2018届高三文科数学三角函数与解三角形解题方法规律技巧详细总结版
2018年高考数学(文)考试大纲解读 三角函数
三角函数考纲原文 （八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x ,y =t a n x 的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos xx x= （5）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（十）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.名师解读对于三角函数与三角恒等变换的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.样题展示考向一 三角恒等变换样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-样题2已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α= AB CD 【答案】B12cos()13αβ-=⇒ 5sin()13αβ-=，34sin()cos()55αβαβ+=-⇒+=-，则sin 2sin[()()]ααβαβ=-++ sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=-++-+5412356()()13513565=⨯-+⨯-=-，故选B. 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.考向二 三角函数的图象和性质样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D样题4（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.样题5 （2017年高考浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】（1）由2sin3π=21cos 32π=-，22211()()()322f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．考向三 利用正、余弦定理解三角形()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin u A y sin =样题6 （2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．综上可得，△BCD的面积为2，cos 4BDC ∠=．样题7 （2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b=，c =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--= .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.样题8（2017天津文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c --．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．考向四 解三角形的应用样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）求D 救援中心与着陆点A 间的距离．【解析】（1）由题意知,PA AC PA AB ⊥⊥，则,PAC PAB △△均为直角三角形，在Rt PAC △中，1,60PA PCA =∠= ，解得AC =；在Rt PAB △中，1,30PA PBA =∠= ，解得AB =又90CAB ∠= ，则3BC ==．即,B C 万米.。
2018年高考数学总复习-解三角形
第四节 解三角形考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.知识点精讲在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,.a b c1.角的关系180,sin sin()A B C A B C ++==+cos cos(),tan tan(),A B C A B C =-+=-+ sincos ,cos sin .2222A B C A B C ++== 2.正弦定理2(2sin sin sin a b c R R A B C===为ABC ∆的外接圆的直径）. 正弦定理的应用： ①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角： 若a<b,已知角Ａ求角Ｂ. 1,sin 1,21,B B π>⎧⎪⎪===⎨⎪⎪<⎩无解；两解（一锐角、一钝角）若a 〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222cos c a b ab C =+-（已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）222cos 2a b c C ab+-=（已知三边求角）. 余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角；③已知两边及一边对角不熟第三边.4.三角形面积公式1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B ∆====题型归纳及思路提示题型67 正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；.sin 1sin sin 1A A A ⎧⎪<⎧⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪>⎩⎩大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－ （3）两边一对角，求第三边.一、利用正弦定理解三角形例4.39 已知ABC ∆中，53cos ,sin ,1135A B a ===求cos C 及边长c 分析 已知两角及一边用正弦定理.解析 因为,,A B C 为ABC ∆的角，所以有cos cos[()]cos()C A B A B π=-+=-+cos cos sin sin .A B A B =-+因为(0,),A π∈且5cos 0,13A =>所以(0,),2A π∈12sin 13A =.由此知sin sin 0,AB >>据正弦定理得a b >所以,A B >因此(0,),2B π∈且3sin ,5B =得4cos ,5B = 故5412316cos .13513565C =-⨯+⨯=因此63sin .65C = 由正弦定理得,sin sin c a C A=得631sin 2165.12sin 2013a C c A ⨯=== 评注 本题已知两角及一边，用正弦定理：在ABC ∆中，sin sin .A B a b A B >⇔>⇔> 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C所对边依次为,,,2,a b c a b ==sin cos B B +=则角Ａ的大小为 .例 4.40 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,,30,6,a b c B c ∠==记().b f a =若函数()()(g a f a k k =-是常数）只有一个零点，则实数k 的取值围是（ ）..{03A k k <≤或6}k = .{36}B k k ≤≤ .{6}C k k ≥ .{6D k k ≥或3}k = 分析 三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解.解析 由()()0,g a f a k =-=且().b f a =，得(),k f a b ==如图4－34所示，由30,6,B c ∠==知ＡＣ边和的最小值为sin 3,c B =唯一的()a BC =符合()f a k =即若3,k =则()3,f a b ==此时存在函数()g a 有唯一零点，若36k <<时，则()(3,6),f a b =∈此时以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点12,C C ，如图4－34所示，则存在两个a 值1122(,),a BC a BC ==使得()()g a f a k =-有两个零点.若6k ≥时，则()6,f a b =≥则以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点3C ，使得3a BC =，故函数()g a 有唯一零点.综上，实数k 的取值围为3k =或6.k ≥故选Ｄ.评注 三角形问题一般先根据题意作出图形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形.变式1 （1）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且32,2,b a == 如果三角形有解，则角A 的取值围是 ; (2) 在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1,2,b a ==如果三角形有解，则角B 的取值围是 ;（3）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且23,3,a c ==如果三角形有解，则角C 的取值围是 .二、利用正弦定理进行边角转化例4.41 在ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值围为（ ）. A.(1,2) .(1,3)B C.(2,2) D.(2,3)分析 题中有边与角的关系及角的围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的围来定边的围.解析 由正弦定理知sin sin 22cosB,sin sinBa A Bb B ===且()(0,),A B π+∈即03B π<<得03B π<<，因此1cos (,1),2B ∈所以(1,2).a b∈ 故选A. 评注 在ABC ∆中，利用正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.变式1 （1）若在锐角ABC ∆中，若A=2B ，则a b 的取值围为 ; （2）若在直角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 ; （3）若在钝角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 . 变式2 在ABC ∆中，60,B AC ==，则AB+2BC 的最大值为 . 变式3（2012课标全国理17）已知,,,a b c 分别为ABC ∆三个角,,A B C的对边，cos sin 0a C c b c +--=，（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积为，求,b c .变式4 （2012理17）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知4A π=，sin()sin(),44b C c B a ππ+-+= （1）求证：;2B C π-=（2）若a =ABC ∆的面积. 题型68 余弦定理的应用思路提示(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值0,ABC 0,ABC .0,ABC >∆⎧⎪=∆⎨⎪<∆⎩则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形 一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 ABC ∆中，21,3b c C π==∠=，则①a= . ② ______.B ∠=分析 已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.解析①由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，得21312()2a a =+-⨯- ，即 220a a +-=，且 0a >，故 1.a = ②由正弦定理得，sin sinbc B C=，即1sin B = 1sin 2B =，又 b c B C <⇔< ，则 30B ∠=变式1在 ABC ∆中， 3,2,a b B A ==∠=∠， (1)求cos A 的值；（2）求 c 的值.变式2（2012理11）在 ABC ∆中，若12,7,cos 4,a b c B =+==-，则______.b =变式3（2012理13）已知ABC ∆的等比数列，则其最大角的余弦值为 .例 4.43 （2012理9）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,,a b c 若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）..2A 2B 1.2C 1.2D - 解析 因为2222222221cos 2222a b c c c c C ab ab c a b +-==≥==+当且仅当a b =时取“=”，所以cos C 的最小值为1.2故选C. 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 1.30a c B +=∠=，求b 的取值围.变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 4.60,b B =∠=，求ABC S ∆的最大值.二、利用余弦定理进行边角转化例4.44在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若222()tan ,a c b B +-=则角B 的值为（ ）..6A π .3B π .6C π或56π .3D π或23π解析 （边化角）已知等式可变化为222tan ,22a c b B ac +-=则sin cos cos 2B B B ⋅=得sin (0,),2B B π=∈所以3B π=或23π.故选D. 变式1在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（1）求A 的值；（2）求sin +sin B C 的最大值.变式2 在锐角三角形中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若+=6cos b a C a b ，则tan tan +=______.tan tan C C A B 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且22-=2,sin cos =3cos sin a c b A C A C ，求.b题型69 判断三角形的形状思路提示（1）求最大角的余弦，判断ABC ∆是锐角、直角还是钝角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.例4.45 在ABC ∆中，若sin =2cos sin C A B ，则此三角形必为（ ）.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 分析 角化边或sin =sin(+)C A B .解析 解法一：角化边. 2222222+=2222c b c a b c b c a R bc R-⋅⋅⇒=+-b a ⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.解法二：因为sin =sin(+)C A B ，所以sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B +=sin cos cos sin 0A B A B ⇒-=， sin()0,(),,(0,)A B A B k k Z A B ππ-=-=∈∈0k A B ⇒=⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.变式1设ABC ∆的角为,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若cos cos sin ,b C c B a A += 则ABC ∆的形状为（ ）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式2（2012理16）在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状为（ ）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式3已知ABC ∆中，2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形变式4（1）已知函数22()cos cos sin .f x x x x x =+-求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.题型70 正、余弦定理与的综合思路提示先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.例4.46在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且 1.AB AC BA BC ⋅=⋅=（1）求证：;A B = （2）求边长c 的值；（3）若6AB AC +=，求ABC ∆的面积. 分析（3）中AB AC +为ABCD 对角线AD 长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC ，设AB 中点为M ，12ABC S AB CM ∆=⋅ 解析 （1）利用数量积定义，cos cos 1bc A ac B ==cos sin cos sin b B B a A A⇒==tan tan A B ⇒=.A B ⇒= （2）如图4-35所示，取等腰三角形AB 边上的中线（即高线CM ，则cos 2c AM b A ==.cos 12c AB AC cb A c ⋅==⋅=，故 2.c =或2c AM =是AC 在AB 方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知21 1.2AB AC AB AM c ⋅===故 2.c = (3)如图4-35所示，ABCD 中，6,AB AC AD +== 在ABD ∆中，222,2cos(),BD a b AD c a a A π===+--在ABC ∆中，2222cos .BC b c bc A =+-2222262cos 2cos c a ac A a b c bc A ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩①②由①+②得22222622622,2,a c a a c a +=+⇒=-==即2a b c ===，在等边ABC ∆中，1133sin 222222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=或233.42ABC S a ∆== 评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在ABCD 中，222222AD BC AB AC +=+.变式1（2012理7）在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ==⋅=，则BC=（ ）．ABCD 变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a bc ,(12.6A c b π=+=(1)求C ； （2）若1CB CA ⋅=+,,.a b c 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c且cos3.25A AB AC =⋅= （1）求ABC ∆的面积； （2）6b c +=，求a 的值. 变式4在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且cos 3cos cos .b C a B c B =-（1）求cos B 的值；（2）若2,BA BC ⋅=且b =，求a 和c 的值.题型71 解三角形的实际应用思路提示根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos .135A C == （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么围？分析 （1）cos ,cos A C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC ∆中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题意列不等式求解.解析 （1）在ABC ∆中，因为123cos ,cos .135A C ==所以54sin ,sin .135A C ==从而 sin sin[()]sin()sin cos cos sinB AC A C A C A C π=-+=+=+5312463.13513565=⨯+⨯= 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 1040().63sin 565AC AB C m B =⋅=⨯= 所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，此时甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯ 2200(377050).t t =-+由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37t =时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 500().63sin 1365AC BC A m B =⋅=⨯= 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550(),m ⨯++=还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得50071033,50v -≤-≤解得1260625.4314v ≤≤ 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314（单位：m/min ）围. 评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km 的两个观测点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得30,ADC ∠=2分钟后，该船行驶到B 处，此时测得60,45ACB BCD ∠=∠=60,ADB ∠=则船速为 .(km /min).最有效训练题20（限时45分钟）1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若角,,A B C 依次成等差数列，且1,3,a b ==则().ABC S =.2A 3.B .3C .2D 2.ABC ∆的三个角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 2sin sin cos 2,a A B b A a +=则().b a =.23A .22B .3C .2D3.已知ABC ∆的三边长分别为,,,a b c 且面积2221(),4ABC S b c a ∆=+-则().A ∠=.15A .30B .45C .120D4 .若ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c 满足22()4a b c +-=且60C =，则ab 的值为（ ）.4.3A .8B -.1C 2.3D 5. .在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值围是（ ）..(0,]6A π .[,)6B ππ .(0,]3C π .[,)3D ππ 6.在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值围为（ ）..(0,2A 1.[,22B .(0,1)C .(,1)2D7.在ABC ∆中，若120,5,A c ∠==ABC ∆的面积为，则______.a =8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c 如果,30,c B ==那么角C 等于 .9.已知ABC ∆的一个角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆ 的面积为 .10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若sin a c A =，则a b c +的最大值为 .11.在ABC ∆中，已知2, 2.ABC AB AC S ∆⋅==（1）求tan A 的值；（2）若sin 2cos sin B A C =，求BC 的长.12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图4-38所示，要求60,ACB BC ∠=的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，并求出此时BC 的长度.。
2018高考数学文热点题型：三角函数与解三角形 全国通用 含解析 精品
三角函数与解三角形热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解 因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)解 因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象， 由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (x )＝2sin(x －A )cos x＋sin(B ＋C )(x ∈R )，函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称. (1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域； (2)若a ＝7，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积.解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A＝2sin x cos A cos x －2cos 2x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )，又函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0， 又A ∈(0，π)，则A ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3， 即－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143， 则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13.由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A ，即49＝c 2＋b 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，即bc ＝40.则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.【类题通法】三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求角C 的大小和线段BD 的长度；(2)求四边形ABCD 的面积.解 (1)设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝1＋4－x 22×2×1， 在△BCD 中，由余弦定理，得cos C ＝9＋4－x 22×2×3， ∵A ＋C ＝π，∴cos A ＋cos C ＝0.联立上式，解得x ＝7，cos C ＝12.由于C ∈(0，π).∴C ＝π3，BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝32.又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD 的面积为2 3.热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0.即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间. 解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。
2018年高考“三角函数”专题解题分析
中国数学教育2018年第7—8期（总第187—188期）№7—8，2018General ，№187—188ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU三角函数是高中数学课程的重要内容，是高中数学的主干知识，不仅在数学方面有着广泛的应用，是解决解析几何、立体几何等问题的常用工具，在其他学科中（如物理等）也有相应的应用.综观近几年的高考数学试题，研究分析后不难发现，三角函数的考查在内容、题量和分值等方面继续保持稳定，历来是高考的重点和热点之一，题型有选择题、填空题和解答题，难度通常不大，一般属于中档题.近几年的三角函数高考试题中还增加了现实生活及科技发展的相关内容，能较好地考查学生的数学核心素养.在高中数学教材中，三角函数知识基本上由三部分构成，即三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形.主要内容包括：任意角三角函数的定义、同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等.下面通过对2018年部分高考试题的解答与分析，将三角函数的知识和方法进行归纳、总结，研究三角函数的命题原则、导向和侧重点，明确考查方向，梳理出相应的解题规律与方法，对高考中该考点的复习备考提出合理的建议，以供参考与借鉴.一、试题分析1.三角函数的图象与性质三角函数是一类基本初等函数，是研究周期性现象的数学模型，高中阶段通过研究基本初等函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象与性质，让学生感受到周期性的数学现象与本质，再通过对函数y =A sin ()ωx +φ的图象与性质的研究，强化图象变换和研究三角函数的整体代换的思想方法.近几年高考加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此它是高考的重点和难点.常考点为单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象变换、零点等，要充分运用数形结合思想，让图象与性质有机结合，相辅相成.（1）三角函数的图象与性质.例1（全国Ⅲ卷·理15）设函数f ()x =cos æèöø3x +π6在[]0，π的零点个数为.答案：3.【评析】此题考查了三角函数的零点，属于三角函数的图象和性质的常考点，这类问题通常的处理方法收稿日期：2018—07—22作者简介：张岩（1977—），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.2018年高考“三角函数”专题解题分析张摘要：通过对2018年高考试题中有关三角函数的试题的归类解析，突出在高考中三角函数部分考查的几个侧重点.在此基础上，进一步总结解决三角函数问题的一般思想方法和通解、通法，并给出在高中阶段三角函数知识的教学建议和高考复习建议．关键词：2018年高考；三角函数；试题分析；思想方法分析；复习建议··40是先得出问题的通解，再结合给定区间进行对照判断.根据余弦函数的性质，当x =k π+π2()k ∈Z 时，有f ()x =cos x =0，所以当3x +π6=k π+π2()k ∈Z 时，有f ()x =cos æèöø3x +π6=0.因为x ∈[]0，π，所以3x +π6∈éëùûπ6，19π6，所以当3x +π6取值为π2，3π2，5π2时，f ()x =0，函数f ()x =cos æèöø3x +π6在[]0，π内的零点个数为3.（2）三角函数的图象变换.例2（天津卷·理6）将函数y =sin æèöø2x +π5的图象向右平移π10个单位长度，所得的图象对应的函数（）.（A ）在区间éëùû3π4，5π4上单调递增（B ）在区间éëùû3π4，π上单调递减（C ）在区间éëùû5π4，3π2上单调递增（D ）在区间éëùû3π2，2π上单调递减答案：A.【评析】此题的考点为三角函数的图象变换及性质.三角函数的图象变换，有两种情况：一是先伸缩再平移；二是先平移再伸缩.特别地，注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出.对称变换要注意翻折的方向.三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.该题中先求出平移后的函数解析式，再根据正弦型函数的单调性进行判断.（3）三角函数的图象与解析式.例3（北京卷·理11）设函数f ()x =cos æèöøωx -π6()ω>0.若f ()x ≤f æèöøπ4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为.答案：23.【评析】此题主要考查借助三角函数的图象与性质确定f ()x =A cos ()ωx +φ()ω>0中参数的值的问题.而参数ω与周期相关，其最小正周期T =2π||ω，所以通常从周期入手求解ω的值.对于此题，应该把恒成立问题先转化为函数的最值问题，再解三角方程求ω的最小正值，即若f ()x ≤f æèöøπ4对任意的实数x 都成立，当x =π4时，f ()x 取得最大值，即f æèöøπ4=cos æèöøπ4ω-π6=1.所以π4ω-π6=2k π，k ∈Z .所以ω=8k +23，k ∈Z .因为ω>0，所以k =0时，ω取最小值23.2.三角恒等变换三角恒等变换主要是指应用各种三角公式，如两角和差的正弦公式、余弦公式、正切公式、二倍角公式、辅助角公式等对三角函数式进行变形与转化.在三角函数式的恒等变形中，要注意角的变换和函数的交换，其中涉及一定的运算量，在运算中要注意运算的目的性与合理性.平时练习做好积累，总结常见规律和技巧，才能从容应对，熟能生巧.例4（全国Ⅱ卷·文15）若tan æèöøα-5π4=15，则tan α=.解：根据正切的和角公式，可得tan æèöøα-5π4=tan æèöøα-π4=tan α-11+tan α=15.解得tan α=32.【评析】江苏卷第16题和例4都是给定某角的三角函数值，求其他角的三角函数值的问题.研究三角函数式的求值问题常见的有三种，给值求值、给角求值、给值求角，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.3.解三角形解三角形主要是指从正弦定理、余弦定理公式出发，结合面积公式及三角形的相关结论，灵活求解三角形的边角问题以及三角形中的边角互化、判断三角形形状等问题.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，常见三角变形方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角，统一函数，统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.例5（全国Ⅲ卷·文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24，··41则C 的值为（）.（A ）π2（B ）π3（C ）π4（D ）π6解：因为△ABC 的面积为S =12ab sin C =a 2+b 2-c 24=2ab cos C 4=12ab cos C ，所以sin C =cos C ，即tan C =1.因为C ∈()0，π，所以C =π4.故选C.【评析】此题主要考查余弦定理和三角形的面积公式.根据余弦定理和三角形的面积公式求得角C 的正切值，进而得到角C 的大小.例6（天津卷·文16/理15）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A =a cos æèöøB -π6.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin ()2A -B 的值.解：（1）在△ABC 中，根据正弦定理，得到a sin A =b sin B，可得b sin A =a sin B.由b sin A =a cos æèöøB -π6，得a sin B =a cos æèöøB -π6，即sin B =cos æèöøB -π6.所以tan B =3.又因为B ∈()0，π，所以B =π3.（2）在△ABC 中，根据余弦定理，以及a =2，c =3，B =π3，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =7，即b =7.由b sin A =a cos æèöøB -π6，得sin A =37因为a <c ，所以cos A =27.因此sin 2A =2sin A cos A cos 2A =2cos 2A -1=17.所以sin ()2A -B=sin 2A cos B -cos 2A sin B =12-17×.【评析】利用三角恒等变换对所给的条件进行转化，一定要注意待求与已知之间的关系.例如，第（1）小题中要求的是角B 的大小，则应由已知条件，再结合正弦定理、两角和差公式推出tan B =3，即可求角B 的值；而在第（2）小题中，由a ，c 及角B 的值，可以利用余弦定理求出b 的值，再由已知等式得出角A 的正弦值、余弦值，最后利用二倍角公式及两角差的正弦公式求出sin ()2A -B 的值.4.三角函数的综合应用近几年的高考试题中，三角内容的题型呈现出单一、综合考查两种形式.一类是三角函数图象与性质、三角函数恒等变换、解三角形之间的综合；另一类是将三角函数知识与平面向量、函数零点、不等式求最值、方程的根等问题相结合，有时也会以解三角形为背景，以应用题的形式呈现.（1）三角函数的图象与性质、三角函数恒等变换、解三角形之间的综合.例7（北京卷·文16）已知函数f ()x =sin 2x +3sin x cos x .（1）求f ()x 的最小正周期；（2）若f ()x 在区间éëùû-π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.解：（1）f ()x =sin 2x +3sin xcos x=12-12cos 2x 2x=sin æèöø2x -π6+12，所以f ()x 的最小正周期为T =2π2=π.（2）由（1）知，f ()x =sin æèöø2x -π6+12.由题意，知-π3≤x ≤m .所以-5π6≤2x -π6≤2m -π6.要使得f ()x 在区间éëùû-π3，m 上的最大值为32，即sin æèöø2x -π6在区间éëùû-π3，m 上的最大值为1.所以2m -π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.【评析】此题是三角恒等变换与三角函数性质的综合题，涉及到二倍角公式、辅助角公式、三角函数的··42周期性、最值的逆向问题，经分析判断后解不等式求得结果.（2）三角函数与其他知识的综合.例8（全国Ⅰ卷·理16）已知函数f ()x =2sin x +sin 2x ，则f的最小值是.答案:.【评析】这是较复杂的三角函数，研究函数的性质，可以借助导数的方法求函数的最值，即先对f ()x 进行求导，确定函数f ()x 的单调性，再求函数f ()x 的最小值.f ′()x =2cos x +2cos 2x =2cos x +2()2cos 2x -1=2()2cos x -1()cos x +1.因为cos x +1≥0，所以cos x <12时，f ′()x <0，f ()x 单调递减；cos x >12时，f ′()x >0，f ()x 单调递增.所以cos x =12时，f ()x 有最小值，即sin x =时，f ()x 有最小值，最小值为.借助导数解决三角函数的最值问题，显得尤其便捷，也显示了导数的工具作用，以及三角函数与其他知识点的结合交会.同时，在三角函数的应用题中也可以发挥其优势.例如，2018年江苏卷的第17题，也不乏是一道利用三角函数的导数来处理最值问题的典型题目，只是对于实际问题，学生往往会忽视定义域的求解或不会求定义域.二、解法分析数学教学中不仅要让学生记住一些数学的基础知识、掌握基本技能，而且要让学生感悟数学思想，积累数学经验和实践经验，提升学生的数学核心素养.在研究三角函数的问题时，常用到如下几种数学思想方法.1.转化变换的思想（1）角的变换.利用角的变换求三角函数值的两种常用策略为：当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.所以，牢记公式、思维转换、多加练习是解题的关键.例9（浙江卷·18）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P æèöø-35，-45.（1）求sin ()α+π的值；（2）若角β满足sin ()α+β=513，求cos β的值.解：（1）由角α的终边过点P æèöø-35，-45，得sin α=-45.所以sin ()α+π=-sin α=45.（2）由角α的终边过点P æèöø-35，-45，得cos α=-35.由sin ()α+β=513，得cos ()α+β=±1213.由β=()α+β-α，得cos β=cos ()α+βcos α+sin ()α+βsin α.所以cos β=-5665或cos β=1665.【评析】该题考查了诱导公式、余弦的和差公式.第（1）小题中角α的终边过点P ，求得sin α，再利用诱导公式sin ()α+π=-sin α求得答案.第（2）小题由角α的终边过点P ，可知α的正弦值和余弦值.再由角的变换β=()α+β-α，根据和差公式求得cos β的值.这也是三角恒等变换中最常用的变换.（2）函数名称的变换.三角函数式化简要遵循“三看”原则：一看角，合理拆分；二看名称，根据名称差异，选择公式，常见的“切化弦”，化异名为同名；三看结构特征.例10（江苏卷·16）已知α，β为锐角，tan α=43，cos ()α+β=（1）求cos 2α的值；（2）求tan ()α-β的值.解：（1）因为tan α=43，tan α=sin αcos α，所以sin α=43cos α.因为sin 2α+cos 2α=1，··43所以cos 2α=925.因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.（2）因为α，β为锐角，所以α+β∈()0，π.又因为cos ()α+β=，所以sin ()α+β=1-cos 2()α+β.因此tan ()α+β=-2.因为tan α=43，所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247.因此tan ()α-β=tan []2α-()α+β=tan 2α-tan ()α+β1+tan 2αtan ()α+β=-211.【评析】该题考查了同角三角函数的关系式、两角和（差）的正切公式和二倍角公式.其中，用到了切化弦，函数名称的变化，以及角的变换tan ()α-β=tan []2α-()α+β，根据和差公式求得tan ()α-β的值.（3）式子结构的变换.变换中通常分析式子的结构特征，找到变形的方向，常见的有“整式因式分解”“遇到分式要通分”“二次式配方”等，“次降角升”和“次升角降”是变换的基本规律.有时还要对一些常数做变换.例如，1=cos 2α+sin 2α=tan 45°=sin 90°.例11（全国Ⅰ卷·文16）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为.解：因为b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，所以sin B sin C +sin C sin B =4sin A sin B sin C .又因为sin C sin B >0，所以sin A =12.由余弦定理，得cos A =b 2+c 2-a 22bc =82bc =4bc>0.所以cos A =bc =4cos A .所以S △ABC =12bc sin A =.【评析】此题是解三角形与三角恒等变换综合题，是近几年高考的重点和热点，关键熟练运用三角公式进行变换，实现简化的目标，求出结果. 2.方程的思想函数与方程思想是高中数学四大数学思想方法之一，而三角公式本身就是等式，因此应用方程思想进行变形是常用手段.可以根据式子特征通过构造对偶式、等式来创造使用公式的条件.例12（全国Ⅱ卷·理15）已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin ()α+β的值为.解：因为sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，两式平方相加，得1+2()sin αcos β+cos αsin β+1=1.所以sin αcos β+cos αsin β=-12.所以sin ()α+β=-12.【评析】此题是考查三角恒等变换的综合题，关键在于两式平方，构造方程组，相加后变换出所求目标.3.数形结合思想数形结合思想也是高中数学四大数学思想方法之一，三角函数兼具有代数与几何的特征，又重点研究了基本初等函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象和性质，以及函数y =A sin ()ωx +φ的一些基本性质.近几年来，大部分三角函数试题都与三角函数的图象有关，而且题目的思维要求越来越高.函数的不等式、三角函数的最值问题、对称问题、周期问题，都与三角函数的图象有关.所以在解题时，要善于结合图象分析问题.在解三角形问题中，还要关注与平面几何结合的问题，充分数形结合，进行化简与求值.例如，北京卷文科第7题，北京卷理科第15题，全国Ⅰ卷理科第17题.三、试题解法欣赏例13（江苏卷·13）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为.解法1：因为S △ABC =S △ABD +S △BCD ，如图1所示.DCBA图1··44所以12ac sin120°=12c sin60°+12a sin60°.所以ac=c+a，得1a+1c=1.所以4a+c=()4a+cæèöø1a+1c=c a+4a c+5≥5=9.当且仅当ca=4a c，即c=2a时，取等号.解法2：以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示.图2则D()1，0，Aæèçöø÷c2，，Cæèçöø÷a2，.又因为A，D，C三点共线，所以c2-13=a2-13.所以ac=c+a.以下同解法1.【评析】此题考查解三角形和最值问题，关键在于构造方程，找出a，c的关系式，利用基本不等式进行求解.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］2017年高考“三角函数”专题解题分析［J］.中国数学教育（高中版），2017（7/8）：44-52.考依据的是考试大纲和考试说明，它对考试性质、考试要求、考试形式，以及试题结构等都给出了明确的阐述.这些都是实施有效复习的原则，也是试题命制的根据.要取得两者的双丰收，教师就应该认真研究，比较差异，吃透精神，明确方向，对每个知识点做到心中有数（高中学业水平考试和高考分别考什么、怎么考，应该掌握到什么程度等），这样才可以避免复习教学事倍功半.在高中学业水平考试的复习中，对知识点特别是重点、难点、热点、冷点都进行了梳理和细化，尤其是通过专门的训练巩固了基础，提高了速度，给同步进行着的高考复习带来了莫大的帮助.在当今高考试卷起点普遍下调的背景下，狠抓高中学业水平考试，就是紧抓高考.教师要两种复习相向而行，在抓高中学业水平考试中提高“两率”——准确率和解题速率，为高考复习奠定坚实的基础，提供坚强的保证. 4.抓两头，促中间数学学困生往往只能套用公式、死记硬背，思维常停留在认知阶段；中等生虽然注重方法，但还不善于转化；优等生具有见徽知著的联想本领.会自觉进行接近性、相似性和对比性联想.事实上，联想能力的高低决定数学学习的成败.另外，优等生还储存有许许多多“知识块”和“方法块”，一旦遇到数学问题就会迅速把握住其中熟悉的成分和因素，将难题肢解、组合、转换，从而迅速得出解答；一般学生缺乏这样的思考本领，在一定程度上呈现出思维的呆板性.教学实践表明，块状思维的水平影响学生学习能力的发展.要想实现抓两头、促中间，教师就要打造优质课堂，着眼“大面积提高”，开展数学学习的“扶贫工程”.优质的课堂，既要注重广度，又要挖掘深度，既要关注学生的“面”，也要照顾学生的“片”，应使各个层次的学生都学有所得，学有所长，学有所进.优质的课堂，既不是解题失败者“忏悔”的场所，也不是解题成功者“表演”的舞台，应该让数学学困生感到“暗中有光”，中等生感觉“对中有优”，优等生感叹“山外有山”.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］朱恒元.数学课堂教学的“准、实、活”［J］.中国数学教育（高中版），2012（1/2）：29-31.（上接第8页）··45。
2018届高考高三文科数学三角函数专题典型题型总结
2018届⾼考⾼三⽂科数学三⾓函数专题典型题型总结2018届⾼考⾼三⽂科数学三⾓函数专题典型题型总结⾼考三⾓函数题主要涉及以下四类问题：（1）应⽤同⾓变换、诱导公式、两⾓和与差的三⾓函数公式；求值和等式证明问题；（2）与三⾓函数图像、性质有关的问题；（3）三⾓形中的三⾓函数问题（解三⾓形及其应⽤）；（4）与平⾯向量、导数、数列等综合问题。
（⼀）注意三⾓函数公式的运⽤。
三⾓函数内容最⼤的特点就是公式多，变换的形式和⽅法多，如何找准⽅向，灵活运⽤三⾓函数公式，使学⽣学会公式的“正⽤、逆⽤、变⽤、巧⽤”是解题的关键。
案例1.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最⼩正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最⼤值和最⼩值.同类问题1：已知函数()4cos sin (0)4f x x x π=?+> ??的最⼩正周期为π。
（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性。
同类问题2：已知函数xx x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。
（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最⼩正周期；（Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间。
同类问题3：函数y=sin2x +23sin 2x 的最⼩正周期T 为________.同类问题4：已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则=α2sin （改：理科第7题求tan α=?）(A) -1 (B) 2-(C) 2(D) 1同类问题5：若42ππθ??∈，， sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C (D) 34案例2.在中，已知BC BA AC AB ?=?3．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若求A 的值．同类问题1：△ABC 在内⾓A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =b cos C +c sin B ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2，求△ABC ⾯积的最⼤值．同类问题2：在ABC ?，内⾓,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且b a >，则=∠BA ．6πB ．3πC ．23πD ．56π同类问题3：已知,,a b c 分别为ABC ?三个内⾓,,A B C 的对边，c = 3a sin C －c cos A ．（Ⅰ）求A （Ⅱ）若2a =，ABC ?的⾯积为3；求,b c ．案例3.设为锐⾓，若，则的值为▲．同类问题1：若31sin sin cos cos =+y x y x ，则_______)22cos(=-y x ．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=．同类问题2：设θ为第⼆象限⾓，若1tan 42πθ?+=，则sin cos θθ+=________.同类问题3：已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．同类问题4：若02πα<<，02πβ-<<，31)4cos(=+απ，cos ()423πβ-=，则cos ()2βα+= ABC ?tan 3tan B A =5cos 5C =，α4cos 65απ?+= )122sin(π+a（A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69-（⼆）注重三⾓函数的图像与性质的研究在学习三⾓函数时，学习了函数的奇偶性和周期性，进⼀步深⼊了解对函数的概念和性质的认识，因此，在⾼考中突出考查它的图像与性质，对三⾓函数中的公式和恒等变换的考查通常与三⾓函数的图像与性质相结合，重点考查三⾓函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性、有界性、五点法作图，考查相关的数学思想⽅法，主要是数形结合思想、函数与⽅程思想和化归与转化思想。
2018年高考数学专题15三角函数求值问题黄金解题模板
专题15 三角函数求值问题【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大. 【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学（文）试题】已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（ ） A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 6821【答案】B【变式演练1】已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+的值为（ ） A ．15-B ．37-C ．15D ．37【答案】A 【解析】 试题分析：22tan()tan 33παα-=-⇒=cos()3sin()cos()3sin()13tan()121cos()9sin cos()9sin 19tan 165απααααπααααα-++---====--+-+-+-+，选A ．考点：同角间三角函数关系【变式演练2】已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ）A ．41 B ．21 C ．41- D ．21- 【答案】C 【解析】 试题分析：21tan =α，将原式上下同时除以αcos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα，故选C. 考点：同角三角函数基本关系 【变式演练3】已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 【答案】35-考点：三角函数的变形与求值．【变式演练4】已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ） A ．3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】试题分析：tan()tan 2παα-=-=-，则tan 2α=，2222221sin cos cos 2cos cos sin cos ααααααα+=+-+2222tan 12152tan 222αα++===---. 考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.【变式演练5】已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．【答案】3-考点：诱导公式及同角三角函数的关系的运用．方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学文试题】设α为锐角，若1cos 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为A.725 B. 2818 C. 17250- D. 25【答案】B【变式演练6】若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．33 B ．33-．63．69- 【答案】C 【解析】 试题分析：30,2444ππππαα<<∴<+<，且1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2122sin()1cos ()14493ππαα∴+=-+=-=，又0,24422πππβπβ-<<∴<-<，且3sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭216cos 1sin 1424233πβπβ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而cos()cos[()]2442βππβαα⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭ cos()cos()sin()sin()442442ππβππβαα=+-++- 16223633333=⨯+⨯=故选C ．考点：1．同角三角函数的关系；2．两角和与差的三角函数． 【变式演练7】设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin 的值为（ ）A ．271 B ．275 C ．31D ．2723【答案】C考点：同角间的三角函数关系及两角和差的正弦公式.【变式演练8】若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =β（ ） （A ）17 （B ）16 （C ）57 （D ）56【答案】A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 考点：两角和与差的正切公式．【变式演练9】已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】试题分析：212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯ 考点：两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 求值：（1）cos40(13tan10)+（2）tan17tan 43tan30(tan17tan 43)++ 【答案】()()1121考点：三角函数基本公式及诱导公式.【变式演练103 ）①tan25tan353tan25tan35︒+︒︒；②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.【2017山东，文4】已知3cos4x=,则cos2x=A.14- B.14C.18- D.18【答案】D【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．2. 【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D3. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 4.【2015高考新课标1，理2】oooosin 20cos10cos160sin10- =( ) （A ）3（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=oooosin 20cos10cos 20sin10+ =osin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． 6. 【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．7.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32,则tan =（ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角β用已知角α和αβ+表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【2017北京文，9】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 【答案】13【解析】试题分析：α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，所以()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-== 【考点】诱导公式【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+ k Z ∈，9.【2017北京理，12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-2k αβππ-=+ k Z ∈.10.【2017江苏，5】若π1tan(),46α-= 则tan α= .【答案】7511.【2017全国I 卷文，15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．310【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα=又22sin cos 1αα+=所以21cos 5α=因为(0,)2πα∈所以525cos αα==因为cos()cos cossin sin444πππααα-=+所以52252310cos()4πα-==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 12.【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【答案】62. 【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=. 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==. 法三、62626sin15sin 75442-++=+=. 【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 有22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.13.【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【反馈练习】1．【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学（理）试题】若111sin cos tan 26παα+=，则sin2α=（ ）A. 14-B. 1112-C. 14D. 1112【答案】B【解析】1113sin cos tan 266παα+==-，∴()21sin cos 1sin212ααα+=+=，∴11sin212α=-.选B 。
高中数学三角函数知识点解题技巧总结
高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结三角函数是高中数学中较为复杂的一部分，也是很多学生感到困难的主要内容之一。
为了更好地掌握三角函数的解题思路和技巧，以下总结了几点建议。
一、了解三角函数的基本性质在开始解题之前，首先要对三角函数的基本概念和性质进行了解。
比如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和值域、周期等等。
掌握这些基本性质可以在做题时快速定位和解决问题，节省时间和提高效率。
二、画图和建立三角形在解决三角函数问题时，画图是非常有帮助的一个步骤。
通过画图，可以更直观地理解和分析题目中的三角形结构，提高解题能力。
同时，建立一个等腰三角形或直角三角形可以将三角函数问题转化为几何问题，更方便推导和计算。
在解决三角函数的问题时，熟练掌握各种三角函数定理和公式也是非常重要的。
比如正弦定理、余弦定理、正切定理等等。
了解这些基本公式的用法和应用可以帮助我们更准确地计算和分析题目。
四、运用坐标系和向量在解决一些复杂的三角函数问题时，坐标系和向量也可以提供有帮助的线索。
通过将三角形或平面图形平移或旋转，可以使问题更加简化和易于计算。
同时，向量形式的三角函数也可以用来解决三角形的问题。
五、化简和变形在解决三角函数问题时，化简表达式和变形方程式是十分常见的做法。
通过使用三角函数的基本公式，可以将复杂的表达式化简为更简单的形式，方便计算与推导。
同时，在一些不等式和方程的证明中，变形也是非常常见的方法。
需要注意的是，变形和化简不是万能的，需要根据问题的具体情况决定。
六、多角形问题在一些多边形问题中，我们也可以用到三角函数的相关知识。
例如，多边形内角和公式、正多边形的内角和和外角和公式。
通过计算和推导，可以得到多边形内外角和的通用公式，解决各种有关多边形的问题。
总之，在解决三角函数问题时，需要根据问题的具体情况选择合适的方法和技巧。
通过练习和掌握一些基本的解题思路，可以提高解题速度和准确性，进而在考试中获得更好的成绩。
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2018届高三文科数学三角函数与解三角形解题方法规律技巧详细总结版高考考纲对于解三角形的要求为：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视． 【3年高考试题分析】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．面积的计算．【必备基础知识融合】1．正弦定理和余弦定理2.三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C=abc 4R =12(a ＋b ＋c )r ．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝π－(B ＋C )，A 2＝π2－B ＋C2，从而sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A＝－tan(B ＋C )；sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C 2，tan A2＝1tanB ＋C2.tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ⇔2sin B ＝sin A ＋sin C ⇔2sin B 2＝cos A －C 2⇔2cosA ＋C2＝cosA －C2⇔tan A 2tan C 2＝13. (4)在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A .(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)【解题方法规律技巧】典例1：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【规律总结】在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．同时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°.典例2：在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三个内角，a 、b 、c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc. ①求角A 的大小；②若sinBsinC ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由．由sinBsinC ＝34，得sinBsin(2π3－B)＝34.即sinB(sin 2π3cosB －cos 2π3sinB)＝34.32sinBcosB ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B)＝34， 32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin(2B －π6)＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．【规律总结】应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．典例3：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72. 方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 【规律总结】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．典例4：已知a ， b ， c 分别为ABC 三个内角A ， B ， C 的对边， cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且a =22b c +的取值范围.（Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b c A B C==， ()22224sin sin b c B C +=+= ()22cos2cos24B C --= 22cos22cos23B B π⎛⎫--- ⎪⎝⎭4cos2B B =- 2sin 246B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又02{2032B B πππ<<<-<，得62B ππ<<，52666B πππ<-<； 所以12sin 226B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 2256b c <+≤. 典例5：在ABC ∆， 3B π=， 2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上， AD DC =， DE AC ⊥， E 为垂足，ED =A 的值.【规律总结】（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理.（2）如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.（3）以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.（4）解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.（5）遇见中点时要想到与向量的加法运算结合；（6）遇见角平分线时要想到角平分线定理.（7）在三角形中，大边对大角，正线大则边大，自然角就大.（8）解三角形的实际应用问题的求解关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.典例6：某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．于是，当θ＝30°时，t＝10＋103tanθ30取得最小值，且最小值为23.【规律总结】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．【归纳常用万能模板】【引例】(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 规范解答 (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A ·cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ， 1分得分点①即2cos C ·sin(A ＋B )＝sin C .3分得分点② 因为A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π)， 所以sin(A ＋B )＝sin C >0，所以2cos C ＝1，cos C ＝12.5分得分点③所以C ＝π3.6分得分点④(2)由余弦定理及C ＝π3得7＝a 2＋b 2－2ab ·12，8分得分点⑤即(a ＋b )2－3ab ＝7，又S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，10分得分点⑥所以(a ＋b )2－18＝7，a ＋b ＝5，11分得分点⑦ 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 12分得分点⑧ 【解答细节突破】1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分.【解题程序展示】第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求C 的余弦值，得角C 的值.第四步：利用三角形的面积为332，求出ab 的值；第五步：根据c ＝7，利用余弦定理列出a ，b 的关系式； 第六步：求(a ＋b )2的值，进而求△ABC 的周长.【易错易混温馨提醒】一、多解问题的取舍容易忽视：易错1：①如图C ∆AB 中，已知点D 在C B 边上，且D C 0A ⋅A =，sin C ∠BA =AB =D B（1）求D A 的长； （2）求cos C ．解析：（1）因为D C A ⊥A ，所以sin C sin D cos D 2π⎛⎫∠BA =+∠BA =∠BA⎪⎝⎭，所以cos D 3∠BA =． 在D ∆AB 中，由余弦定理可知，222D D 2D cos D B =AB +A -AB⋅A ⋅∠BA即2D 8D 150A -A +=，解之得D 5A =或D 3A =，由于D AB >A ，所以D 3A =．（2）在D ∆AB 中，由正弦定理可知，D sin D sin D B AB=∠BA ∠A B，又由cos D 3∠BA =可知1sin D 3∠BA =，所以sin D sin D D 3AB ∠BA ∠A B ==B因为D D C C C 2π∠A B =∠A +∠=+∠，即cosC =.②在中，,点在边上，，且 .（1）若的面积为，求；（2）若，求. 【答案】（1）（2）或.（2）在中，，可设，则，又，由正弦定理，有，所以.在中，，由正弦定理得，，即，化简得，于是，因为，所以，所以或，解得或，故或.二、由22sincos 1(ααα+=为三角形内角)，知sin α求cos α时的正负问题容易出错：易错2：如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， D 为边BC 上的点， E 为AD 上的点，且8AE =， AC =4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．【答案】（1）CE =212222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，整理得2960CE +-=，解得： CE =故CE 的长为三、已知内角为锐时，易知转化为余弦值大于0，但容易忽视小于1，钝角亦是如此，余弦应该是(-1,0).在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且. （1）当，时，求、的值；（2）若角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）四、注意求值平方后开方时取正负的问题：在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4sin b A =. （1）求sin B 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值.【答案】（1）sin 4B =；（2）cos cos 2AC -=.【解析】试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函数值、等差数列的性质、三角函数值问题等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力. 第一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到sin B ；第二问，利用等差中项的概念得2b a c =+，再利用正弦定理将边转换成角，得到sin sin A C +=，设cos cos A C x -=，两式联立，利用平方关系和两角和的余弦公式，得到cos()A C +，再利用内角和与诱导公式，将A C +转化成B π-，解方程求出x 的值，即cos cos A C -的值.试题解析：（Ⅰ）由4sin b A ，根据正弦定理得4sin sin B A A =，所以sin B =4分五、锐角三角形内角范围的考虑要全面，需满足三个内角均为锐角：易错5：在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，，且2222sin 2cos cos A cos B AsinB C ++=.（1）求角C 的值；（1）若ABC ∆为锐角三角形，且c =a b -的取值范围. 【答案】（1）3C π=（2）()1,1-【解析】试题分析：（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得c 2=a 2+b 2-ab ，利用余弦定理可求cosC ，结合C 角为三角形的内角，可求C 的值． （2）由（1）知A +B ＝23π， 23B A π=-利用正弦定理可求a=2sinA ，b=2sinB ，利用三角函数恒等变换的应用可求a-b=23sin A π⎛⎫-⎪⎝⎭，可求范围A ,366πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质即可得解a-b 的范围．（2）由（1）知 2233A B B A ππ+==-， 由sin sin sin a b cA B C==得， 2,2a sinA b sinB ==， 22222)233a b sinA sinB sinA sin A sinA sin A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ABC ∆为锐角三角形， 02B π<<，又∵23B A π=-， ∴,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴,366A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴()2sin 1,13A π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即a b -的取值范围为()1,1-.。