06-()分析力学基础-第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程的初积分PPT课件
L q j
q j
L ) 0 q j
②
式②代入到式①
d
dt
k
(q j
j 1
L q j
)
dL dt
0
d
dt
[
k j 1
(q j
L q j
)
L]
0
得:
k j 1
(q j
L q j
)
L
常量
③
将L=T-V=T2+T1+T0-V代入式③
第4页/共29页
其中：
k
j 1
(q j
T2 q j
)
2T2
V mg(R r) cosj
因为 L T V L(j,j,q)
q为循环坐标，有
L
q
(J
2 3
mr2 )q
2 5
m(R
r)Rj
C1
又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由
T2 V C2
即：
1 2
(JO
2 5
mR2
)q2
1 2
7 5
m(R
r)j
2
保守系统
2 m(R r)Rjq mg(R r) cosj 0
哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年 建立的经典力学的重新表述。它由拉格 朗日力学演变而来，那是经典力学的另 一表述，由拉格朗日于1788年建立。但 它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力 学表述。
第13页/共29页
哈密顿原理
哈密顿原理是一种积分形式的变分原理，是哈密顿于1834年建立的。
哈密顿原理为：在相同的 始终位置、相同，约束条件下， 完整、主动力有势的系统在所 有的可能运动中，真实运动使 哈密顿作用量取驻值。
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
分析力学基础8.5拉格朗日第二类方程0806
T r& + Q j = 0 &k
& ∂rk ∂rk = & ∂w j ∂ w j
d ∂rk d t ∂w j
T
∂rk & = ∂w j
r& & k
T
∂rk ∑ mk ∂w j k =1
& & y = (l0 − vt )ψ cosψ − v sinψ
小球动能
1 1 1 & & 2 + y 2 ) = m(l0 − vt ) 2ψ 2 + mv 2 & T = m( x 2 2 2 V = mgx
主动力
r x
r mg
r mg
关于ψ 广义力
T2
T0
= mg (l0 − vt ) cosψ
rk = rk ( w, t )
导数
T n ∂rk − m && + Qj = 0 δwj ∑ k ∑ k=1 ∂w rk j =1 j
δ
∂r ∂r &k = ∑ k w j + k & r ∂t j =1 ∂w j
δ
& ∂rk ∂rk = & ∂wj ∂wj
1 & T& T = ∑ mk rk rk k =1 2
n
(
)
d ∂ = d t ∂w j &
2011年1月6日
1 ∂ T & & mk rk rk − ∑2 ∂w j k =1
n
2_拉格朗日方程
O
(x1,y1)
A
P1
(x2,y2) B(x3,y3)
P2
F
(1)
由已知条件可得
x1
1 2
l1 sin 1 l 2 sin (2)
x 2 l1 sin
2 y 3 l1 cos l 2 cos
把(2) 式代入(1) 式得
P1 (
1 2
l1 sin ) P2 ( l1 sin
x i x i ( q1 , q 2 , , q s , t ) y i y i ( q1 , q 2 , , q s , t ) z i z i ( q1 , q 2 , , q s , t )
或 式中
( i 1, 2 , , n , s 3 n )
ri ri ( q 1 , q 2 , , q s , t )
以上分量式若改用s 个独立广义坐标表示，然后令s 个独立的 虚位移前的乘数等于零，则可得出所求的平衡条件。 若求约束力，则要利用拉格朗日未定乘数。 广义坐标下 ri 的虚位移为
ri
n
s
ri
由此得广义坐标下的平衡方程是
W
Q
1
q
q 0
s
F
i 1 s
n
i n
i 1
虚功原理：受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学 体系的诸主动力在任意虚位移中所做的元功之和为零。这就 是虚功原理，也叫虚位移原理。是1717年伯努利首先发现。 对于理想约束体系，利用虚功原理可以方便的求出主动力满 足的平衡条件，但无法求出约束反力。 由于约束，3n 个坐标不独立，即作用在任一质点上的合外 力在虚位移方向上的投影，一般不会全令之为零。否则就可 能变成n 个自由质点的平衡方程。
《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的应用
2、第二类拉格朗日方程的应用例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计。
ACOxAOCx例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。
摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接。
M 1M 2φC 求：此系统的运动微分方程。
2、第二类拉格朗日方程的应用解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示：111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j===-=将上式两端对时间t 求导数得：111212,0;cos sin x x yx x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&22212111()(2cos )22m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为：)cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。
d 0(12)d k T TQ k N t q q æö¶¶--==ç÷¶¶L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。
选取原则：计算方便代入拉格朗日方程得到：1212110()cos T Tm m xm l x xj j ¶¶==+-¶¶&&&，2121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j¶=+-+׶&&&&&&10x V Q x ¶=-=¶先计算)cos 1(2j -=gl m V 22212111()(2cos )22m l T m m x l xj j j =++-&&&&221221sin cos T T m lx m l mlx j j jj j j¶¶==-¶¶&&&&&，222121d ()cos sin d T m l m lx m lx t jj j j j ¶=-+׶&&&&&&&2sin V Q m gl j j j¶=-=-¶212122()cos sin 0m m xm l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl jj j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用x 1φ再计算如果质点M 2摆动很小，可以近似地认为1cos sin »»j j j ，且可以忽略含和的高阶小量，2j &1xj &&微分方程可改写为:1212()0m m xm l j +-=&&&&1l x g jj -=-&&&&从以上两式中消去，得到1x&&1210m m gm lj j ++=&&这是自由振动的微分方程，其通解为:)sin(0q w j +=t A 固有角频率:lgm m m 1210+=w 摆动周期:如果21m m >>则质点M 1的位移x 1将很小，质点M 2的摆动周期将趋于普通单摆的周期:1lim 2m T ®¥=也可以从微分方程中消去，得到:j&&可见质点M 1沿x 方向也作自由振动。
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础本章是动力学问题的引深，将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法，这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化，有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用，这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一节 达朗贝尔原理达朗贝尔原理（有的书称之为达朗伯原理）的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。
（一） 达朗贝尔惯性力我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即F r m = （6.1.1）这里，r表示该质点在惯性参考基中的位置，F 则表示该质点所受外力的主矢量。
如果将上式改写为0=-r m F（6.1.2）再定义r m F -=* （6.1.3）称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式：0=+*F F （6.1.4）上式可以这样理解：质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。
这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。
下面就（6.1.4）式作出讨论：① 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。
② 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然，它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一种力的平衡形式。
③ 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。
④ 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。
对于一个由n 个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。
第2章 拉格朗日方程
z
O
l
2
x2 y2 z 2 l 2 0
x
M m
x vt
2
y z l 0
2 2
y
x2 y2 z 2 l 2 0
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚， 从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球 运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了 历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他 提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法， 总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。 他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后 来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论 的先驱。 在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问 题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。 在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运 算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题， 他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函 数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、 欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程， 引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析 力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称 轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉 格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体 运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题， 提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展 产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。
拉格朗日第二类方程
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19
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由拉格朗日方程
d T T ( ) Qk 得 d t qk qk
( m1 m 2 ) 1 m 2 l cos m 2 l 2 sin 0 x
M1-14
同理：
T m 2 l 2 m 2 lx1 cos
T m 2 lx1 sin
M1-17
代入拉氏方程：
1 2 P 9Q ( R r )2 0 M 6 g 6M g 2 ( 2 P 9 Q )( R r )
积分，得：
3M gt 2 C 1t C 2 ( 2 P 9 Q )( R r ) 2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C 1 C 2 0
y1 0 y1 0
y 2 l cos y 2 l sin
求导：
x 2 x1 l cos
系统动能：
T 1 1 2 2 m1 x12 m 2 ( x 2 y 2 ) 2 2 m 2l 1 2 ( m1 m 2 ) x1 ( l 2 2 x1 cos ) 2 2
系统。取x , 为广义坐标，
x 轴 原点位于弹簧自然长度 位置， 逆时针转向为正。
M1-19
系统动能：
2 v B ( x l cos ) 2 ( l sin ) 2
x 2 l 2 2 2 xl cos
1 2 1 m 2 v B 2 1 m1 x 2 1 m 2 ( x 2 l 2 2 2 xl cos ) T m1 x 2 2 2 2 1 2 1 m 2 l 2 2 m 2 xl cos ( m1 m 2 ) x 2 2
M1-20
系统势能：
(以弹簧原长为弹性势能零点， 滑块A所在平面为重力势能零
n
d d t qk
n
i 1
1 2 mi vi q 2 k
i 1
1 m i v i2 2
d T T d t qk qk
M1-3
由
Q k m i ri
i 1 n
ri qk
k 1, 2, N
可得
d T T Qk d t qk qk
n
d ri mi ri q k dt i 1
n
ri m i ri q k
i 1
n
ri d m i ri dt qk qk i 1
n
i 1
1 m i ri ri 2
M1-4
T qk
2. 保守体系的拉格朗日方程
如果主动力都是保守力，即 F V ，则为广义力
n r V ri V i Q k Fi qk ri q k qk i 1 i 1
n
Qk
i 1
n
r Fi i qk
xi y i zi Q j (X i Yi Zi ) q j q j q j i 1
n
或
Qj
W qj
( j)
若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
M1-9
[例] 物块C的质量为m1，A，B两轮
r [ ( Fi m i i )
k 1 i 1
N
n
ri ] q k 0 qk
因qk是独立的，所以
ri r ( Fi m i i ) q k 0
i 1 n
k 1, 2, N
注意广义力可得
M1-1
注意到广义力可得
ri Q k m i ri qk
M1-11
注意到
k 0 m1 g
可得系统的运动微分方程
( m1 2 m 2 ) kx 0 x
M1-12
已知：M1的质量为m1， M2的质量为m2， 杆长为l。 试建立此系统的运动微分方程。 解：图示机构为两个自由度，取x1， 为广义坐标，则有。
x 2 x1 l sin
３—5 第二类拉格朗日方程
1. 基本形式的拉格朗日方程
质点 i 的虚位移
ri ri qk qk k 1
N
i 1, 2, 3, n
将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：
r ( Fi m i i )
i 1 n N k 1
ri qk qk
m1 2 m 2 2 x 2
系统的拉格朗日函数（动势）
L T V
m1 2 m 2 2 1 x k ( 0 x ) 2 m1 gx 2 2
代入拉格朗日方程
d L L ( ) 0 d t qk qk
( m1 2 m 2 ) k ( 0 x ) m1 g 0 x
k 1, 2, N
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk
n
n
i 1
ri Fi qk
——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量 （不包含约束反力）
T
pk
i 1
1 m i v i2 ——体系相对惯性系的动能 2
——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量
i 1
n
k 1, 2, N
上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。
上式应用起来很不方便。我们要作变换
拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改 造为广义力虚功。 拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项， 使之与系统的动能的变化联系起来。
ri r ( Fi m i i ) q k 0
M1-15
[例] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O
点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固定大齿
轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0 位置。系杆OA 受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。 解：图示机构只有一个自由度， 所
受约束皆为完整、理想、定常的，可
和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数
学技巧。
M1-8
应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j ( j 1,2, , k ) ，计算公式为：
xi yi zi Fix q Fiy q Fiz q i 1 k k k
n
V xi V yi V zi V xi qk yi qk zi qk qk i 1
n
M1-5
2. 保守体系的拉格朗日方程 将Qk代入拉格朗日方程式，得
d T T V ( ) 0 d t qk qk qk
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L ( qk , qk , t )
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。 保守体系的拉格朗日方程为：
d L L ( ) 0 d t qk qk
故：
3M gt 2 ( 2 P 9 Q )( R r )
2
M1-18
例：与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水
平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2。
试列出该系统的运动微分方程。 解：将弹簧力计入主动力， 则系统成为具有完整、理想 约束的二自由度系统。保守
1 2 P 9Q ( R r )2 2 12 g
W
Q
( )
T 1 2 P 9Q ( R r )2 6 g
W ( ) M
M
d T 1 2 P 9Q ( R r )2 dt 6 g
T 0
拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理
学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其 他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的 桥梁。
M1-7
3. 对拉格朗日方程的评价
(2) 拉氏方程的价值
拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的
规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题 提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义
i 1 n
k 1, 2, N
M1-2
变换
1.
ri ri qk qk
ri r m i i q k
i 1 n n
2.
ri d ri q q dt k k
n
3.
d ri d ri m i d t ri q k m i ri d t q k i 1 i 1
取OA杆转角 为广义坐标。
v A ( R r ) vA Rr A r r
M1-16
1 1Q 2 1 2 2 T J O v A J A A 2 2 g 2
11 P 1Q 1 1 Q 2 ( R r )2 2 ( R r )2 2 ( R r )2 2 r 2 23 g 2 g 2 2 g r
Q V m 2 gl sin x1