⇒需求函数f(x)在区间⎣
⎡
⎦
⎤
0，
π
2上的极值及端点处的函数值⇒比较极值与端点处的函数值即可求出最大值和最小值.
标准答案阅卷现场。
对例题三的思考(分析“学生”文档)共10张PPT
来什么后果
气 4、让学生学会合理使用化学物质的意识，认识化学在环境保护中的重要作用、培养学生节约资源爱护环境的意识。
三、各小题分析
高温
第1小题（2） 参考答案 3CO+Fe2O3==2Fe+3CO2
意图及系数 命题依据
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如何讲解 讲
评
1.CO冶炼金 属的原理
2.化学方程式 的书写
系数：0.4
课标：21页金属与金属 什么是还原 将
如何讲解
如何讲 评
这是沪教版材料，考 虑到了水蒸气在高温 下可与铁发生反应， 南京地区讲解时可提 供信息材料。或引导 学生分析如何将尾气 处理成纯净气体然后 加以利用
三、各小题分析
第2小题（2）
参考 意图及系数 答案
命题依据 如何讲解 如何讲评
① c瓶中应装 D （填序号）。
课标：7页情感态度与价值观第4点
70页粗盐 溶质
引导学生思考这个实验如果不检查气密性会带来什么后果
提纯、蒸
发
三、各小题分析
第2小题（3）
参考答案 意图及系 命题依据 如何讲解 如何讲评 数
减少污染、 考察学生 课标：7 引导学生
二、整体命题意图及系数：
1、考查学生的识图能力（考查学生获取信息；运用文字、图表所 表述的有关信息，对获取的信息进行再加工的能力） 2、考查学生的实验基本操作技能（如检查装置的气密性、分离混 合物的方法如蒸发）
3、考查学生对有关炼铁原理的掌握
4、让学生学会合理使用化学物质的意识，认识化学在环境保护中 的重要作用、培养学生节约资源爱护环境的意识。
课本：上册40页 气密性会带 课3、标考：查7页学情生感对态有度关与炼价 铁值原观理第的掌4点握
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答案： （1）甲地位于（南北向的）河谷中，灌溉 (和排水)条件好；（北 纬 45°附近）葡萄生长季节日照时间长，光照充足；葡萄成熟季节昼 夜温差大，利于糖分积累。 （2）乙地位于（罗讷河）河流出山口附近。河流出山口前，穿行于 峡谷，水流急，可携带砾石；河流出山口后，流速变缓，携带的砾石 首先在此处堆积。 （3）乙地(临地中海)为地中诲气候;冬季温和多雨，夏季炎热干燥。 葡萄生长季节光照、热量充足。鹅卵石利于保持土壤水分 (利于地表水 下渗，防止土壤水分蒸发);鹅卵石白天 (受到太阳辐射)增温快，夜间降 温也快，增大气温的日较差，利于葡萄的糖分积累。
1996年马来西亚实施“银发族项目”，鼓励外国的退休老人到马来 西亚旅游并长期居留生活。中国参与该项目的人数一直排在首位， 2015年12月我国某集团在该国人工填海建岛开发房地产。读下图完 成7～9题。
7．参与该项目的中国人员最可能来源于 ①黑龙江省 ②山东省 ③湖北省 ④广东省 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．推测该集团人工填海建岛而非选用已有陆地的主要原因最可能是 A提高市场竞争力 B．节省建设成本 C解决土地资源不足 D．避免洪灾威胁 9．设计人员将前期规划的一岛改为四岛的主导因素最可能是 ． A．环境 B．资金 C．气候 ．D．技术
模拟卷讲评
试题分析
选择题1、2、3；7、8、9出错率最高。
综合题存在问题：
时间分配不合理，部分同学没做完。
史料记载：“左公宗棠就职后，令民旱地铺沙，改良 土地，成为特有之沙田……耕垦日广，民食渐充，白 面一斤值钱十文，近更广植浙桑，此地之桑较浙江产 叶大汁厚，实为宜蚕。”据此完成1～3题。
1．左公时任官职最可能是 A．两江总督 B湖北巡抚 C．陕甘总督 D．福建巡抚 2．左公令民“铺沙”的主要目的是 ①保持土层湿润 ②恢复土壤肥力 ③增高地底温度 ④促进根系发育 A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 3．“此地之桑较浙江叶大汁厚”的优势自然条件是 A．降水丰沛 B．气温年较差大 C．光照充足 D．土壤肥沃
反馈练习
阅读图文资料，完成下列各题。 葡萄的糖分含量越高，配制出的葡萄酒酒精度越高。葡萄生长过程中，特别是 成熟期的光照及昼夜温差与其糖分积累呈正相关。下图a中甲、乙两地均为优 质葡萄产地。图b为乙地典型的葡萄种植园景观。世界上酒精最高（16.2）的 优质葡萄酒就是使用乙地及其附近所产的葡萄配制而成的。 说明:图略 （1）分析甲地有利于种植葡萄的地形、气候条件。（12分） （2）分析乙地葡萄种植园地表鹅卵石堆积的原因。（8分） （3）简述乙地气候类型和特点，并说明气候以及葡萄种植园地表鹅卵石对葡 萄生长的影响。（16分）