高考数学满分突破
小题满分练3(解析版)-2021年高考数学二轮专题突破(新高考)
小题满分练3一、单项选择题1．若集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|x 2>4}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3) B ．(－∞，－2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2,3)【答案】 D【解析】 ∵N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M ∩N ＝(－∞，－2)∪(2,3)． 2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z|等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 C【解析】 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ， ∴|z|＝12＋12＝ 2.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24【答案】 D【解析】 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4， 解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24.4．(2020·全国Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 B【解析】 圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝9， 故圆心的坐标为C(3,0)，半径r ＝3. 如图，记点M(1,2)，则当MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小， 此时|MC|＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC|2＝29－8＝2.5．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 【答案】 B【解析】 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t 2)＝2I(t 1)，即20.38et ＝10.382et ，所以()210.38et t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.6．已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3 【答案】 B【解析】 因为a>0，b>0， 所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b)＝10＋3b a ＋3a b 恒成立， 因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)，直线x ＝a 与C 的交点为A ，B(B 在A 的下方)，直线x ＝a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若|AB||BD|＝43，则C 的离心率为( )A.32 B ．2 C.1＋174 D.7 【答案】 B【解析】 将x ＝a 代入y 2a 2－x 2b 2＝1，得y 2＝a 2c 2b 2，即y ＝±ac b ，则|AB|＝2acb.将x ＝a 代入y ＝a b x ，得y ＝a 2b ，则|BD|＝ac b ＋a2b .因为|AB||BD|＝43，所以2ac ac ＋a 2＝43，即2e e ＋1＝43，解得e ＝2. 8．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝x 3－3x ＋1，若∀x 1∈[a ，b]，∃x 2∈[a ，b]，使得f(x 1)＝f(x 2)，且x 1≠x 2，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】 C【解析】 令f ′(x)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，易得当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0，f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝3，f(1)＝－1，作出函数f(x)的图象如图， 令f(x)＝3，解得x ＝－1或x ＝2， 令f(x)＝－1，解得x ＝1或x ＝－2， 由图象可知，b －a 的最大值为2－(－2)＝4. 二、多项选择题9．空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300]为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论正确的是( )A．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考查，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天【答案】ABC【解析】因为97>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于100的数据有3个：143,225,145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B正确；因为12月29日的AQI为225，为这22天中AQI的最大值，所以该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在[0,50)内的数据有6个：36,47,49,48,29,45，即达到空气质量优的天数有6天，所以选项D错误．10．(2020·山东新高考名校联考)某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图所示，其中分组区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，根据频率分布直方图，判断下列说法正确的是( )A．估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分B ．估计本次考试数学成绩的众数为115分C ．估计本次考试数学成绩的中位数为114分D ．本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数 【答案】 ABC【解析】 由频率分布直方图可知，本次数学成绩的平均数为85×0.04＋95×0.06＋105×0.24＋115×0.36＋125×0.16＋135×0.12＋145×0.02＝114.8，A 正确；由图易知本次考试数学成绩的众数为115分，B 正确；前三组的频率和为(0.004＋0.006＋0.024)×10＝0.34，所以中位数应落在[110,120)之间，中位数为110＋0.5－0.340.36×10≈114(分)，C 正确；因为0.04＋0.06＋0.24<0.36＋0.16＋0.12＋0.02，故本次考试数学成绩在110分以上的人数多于110分以下的人数．11．将函数f(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 【答案】 BCD【解析】 将函数f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－3cos 2x 的图象，对于函数g(x)，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g(x)＝－32，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 正确． 12．(2020·济南质量评估)若实数a ，b 满足2a＋3a ＝3b＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a<b<1 B ．b<a<0 C ．1<a<b D ．a ＝b【答案】 ABD【解析】 设f(x)＝2x＋3x ，g(x)＝3x＋2x ，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．x ∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；x ∈(0,1)时，f(x)>g(x)；x ∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知，若f(a)＝2a＋3a ＝3b＋2b ＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a ＝b. 三、填空题13.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的系数为________． 【答案】 －270【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的项为C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2×(－3x)3＝－270xy 2，故其系数为－270.14.在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为20，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．【答案】 15【解析】 由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，而其中数字之和为6的情况有(1,5)，(2,4)，共2种，所以所求概率P ＝15.15．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝________. 【答案】 2【解析】 取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如图所示，则EF ∥AC ，∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角，所以∠BEF ＝60°.设BC ＝x ，则BE ＝EF ＝x 2＋42，BF ＝2，从而△BEF 为等边三角形，则x 2＋42＝2，解得x ＝2.故BC ＝2.16．定义p(n)为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p(555)＝1，p(93)＝2，p(1 714)＝3.在等差数列{a n }中，a 2＝9，a 10＝25，则a n ＝________，数列{p(a n )}的前100项和为________．【答案】 2n ＋5 227【解析】 因为a 2＝9，a 10＝25，所以公差为d ＝25－910－2＝2，所以a n ＝9＋2(n －2)＝2n ＋5.因为a 1＝7，a 100＝205，且a n 为奇数，所以当a n ＝7,9,11,33,55,77,99,111时，p(a n )＝1；当a n ＝101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199时，p(a n )＝2.在数列{a n }中，小于100的项共有47项，这47项中满足p(a n )＝2的共有47－7＝40(项)，故数列{p(a n )}的前100项和为1×8＋2×(40＋17)＋3×(100－8－40－17)＝227.。
高考数学满分技巧与二轮复习提分攻略
高考数学满分技巧与二轮复习提分攻略高考数学得满分，这套学习方法建议收藏1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向;2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。
如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。
当然，我们也要考虑结论的独立性;3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。
答题策略选择：先易后难、选择题解答1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。
一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。
当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。
一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。
2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。
切记不要“小题大做”。
注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。
虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。
多写不会扣分，写了就可能得分。
答题思想方法：每个知识点具体策略1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围;11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题;13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;14.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;15.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;16.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;17.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义;18.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;19.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
2022届高考数学解三角形综合满分突破专题八 多三角形问题(解析版)
专题八 多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437， 则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2． (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长．专题八 多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437， 则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．1．解析 (1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°．在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos ∠PBA ＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74．故P A ＝72．(2)设∠PBA ＝α，由已知得PBBC＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α，即PB ＝sin α． 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α．所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34． 2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．2．解析 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β．因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1．又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4．(2)设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24．因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74． 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．3．解析 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°， ∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理可得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－2．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．4．解析 (1)在△ABC 中，AB ＝2，∠ACB ＝30°，由正弦定理可知，BC sin ∠BAC ＝2sin 30°，所以BC ＝4sin ∠BAC ．又∠ABD ＝60°，∠ACB ＝30°，则∠BAC ＋∠CBD ＝90°， 则sin ∠BAC ＝cos ∠CBD ，所以BC ＝4cos ∠CBD ． (2)CD 为定长，因为在△BCD 中，由(1)及余弦定理可知，CD 2＝BC 2＋BD 2－2×BC ×BD ×cos ∠CBD ＝BC 2＋4－4BC cos ∠CBD ＝BC 2＋4－BC 2＝4，所以CD ＝2．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．5．解析 设∠CED ＝α．因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3．(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217．(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α， 所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714． 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47． 6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．6．解析 (1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13， 因为∠D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223． 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝2． (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝23，因为BC ＝23，AC sin B ＝AB sin ∠ACB ，所以23sin B ＝AB sin (π－2B )＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ， 所以AB ＝4．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2．(1)求AD 的长；(2)求△CBD 的面积．7．解析 (1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255， 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55． 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝5．(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55． 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45， ∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD ．在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD ＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58． 8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长． 8．解析 (1)△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×BC ×22＝12，得BC ＝2． 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即AC 2＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5，得AC ＝5． 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin ∠ABC ，即2sin ∠CAB ＝5sin 3π4，所以sin ∠CAB ＝55． (2)由题设知∠CAB ＜π2，则cos ∠CAB ＝1－sin 2∠CAB ＝1－15＝255， 因为AB ⊥AD ，所以∠DAC ＋∠CAB ＝π2．所以sin ∠DAC ＝cos ∠CAB ＝255． 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠DAC ，即5sin π6＝CD 255，解得CD ＝4．。
2023年上海高考数学满分复习攻略第07讲 三角函数图像与性质(解析版)
第07讲 三角函数图像与性质【考点梳理】一、 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心(k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π 无二、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【解题方法和技巧】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 5.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.【考点剖析】【考点1】正切函数一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A ．sin y x = B ．tan y x =C ．e x y =D ．32y x x =+【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A ：sin y x =为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项A 不正确；对于B ：tan y x =为奇函数，在πππ,π22k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项B不正确；对于C ：e x y =既不是奇函数也不是偶函数，故选项C 不正确；对于D ：()()()3322f x x x x x f x -=--=-+=-，所以32y x x =+是奇函数，因为3y x =和2y x =都是R 上的增函数，所以32y x x =+在定义域上是增函数，故选项D 正确； 故选：D.2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ） A ．4x y =B ．32y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【答案】A 【分析】逐一进行验证，可判断结果. 【详解】对A ，函数4x y =的值域为()0,∞+；对B ，函数32y x =的值域为[)0,+∞； 对C ，函数tan y x =的值域为R ； 对D ，函数cos y x =的值域为[]1,1- 故选：A3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角θ（32ππθ<<）的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过函数()2x f x =-与12()log ()g x x =--的交点，角(0,)4πα∈，则（ ）A ．1cot()θα-<+<B ．1tan()θα-<+<C ．1cos()θα-<+<D ．1sin()θα-<+<【答案】D【分析】首先函数特征判断函数()f x 和()g x 互为反函数，所以可判断54πθ=，再计算53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再判断函数值的范围，判断选项.【详解】因为122()2()log ()log (),xf xg x x x =-=--=-互为反函数，其交点在y x =上，又32ππθ<<，所以54πθ=，而0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()()tan()1,,cot()0,1,sin()1,θαθαθα⎛+∈+∞+∈+∈- ⎝⎭. 故选:D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数()f x 和()g x 互为反函数，从而确定角θ的大小. 二、填空题4．（2022·上海·高三专题练习）若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sin sin sin )sin()33A B CA B C ++++≤即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 333A B C A B C π++++≤==∴sin sin sin A B C ++≤3A B C π===时等号成立.5．（2022·上海·高三专题练习）函数πtan 2y x =的最小正周期为___________. 【答案】2【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可.【详解】解：πtan 2y x =的周期为π2π2T ==，故答案为：26．（2022·上海·高三专题练习）已知函数tan 6y x πω⎛⎫ ⎪⎝+⎭=的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且1ω≤，则实数ω的值为___________. 【答案】12-或1【分析】根据正切函数的性质，代入点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，求解参数ω的值.【详解】∵函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且1ω≤，∴36k ππωπ⨯+=，k ∈Z ，或362k πππωπ⨯+=+，k ∈Z则令0k =，可得实数12ω=-或1ω=，故答案为：12-或1.【考点2】三角函数图像与性质一、单选题1．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以4为周期的函数()(](]1,1cos ,1,32x f x xx π⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，其中0m >.若方程()3xf x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A．8)3 B． C ．48(,)33D．4(3【答案】B【分析】作出函数()f x 和3x y =的图象，要想使方程()3xf x =恰有5个实数解，则需直线3x y =处在函数()f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间．【详解】解：作出函数()f x 和()3xy g x ==的图象如图：若方程()3x f x =恰有5个实数解， 则直线3xy =处在函数()f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间． 函数()f x 是周期为4的周期函数， ∴()()80f f m ==，此时8()3g x =．()61f =，()()626g f =>，∴此时两个函数不相交．当(3x ∈，5]时，4(1x -∈-，1]，2()(4)1(4)f x f x m x ∴=-=--(3x ∈，5]．由21(4)3x m x --，得22222(91)721350m x m x m +-+=， 则由0∆=，得22222(72)4(91)1350m m m --+⨯=， 整理得213515819m ==，解得15m = 当(7x ∈，9]时，8(1x -∈-，1]，2()(8)1(8)f x f x m x ∴=-=--(7x ∈，9]． 即2221(8)y x m --=，将3x y =代入整理得222(8)19x x m -+=，即221(1)166309x x m+-+=， 由判别式221164(1)6309m ∆=-+⨯<得7m <∴要使方程()3x f x =恰有5个实数解，则1573m <<， 即m 的取值范围为15,73⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．2．（2021·上海·模拟预测）函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数记为()g θ，若π02θ≤≤，则()g θ的最大值与最小值之和为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数即为函数sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的， 可得当0θ=时，()g θ最大；当π2θ=时，()g θ最小，即可求解. 【详解】令()()sin 2cos 0f x x x θ=-+=，解得()sin 2cos x x θ=+，()f x 的零点个数可看成sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的，因为π02θ≤≤，所以当0θ=时，交点个数最多，由sin 2cos x x =， 即2sin cos cos x x x =，所以cos 0x =或1sin 2x =， 解得：1π2x =，23π2x =，3π6x =，45π6x =， 所以()()max 04g g θ==，当π2θ=时，交点个数最少，πsin 2cos sin 2x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，即2sin cos sin x x x =-，所以1cos 2x =-或sin 0x =，解得：5πx =，62π3x =，74π3x =， 所以()min π32g g θ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g θ的最大值与最小值之和为437+=，故选：A.3．（2022·上海·模拟预测）已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数0a ≠，x ∈R ）在π4x =处取得最小值，则函数3π()4f x -是（ ） A ．偶函数，且图象关于点(π,0)对称 B ．偶函数，且图象关于点3π(,0)2对称 C ．奇函数，且图象关于点3π(,0)2对称 D ．奇函数，且图象关于点(π,0)对称【答案】D【分析】由题意先求出()f x 的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断 【详解】22()sin cos )f x a x b x a b x ϕ=-++，若()f x 在4x π=处取得最小值，则πsin()14ϕ+=-，ϕ5π2π,Z 4k k =+∈，225π())4f x a b x =++，2222)3π3π()445π)4f b x a x x a b --++=+-， 可得函数3π()4f x -是奇函数，且图象关于点(π,0)对称． 故选：D4．（2021·上海市七宝中学模拟预测）函数()()30,0y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，则该函数的一条对称轴为（ ） A ．1x = B ．2x =C ．2x π=D ．2x π=【答案】A【分析】由函数()f x 的基本性质可求得ϕ、ω的值，再利用正弦型函数的对称性可求得该函数的对称轴方程，即可得出合适的选项.【详解】因为函数()()0,0y x ωϕωϕπ+><<为奇函数，且0ϕπ<<，则2ϕπ=，所以，2y x x πωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，则(2216AB πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为0>ω，可得2πω=，则()2x f x π=，由()Z 22xk k πππ=+∈，可得()21Z x k k =+∈，所以，该函数的一条对称轴为直线1x =. 故选：A.5．（2021·上海市建平中学高三期中）设函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数），则“0a =”是“()f x 为偶函数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】解：当0a = 时，()sin cos cos f x x x x a =+=, 所以()f x 为偶函数； 当()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，∴()sin()cos()sin +cos a f x x x a x x -=-+-=-，即sin cos sin +cos x x x x a a +=- ，得sin 0a x =对任意的x 恒成立，从而0a =.从而“0a =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选：C.6．（2020·上海·高三专题练习）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是严格减函数，则ω的取值范围是（ ）A ．01ω<B ．10ω-<C ．1ωD ．1ω-【答案】B【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数tan y x ω=存在减区间，则0ω<由,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,22x ωπωπω⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由题意函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是严格减函数，可得0ω<且满足2222ωππωππ⎧≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得10ω-<.故选：B.7．（2022·上海·高三专题练习）已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性 D ．函数()f x 的值域为R【答案】B【解析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B8．（2022·上海浦东新·二模）将函数()sin2f x x =的图像向左平移4π个单位后，得到函数()g x 的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC 的面积不可能为（ ）A． BCD【答案】D【分析】先求得()g x 的解析式，在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ，分别求得当C 位于不同位置时，ABC 的面积，根据规律，分析即可得答案.【详解】由题意得()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，如下图所示令sin 2cos2x x =，解得,82k x k Z ππ=+∈， 不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ， 所以252,,88A B ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭若C 点位于192,82C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积1922288S ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故C 正确 当C 点位于2132,8C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积113522288S ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 当C 点位于31728C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积11722288S πππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，故B 正确， 因为312AC AC =，此时3ABC △为1ABC 面积的2倍， 以此类推，当C 位于不同位置时，ABC 2的整数倍，故A 正确，D 错误， 故选：D二、填空题9．（2021·上海崇明·一模）设函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点为123,,x x x ，若123,,x x x 成等比数列，则m =_______. 2【分析】将函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点转化为sin ,y x y m ==的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得m 的值. 【详解】令sin 0x m -=，得sin x m =则函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点即为sin ,y x y m ==的交点横坐标，如图：由图可知122321323x x x x x x x ππ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得123143494x x x πππ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2sin4m π∴==210．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 【分析】由sin 0x ω=得,x k ωπ=则满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，即求.【详解】由sin 0x ω=得,x k ωπ=即,Z k x k πω=∈，∵函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点， ∴2,Z k k πππω≤≤∈，即满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，又0>ω，所以k 取1,2或2,3或3,4，当k 取1,2时，01ω<≤且223ω≤<，即1ω=； 当k 取2,3时，12ω<≤且324ω≤<，即322ω≤<，当k 取3,4时，23ω<≤且425ω≤<，即522ω<<， 所以ω的取值范围是1ω=或322ω≤<或522ω<<. 故答案为：1ω=或322ω≤<或522ω<<.11．（2022·上海·高三专题练习）设函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，若()34tan cos x x α-=，则sin 2α=___________.【答案】35【分析】利用余弦方程，解出x 的值，然后得到3π4x =，4π3x =，代入()34tan cos x x α-=，利用正切的两角差公式求出tan α的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可. 【详解】因为()cos2cos100x x x =≥，则有1022πx x k =+或1022πx x n +=，k ，n ∈N ， 解得1π4x k =或π6n x =，k ，n ∈N ， 又函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ， 所以0x =，π6，π4，π3，π2，2π3，…，故3π4x =，4π3x =， 所以()34tan cos x x α-=，即ππtan cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan 11tan 2αα-=+，解得1tan 3α=， 故2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++.故答案为：35. 12．（2022·上海·模拟预测）给定曲线族()()24sin 2cos 68sin cos 10x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是_____【答案】【分析】联立求得交点的横坐标，利用弦长公式得到弦长，根据三角函数的有界性得到不等关系，求出82x -≤≤，从而求出弦长最大值.【详解】联立方程()()24sin 2cos 68sin cos 102x y y x θθθθ⎧-+-++=⎨=⎩，解得：0x =或8sin cos 12sin cos 3x θθθθ++=-+，所以弦长12d x =-=，由8sin cos 1,2sin cos 3x θθθθ++=-+得：(28)sin (1)cos 13x x x θθ--+=-，由辅助)13,x θϕ+=-13x ∴-26160x x +-≤，解得：82x -≤≤，所以8,x d ≤=≤即弦长的最大值是85 故答案为：8513．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知0>ω，()()2sin 0f x x x πωω⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()2,0A ，()2,1B ，()1,1C ，()1,2D ，()0,2E ，O 位坐标原点，()y f x =图像上的点都在折线OABCDEO 所围成的区域（包括边界）内，则ω的最小值为___________. 【答案】56π【分析】由函数图象在折线OABCDEO ，围成区域内，要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，代入求解即可得．【详解】要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，所以2sin 1ω=，1sin 2ω=， 又最大值是2，最高点在线段AD 上，因此点(1,1)C 在函数的递减区间上，所以56πω=． 故答案为：56π．14．（2022·上海·复旦附中模拟预测）如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数()()2cos =+f x x ωϕ（ω，ϕ为常数）的图像如图所示（图像经过点()1,0），那么ω的值为______．【答案】2【分析】函数式降幂化为余弦的一次式，由(1)0f =得2k πωϕπ+=+，再由图象得周期T 满足423T <<，得出324ππω<<，结合*ω∈N ，可得ω的值． 【详解】21cos(22)()cos ()2x f x x ωϕωϕ++=+=，由图象可得1cos(22)(1)02f ωϕ++==，222k ωϕππ+=+，2k πωϕπ+=+①，3142TT ⎧>⎪⎨⎪<⎩，423T <<，42232πω<<，324ππω<<②． *ω∈N ，所以2ω=．故答案为：2．15．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 的前n 项和，关于x 的方程21cos 10n n x a x a +-++=有唯一解，若不等式()291nn n S ka +≥-，对任意的*N n ∈恒成立，则实数k 的取值范围为______ 【答案】297,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】设()21cos 1n n f x x a x a +=-++，分析可得()1010n n f a a +=+-=，求得n a n =，()12n n n S +=，对n分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数k 的取值范围.【详解】设函数()21cos 1n n f x x a x a +=-++，该函数的定义域为R ，因为()()()()2211cos 1cos 1n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=---++=-++=，则函数()f x 为偶函数，因为方程()0f x =有唯一解，则()1010n n f a a +=+-=，所以，11n n a a +-=且11a =，故数列{}n a 是以1为公差和首项的等差数列， 故11n a n n =+-=，()12n n n S +=，由题意可得()291nn n kn ++≥-.若n 为奇数，则91k n n -≤++，因为9117n n ++≥=，当且仅当3n =时，等号成立， 所以，7k -≤，可得7k ≥-； 若n 为偶数，则91k n n ≤++，令91n b n n=++，则2152b =，4294b =，当4n ≥时，()()299991821122222n n b b n n n n n n n n +-=+++---=+-=-+++,()()221802n n n n +-=>+， 且数列{}n b 中的偶数项从4b 开始单调递增，因为42b b <，此时294k ≤. 综上所述，2974k -≤≤. 故答案为：297,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n kπαϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________． 【答案】1939π【分析】由cos cos i j αα=确定i j αα，之间的关系，结合,i j 的范围求ϕ的最大值. 【详解】因为cos cos i j αα=，不妨设1,Z i j k i j ≤<≤∈，， 所以)=2(Z j i t t ααπ∈-或)=2(Z j i t t ααπ∈+， 所以()()22112j i t k k ππϕϕπ-+---=或()()22112j i t k kππϕϕπ-++-+=， 所以j i tk -=或()2j i t kπϕπ+-+=因为1i j k ≤<≤，Z t ∈，所以j i tk -≠， 所以()2j i t kπϕπ+-+=，因为1i j k ≤<≤，所以1223i j k ≤+-≤-所以1232i j k k k +-≤≤-，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，Z t ∈ 所以12t ≤≤ 所以()22j i t j i t k k πϕππ+-⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 若1t =，k 为偶数时，要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈所以当1212i j k +-=+时ϕ取最大值，最大值为2111912240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1t =，k 为奇数时，要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈所以当11222i j k +-=+时ϕ取最大值，ϕ最大值为11119122239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得若2t =，k 为偶数时，则ϕ的最大值为32111922240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若2t =，k 为奇数时，则ϕ的最大值为311119222239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又19193940ππ≥， 所以ϕ的最大值为1939π， 故答案为：1939π. 三、解答题17．（2021·上海市七宝中学模拟预测）已知函数()1sin 2212g x x x =+，函数()f x 与函数()g x 的图象关于原点对称. (1)求()y f x =的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【答案】(1)()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(2)单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，所以，点(),x y --在()y g x =的图象上，将点(),x y --的坐标代入函数()y g x =的解析式，可得出函数()y f x =的解析式；（2）化简函数解析式为()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在R 上的单调递增区间A ，将区间A 与区间[]0,π取交集可得结果.(1)解：设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点， 由题意可知，点(),x y --在()y g x =的图象上，于是有()()1sin 2212y x x -=--+，所以，()1πsin 221sin 2123f x x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭. (2)解：由（1）可知，()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，[]0,x π∈，记[0,]D π=，由()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得()5Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，记()5,Z 1212A k k k ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，则70,,1212A D πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 于是，函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．（2022·上海市实验学校模拟预测）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】(1)4C ︒(2)在10时至18时实验室需要降温【分析】（1）先把解析式化简，得到()102sin()123f t t ππ=-+，利用三角函数的性质求出()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，即可求得；（2）依题意列不等式()11f t >，直接解得. (1)因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+， 又024t ≤<，所以731233t ππππ≤+<，1sin()1123ππ-≤+≤t ，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-；于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒(2)依题意，当()11f t >时实验室需要降温.由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，所以102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<， 故在10时至18时实验室需要降温.19．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知平面向量()()()sin π2,1,3,cos2a x b x =-=，函数()f x a b =⋅．(1)写出函数f （x ）的单调递减区间；(2)设π()lim (02π)πnn nn g x x x ∞→+=<<+，求函数()y f x =与()y g x =图象的所有交点坐标．【答案】(1)减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据极限的运算性质，结合特殊角的正弦值进行求解即可. (1)()π3sin(π2)cos 22cos 22sin(2)6f x a b x x x x x =⋅=-+=+=+，当ππ3π2π22π(Z)262k x k k +≤+≤+∈时，函数单调递减， 解得：π2πππ(Z)63k x k k +≤+≤+∈， 因此函数f （x ）的单调递减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当0πx <<时，π1()lim lim 1π1()πn n n n n ng x x x ∞∞→+→+===++，即()ππ5ππ2sin(2)126663f x x x x =+=⇒+=⇒=，所以交点的坐标为π,13⎛⎫⎪⎝⎭； 当πx =时，π1()limππ2n n n n g x ∞→+==+，即()π12sin(2π)62f x =+=，方程无实根； 当π2πx <<时，1()lim1()πn n g x x ∞→+==+，即()ππ2sin(2)023π66f x x x =+=⇒+=，或π24π6x +=，解得17π12x =或23π12x =，即交点坐标为17π23π,0,,01212⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述：交点坐标为π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值； 【答案】(1)3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；4π，(2)14-【分析】（1）根据题设中的对称轴可得π2π,2k k Z ϕ=-∈，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.(1)可知11()cos 22g x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为直线π2x =是()g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222k k Z ϕ⨯+=∈，解得π2π,2k k Z ϕ=-∈，而[]0,2πϕ∈，故3π2ϕ=，则13()cos π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则周期2π4πT ω==，再令13π[2π,π2π],24x k k k Z +∈+∈，则3ππ4π,4π,22x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)可知π()cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos cos cos cos 22x x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 2222x x +=⋅1π1sin 2264x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则在ππ262x -=即π3x =取()h x 最小值，其最小值为111244-+=-.【考点3】三角函数综合应用一、填空题1．（2022·上海闵行·二模）若函数cos y x x =+的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；【答案】π6【分析】先用辅助角公式得到πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，求出平移后的解析式，根据奇偶性得到16k <，从而当0k =时，求出ϕ的最小值.【详解】πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，向右平移ϕ个单位后解析式为()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则要想使得()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为奇函数，只需ππ,6k k Z ϕ-+=∈，解得：ππ,6k k Z ϕ=-∈， 因为0ϕ>，所以ππ>06k -，k Z ∈，解得：16k <，k Z ∈，当0k =时，正数ϕ取得最小值，所以π6ϕ=. 故答案为：π62．（2020·上海·高三专题练习）方程2cot 1x =的解集是_________．【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【分析】化简得到cot 1x =±，分别计算cot 1x =和cot 1x =-得到答案. 【详解】2cot 1x =，则cot 1x =±， 当cot 1x =时，4x k ππ=+，k Z ∈；当cot 1x =-时，4x k ππ=-，k Z ∈；故4x k ππ=±，k Z ∈.故答案为：,4x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了解三角方程，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误. 3．（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到得到函数图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，那么ϕ的最小值为__________．【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，则：()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 整理可得：()136k k Z πϕπ=-∈， 则当2k =时，ϕ有最小值6π. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、解答题4．（2020·上海·高三专题练习）已知函数2()2cos sin 3sin sin cos 3⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭f x x x x x x π（1）求函数()f x 的最小值及取得最小值时相应的x 的值；（2）若当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的反函数为1()f x -，求1(1)f -的值【答案】（1）当512πx k π=-，则()f x 的最小值为2-；（2）4π.【解析】（1）根据和差公式，二倍角公式，化简函数的解析式，再根据三角函数的性质即可得出答案；（2）利用互为反函数的性质，可得出()11f -的值.【详解】()2212cos sin 3sin cos 3 =2cos sin cos cos sin 3sin cos 33 =2sin cos 322sin 23f x x x x x xx x x x x x x x x x ππππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）当()2232x k k Z πππ+=-∈时，即()512x k k Z ππ=-∈，()f x 取得最小值2-. （2）令72sin 21,,31212x x πππ⎛⎫⎡⎤+=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32,322x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则52364x x πππ+=⇒=故()114f π-=.【点睛】（1）三角恒等变换主要是考查对和差公式，二倍角公式，降幂公式的综合应用，一般是将函数的解析式化简为()sin()f x A ωx φB =++形式,再研究该函数的性质.（2）求反函数的y 值时，易错点为容易忽略,x y 的范围.5．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）函数2())6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-+-+，x ∈R .（1）把()f x 的解析式改写为()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω)的形式；（2）求()f x 的最小正周期并求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）把()y f x =图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数()y g x =的图像，再把函数()y g x =图像上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y h x =的图像，若函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点，求m 的最小值.【答案】（1）())4f x x π=-；（2）T π=，最大值2-；（3）1136π.【解析】（1）由三角恒等变换的公式，即可化简函数()f x 的解析式为())4f x x π=-；（2）由（1）知())4f x x π=-，求得()f x 的最小正周期为22T ππ==，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值；（3）根据三角函数的图象变换，求得函数()h x x =，得到y x =令0y =，求得26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ，结合函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点，求得1136m π≥，即可得到实数m 的最小值.【详解】（1）由题意，函数2())6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-+-+22)3sin 2(2cos 1)x x x x =+--2sin 22cos 2)4πx x x =-=-.即()f x 的解析式为())4f x x π=-.（2）由（1）知())4f x x π=-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 因为[0,]2x π∈，则2[,]444x ππ3π-∈-，所以当244x ππ-=-，即0x =时，函数取得最小值，最小值为())24f x π=-=-；当242x ππ-=，即38x π=时，函数取得最大值，最大值为()sin()2f x π==即函数的最小值为2-，最大值为（3）把()y f x =图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数())4g x x π=-，再把函数()y g x =图像上所有的点向左平移4π个单位长度，可得()h x x =，则函数()y h x x ==，令0y =，即0x =，即1sin 2x =，解得26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ，要使得函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点， 则满足51132966m πππ≥+⨯=，即实数m 的最小值为1136π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简的综合应用，同时考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.6．（2020·上海市浦东中学高三期中）已知函数()2cos 2sin f x x x x =-．⑴若角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，求()f α的值；⑵当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间和值域．⑵单调递增区间是,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,值域是[]2,1-． 【分析】⑴ 利用定义即可求解()f α的值；⑵ 利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求解内层函数，从而求解值域．【详解】解：()1角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，43sin ,cos 55αα∴==，()22434cos 2sin 2555f αααα⎛⎫=-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭⑵由()2cos 2sin cos212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭；由222262k x k πππππ-≤+≤+，得，36k x k ππππ-≤≤+，又,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间是,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52666x πππ∴-≤+≤，1sin 2126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 故得()f x 的值域是[]2,1-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 7．（2020·上海·高三专题练习）已知2221tan tan αβ＝＋ ，求证：2221sin sin βα＝－ . 试题分析：方法一由2221tan tan αβ＝＋ ⇒222tan 1tan tan2sin221tan αββββ-+＝＝.⇒2222222222222sin tan 11tan 1sin cos cos 2sin22s 1tan 1sin tan 1sin cos 112cos in ααααααβααααααα-----++++＝＝＝＝＝－；方法二：由已知可得2212(1)tan tan αβ＋＝＋⇒222sin cos 2cos ααα+＝·22222sin cos 12cos cos cos βββαβ+＝⇒222cos cos βα＝ ，⇒2212(1)sin sin βα－＝－⇒2221sin sin βα＝－ .试题解析：方法一 ∵2221tan tan αβ＝＋ ，∴2tan 1tan22αβ-＝. ∵2222sin sin tan2cos 1sin βββββ-＝＝，∴22tan sin21tan βββ+＝. ∴22222222sin tan 11tan 1cos 2sin2tan 1sin tan 1112cos ααααβαααα----+++＝＝＝22222sin cos 2s 1sin cos in ααααα-+＝＝－. 方法二 ∵2221tan tan αβ＝＋ ，∴2212(1)tan tan αβ＋＝＋ ， 即222sin cos 2cos ααα+＝·222sin cos cos βββ+，即2212cos cos αβ＝， 即222cos cos βα＝ ，即2212(1)sin sin βα－＝－ ， ∴2221sin sin βα＝－ .【真题模拟题专练】一、单选题1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为2⎡-⎣，则b a -的取值范围是（ ）A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据正弦函数的图像特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】π()sin cos )4f x x x =+=+，因为[],x a b ∈，所以πππ,444x a b ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，因为π1)4x -≤+≤πsin()14x ≤+≤.正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，要满足上式，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()max min 5ππ3π5ππ3π--=,-=442424b a b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以b a -的取值范围是3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．2π D ．π【答案】B【分析】根据对称轴和ω的范围可得ω的值，从而可得周期，然后由题意可知12||x x -的最小值为2T可得. 【详解】由题知,1262k k πππωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ，因为05ω<<，所以4ω= 所以22T ππω==易知12||x x -的最小值为24T π=. 故选：B3．（2021·上海金山·一模）下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（ ） A ．()cos2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()sin 4f x x =D ．()cos2f x x =【答案】A 【分析】分别计算出ABCD 的周期，再判断是否在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增即可．【详解】A: ()cos2f x x =，周期为2π，在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确；B: ()sin 2f x x =,周期为2π，在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，排除；C: ()sin 4f x x =,周期为2π,在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不具有单调性，排除； D: ()cos2f x x =,周期为π,排除. 故选：A.4．（2020·上海黄浦·一模）将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．x 12π=-B ．x 16π=C ．x 4π=D ．x 2π=【答案】A【解析】先求出变换后的解析式，再根据解析式求解函数的对称轴. 【详解】将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数为sin(2)3y x π=-，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+， 由1k =-可得12x π=-.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，注意x 的系数对结果的影响，侧重考查数学运算的核心素养.5．（2021·上海黄浦·一模）为了得到函数()sin y x x x R =∈的图像，可以将函数()2sin y x x R =∈的图像（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位【答案】C【分析】将函数转化为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项.【详解】函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以将函数2sin y x =的图象向右平移3π个单位，即可得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即得到函数sin y x x =的图象.故选：C. 二、多选题6．（2021·上海交大附中模拟预测）为了得到函数sin 22y x x =的图象，可以将函数2cos 2y x x =-的图象作怎样的平移变换得到（ ）A ．向左平移34π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移34π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】BC【分析】由函数解析式应用辅助角公式化简，结合左加右减的原则，即可判断平移变换的过程.【详解】sin 222(sin 2coscos 2sin )2sin[2()]336y x x x x x πππ==+=+，[sin 2cos()cos 2sin()]2sin 2cos 22[2()]6612x x x y x x πππ-+-=-=-=，∴2cos 2y x x =-向左平移4π个单位或向右平移34π个单位得到sin 22y x x =.故选：BC 三、填空题7．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或【分析】依题意()()()()min maxmin max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可【详解】536x ππ≤≤1sin 12x ⇒≤≤1sin 12a a x a ⇒+≤+≤+ 依题意()()()()min maxmin max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩（1）当12a >-时, 函数草图如下图所示,此时, ()()min max 1,12f x a f x a =+=+,则8419912a a a a +≤+⎧⎪⎨+>+⎪⎩⇒73167a -<≤- 满足条件; （2）当 112a -<≤-时, 函数草图如下图所示,此时,()()min max 50,max ,26f x f x ff ππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭, 则()()()()min max min max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩无解（3）当1a =-时, 函数草图如下图此时, ()min 0f x =,()max 12f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则102102a a ⎧⎛⎫≤-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪>-+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 无解; （4）当1a <-时, 函数草图如下图所示,此时, ()()min 1f x a =-+, ()max 12f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则 ()()18121912a a a a ⎧⎛⎫-+≤-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+>-+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 15171416a -≤<-, 满足条件故答案为：151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8．（2021·上海松江·一模）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，若()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.【答案】43【分析】化简()f x ，由()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭可得24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到48,3ωk k Z =+∈即可求解.【详解】()cos 2sin()6f x x x x =+=+πωωω，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭，()2sin 2446πππf ω⎛⎫∴=⨯+= ⎪⎝⎭，2,462πππωk πk Z ∴⨯+=+∈,483ωk ∴=+,k Z ∈ min 43ω∴=故答案为：439．（2021·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -､(0,3)B ，E ､F 为圆224x y +=上两个动点，且||4EF =，则AE BF ⋅的最大值为___________.【答案】4【分析】依题意E 、F 为直径的两个端点，设()2cos ,2sin E θθ，则()2cos ,2sin F θθ--，即可表示出AE ，BF ，再根据平面向量数量积的坐标运算及辅助角公式计算可得；【详解】解：因为E 、F 为圆224x y +=上两个动点，且||4EF =，所以E 、F 为直径的两个端点，设()2cos ,2sin E θθ，则()2cos ,2sin F θθ--，因为(1,0)A -､(0,3)B ，所以()2cos 1,2sin AE θθ+=，()2cos ,2sin 3BF θθ=---，所以()()()222cos 2cos 1sin 2sin 34cos sin 2cos 26sin AE BF θθθθθθθθ+--=-⋅=-++--42cos 6sin θθ=--- ()4θϕ=--+，其中1tan 3ϕ=；所以当()sin 1θϕ+=-时()max4AE BF⋅=故答案为：410．（2021·上海奉贤·一模）函数3cos y x a x =+是奇函数，则实数=a __________. 【答案】0【分析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.【详解】因函数3()cos y f x x a x ==+是奇函数，其定义域为R ，则对R x ∀∈，()()f x f x -=-，即33()cos()(cos )x a x x a x -+-=-+，整理得：2cos 0a x =，。
2022年(新高考)数学解答题满分突破专题1.11圆锥曲线-定点、定值、定直线问题(学生版+解析版)
专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（1）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.（2）定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．（3）探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（4）存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．（5）求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，O为原点，点(4,0)A是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于||OA （1）求椭圆的方程；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M '，N 关于原点O 的对称点为N '，若点,,A M N ''三点共线，求证：直线l 经过定点．2．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1,2A ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1,P ⎛- ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2y x m =-+(0m ≠且 m ≠交椭圆C 于A ，B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，探究：12k k 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(2,3)P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 上存在两点M ，N ，使得PM 的斜率与PN 的斜率之和为1-，直线MN 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为,,A B P 为直线2y =上的动点，当点P 位于点()1,2时，ABP ∆的面积1ABP S ∆=，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 的1． （1）求椭圆C 的方程；（2）连接,PA PB ，直线,PA PB 分别交椭圆于,M N （异于点,A B ）两点，证明：直线MN 过定点．6C ：()222210x y a b a b +=>>的一个顶点恰好是抛物线24x y=的焦点，过点M (4，0)且斜率为k 的直线交椭圆C 于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求k 的取值范围；（3）若k ≠0，A 和P 关于x 轴对称，直线BP 交x 轴于N ，求证：|ON |为定值．7．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，且椭圆过点(A ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点O 作两条相互垂直的直线1l 、2l ，1l 与椭圆交于M ，N 两点，2l 与椭圆交于P ，Q 两点，求证：四边形MQNP 的内切圆半径r 为定值．8．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为()0k k >且过点()1,0-的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -．（1）求证：1mk ；（2）若F 在射线OE 上，且2OG OE OF =⋅，求证：点F 在定直线上．9．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为13,1,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，,A B 为椭圆上不同两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆C 的方程；（2）线段AB 的中点为M ，当AOB 面积取最大值时，是否存在两定点,G H ，使GM HM +为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．10．已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设D 为直线2y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点的直线()11:0l y k xk =>交抛物线2:2C yx=于点P （异于原点O ），抛物线C 上点P 处的切线交y 轴于点M ，设线段OP 的中点为N ，连结线段MN 交C 于点T ．（1）求||||TM MN 的值；（2）过点P 作圆22:(1)1O x y '-+=的切线交C 于另一点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，证明：12k k -为定值．12．已知动点P 到点(0)的距离与到直线x = （1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F ．试问在x 轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．13．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，1,24P ⎛ ⎝⎭在C 上．（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于A B 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T ．求证：点T 恒在一定直线上．14．已知直线l 与圆22:8O x y +=相切，动点P 到1(2,0)F -与2(2,0)F 两点距离之和等于1F ，2F 两点到直线l 的距离之和．（1）设动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；（2）对于椭圆22221x y a b+=，上一点()00,A x y ，以A 为切点的切线方程为00221xx yy a b +=．设G 为4x =上任意一点，过点G 作轨迹C 的两条切线GM ，GN ，M ，N 为切点．①求证直线MN 过定点； ②求1F MN △面积的最大值．15．已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点． （ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率； （ⅰ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．16．如图，抛物线2:2E y px =的焦点为,F 四边形DFMN 为正方形，点M 在抛物线E 上，过焦点F 的直线l 交抛物线E 于,A B 两点，交直线ND 于点C ．（1）若B 为线段AC 的中点，求直线l 的斜率；（2）若正方形DFMN 的边长为1，直线MA ，MB ，MC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．17．已知等轴双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)经过点，12)．（1）求双曲线C 的标准方程； （2）已知点B (0，1)．①过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于E ，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值； ②点A 是C 上一定点，过点B 的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()0,1．如图所示，斜率为()0k k >且过点()1,0-的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，若F 在射线OE 上，且2OG OE OF =⋅．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：点F 在定直线上．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其右焦点与抛物线22:4C y x=的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n ，使得QP NP PQ NQ =？若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．20．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，离心率e ．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ． （1）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（2）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明1322S S S 为定值．专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（1）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.（2）定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．（3）探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（4）存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．（5）求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，O为原点，点(4,0)A是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于||OA （1）求椭圆的方程；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M '，N 关于原点O 的对称点为N '，若点,,A M N ''三点共线，求证：直线l 经过定点． 【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由条件可知24a =，再根据离心率求c ，最后代入222b a c =-，求椭圆方程；（2）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，由,,A M N 三点共线可知AM AN k k =，坐标表示斜率后，代入根与系数的关系化简，求直线所过的定点． 【解析】（1）由题意得，2,a c ==2221b a c =-=．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，则()()1122,,,M x y N x y ''---，直线:MN y kx t =+，与椭圆方程联立22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222148440k x ktx t +++-=，则2121222844,1414kt t x x x x k k-+=-=++， 1212,44AM AN y y k k x x ''==--+．因为点,,A M N ''三点共线，所以AM AN k k ''=，即121244y y x x =--+，所以()()()()12211212124404444y x y x y y x x x x ++++==++++， 即()()()()1221440kx t x kx t x +++++=， 整理得()12122(4)80kx x t k x x t ++++=．①由2121222844,1414kt t x x x x k k -+=-=++，代入①()22244824801414t kt k t k t k k -⋅-+⋅+=++ 整理得t k =， 所以直线l 的方程为()1y kx k k x =+=+，即直线l 恒过定点(1,0)-．2．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1,2A ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【试题来源】广东省中山市2021届高三上学期期末【答案】（1）2212x y +=；（2．【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论．【解析】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，椭圆C 的右焦点()1,0F ， 所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值． 3．已知椭圆C ：()222210x y a b ab +=>>1,P ⎛- ⎝⎭． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线y m =+(0m ≠且 m ≠交椭圆C 于A ，B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，探究：12k k 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为14．【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．（2）联立2214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2210x m +-=，其中()22234140m m m ∆=--=-+>，解得22m -<<．又0m ≠且 m ≠2m -<<或0m <或02m <<．设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=，2121x x m =-，所以121212222211x m x m k k x x -++-++⋅=⋅++()()212121212341x x m x x m x x x x ⎛+++ ⎝⎭⎝⎭=+++ ()22314222m m m ⎛--+++ =2114m m +==， 即12k k 是定值，且定值是14．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(2,3)P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 上存在两点M ，N ，使得PM 的斜率与PN 的斜率之和为1-，直线MN 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【试题来源】甘肃省2020-2021学年高三第一次高考诊断试卷【答案】（1）2211612x y +=；（2）直线MN 过定点(8,0)． 【分析】（1）利用122a PF PF =+，代入点的坐标可得a ，再利用222b a c =-可得2b ，则椭圆方程可得；（2）当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，与椭圆联立，利用PM 的斜率与PN 的斜率之和为1-以及根与系数关系，可得,k m 的关系，代入直线方程可得定点；当直线MN 的斜率不存在时，可得,M N 坐标，发现矛盾，舍去．【解析】（1）由题意知，焦点为(20)，故2a=+8=，4a∴=，故216a=，22212b a c=-=，所以椭圆C的方程为2211612x y+=；（2）当直线MN的斜率存在时，设方程为y kx m=+．代入椭圆方程消去y并整理，得()2223484480k x kmx m+++-=（*），设点()11,M x y，()22,N x y，则122834kmx xk+=-+，212244834mx xk-=+．①设直线PM的斜率与PN的斜率分别为1k，2k，根据11y kx m=+，22y kx m=+，则12121233122kx m kx mk kx x+-+-+=+=---，所以()1212(21)(25)k x x m k x x++--+1640m+-=，将①代入，整理化简得2216102430k km k m m+-+-=，即(23)(8)0k m k m+-+=，因为(2,3)P不在直线MN上，所以230k m+-≠，所以8m k=-，要使（*）方程判别式()()()22284344480km k m∆=-+->，即()()()222264434464480k k k∆=-+⨯->，得11,22k⎛⎫∈-⎪⎝⎭，于是MN的方程为11(8),,22y k x k⎛⎫=-∈-⎪⎝⎭，所以直线过定点(8,0)．当直线MN的斜率不存在时，可得()11,M x y，()11,N x y-，则由11121133122y yk kx x---+=+=---，又221111612x y+=联立方程可得18x=，又144x-≤≤，矛盾，舍去．综上所述，直线MN过定点(8,0)．【名师点睛】直线与椭圆联立问题：第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0． 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为,,A B P 为直线2y =上的动点，当点P 位于点()1,2时，ABP ∆的面积1ABP S ∆=，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 的1． （1）求椭圆C 的方程；（2）连接,PA PB ，直线,PA PB 分别交椭圆于,M N （异于点,A B ）两点，证明：直线MN 过定点．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由椭圆的上、下顶点,A B ，点P ()1,2，ABP ∆的面积1ABP S ∆=，求得b ，再由椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 1，即1a c -=求解．（2）设(,2)P t ，由题意知直线P A ，PB 的斜率存在，设13:1,:1PA PB l y x l y x t t=+=-，分别与椭圆方程联立，求得M ，N 的坐标，写出直线M ，N 的方程求解．【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为,A B ，点P ()1,2，ABP ∆的面积1ABP S ∆=， 所以1212ABP S b ∆=⨯=，基底1b =，因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 1， 设(), M x y 是椭圆上任意一点，(,0)F c -，则2222222()2c MF x c y x cx a a =++=++，对称轴2a x a c=-<-，所以在区间[,]x a a ∈-上递增，则x a =-时，min MF a c =-，即1a c -=，又222a b c =+，解得a =2212x y +=．（2）设(,2)P t ，由题意得，直线P A ，PB 的斜率存在，设13:1,:1PA PB l y x l y x t t =+=-，由221112y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22242,22t t M t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由223112y x tx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221218,1818t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以:MNl 2222222221822418212422182t t t t t t y x t t t t t t ----⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++， 化简得26182t y x t -=+，所以直线MN 过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6C ：()222210x y a b a b +=>>的一个顶点恰好是抛物线24x y=的焦点，过点M (4，0)且斜率为k 的直线交椭圆C 于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求k 的取值范围；（3）若k ≠0，A 和P 关于x 轴对称，直线BP 交x 轴于N ，求证：|ON |为定值． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）2214x y +=；（2）⎛ ⎝⎭；（3）证明见解析． 【分析】（1）由题意c a =1b =，结合222a c b -=可得a ，从而得椭圆方程； （2）由直线方程与椭圆方程联立，消元后利用判别式0∆>可得k 的范围；（3）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，由根与系数关系得1212,x x x x +，写出直线BP 方程，求出N 点横坐标，代入1212,x x x x +代入可得．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，则有1cb a ==，，又222a b c -=，可以求得24a =．于是，椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）过点M (4，0)且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －4)，由22(4),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得21()4k +x 2－8k 2x ＋16k 2－1＝0， 因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(－8k 2)2－421()4k +(16k 2－1)>0，k，所以k的取值范围是(．（3）证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，由题意知x 1≠x 2，y 1≠y 2，由（2）得x 1＋x 2＝22814k k +，x 1·x 2＝2216114k k -+，直线BP 的方程为121x x x x --＝121y y y y ++，令y ＝0，得N 点的横坐标为12121()y x x y y -+＋x 1，又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，故|ON |＝121121()y x x x y y -++＝121221y x x y y y ++＝12121224()()8kx x k x x k x x k -++-＝22222216182411448814k k k k k k kk kk -⋅-⋅++⋅-+＝1．即|ON |为定值1．【名师点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，定值问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程为y kx m =+，直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用根与系数关系得1212,x x x x +，代入已知得参数关系，由直线方程得定点不，或代入计算所求定值的量，得定值．7．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，且椭圆过点(A ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点O 作两条相互垂直的直线1l 、2l ，1l 与椭圆交于M ，N 两点，2l 与椭圆交于P ，Q 两点，求证：四边形MQNP 的内切圆半径r 为定值．【试题来源】河南省非凡2020-2021学年高三（3月）调研考理数试卷【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）先利用椭圆的定义求得a ，再根据椭圆的左右焦点为()12,0F -、()22,0F 得到c 即可． （2）当1l 的斜率为±1时，四边形MQNP 为正方形，求得M N x x =即为内切圆半径；当1l 的斜率不等于±1时，设()11,Q x y ，()22,N x y ，直线QN 的方程为y kx t =+，代入椭圆方程，根据90NOQ ∠=︒，即12120x x y y +=，结合根与系数关系求得k ，t 的关系，再由原点到直线的距离求解．【解析】（1）因为椭圆的左右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，且椭圆过点(A ，所以122a AF AF =+=，所以a =又2c =，得2b =，所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）如图所示：当1l 的斜率为±1时，四边形MQNP 为正方形，y x =与22184x y +=联立，解得M N x x ==因为NQ 垂直于x 轴，所以r =， 当1l 的斜率不等于±1时，设()11,Q x y ，()22,N x y ，直线QN 的方程为y kx t =+， 代入椭圆方程并整理得()222124280kxktx t +++-=，()()()2224421280kt k t ∆=-+->，即22840k t -+>，由根与系数关系得122412kt x x k +=-+，21222812t x x k-=+， 因为90NOQ ∠=︒，所以0ON OQ ⋅=，即 12120x x y y +=，即 ()()12120x x kx t kx t +++=， 所以()22222284101212t kt k kt t k k ⎛⎫-⎛⎫++-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理得()22381t k =+（*），适合22840k t -+>成立所以r ==，综上得3r =． 【名师点睛】本题第二问的关键是设直线NQ 的方程，将内切圆半径转化为原点到直线NQ 的距离求解．8．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为()0k k >且过点()1,0-的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -．（1）求证：1mk ；（2）若F 在射线OE 上，且2OG OE OF =⋅，求证：点F 在定直线上． 【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（3月） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）设直线l 的方程为()()10y k x k =+>，联立()22113y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，根据E 为线段AB 的中点，表示E 的坐标，写出OE 所在直线方程，再由()3,D m -在直线上求解；（2）由OE直线的方程与椭圆C 的方程联立，解得G 的坐标，再由2OG OE OF =⋅得2G E F x x x =⋅求解．【解析】（1）设直线l 的方程为()()10y k x k =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()22113y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222316330k x k x k +++-=，由题意知0∆>恒成立， 由根与系数关系2122631k x x k +=-+，所以122231k y y k +=+，因为E 为线段AB 的中点，所以22331E k x k =-+，231E k y k =+，此时13E OE E y k x k ==-．所以OE 所在直线方程为13y x k=-， 又由题设知()3,D m -，令3x =-，得1m k =，即mk l =． （2）由（1）知OE 所在直线的方程为13y x k=-， 将其代入椭圆C 的方程，并由0k >，解得G ⎛⎫ ⎝， 又222131,33k k E k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭，由2OG OE OF =⋅得2GE F x x x =⋅，所以222313G F E x x k x ⎛⎫==--+，所以点F 在定直线3x =-上．【名师点睛】本题第二问关键是将2OG OE OF =⋅线段关系，转化为横坐标关系求解．9．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为13,1,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，,A B 为椭圆上不同两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆C 的方程；（2）线段AB 的中点为M ，当AOB 面积取最大值时，是否存在两定点,G H ，使GM HM +为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）22143x y +=；（2）存在；GM HM +=． 【分析】（1）由离心率公式以及将点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入方程，列出方程组，进而得出方程； （2）当直线AB 的斜率存在时，联立AB 直线与椭圆方程，利用根与系数关系以及弦长公式求出AOB S ，再由二次函数的性质得出M 的坐标，消去k ，得出点M 在椭圆221322x y +=上，结合定义得出平面内存在两点,G H使得GM HM +=，当直线AB 的斜率不存在时，设出,A B 坐标，由三角形面积公式以及正弦函数的性质求出M 的坐标，进而得出平面内存在两点,G H使得GM HM +=．【解析】（1）由12e =，可设2,a t c t ==，则,b =方程化为2222143x y t t+=又点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，则22914143t t +=，解得1t =， 因此椭圆C 的方程为22143x y +=．()2当直线AB 的斜率存在时，设AB 直线的方程为y kx m =+联立直线AB 和椭圆C 的方程消去y 得，()2234120x x m ++-=化简得()2223484120kxkmx m +++-=21111222AOBS m x x m m=⋅-==△22223434m mk k==++==当221342mk=+时，S22234m k=+又()1212122286,23434km mx x y y k x x mk k-+=+=++=++，则1212,22x x y yM++⎛⎫⎪⎝⎭即2243,3434km mMk k-⎛⎫⎪++⎝⎭，令22434334kmxkkmyk-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221322x y+=，因此平面内存在两点,G H使得GM HM+=．当直线AB的斜率不存在时，设()2cosAθθ，则()2cos,Bθθcos2AOBSθθθ=△，即当4πθ=．此时AB中点M的坐标为0)，满足方程221322x y+=，即GM HM+=．【名师点睛】解决问题二时，关键是由弦长公式以及点到直线的距离公式表示三角形的面积，进而由根与系数关系、二次函数的性质进行求解．10．已知点()0,1A-，()0,1B，动点P满足PB AB PA BA=⋅．记点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设D为直线2y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．【试题来源】山东省滨州市2021届高三第一次模拟考试【答案】（1）24x y=；（2）证明见解析．【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得C的方程；（2）设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ，利用导数得出切线,DE DF 的方程，由D 在切线上，从而可得直线EF 的方程，由直线方程可得定点坐标． 【解析】（1）设(),P x y ，则(),1PA x y =---，(),1PB x y =--，()0,2AB =，()0,2BA =-，所以，PB AB PA BA =⋅()10,2y AB =+=，化简得24x y =．所以C 的方程为24x y =．（2）由题设可设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ， 由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由24x y =，得24x y =，则2y x '=，所以12DE x k =，直线DE 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y y x -=-，①因为()11,E x y 在24x y =上，所以2114x y =，即21122x y =，②将②代入①得11220x x y y --=，所以直线DE 的方程为11220x x y y --= 同理可得直线DF 的方程为22220x x y y --=． 因为(),2D t -在直线DE 上，所以11240tx y -+=， 又(),2D t -在直线DF 上，所以22240tx y -+=，所以直线EF 的方程为240tx y -+=，故直线EF 过定点()2,0．【名师点睛】本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由D 在切线上，根据直线方程的意义得出直线EF 方程，然后得定点坐标．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点的直线()11:0l y k xk =>交抛物线2:2C yx=于点P （异于原点O ），抛物线C 上点P 处的切线交y 轴于点M ，设线段OP 的中点为N ，连结线段MN 交C 于点T ．（1）求||||TM MN 的值；（2）过点P 作圆22:(1)1O x y '-+=的切线交C 于另一点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，证明：12k k -为定值．【试题来源】江苏省苏州市2021届高三下学期期初【答案】（1）||1||2TM MN =；（2）证明见解析． 【分析】（1）引入一个变量，分别计算出点N 与点T 的横坐标即可求得答案；（2）先设点()()1122,,,P x y Q x y ，然后表示出斜率121212,y yk k x x ==，结合相切的条件，再运用根与系数关系即可证明．【解析】法一：（1）设2,(0)2a P a a ⎛⎫>⎪⎝⎭，点P 处的切线方程为22a y k x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 联立方程组2222y x ay k x a ⎧=⎪⎛⎫⎨=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，得22220y a y a k k -+-=， 由222240a a k k ⎛⎫⎛⎫∆=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1k a =；可知切线为21,0,,,2242a a a a y x M N a ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立方程组222y x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，得2,82a a T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即T 为MN 的中点，所以||1||2TM MN =．（2）法1：当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为2x =， 解得12(2,2),(2,2),1,1P Q k k -==-，则122k k -=．当直线PQ 的斜率存在时，设方程为y mx b =+，由题意知0,0m b ≠≠， 因为直线PQ 与圆O '相切，所以211m =+，即221b mb +=．联立方程组22y x y mx b ⎧=⎨=+⎩，，得到元二次方程2222(1)0m x bm x b +-+=，设()()112212,,,,0P x y Q x y x x ≠，由根与系数关系可知21212222(1),bm b x x x x m m-+==， 又121212,y y k k x x ==，则()()211212************x mx b x mx b y y x y x yk k x x x x x x +-+--=-== ()()()22212121212124b x x m x x m x x x x x x b b --===+-2222222424(1)44(12)4(1)442mb bb b bm b mb m mb b b m m ----=-====． 综上可知12k k -为定值2．法2：由题意可知直线PQ 的斜率不能为0，故可设PQ 的方程为(0)x my t t =+≠； 因为直线PQ 211m=+，即222m t t =-．联立方程组22y x x my t ⎧=⎨=+⎩，，得到一元二次方程2220y my t --=．设()()112212,,,,0P x y Q x y x x ≠， 由根与系数关系可知12122,2y y m y y t +==-，则212x x t =．又121212,y y k k x x ==，则()()122112************y my t y my t y y x y x yk k x x x x x x +-+--=-== ()()2121212121214||||y y t y y y y y y x x t t --===+-2214482||t m t t =+==．即12k k -为定值2． 法二：（1）12212221112222,,,2y k x k x x x P y x k k k ⎧=⎛⎫⎪⇒==∴⎨⎪=⎪⎝⎭⎩． P 处的切线方程为2121122222x k y x k k +⋅=⋅=+． 令11110,0,x y M k k ⎛⎫=⇒=∴ ⎪⎝⎭． OP 中点21111,N k k ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 方程：2111111,,2y T k k k ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭． 221111||1||,||,2||2TM TM MN k k MN ∴==∴=． （2）设直线PQ 的方程为()()1122,,,,x my t Px y Q x y =+222222,220y xy my t y my t x my t⎧=⇒=+--=⎨=+⎩，2212t t m =⇒-=()()()12121212121212t y y y y y y k k x x my t my t my t my t --=-=-=++++()()()12121222222121222t y y t y y y y m y y mt y y t m t m t t t---===+++-++2==为定值．【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．12．已知动点P 到点(0)的距离与到直线x3=-的距离之比为2． （1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F ．试问在x 轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高三下学期2月一轮复习摸底考试【答案】（1）22182x y +=；（2）存在，点(4,0)G -． 【分析】（1）由直译法列出方程化简即可；（2）设出直线l 方程4x ty =-，以及()11,M x y ，()22,N x y ，()3,0E x ，()4,0F x ，()0,0G x ，通过代换用t 表示0x ，化简得到一个常数即可．【解析】（1）设点(,)P x y2=，化简得22182x y +=，故动点P 的轨迹C 的标准方程为22182x y +=；（2）设直线l 的方程为4x ty =-，联立方程组224182x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)880t y ty +-+=，()()222264324321283240,t t t t ∆=-+=-=-> 得 2t >或2t <- 12284t y y t +=+，12284y y t =+． 设 ()()340,0,,E x F x ，定点G 存在，其坐标为()0,0x ，121211(2,1),22BM BN y y B k k ty ty ++--∴==--． 则121211:(2)1,:(2)121y y BM y x BN y x ty ty ++=+-=+---， 令0y =，求出与x 轴的交点,E F ，()()11331122442212210,22112210,221y ty x x ty y y ty x x ty y +-+-=+=-++-+-=+=-+，()()()()3440302,1,2,1,,0,,0BE x BF x GF x x GE x x =+=+=-=-，0BE GF GE BF ⋅+⋅= 即有： ()()()()340430220,x x x x x x +-++-=即()()34343402240x x x x x x x ++-++=，()3434034224x x x x x x x ++=++，()34340343434224828244x x x x x x x x x x x +++--∴==+++++()434343342224441624x x x x x x x x +++---=+++()()()3434342224424x x x x x x ++-++=+++()()()()3434222222x x x x ++=-+++()()()()()()12121221221121222222112222212111y t ty ty ty y y y t ty ty y ty y y y --⋅⋅--++=-=----++-++++ ()()21212121222422(2)4t y y t y y ty y t y y ⎡⎤-++⎣⎦=-+-+-2222222288162488444288(2)82244444tt t t t t t t t t t t t -⋅--⋅+++++=-=-+⋅+--+++ ()()2222228483222441684641t tt t t t +-+=-=--++--=-，即04x =- 当直线l 与x 轴重合时，()()00(2)2)0,BE GF GE BF x x ⋅+⋅=-+-=解得0 4.x =-所以存在定点G ，G 的坐标为(4,0)-． 【名师点睛】本题中340342824x x x x x -=+++()434343342224441624x x x x x x x x +++---=+++()()()3434342224424x x x x x x ++-++=+++这一步是为了凑出()()432,2x x ++，然后作整体替换．13．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，1,24P ⎛ ⎝⎭在C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于A B 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T ．求证：点T 恒在一定直线上．【试题来源】福建省名校联盟优质校2021届高三大联考【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由点在椭圆上以及12e =，列出关于,,a b c 的方程组，解出即可得出结果； （2）设出直线1y kx =+，联立直线与椭圆的方程结合根与系数关系求出,AE BF 的直线方程，联立求出交点纵坐标为3，进而可得结果．【解析】（1）因为点12P ⎛ ⎝⎭在C上，所以222141a b⎝⎭+=， 又12c e a ==，222a b c =+，所以24a =，23b =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+． 设()11,A x y ，()22,B x y ，(10x ≠，20x ≠)．()222214388034120y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩，122843kx x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +=．112::AEBFy l y x x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(10x ≠，20x ≠)11111y kx x x +====，故1y ⎤=+⎥⎦2kx xx x x x ++-=3x x x x ++-=3=，故点T 恒在一定直线3y =上．14．已知直线l 与圆22:8O x y +=相切，动点P 到1(2,0)F -与2(2,0)F 两点距离之和等于1F ，2F 两点到直线l 的距离之和．（1）设动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；（2）对于椭圆22221x y a b+=，上一点()00,A x y ，以A 为切点的切线方程为00221xx yy a b +=．设G 为4x =上任意一点，过点G 作轨迹C 的两条切线GM ，GN ，M ，N 为切点．①求证直线MN 过定点； ②求1F MN △面积的最大值．【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学能力测试试题【答案】（1）22184x y +=；（2）①证明见解析；②最大值为． 【解析】（1）依题意有O 为1F ，2F 中点，1F ，2F 两点到直线l 的距离之和为O 点到直线l的距离的2倍，又l 与圆22:8O x y +=相切，d r ==，即动点P 到1(2,0)F -与2(2,0)F两点距离之和等于为，动点P 的轨迹方程为22184x y +=．（2）①．设(4,)G t ，()11,M x y ，()22,N x y ，过M ，N 的椭圆切线方程为11221,18484xx yy xx yy +=+=，则114184x ty +=，224184x ty +=，直线MN 方程为4184x ty+=，即24x ty +=，显然过定点()2,0．②．直线MN 方程为24x ty +=，联立椭圆方程2228x y +=得2222404t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭显然0∆>，12288t y y t +=+，122168y y t =-+，12y y -=1F MN △面积12121422S y y y y =⨯-=-=．令2)m m =≥，2284t m +=+，则2444S m m m==≤=++2m =，0t =时等号成立． 故1MN F面积的最大值为【名师点睛】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题及三角形面积最大问题．解题方法是根据椭圆的定义求得椭圆标准方程；设动点的坐标，写出直线方程，由直线方程得定点；设而不求的思想方法结合根与系数关系求得三角形面积，用基本不等式得最大值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力．15．已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和。
高考快速提分法：满分生分享数学学习经验
2019高考快速提分法：满分生共享数学学习阅历无论现在你的数学水平在什么程度上，耐性看看这6条TIPS，信任会对你今后的数学学习有所帮助。
学好数学的敲门砖：消退恐惊心理学好数学首先要消退恐惊心理。
你的数学成果不会因为你是女生而无提高余地，也不会因为你没有上过华校而永无翻身之日，数学学不好并不因为你比别人少根筋，更不要强调自己的思维有多么感性并以学不好数学为荣，因为那是特别无聊的。
我见过许多自称不理性而不学数学的人，事实上他们在文学、艺术上的造诣也并不高，感性只是一个他们躲避学习的借口。
我可以特别确定地告知你数学是特别美丽的。
这种美丽不仅仅是存在于少数人眼中脑中的一种幻象，是宇宙中最客观实在最亘古不变我行我素的。
但请不要只站在门外埋怨教化的枯燥，请自己不存任何偏见芥蒂地坦诚地推开门走进来，摘掉你的有色眼镜，抛弃你的自以为是。
要信任自己是能够学好的，只要肯下功夫并且有正确的学习方法。
重视数学课堂提高上课效率我们要感恩，因为我们能够在人大附中学习是特别幸运的。
请跟我一起说：谢天谢地。
在这里你要信任自己的老师是负责任的，是很有水平的，跟着老师走是确定不错的。
所以我们确定要好好听讲，细致完成老师布置的作业。
有人要请家教才能学好，其实因为是上课不细致听讲。
你的大部分疑问困惑在上课时老师通常会提到，有什么大家都不解的地方也确定要在课堂之内把它解决。
上课特别重要，是你在学校学习的最大组成部分，是你和老师的主要接触时间，是你大部分学问的干脆来源，是你在人大附中最大的财宝之一……总之，我再次强调，确定要细致听讲。
多与老师沟通冰冻三尺非一日之寒。
学好数学并非一夜之间的事情。
孤独苦行，刚起先你可能茫无头绪，你可能艰难摸索，下了功夫也找不到自己的学习方法，花了大量的时间也不得要领，你孤独的脑袋想不出数学美丽在哪儿。
那么，恳求助于你的老师，请信任你的老师。
在许多时候这话并不对。
当你对数学没有爱好，恳求助于你的老师;当你勤奋一段时间却不见成果提高，恳求助于你的老师;当你有题不会做……你再好好想想老师讲过的东西。
2024年高考数学拿120分的全攻略总结
2024年高考数学拿120分的全攻略总结2024年高考数学考试拿满分的全攻略总结1. 努力学习数学基础知识：高考数学考试的题目主要来自于中学数学的基础知识，所以要先打牢基础。
逐章逐节复习教材内容，掌握概念、定理和公式，做好笔记整理，加深记忆。
2. 高效利用教材和辅导资料：使用好教材和辅导资料对提高数学成绩非常重要。
建议选用教育部推荐的教材，参考人教版、北师大版等。
同时，还可以从市面上购买一些名师的辅导资料，进行巩固和拓展。
3. 多做真题和模拟题：通过做真题和模拟题，可以熟悉考试的题型和考点，提高解题能力和应试能力。
可以选择每周安排一个固定的时间段，专门用来做真题和模拟题，同时要认真分析自己的错题，找出解题方法和思路上的问题，及时改正。
4. 注重解题技巧和方法：掌握一些解题技巧和方法，能够帮助在考试中更快更准确地解题。
例如，可以学习利用等式性质、函数性质进行变形和化简，学会运用图形解题的方法和技巧等。
还可以参考一些解题技巧的书籍或网络资料，进行学习和实践。
5. 积极参加课外辅导和训练班：可以报名参加一些数学的课外辅导和训练班，通过和其他同学一起学习和交流，提高学习动力和解题能力。
辅导班可以有针对性地进行突破和强化，同时还能接触到更多考试相关的知识和技巧。
6. 做好时间管理和复习规划：在备考过程中，要合理安排时间，制定详细的复习计划，并按计划进行复习和练习。
要保持良好的作息和饮食习惯，保证充足的睡眠和精神状态。
7. 自信和冷静应对考试：在考试中要保持自信和冷静，不因一些小错误而放弃信心，注意审题，认真答题。
若遇到难题，先尝试解决，若时间不足，也不要纠结于这道题上，及时转到下一题。
总结起来，想要在2024年高考数学考试中取得满分，关键在于打好基础，多做真题，掌握解题技巧，参加课外辅导，合理安排时间，保持自信和冷静应对考试。
这些方法和策略需要长期的积累和实践，希望你能够坚持，并且相信自己的能力。
祝你取得好成绩！。
015 同构保值性
同构式保值性：关注微信公众号:老唐说题关注B 站:高考数学满分突破若)(x h ，))((x p h ，))((x q h 中，D x ∈，D x p ∈)(，D x q ∈)(，故)(x h ，))((x p h ，))((x q h 的最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值．同构式倍值性：在)(x h 和))(()(x p h m x g ⋅=满足D x ∈，D x p ∈)(，则))(()(x p h m x g ⋅=的最值是)(x h 的m 倍我们将这个性质概括为同构式的倍值性．【例1】（2019•榆林一模）已知不等式1x e kx lnx -≥+，对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则k 的最大值 ．保值性定理1：若))(())((x q h x p h ≥恒成立，且满足)())(())((x x q h x p h ϕ+≥，则一定要满足0)(≤x ϕ；保值性定理2：若))(())((x q h x p h ≥恒成立，且满足))(())((x q h m x p h ⋅≥（0)(≥x h ），则一定要满足1≤m ；若要满足))(())((x q mh x p h =有实根，则一定要满足1≥m ；保值性定理3：若0))((0))((≥≥x q h x p h ，，且满足当m x =时，0))(())((==x q h x p h ，则一定满足不等式0))(())((≥+x q h x p h ；若0))((=x p h 时和0))((=x q h 时的x 取的值不相等，则0))(())((>+x q h x p h【例2】（2018•新课标Ⅰ）已知函数()1x f x ae lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【例3（1）求,a b ；（2）证明：()1>x f .【例4】（2015•新课标Ⅰ）设函数2()x f x e alnx =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；（2）证明：当0a >时，2()2f x a aln a≥+．1（2020•蚌埠三模）已知函数1()()2(0)x ax f x x ln ax a e -=+-->，若函数()f x 在区间(0,)+∞内存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，)+∞C ．(0，]eD ．[3，)+∞2（2020•新疆一模）已知函数2()2xe f x klnx kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是 ．3（2019•江西模拟）已知函数()121ln ax f x xe x ax a e -⎛⎤=--∈-∞- ⎥⎝⎦，，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是（ ）A ．1-B ．1e -C ．0D ．31e -4（2020•4月份模拟）已知函数2()2(1)1x e x e f x x e x e --=+-++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数2(1)()()2(1)1ln x F x f x x e x m x -=-++++-，若()0F x 对任意1x >恒成立，求实数m 的取值范围．5（2020•龙岩模拟）已知2()()2x f x lnx x ae =+-． ()l 证明()f x 在x l =处的切线恒过定点；（2）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围．6（2020•宁德模拟）已知()()(2)x f x ax b e x =+++在点(0，(0))f 处的切线方程为60x y -=．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >时，证明：()223f x lnx x >++．7（2020•金华模拟）已知函数3()f x ax ax xlnx =--．其中a R ∈． （Ⅰ）若12a =，证明：()0f x ； （Ⅱ）若11()x xe f x --在(1,)x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围．8（2020•长沙模拟）设函数21()(2)2f x x aln x =++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，若不等式21()02x e x f x m +-->恒成立，求整数m 的最大值．9（2020•永州三模）设函数()2x f x e ax e =+-，()g x lnx ax a =-++．（1）求函数()f x 的极值；（2）对任意1x ，都有()()f x g x ，求实数a 的取值范围． 关注微信公众号:老唐说题关注B 站:高考数学满分突破。
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2011高考数学密卷（一）1、点O 在ABC ∆内部且满足230OA OB OC ++=，则AOB ∆面积与AOC ∆面积之比为A 、 2B 、32C 、3D 、532、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称图形，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++⋅⋅⋅+的值为A 、1B 、2C 、 1-D 、2- 3、椭圆1:C 22143xy+=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。
抛物线2C 的准线为l ，焦点是2F ，1C 与2C的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43B 、83C 、4D 、84、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A、16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、64(6)-5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根（3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是A 、 4B 、 3C 、 2D 、 16、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则24z x y =+-的最大值为A 、 21B 、 20C 、 19D 、 187、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ∆的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为A 、 36B 、 48C 、 54D 、 728、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为A 、 ()(),44,-∞-⋃+∞B 、 ()(){}4,11,40--⋃⋃C 、 ()(),04,-∞⋃+∞D 、 ()(){}6,31,22--⋃-⋃-9、设方程220(,)x ax b a b R ++-=∈在(][),22,-∞-⋃+∞上有实根，则22a b +的最小值是A 、2B 、5C 、45D 、 410、非零向量OA a = ，OB b = ，若点B 关于OA所在直线的对称点为1B ，则向量1OB OB + 为A 、22(a b )aa⋅ B 、2(a b )a a⋅ C 、2(a b )aa⋅ D 、(a b )aa⋅11、函数2log (2)a y x ax =-+在[)2,+∞恒为正，则实数a 的范围是A 、 0a 1<<B 、1a 2<<C 、51a 2<<D 、2a 3<<12、已知函数2f (x )x 2x =+，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解，则b 、c 的大小关系为A 、b c >B 、b c ≥与b c ≤中至少有一个正确C 、b c <D 、不能确定13、设定义域为R 的函数111()11x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪⎩=，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=A 、 5B 、2222b b+ C 、13 D 、2232c c+14、已知(,),P t t t R ∈，点M 是园2211:(1)4O x y +-=上的动点，点N 是园()2221:24O x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是 A 、1- B 、C 、 1D 、 215．椭圆的两焦点分别为1(0,1)F -、2(0,1)F ，直线y 4=是椭圆的一条准线。
设点P 在椭圆上，且121PF PF m -=≥ ，求1212P F P F P F P F ⋅-的最大值和最小值分别是A 、94，32B. 23,49C. 92,34D. 43,2916、在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大园上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是A 、2R πB 、7R 3π C 、8R 3π D 、7R 6π17、若实数x 、y 满足22030x y y ax y a +-≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩且22x y +的最大值等于34，则正实数a 的值等于A 、35B 、34C 、53D 、4318、已知()23()f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是1(,0)x b a b +<>，则,a b 之间的关系是 A. 2a b ≥B. 2a b <C. 2b a ≤D. 2b a >19、从双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点F 引圆222x ya +=的切线，切点为T ，延长F T 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为A 、 M O M T b a->- B 、 MO MT b a -=- C 、 MO MT b a -<- D 、不确定 20、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n++⋅⋅⋅+=，称n T 为数列12,,n a a a ⋅⋅⋅的“理想数”，已知数列12501,,a a a ⋅⋅⋅的“理想数”为2008，那么数列125012,,,a a a ⋅⋅⋅的“理想数”为 A. 2000 B. 2002 C. 2004 D. 200621、已知()1()()f x x a x b =---，并且,m n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是A. m a b n <<<B. a m n b <<<C. a m b n <<<D. m a n b <<< 22、已知{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S 、n T ，若223n nS n T n +=+，则109a b 的值为A.116B. 2C.2213D. 无法确定23、已知C 为线段A B 上一点，P 为直线A B 外一点，有2PA PB -= ，PA PB -=PA PC PB PCPA PB⋅⋅=，I 为PC 上一点，且()(0)AC AP BI BA AC AP λλ=++> ，则B I B A B A⋅的值为A. 1B. 2C. 1-D. 24、已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，()0,()()()(),()()xg x f x g x f x g x f x a g x ''≠⋅<⋅=(1)(1)5,(1)(1)2f fg g -+=-，在有穷数列()(1,2,10)()f n n g n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是 A.35B.45C.25D.1525、某工厂2007年生产利润逐月增加，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利 润相等，且与每月增加的利润相同，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月 份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是A. W N >B. W N <C. W N =D.无法确定 26、设()f x 可导，且(0)0f '=，又0()lim1x f x x→'=-，则(0)fA. 可能不是()f x 的极值B. 等于零C. 一定是()f x 的极小值D. 一定是()f x 的极值27、设P 为ABC ∆所在平面内一点，且520AP AB AC --=，则P A B ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于A.15B.25C.14D. 不确定28、在直三棱柱111A B C ABC -中。
1,12B AC A B A C A A π∠====已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）。
若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭ B. 1,25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ⎡⎣D. 129、在2006(x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x =时，S 等于A. 30082B. 30082- C. 30092D. 30092-30、设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且二次方程240x x ξ++=无实根的概率为12，则μ为A. 1B. 2C. 4D. 不能确定 31、若函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增,则a 的取值范围是A. 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 91,4⎛⎫⎪⎝⎭32、已知()f x 是定义域为R 的正值函数，且满足(1)(1)()f x f x f x +-=，则它是周期函数。
这类函数的 一个周期是A. 2B. 3C. 4D. 633、在1~50这50个自然数中，任取三个不同的数，其中能组成公比为正整数的等比数列的概率是A.32450B.132450C.134900D.103490034、已知P 是正三棱锥S ABC -的侧面SBC 内一点，P 到底面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 园B. 抛物线C. 椭园D. 双曲线 35、已知,a b 都是负实数，则2a b a ba b+++的最小值是A. 56B. 1)C. 1D. 1)36方程12221log 2x x x +=+的解所在的区间是A. 1(0,)3B. 11(,)32C. 1(,22D. 237、已知函数3213y x x x =++图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点1122(,),(,)M x y N x y ，则恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为 A. 13-B. 23-C. 43-D. 2-38、如图，O 、A 、B 是平面上三点，向量,O A a O B b ==。