微积分在物理学中的应用论文
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分作为数学的一个基础分支，在物理学中发挥着至关重要的作用。
它不仅提供了描述物理现象的数学语言，还为解决复杂的物理问题提供了有力的工具。
本文将探讨微积分在物理学中的几个关键应用。
一、运动学分析在物理学中，运动学研究物体的运动状态和变化规律。
微积分在这里的应用主要体现在速度和加速度的概念上。
速度是位移对时间的导数，而加速度则是速度对时间的导数。
通过微积分，我们可以精确地描述物体运动的瞬时状态，进而深入理解运动的本质。
二、力学系统在力学系统中，微积分用于分析力的作用效果。
牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，这需要用到微分来描述加速度随时间的变化。
同时，通过积分可以计算出在一定时间内，物体因受力而产生的位移或速度变化。
三、电磁学电磁学是研究电荷产生电场和磁场以及这些场如何影响电荷的科学。
在电磁学中，微积分被用来描述电场和磁场的空间分布。
例如，电势差可以通过电场强度的积分得到，而电流产生的磁场则可以通过安培环路定理来计算，这涉及到对闭合路径的线积分。
四、热力学热力学是研究能量转化以及物质状态变化的学科。
在热力学中，微积分用于计算热量、功和内能等物理量的变化。
例如，通过对温度-熵图的面积积分，可以得到系统的热量变化；而对压强-体积图的面积积分，则可以得到系统对外做的功。
五、量子力学量子力学是研究微观粒子行为的基本理论。
在量子力学中，微积分用于描述波函数的时间演化和空间分布。
薛定谔方程就是一个典型的偏微分方程，它描述了量子态随时间的演变。
通过求解这个方程，可以得到粒子在不同能级的概率分布。
六、光学在光学领域，微积分用于分析光的传播和干涉现象。
波动方程描述了光波的传播特性，而通过积分方法可以解释光的干涉和衍射现象。
例如，通过计算两束光波的相位差积分，可以得到它们相遇时的干涉图样。
总结微积分在物理学中的应用广泛而深刻，它不仅是描述自然现象的语言，也是解决物理问题的工具。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用The application of calculus in physics摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论，使运算也更加简便 。
“应用数学处理物理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法，“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律，进行推导、求解，并根据结果做出物理判断、进行物理解释，得出物理结论”是物理解题中运用的数学方法，微积分就是其中一种。
关键词: 微积分Key words: calculus基金项目：本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目作者简介：姓名：李东康（出生年月198211），女，吉林省；单位全称：通化师范学院物理学院，职称：助教；研究方向：光学；刘明娟，通化师范学院物理学院本科学生；1、微积分1.1定义：设函数()x F 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点a=0X <1X <...<1-Xn <Xn =b 把区间[]b a ,分成n 个小区间[][]n n x x x x ,,110- 。
在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i x x ≤≤-ζ1，作函数值()i f ζ与小区间长度的乘积()xi i f ∆ζ，并做出如果不论对[]b a ,怎样分法，也不论在小区间上的点i ζ怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分。
设函数()x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内。
如果函数的增量()()00x f x f x y -∆+=∆可表示为 ()x x y A ∆O +∆=∆（其中A 是不依赖于x∆的常数），而()x ∆O 是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f 在点0x 是可微的，x A ∆称作函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作y d ，即x y A d ∆=。
微积分在物理学上的应用
1 引言微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。
而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。
对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。
只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。
而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。
这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。
在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。
例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。
在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。
例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。
解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。
微积分在普通物理学中的应用
微积分在普通物理学中的应用1引言从牛顿那个时代到今天，每个时代都在为一种事物惊叹不已，它不仅推动了物理学和数学的发展，也更新了人类的观念,是人类史上的里程碑,它就是微积分．微积分可以称为是人类智慧最伟大的成就之一，在各个领域内都有重要应用．如果将整个人类科学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分在物理学、天文学等自然科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用．可以说，微积分推动了现代人类社会的发展，所以我们很有必要对它进行了解和掌握．微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，其中‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分．极限的思想是微积分的基础，它是用变化的思想来看待问题的．微积分在物理学中的应用相当普遍，本篇论文从导数、微分、积分三方面研究了微积分在其中的应用．2导数在力学中的应用导数在力学中有很重要的作用，通常可求得最小的力，最省的距离等极值问题，在实际生活中应用性很强．下面简单举出两个例子说明其应用(画图略)．例1 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用开始移动，设摩擦系数0.25,μ=问力F 与水平线的交角α为多少时,才可以使力F 的大小为最小？解 由题意得cos (sin )F P F ααμ=-,其中α0,2π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，P 表示重力cos sin PF μαμα=+由于P μ为常数,欲求F 最小,只须 求分母U cos sin αμα=+的最大值. 记 U αcos sin αμα=+令U α'=sin cos 0αμα-+=tan αμ=,(0.25)arctan arctan αμ==.故当0.25arctan α=时,可使力F 最小．例2 有一支杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体,加力于杠杆另一端使杠杆保持水平，如果杠杆每m 的质量为5kg ,求最省力的杆长.解 设杆长为x ,则杆重5x ,由力矩平衡得 490.152x xF x =⨯+⨯即 4.952F x x =+ (0x >) 两边同时对ｘ求导得24.952F x '=-+ F '0=得唯一的驻点1.4()x m == 由于F 只有最小值，所以由实际意义知,杠杆长为1.4()m 时最省力．通过上面两个例子，读者可以看到，导数的性质及意义在力学中有重要应用，尤其在求一些极值问题上应用性极强，不过导数只是微积分的基础，下面我们再通过具体例子说明微分在物理学中的应用．3 微分在运动学中的应用微分在求一些变化率方面作用很大,最简单像位移微分是速度,速度微分是加速度,下面我再举两个求速度例子,说明微分的应用.例1 落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波半径的增大率总是6/m s ，问在２秒末扰动水面面积的增大率是多少？分析 由于在这里面积的增大不与半径平方的增大成正比，所以中学方法根本解不出来，用微积分就简单多了，试看下面解法：解 设波半径为()r m ，时间为()t s ，则波动面积2S x π= ，从而 2dS drr dt dtπ= 当2()t s =时，由6r t =得6212()r m =⨯=，因为6(/)drm s dt=所以 22126144(/)dSm s dtππ=⨯⨯= 即在２秒末扰动水面面积的增大率是2144(/)m s π ．例2 注入水深为8m 且上顶直径为8m 的正圆锥形容器中，其速率为34/min m ．当水深为5m 时，其表面上升的速率是多少？分析 这道题与上题一样，水表面上升速率不与水注入的速度成比例，所以是动态问题，需要用微积分知识来解，请看解法： 解 设水面高为()h t 米此时，水面圆的半径为r 米，上顶半径4R =， 由相似三角形比例性质得：48r h=， 得 12r h =所以 231()312V t r h h ππ== 两边同时对t 求导得'2231124t dh dhV h hdt dtππ==， (1) 即 24dV dh dt dt h π=， 由题设可得：'34(/min)t V m =，5h m =，代入(1)式得16(/min)25dh m dt π= 所以，当水深为5m 时，其表面上升的速率是16(/min)25m π． 除了导数和微分，积分更是物理学研究者需要掌握的，尤其是在求变力的功时只有用积分知识，在这里我通过三个例题具体来展示积分在解变力做功问题时的应用．4 积分在变力做功问题中的应用从物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且力的方向与物体运动方向一致，那么，在物体移动了距离s 时间，力F 对物体所作的功为W F s =⋅如果物体在运动过程中所受的力是变化的，这就是变力对物体作功的问题．而 积分是与求变力做功紧密联系在一起的,下面请大家看几个这方面的例子例1 直径为20 cm ，高为80cm 的圆柱体内充满压强为10N/2cm 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需做多少功？解 由玻意耳——马略特定律，温度不变时,变化前后压强和体积的乘积不变, 而 210(1080)80000k pv ππ==⋅⋅=当底面积不变而高减少()x cm 时，设压强为2()(/)p x N cm ,则有 2()10(80)80000p x x ππ⋅⋅-=所以 800()80p x x=- 功微元 210()dW p x dx π=⋅ 所以功 4040240800108108080dx W dx dx xx ππ==⨯--⎰⎰=440810ln(80)800ln 2()0x J ππ-⨯-=例 2 一物体按规律3x ct =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x =移至x a =时，克服媒质阻力所做的功．解 媒质阻力2F kv =-（0k >,k 为阻力系数，阻力与运动方向相反），而'23t v x ct ==，所以249F kc t =-而13()x t c=，代入得2433()9F x kc x =-⋅，243300()9aaW F x dx kcx dx =-=⎰⎰272733333279077a kc x k c a =⋅=⋅⋅．例3 用铁锤将铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm .如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问锤击第二次时,铁钉又击入多少?解 设第二次又击入hcm （h 为待定系数),由于木板对铁钉的阻力F ky = 其中,k 为阻力系数, y 轴正向与打击方向相同) ,故功微元dW Fdy kydy == 击第一次时,铁锤所做的功121011022k W kydy y k ===⎰ 击第二次时,铁锤所做的功1221(1)12hk W kydy h +⎡⎤==+-⎣⎦⎰21(2)2k h h =+ 由于1W = 2W ，所以21(2)2k h h +=12k ，2210h h +-=解之得11h =-=()cm ．以上三个求变力做功问题为力学中的问题,事实上,在电磁学中也常用积分知识求变力所做的功,下面我们举一例．例4 把一个带电量0q +的点电荷放在r 轴上坐标原点Ｏ处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果另一个点电荷q +放在这个电场中距离原点o 为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为02kq qF k =（k 是常数） 当这个点电荷q +在电场中从r a =处沿r 轴移动到()r b a b =<处时，计算电场力F 对它所作的功．解 在移动过程中，电场对这点电荷q +的作用力是变的．取r 为积分变量，它的变化区间为[],a b ．设[],r r dr +为[],a b 上的任一小区间．当点电荷q +从r 移动到r dr +时，电场力对它所做的功近似于02kq q dr r ，即功微元为02kq qdW dr r=． 在闭区间[],a b 上作定积分，便得所求的功为0002111[]bb a akq q W dr kq q kq q r r a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰如果将点电荷q +从该点处r a =移到无穷远处，电场力所作的功W 就是广义积分00002211lim lim b aa b b kq q kq q kq q W dr dr kq q r r a b a +∞→+∞→+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 例4为积分在电磁学中的应用．除此之外，微分和导数在电磁学中的应用也有很多，这里不再一一细述．以上一些例题表明了微积分在物理学中有很强的应用．因此,要想学好物理,必须学好微积分．综上所述,在普通物理学中，尤其是在力学和电磁学中时时刻刻都在利用微积分处理问题．因此，掌握微积分的使用方法，学会用微积分的思维来解决力学和电磁学中的问题是十分必要的，希望这些工作能起到抛砖引玉的作用，引起同仁的共鸣，好能共同为微积分在各学科中的推广做出贡献．。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究的是变化、运动以及量的变化。
它的基本思想在物理学中具有广泛的应用，涵盖了从简单的运动到复杂的力学系统、热力学、电磁学甚至量子力学等多个领域。
本文将探讨微积分在物理学中的一些关键应用，阐明其理论基础和实际重要性。
一、微积分的基本概念在讨论微积分在物理学中的应用之前，有必要简要理解微积分的基本概念。
微积分主要由两部分组成：微分和积分。
微分主要用于研究函数在某一特定点的变化率，而积分则用于计算函数在一个区间内的累积量。
这两者通过微积分基本定理紧密相连，前者为后者提供了定义和理论基础。
二、运动学中的应用运动学是物理学的一个分支，专注于物体的运动描述。
在运动学中，微积分被用于处理位置、速度和加速度之间的关系。
位置与速度假设一个物体在直线上的位置可以用时间t的函数x(t)来表示。
通过对位置函数进行微分，可以得到物体的瞬时速度，即：反之，如果已知物体的速度v(t)，我们可以对其进行积分以求得位置x(t)：[ x(t) = v(t) dt ]加速度与速度类似地，加速度是速度随时间变化的速率。
其表达为：[ a(t) = ]同样，若已知加速度a(t)，则可以通过积分求得速度：[ v(t) = a(t) dt ]这些公式使得我们能够通过已知的条件推导出另一个量，极大地方便了运动分析。
三、力学中的应用力学是研究物质及其运动规律的一门科学，其中涉及到很多与微积分密切相关的概念。
牛顿第二定律牛顿第二定律指出，一个物体所受的总外力等于其质量与加速度的乘积。
数学表达为：[ F = m a ]考虑到加速度a可以表示为速度对时间的导数，我们有：因此，力F也可以被视为对动量p = mv（即质量与速度的乘积）时间变化率的描述：[ F = ]这表明，在系统分析中，通过微分我们能理解物体动量变化与受力之间深刻而又紧密的关系。
动能定理此外，微积分也被广泛应用于动能定理中。
动能是与物体运动状态相关的一种能量形式，其表达式为：[ KE = mv^2 ]当受力做功W时，系统的动能改变可以表示为：[ W = KE_f - KE_i = _{x_i}^{x_f} F dx ]此处，功W是通过移位过程中的力F与位移x之间关系而得出的，这展示了微积分在分析能量转化过程中的重要性。
微积分在大学物理教学中的重要应用
微积分在大学物理教学中的重要应用【摘要】微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，在大学物理教学中有着广泛而重要的应用，尤其在力学和电磁学部分更为常见，本文主要从这两部分的几道例题进行分析，强调微积分在大学物理中的重要应用.【关键词】微积分；大学物理；力学；电磁学；应用0 引言大学物理是理工科大学面向一、二年级开出的，融合了力、热、光、电和原子物理等基本领域的一门重要的必修基础课，比起中学物理来说，大学物理更加接近于“现实状态”，所研究的运动为加速度时刻发生变化的变速运动，功为变力所做的功，各种类型带电体在空间各个不同点形成的电场在变，磁场也一直在变化等等，此时中学物理所形成的处理“恒定”问题的技能已不再适用，必须建立一套适用于处理“动态”物理问题的新的方法，即微积分的方法.微积分是指把复杂的问题进行时空上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理，然后让分割无限地进行下去，局部范围无限变小，则近似处理也就会越来越精确，这样在理论上得到的结果。
微分是指在理论分析时，把分割过程无限进行下去，局部范围便会无限小，积分是指把无限小个微分元求和[1]，微积分是高等数学中比较重要的一个分支.从大学物理和高等数学的发展史中可以看出两者相互联系，相互促进，物理学提供相应的“现实模型”，高等数学提供“抽象的解决方法”，所以高等数学是大学物理课程的必备基础与工具.1 微积分在大学物理中的重要应用下面主要从大学物理中力学和电磁学两部分的几道例题分析一下微积分的重要应用：上面例题是质点运动学的一个典型例题，解题思路是先运用数学导数的概念，即通过求平均变化率的极限来得到瞬时加速度，列出重要的数学表达式，把数学导数的知识巧妙地应用到物理学当中去，接下来通过给定的初始条件进行定积分，即对微元进行求和，最终算出结果，把看似复杂的变速问题变得更加简单化.比较方法一和方法二，明显可见方法一的便利之处，求解过程相对简捷，从方法一可看出微积分知识和简单物理模型的密切结合，不仅能使学生更加深入地理解基本物理理论知识，而且能够使学生开阔思路，触类旁通，这也是物理教学比较重要的一方面.以上例题主要体现了微积分在电磁学方面的重要应用，虽然从不同微量之间的关系去探讨问题，最终都得到了精确的解，由此可见微积分的奇妙之处，只要选择合适的微元，找好相应的方法，就可以完美地实现物理模型的由复杂到简单、由变量到恒量、由未知到已知的转变.2 结语微积分作为高等数学中一个比较重要的分支，在大学物理教学中起着举足轻重的作用，它不仅是教学工具的应用，也是一种思维方法的应用，教师在教学过程中要巧妙地将微积分融入到大学物理教学中去，恰当地取好微元，分析好元过程和元贡献，确定好积分上下限，最终可以解决许多复杂的物理问题，使得学生增强学习物理的信心，达到事半功倍的教学效果.【参考文献】[1]黎定国.大学物理中微积分的思想方法浅谈[J].大学物理，2005，24（12）：52-54.[2]漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，1997.[3]马文蔚.物理学[M].北京：高等教育出版社，2008.[责任编辑：薛俊歌]。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学。
物理学是研究物质和能量及其相互关系的科学，而微积分为物理学家提供了分析和解决复杂物理问题的有力工具。
本文将详细介绍微积分在物理学中的应用，分析其对物理学研究的重要性和价值。
1. 那些连续变化的物理量物理学中存在许多连续变化的物理量，如速度、加速度、力和位移等。
微积分通过引入导数和积分的概念，可以对这些连续变化的物理量进行研究和分析。
例如，物体在某一时刻的速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过微积分，可以求解出物体的速度、加速度和位移的具体函数表达式，从而更好地理解和描述物理现象。
2. 曲线下的面积在物理学中，我们经常需要计算曲线下的面积，例如计算物体的质量、能量等。
微积分中的积分概念提供了一种有效的方法来求解这些面积。
通过对曲线进行积分处理，可以求得曲线下的面积。
例如，在力的曲线图中，曲线下的面积可以表示物体所做的功，从而得到能量的大小。
微积分的积分概念为物理学家提供了一种精确计算曲线下面积的方法。
3. 物理规律的微分方程描述微积分中的微分方程给予了物理学家一种描述动态过程的数学工具。
物理学中许多规律和现象的变化可以由微分方程来描述。
例如，牛顿第二定律（F=ma）可以通过对该方程进行微分得到物体的运动状态。
微积分提供了一种相对简便的方法，让我们能够更好地理解和分析物理学中的各种现象和规律。
4. 基本微积分定理和积分应用微积分中的基本定理为物理学提供了一种求解积分的方法。
基本定理表明，对于连续函数的不定积分，可以通过求导得到原函数表达式。
这一定理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在动力学中，基本定理可以用于求解速度和位移之间的关系。
在热力学中，基本定理可以用于求解温度和热量之间的关系。
总之，微积分在物理学中有着广泛的应用。
它为物理学家提供了一种强大的工具，使他们能够更好地理解和解决物理学中的各种问题。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。