北京市西城区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.抛物线y=3（x-1）2+5的顶点坐标是（）A. (3,5)B. (1,5)C. (3,1)D. (−1,5)2.如果4x=3y，那么下列结论正确的是（）A. x3=y4B. x4=y3C. xy=43D. x=4，y=33.如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且AD=CB，∠A=40°，则∠CEB的度数为（）A. 50∘B. 80∘C. 70∘D. 90∘4.下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是（）A. 它的图象经过点(−1,−2)B. 它的图象的对称轴是直线x=2C. 当x<0时，y随x的增大而减小D. 当x=0时，y有最大值为05.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．若BC=24，cos B=1213，则AD的长为（）A. 12B. 10C. 6D. 56.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为（）A. 16B. 14C. 12D. 107.设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（）A. x=(x−10)tan50∘B. x=(x−10)cos50∘C. x−10=x tan50∘D. x=(x+10)sin50∘8.抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），且对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＞0；②16a+4b+c=0；③若m＞n＞0，则x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值；④点（-c2a，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B都在格点上，tan∠AOB的值为______．10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：______．11.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD=2，AB=3，DE=4，则BC的长为______．12.草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是______米．13.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（-3，-6），B（1，-2），则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为______．14.如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的AB，某同学要站在AB的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到AB上，就能找到AB的中点C．老师肯定了他的想法．（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C；（2）这位同学确定点C所用方法的依据是______．15.如图，矩形纸片ABCD中，AB＞AD，E，F分别是AB，DC的中点，将矩形ABCD沿EF所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似，则用等式表示AB与AD的数量关系为______．16.如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使l⊥PA．（1）点O到直线l距离的最大值为______；（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算：4sin30°-2cos45°+tan260°．18.一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=-112x2+23x+c，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．（1）求铅球出手时离地面的高度；（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为1112m时，求此时铅球的水平距离．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB=∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB=20，AD=5，BF=4，求EB的长．20.（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当-4＜x＜-2时，直接写出y的取值范围．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=4，AC=42．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．22.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；（2）连接BE交AC于点F．若AB=2，∠AOB=60°，求BF的长．23.如图，直线l：y=-2x+m与x轴交于点A（-2，0），抛物线C1：y=x2+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点D．（1）求m的值和点B的坐标；（2）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，点B，D的对应点分别为点E，F．①点F的坐标为______；②将抛物线C1向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C2，直接写出抛物线C2的表达式．24.如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若BD=8，sin∠DBF=35，求DE的长．25.小明利用函数与不等式的关系，对形如（x-x1）（x-x2）…（x-x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：由表格可知不等式x-3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x-3）（x-1）＞0，观察函数y=（x-3）（x-1）的图象可以得到如表由表格可知不等式（）（）＞的解集为．③对于不等式（x-3）（x-1）（x+1）＞0，请根据已描出的点画出函数y=（x-3）（x-1）（x+1）的图象；观察函数y=（x-3）（x-1）（x+1）的图象补全下面的表格：……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x-x1）（x-x2）……（x-x n）＞0（n为正整数）的不等式，先将x1，x2…，x n按从大到小的顺序排列，再划分x的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式（x-6）（x-4）（x-2）（x+2）＞0的解集为______．②不等式（x-9）（x-8）（x-7）2＞0的解集为______．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中-1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27.如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB=2，AD=22，∠BAC=105°，∠CAD=30°．①BD的长为______；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是______；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x p的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为y=3（x-1）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）．故选：B．根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．2.【答案】A【解析】解：A．若=，等式两边同时乘以12得：4x=3y，A项正确，B．若=，等式两边同时乘以12得：3x=4y，B项错误，C．若=，等式两边同时乘以3y得：3x=4y，C项错误，D．若x=4，y=3，则3x=4y，D项错误，故选：A．根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．本题考查等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵=，∴∠A=∠C=40°，∴∠CEB=∠A+∠C=80°，故选：B．根据圆周角定理得到∠A=∠C=40°，由三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、当x=-1时，y=2×（-1）2=2≠-2，故此选项错误；B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误；C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误；故选：C．根据二次函数的图象性质即可判断．此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∴BD=BC=12．在直角△ABD中，∵cosB==，∴AB=13，∴AD===5．故选：D．先根据等腰三角形的性质得出BD=BC=12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，求出BD与AB 的长是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，∵BE+CE=BC=5，∴BD+CF=BC=5，∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，故选：B．根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，根据BC=5，于是得到△ABC的周长=2+2+5+5=14，本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE=CD=10，CE=DH，∴FH=x-10，∵∠FDH=α=45°，∴DH=FH=x-10，∴CE=x-10，∵tanβ=tan50°==，∴x=（x-10）tan 50°，故选：A．过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE=CD=10，CE=DH，求得FH=x-10，得到CE=x-10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），∴16a+4b+c=0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，∵若m＞n＞0，∴1+m＞1+n，∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值，故③错误；∵抛物线的对称轴为-=1，∴b=-2a，∴抛物线为y=ax2-2ax+c，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，∴c=-8a，∴-=4，∵点（-2，0）的对称点是（4，0），∴点（-，0）一定在此抛物线上，故④正确，故选：C．利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a即可得出-=4，则可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9.【答案】12【解析】解：如图，连接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA=90°，AB=2，OB=4，∴tan∠AOB===．故答案为．连接AB，在直角△AOB中利用正切函数的定义即可求解．本题考查了解直角三角形，正切函数的定义．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．10.【答案】y=-x2+2【解析】解：因为抛物线的开口向下，则可设a=-1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），则可设顶点为（0，2），所以此时抛物线的解析式为y=-x2+2．故答案为y=-x2+2．把（0，2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．11.【答案】6【解析】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故答案为：6．由DE∥BC可得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出=，代入AD=2，AB=3，DE=4即可求出BC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．12.【答案】3【解析】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，∴它能喷灌的草坪的面积为：=5πm2．解得：R=3故答案为：3．根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心=求出即可．角为200°，利用扇形面积公式S扇形此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出图形形状进而利用公式求出是解题关键．13.【答案】x1=-3，x2=1【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（-3，-6），B （1，-2），∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=-3，x2=1．故答案为x1=-3，x2=1．关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．14.【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧【解析】解：（1）如图所示，点C即为所求．（2）这位同学确定点C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧，故答案为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得；（2）根据垂径定理可得．本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．15.【答案】AB=2AD【解析】解：由于AB＞AD，E，F分别是AB，DC的中点，∴矩形AEFD≌矩形BEFC，∵两个小矩形都和矩形ABCD相似，∴矩形AEFD∽矩形ABCD，∴，∴AB2=AD2，∴AB=AD，故答案为：AB=AD．根据相似多边形的性质即可求出答案．本题考查相似多边形，解题的关键是正确理解相似多边形的性质，本题属于基础题型．16.【答案】7 21【解析】解：（1）如图1，∵l⊥PA，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为AO+AP=5+2=7；（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，∵l⊥PA，∴∠APO=90°，∵AP=2，OA=5，∴OP==，故答案为：7，．（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．17.【答案】解：原式=4×12-2×22+（3）2=2-1+3=4．【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：（1）根据题意，将（10，0）代入y=-112x2+23x+c，得：-112×102+23×10+c=0，解得c=53，即铅球出手时离地面的高度53m；（2）将y=1112代入-112x2+23x+53=1112，整理，得：x2-8x-9=0，解得：x1=9，x2=-1（舍），∴此时铅球的水平距离为9m．【解析】（1）将（10，0）代入y=-x2+x+c求得c的值即可；（2）将y=代入-x2+x+=求出x的值即可得．本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度和高度为m时铅球的水平距离在函数解析式中对应的变量是解题的关键．19.【答案】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠B=∠DAC，∵∠D=∠EFB，∴△EFB∽△CDA；（2）∵△EFB∽△CDA，∴BEAC=BFAD，∵AB=AC=20，AD=5，BF=4，∴BE=16．【解析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据△EFB∽△CDA，利用相似三角形的性质即可求出EB的长度．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．20.【答案】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（-1，-4），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）2-4，把点（0，-3）代入y=a（x+1）2-4，得a=1，故抛物线解析式为y=（x+1）2-4，即y=x2+2x-3；（2）如图所示：（3）∵y=（x+1）2-4，∴当x=-4时，y=（-4+1）2-4=5，当x=-2时，y=-3，又对称轴为x=-1，∴当-4＜x＜-2时，y的取值范围是-3＜y＜5．【解析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1，-4），则可设顶点式y=a（x+1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x=-4、-2时的函数值即可写出y的取值范围．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．21.【答案】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC=42，∴AM=CM=22，∵OC=4，∴OM=OC2−MC2=22；（2）连接OA，∵OM=MC，∠OMC=90°，∴∠MOC=∠MCO=45°，∵OA=OC，∴∠OAM=45°，∴∠AOC=90°，∴∠B=45°，∵∠D+∠B=180°，∴∠D=135°．【解析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED为菱形，∴CE∥OB，CE=OB，∴四边形OBCE为平行四边形；（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵FM⊥BC，ON⊥BC，∴ON∥FM，∵AO=OC，∴ON=12AB=1，∵OF=FC，∴FM=12ON=12，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴∠OAB=60°，∠ACB=30°，在Rt△ABC中：∵AB=2，∠ACB=30°，∴BC=23，∵∠ACB=30°，FM=12，∴CM=32，∴BM=BC-CM=332，∴BF=BM2+FM2=7．【解析】（1）根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，再根据平行四边形的性质和菱形的判定得到四边形OCED为菱形，再根据菱形的性质和推平行四边形的判定出即可；（2）过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，根据平行线的判定得到ON∥FM，再根据三角形中位线定理得到ON=1，FM=，可得∠ACB=30°，在 Rt△ABC中，根据含30°的直角三角形的性质可得BC=2，CM=，进一步得到BM=BC-CM=，根据勾股定理可得BF的长．本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．23.【答案】（0，1）【解析】解：（1）将A（-2，0）代入y=-2x+m，得：0=-2×（-2）+m，解得：m=-4．当y=0时，有x2+4x+3=0，解得：x1=-3，x2=-1，又∵点B在点A的左侧，∴点B的坐标为（-3，0）．（2）当x=-3时，y=-2x-4=2，∴点D的坐标为（-3，2），∴BD=2，AB=1．①依照题意画出图形，则EF=BD=2，OF=AE=AB=1，又∵点A的坐标为（-2，0），∴点F在y轴正半轴上，∴点F的坐标为（0，1）．②∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1，∴设平移后得到的抛物线C2的表达式为y=（x+m）2-1．将F（0，1）代入y=（x+m）2-1，得：1=（0+m）2-1，解得：m1=，m2=-，∴抛物线C 2的表达式为y=（x-）2-1或y=（x+）2-1，即y=x2-2x+1或y=x2+2x+1．（1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合点B在点A的左侧，即可求出点B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，进而可得出BD，AB的值．①依照题意画出图形，由EF=BD=2，OF=AE=AB=1可得出点F在y轴正半轴上，进而可求出点F的坐标；②利用配方程法将抛物线C1的表达式变形为顶点式，根据平移的性质可设抛物线C2的表达式为y=（x+m）2-1，由点F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线C2的表达式，此题得解．本题考查了待定系数法一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法及二次函数图象上点的坐标特征，求出m 的值和点B的坐标；（2）①利用旋转的性质找出点F的位置；②由点F的坐标，利用待定系数法求出抛物线C2的表达式．24.【答案】解：（1）连接OD，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABD=∠DBF，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∴∠DBF=∠ODB，∵∠DBF+∠BDF=90°，∴∠ODB+∠BDF=90°，∴∠ODF=90°，∴FD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF=∠ABD，在Rt△ABD中，BD=8，∵sin∠ABD=sin∠DBF=35，∴AD=6，∵∠DAC=∠DBC，∴sin∠DAE=sin∠DBC=35，在Rt△ADE中，sin∠DAC=35，∴DE=92．【解析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBF，由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB，等量代换得到∠DBF=∠ODB，推出∠ODF=90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据角平分线的定义得到∠DBF=∠ABD，解直角三角形得到AD=6，求得DE=．本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．25.【答案】x＞3或x＜1 + - x＞3或-1＜x＜1 x＞6或2＜x＜4或x＜-2 x＞9或x＜8且x≠7【解析】解：（1）②由表格可知不等式（x-3）（x-1）＞0的解集为x＞3或x＜1，故答案为：x＞3或x＜1；③当-1＜x＜1时，（x-3）（x-1）（x+1）＞0，当x＜-1时，（x-3）（x-1）（x+1）＜0，由表格可知不等式（x-3）（x-1）（x+1）＞0的解集为x＞3或-1＜x＜1，故答案为：+，-，x＞3或-1＜x＜1；（2）①不等式（x-6）（x-4）（x-2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜-2，故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜-2；②不等式（x-9）（x-8）（x-7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7，故答案为：x＞9或x＜8且x≠7（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集．26.【答案】解：（1）∵y=ax2-4ax+3a=a（x-2）2-a，∴抛物线的对称轴为直线x=2．（2）依照题意，画出图形，如图1所示．当y=0时，ax2-4ax+3a=0，即a（x-1）（x-3）=0，解得：x1=1，x2=3．由（1）可知，顶点C的坐标为（2，-a）．∵a＞0，∴-a＜0．∵△ABC为等边三角形，∴点C的坐标为（2，-3），∴-a=-3，∴a=3．（3）分两种情况考虑，如图2所示：①当a＞0时，a（32-1）×（32-3）≤-1，解得：a≥43；②当a＜0时，a（32-1）×（32-3）≥2，解得：a≤-83．【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A，B的坐标，由（1）可得出顶点C的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；（3）分a＞0及a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；②当a ＜0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．综上，此题得解．本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）根据等边三角形的性质，找出关于a的一元一次方程；（3）分a＞0及a＜0两种情况，利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于a的一元一次不等式．27.【答案】25【解析】解：（1）结论：BD=CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°，∴∠DAH=45°，∵∠H=90°，AD=2，∴AH=AD=2，在Rt△BDH中，BD===2，故答案为2．（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．在Rt△ABP中，AP=AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ=AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ=45°，可得AH=HQ=AQ，求出HQ，PH，根据PQ=计算即可．（1）根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．想办法证明△AHD是等腰直角三角形，求出BH，DH即可解决问题；②如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．想办法求出HQ，PH，根据PQ=计算即可．本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．28.【答案】解：（1）P2，P3；（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，由y=2x+8y=x+3，解得x=−5y=−2，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，由y=2x+8y=−x+3，解得x=−53y=143，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-53，∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜-5或x P＞-53．（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=2，∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1，∴T（0，1-2），此时t=1-2，∴当-3＜t＜1-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT=OH+KH-KT=4+2-3=1+2，∴T（0，1+2），此时t=1+2，如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT=OM+TM=4-2+3=7-2，∴T（0，7-2），此时t=7-2，∴当1+2＜t＜7-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．综上所述，满足条件的t的值为-3＜t＜1-2或1+2＜t＜7-2．【解析】【分析】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W 的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.【解答】解：（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是P 2，P3．故答案为P2，P3；（2）见答案；（3）见答案．。
2022年北京市西城初三(上)期末数学试卷及答案
2022北京西城初三（上）期末数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2分）二次函数22(3)1y x =−+的图象的顶点坐标是( ) A ．(2,1)−B ．(2,1)C ．(3,1)−D ．(3,1)3．（2分）如图，点A 、B 、C 在O 上，OAB ∆为等边三角形，则ACB ∠的度数是( )A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒4．（2分）将一元二次方程28100x x −+=通过配方转化为2()x a b +=的形式，下列结果中正确的是( ) A ．2(4)6x −=B ．2(8)6x −=C ．2(4)6x −=−D ．2(8)54x −=5．（2分）如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，若O 的半径为4，则正方形ABCD 的边长为( )A ．4B ．8C ．D ．6．（2分）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x ，那么根据题意可以列方程为( ) A ．2.5(1) 3.2x += B ．2.5(12) 3.2x +=C ．22.5(1) 3.2x +=D ．22.5(1) 3.2x −=7．（2分）下列说法中，正确的是( )A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B ．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D ．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．（2分）抛物线2y ax bx c =++的顶点为(2,)A m ，且经过点(5,0)B ，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①0ac <；②0a b c −+>；③90m a +=；④若此抛物线经过点(,)C t n ，则4t +一定是方程2ax bx c n ++=的一个根．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点(4,7)−关于原点的对称点坐标为 ． 10．（2分）关于x 的一元二次方程240x mx ++=有一个根为1，则m 的值为 ．11．（2分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160︒的圆弧形窗帘轨道（如图2)需用此材料800mm π，则此圆弧所在圆的半径为 mm ．12．（2分）写出一个开口向下，且对称轴在y 轴左侧的抛物线的表达式： ．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(4)22y x =−−+可以看作是抛物线2122y x =+经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线2122y x =+得到抛物线21(4)22y x =−−+的过程： ．15．（2分）如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转(090)αα︒<<︒得到ADE ∆，点B 的对应点D 恰好落在边BC 上，则ADE ∠= .（用含α的式子表示）16．（2分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是ABC ∆内的一个动点，满足222.AC AD CD −=若AB =，4BC =，则BD 长的最小值为 ．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）解方程：2220x x −−=．18．（5分）问题：如图，AB 是O 的直径，点C 在O 内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC ∆中AB 边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①延长AC 交O 于点D ，延长BC 交O 于点E ； ②分别连接AE ，BD 并延长相交于点F ； ③连接FC 并延长交AB 于点H ． 所以线段CH 即为ABC ∆中AB 边上的高． （1）根据小芸的作法，补全图形； （2）完成下面的证明． 证明：AB 是O 的直径，点D ，E 在O 上，ADB AEB ∴∠=∠= ︒．( )（填推理的依据） AE BE ∴⊥，BD AD ⊥．AE ∴， 是ABC ∆的两条高线． AE ，BD 所在直线交于点F ，∴直线FC 也是ABC ∆的高所在直线． CH ∴是ABC ∆中AB 边上的高．19．（6分）已知二次函数243y x x =++． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象；（3）若点1(0,)A y 和2(,)B m y 都在此函数的图象上，且12y y <，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．20．（5分）如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF DE =，连接FE ． （1）求证：AF AE =；（2）若30DAE ∠=︒，2DE =，直接写出AEF ∆的面积．21．（6分）已知关于x的一元二次方程2(5)620−+++=．x k x k（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于1−，求k的取值范围．22．（5分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数2−，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数5−，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a b>，<，小明胜；若a b=，为平局；若a b小刚胜．（1）若2m=−，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．（5分）如图，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交O于点D，过点D作⊥于点F．O的切线交AB的延长线于点E，EF AC（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD=，2DE=，求AC的长．24．（5分）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：)m之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐m与行进的水平距离x（单位：)的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．（6分）如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，D是AC的中点，DE BC⊥交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若10BC=，求BD的长．AB=，826．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()8y a x h a =−−的顶点为A ，702h <<． （1）若1a =，①点A 到x 轴的距离为 ；②求此抛物线与x 轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A 到x 轴的距离为4，此抛物线与直线21y x =−+的两个交点分别为1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，其中12x x <，若点(D D x ，)D y 在此抛物线上，当12D x x x <<时，D y 总满足21D y y y <<，求a 的值和h 的取值范围．27．（7分）如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明； ②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE ∆绕点C 逆时针旋转(090)αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 在O 上，点P 在O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交O 于点B ，若AP kAB =，则称点P 是点A 关于O 的k 倍特征点． （1）如图，点A 的坐标为(1,0)．①若点P 的坐标为1(2−，0)，则点P 是点A 关于O 的 倍特征点；②在11(0,)2C ，21(2C ，0)，31(2C ，1)2−这三个点中，点 是点A 关于O 的12倍特征点；③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，60DAO ∠=︒．点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数1(01)=−+<<的图象上任意一点M，在O上都存在点N，使得点M是y x x点N关于O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：C ．【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．【分析】二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠的顶点坐标是(,)h k ．【解答】解：根据二次函数的顶点式方程22(3)1y x =−+知，该函数的顶点坐标是：(3,1)． 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =−+中的h 、k 所表示的意义．3．【分析】先根据等边三角形的性质得到60AOB ∠=︒，然后根据圆周角定理求ACB ∠的度数． 【解答】解：OAB ∆为等边三角形， 60AOB ∴∠=︒，1302ACB AOB ∴∠=∠=︒． 故选：D ．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．4．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【解答】解：2810x x −=−， 28166x x −+=，2(4)6x −=．故选：A ．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5．【分析】连接BD ．由题意，BCD ∆是等腰直角三角形，故可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD ．由题意，BCD ∆是等腰直角三角形， 8BD =，45CBD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BC ∴= 故选：D ．【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6．【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力2017=年全国生活垃圾无害化处理能力(1⨯+年平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：22.5(1) 3.2x +=． 故选：C ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可． 【解答】解：A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A 不符合题意；B ．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B 符合题意；C ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C 不符合题意；D ．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D 不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 8．【分析】由抛物线开口和抛物线与y 轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点(5,0)可判断②，由抛物线对称轴为直线2x =可得4b a =−，由0a b c −+=可得5c a =−，从而判断③， 点C 对称点横坐标为4t −可判断④． 【解答】解：抛物线开口向下， 0a ∴<，抛物线与y 轴交点在x 轴上方， 0c ∴>，0ac ∴<，①正确．抛物线顶点为(2,)A m ， ∴抛物线对称轴为直线2x =，抛物线过点(5,0)，∴由对称性可得抛物线经过点(1,0)−，0a b c ∴−+=，②错误，22ba−=， 4b a ∴=−， 50a c ∴+=， 5c a ∴=−(2,)m 为抛物线顶点， 42a b c m ∴++=，485a a a m ∴−−=，即90a m +=，③正确，点(,)C t n 在抛物线上，∴点C 关于对称轴对称点(4,)t n −在抛物线上， 4t ∴−为2ax bx c n ++=的一个根，④错误．故选：B ．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，点(4,7)−关于原点的对称点坐标为(4,7)−， 故答案为：(4,7)−．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数10．【分析】把1x =代入方程240x mx ++=得140m ++=，然后解关于m 的方程． 【解答】解：把1x =代入方程240x mx ++=得140m ++=， 解得5m =−． 故答案为：5−．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．【分析】利用弧长的计算公式即可求解． 【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为R mm ， 由弧长公式得：160800180Rππ=， 解得：900R =，即此圆弧所在圆的半径为900mm ， 故答案为：900．【点评】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长公式是解题的关键．12．【分析】满足开口向下且对称轴在y 轴左侧可以判断a 、b 的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式． 【解答】解：开口向下， 0a ∴<，对称轴在y 轴左侧，02b a∴−<， 0b ∴<，故抛物线的解析式可以为2y x x =−−，（答案不唯一），故答案为：2y x x =−−，（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13．【分析】根据图形得出A 、B 、C 的坐标，再连接AB ，作线段AB 和线段BC 的垂直平分线MN 、EF ，两线交于Q ，则Q 是圆弧的圆心，最后求出点Q 的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A 点的坐标是(0,2)，B 点的坐标是(1,3)，C 点的坐标是(3,3)，连接AB ，作线段AB 和线段BC 的垂直平分线MN 、EF ，两线交于Q ，则Q 是圆弧的圆心，如图，Q ∴点的坐标是(2,1)，故答案为：(2,1)．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q 的位置是解此题的关键．14．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答． 【解答】解：抛物线2122y x =+的顶点为(0,2)，抛物线21(4)22y x =−−+的顶点为(4,2)， ∴将抛物线2122y x =+绕顶点(0,2)顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线21(4)22y x =−−+． 故答案为：将抛物线2122y x =+绕顶点(0,2)顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线21(4)22y x =−−+．（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题是关键．15．【分析】根据旋转的性质得到AD AB =，ADE B ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到ADB B ∠=∠，求得1902ADE ADB α∠=∠=︒−． 【解答】解：由旋转的性质可知，AD AB =，ADE B ∠=∠，ADB B ∴∠=∠，BAD α∠=，11(180)9022ADE ADB αα∴∠=∠=︒−=︒−， 故答案为：1902α︒−． 【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．16．【分析】由222.AC AD CD −=得90ADC ∠=︒，取点H 为AC 的中点，可知DH 和BH 都是定值，从而解决问题．【解答】解：取AC 的中点H ，连接HD ，HB ，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得6AC ===，222AC AD CD −=．90ADC ∴∠=︒，点H 为AC 的中点，3DH CH ∴==，5BH ∴===，BD BH DH −，BD ∴的最小值为532−=，故答案为：2．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，做辅助线构造三角形是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2−的一半的平方．【解答】解：移项，得222x x −=，配方，得22121x x −+=+，即2(1)3x −=，开方，得1x −=．解得11x =+21x =【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如20x px q ++=型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如20ax bx c ++=型，方程两边同时除以二次项系数，即化成20x px q ++=，然后配方．18．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．【解答】解：（1）如图，线段CH 即为所求．（2）AB 是O 的直径，点D ，E 在O 上，90ADB AEB ∴∠=∠=︒．（直径所对的圆周角是直角），AE BE ∴⊥，BD AD ⊥．AE ∴，BD 是ABC ∆的两条高线． AE ，BD 所在直线交于点F ，∴直线FC 也是ABC ∆的高所在直线．CH ∴是ABC ∆中AB 边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【点评】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2|2|m <+，求出m 的取值范围即可．【解答】解：（1）2243(2)1y x x x =++=+−，∴对称轴为直线2x =−，顶点(2,1)−−；（2）如图：（3）点1(0,)A y 和2(,)B m y 都在此函数的图象上，且12y y <，2|2|m ∴<+，0m ∴>或4m <−．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．20．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB AD =，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒，求得90ABF ∠=︒，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，得到AEF ∆是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到24AE DE ==，于是得到结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒，90ABF ∴∠=︒，在ABF ∆与ADE ∆中，90AB AD ABF D BF DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABF ADE SAS ∴∆≅∆，AF AE ∴=；（2）解：由（1）知，ABF ADE ∆≅∆，BAF DAE ∴∠=∠，90BAF BAE DAE BAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，90FAE ∴∠=︒，AEF ∴∆是等腰直角三角形，在Rt ADE ∆中，90D ∠=︒，30DAE ∠=︒，2DE =，24AE DE ∴==，AEF ∴∆的面积14482=⨯⨯=． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得ABF ADE ∆≅∆是解题的关键．21．【分析】（1）计算根的判别式得到△2(1)0k =+，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到12x =，23x k =+，则31k +<−，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：△2(5)4(62)k k =+−+221k k =++2(1)0k =+，∴此方程总有两个实数根；（2）5(1)2k k x +±+=， 12x ∴=，23x k =+，此方程恰有一个根小于1−，31k ∴+<−，解得4k <−，即k 的取值范围为4k <−．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =−有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．22．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有2种，a b >的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有3种，a b >的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率=小刚获胜的概率即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有2种，a b >的结果有3种， ∴小明获胜的概率为2163=，小刚获胜的概率为3162=； （2）m 为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有3种，a b >的结果有3种，∴小明获胜的概率=小刚获胜的概率3162==． 【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）根据切线的性质得到AC CD ⊥，DE CD ⊥，得到//AC DE ，90ACD ∠=︒，根据平行线的判定定理得到//EF CD ，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB AC =，2BE DE ==，根据矩形的性质得到2CF DE ==，EF CD ==股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：AC 、DE 是O 的切线，CD 是的直径，AC CD ∴⊥，DE CD ⊥，//AC DE ∴，90ACD ∠=︒，EF AC ⊥，//EF CD ∴，∴四边形CDEF 是矩形；（2）解：AB ，AC ，DE 是O 的切线，AB AC ∴=，2BE DE ==，由（1）知，四边形CDEF 是矩形，2CF DE ∴==，EF CD ==EF AC ⊥，90AFE ∴∠=︒，222AE AF EF ∴=+，222(2)(2)AC AC ∴+=−+，解得5AC =，故AC 的长为5．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．24．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A 与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为2(3) 3.3y a x =−+，把(4.5,3.05)B 代入求得抛物线的解析式为21(3) 3.39y x =−−+，当0x =时，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）篮球出手位置A 与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ，∴点B 表示篮筐，其坐标为(4.5,3.05)，篮球行进的最高点C 的坐标为(3,3.3)；故答案为：(4.5,3.05)，(3,3.3)；（2）设抛物线的解析式为2(3) 3.3y a x =−+，把(4.5,3.05)B 代入得，23.05(4.53) 3.3a =−+， 解得19a =−， ∴抛物线的解析式为21(3) 3.39y x =−−+， 当0x =时， 2.3y =，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度是解题的关键．25．【分析】（1）要证明DE 是O 的切线，所以连接OD ，求出90ODE ∠=︒即可，根据已知DE BC ⊥，可得90DEC ∠=︒，所以只要证明//OD BE 即可解答；（2）由（1）可得BD 平分ABC ∠，所以想到过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，进而证明ADF CDE ∆≅∆，可得AF CE =，易证BDF BDE ∆≅∆，可得BF BE =，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD ，DE BC ⊥，90DEC ∴∠=︒， D 是AC 的中点，∴AD CD =，ABD CBD ∴∠=∠，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠，ODB CBD ∴∠=∠，//OD BC ∴，18090ODE DEC ∴∠=︒−∠=︒，OD DE ∴⊥， OD 是O 的半径，DE ∴是O 的切线；（2）解：过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，由（1）得：ABD CBD ∠=∠，BD ∴平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，四边形ABCD 内接于O ，180A DCB ∴∠+∠=︒，180DCB DCE ∠+∠=︒，A DCE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()ADF CDE AAS ∴∆≅∆，AF EC ∴=，90DFB DEC ∠=∠=︒，BD BD =，()BDF BDE AAS ∴∆≅∆，BF BE ∴=，设AF EC x ==，则8BE BF x ==+，10AB =，10AF BF ∴+=，810x x ∴++=，1x ∴=，9BF ∴=， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ABD DBF ∠=∠，BFD BDA ∴∆∆∽，2BD BF BA ∴=⋅，290BD ∴=，BD ∴=【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）①把1a =代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令0y =，求出1x 与2x ，进而求解．（2）由当12D x x x <<时，D y 总满足21D y y y <<可得当12x x x <<时，y 随x 增大而减小，从而可得点A 与点C 重合或点A 在点C 右侧，进而求解．【解答】解：（1）①把1a =代入2()8y a x h a =−−得2()8y x h =−−，∴抛物线顶点坐标为(,8)h −，∴点A 到x 轴的距离为|8|8−=，故答案为：8．②把0y =代入2()8y x h =−−得20()8x h =−−，解得1x h =+，2x h =−，12(x x h h −=+−=∴抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为（2）2()8y a x h a =−−，∴点A 坐标为(,8)h a −，|8|4a ∴−=， 解得12a =或12a =−， 当12a =时，如图，当抛物线开口向上，12a ∴=，21()42y x h =−−，∴点A 坐标为(,4)h −，把x h =代入21y x =−+得21y h =−+，当214h −+−时，解得52h ， 702h <<，∴5722h <．当12a =−时，21()42y x h =−−+，令2121()42x x h −+=−−+，整理得22(24)60x h x h −++−=，∴△22(24)4(6)0h h =−−−−>，整理得52h <−，与题干不符，舍去；综上，h 的取值范围为5722h <． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．27．【分析】（1）①通过证明ACE BCD ∆≅∆，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定FCB ∆和FCD ∆是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF 至点G ，使FG FC =，连接BG ，则得：DCF BGF ∆≅∆，再利用题意证明ACE CBG ∆≅∆，结论可得．【解答】解：（1）①CAE CBD ∠=∠．理由：在ACE ∆和BCD ∆中，90AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆．CAE CBD ∴∠=∠．②证明：90ACB ∠=︒，90ACH ECH ∴∠+∠=︒．CF AE ⊥，90ACH CAH ∴∠+∠=︒．CAH ECH ∴∠=∠．由①知：CAE CBD ∠=∠，ECH CBD ∴∠=∠．CF BF ∴=． 90DCB ∠=︒，90DCF ECF ∴∠+∠=︒，90CDF CBD ∠+∠=︒．CDF DCF ∴∠=∠，CF DF ∴=．2BD CF ∴=．由①知：ACE BCD ∆≅∆，AE BD ∴=．2AE CF ∴=．解：（2）若F 是BD 的中点，2AE CF =仍然成立．理由：延长CF 至点G ，使FG FC=，连接BG ，如图，F ∴是BD 的中点，FD FB ∴=．在DCF ∆和BGF ∆中，DF BF DFC BFG CF GF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCF BGF SAS ∴∆≅∆．CD BG ∴=，DCF G ∠=∠．//CD BG ∴．180DCB GBC ∴∠+∠=︒．将图1中的CDE ∆绕点C 逆时针旋转α，ACD BCE α∴∠=∠=．9090DCB ACD α∴∠=︒−∠=︒−，90ACE ACB BCE α∠=∠+∠=︒+．180180(90)90CBG BCD αα∴∠=︒−∠=︒−︒−=︒+．ACE CBG ∴∠=∠．CD CE =，CE BG ∴=．在ACE ∆和CBG ∆中，AC CB ACE CBG CE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE CBG SAS ∴∆≅∆．AE CG ∴=．FG FC =，2CG CF ∴=．2AE CF ∴=．∴若F 是BD 的中点，2AE CF =仍然成立．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，延长CF 至点G ，使FG FC =，连接BG ，构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线．28．【分析】（1）①由题意知13122AP OA OP =+=+=，2AB =，则34AP k AB ==；②由勾股定理得1AC ，假设点1C 是点A 关于O 的12倍特征点，则22AE OA =>=，不符合题意，同理判断2C 、3C 即可； ③当点D 在y 轴正半轴上时，设直线AD 交O 于B ，连接OE ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，根据点E 点A 关于O 的12倍特征点，得12AE AB =，由含30︒的直角三角形的性质可得OE ，AE 的长，当点D 在y 轴负半轴同理可得答案；（2）设直线1y x =−+与x 轴，y 轴的交点分别为C ，D ，过点N 作NP CD ⊥交CD 于P ，交O 于B ，过点O 作直线EF CD ⊥交O 于E ，F ，由1111MN k AM k k==−+−−，可知k 越大，1k −的值越小，则111k −+−的值越小，得AM BP =，MN NP =时，k 的值最小，即A 与E 重合，N 与F 重合时，k 的值最小，从而解决问题．【解答】解：（1）①(1,0)A ，1(,0)2P −， 13122AP OA OP ∴=+=+=， (1,0)B −， 2AB ∴=，AP kAB =，34AP k AB ∴==， 故答案为：34； ②11(0,)2C ，(1,0)A ， 11,12OC OA ∴==，1AC ∴==， 假设点1C 是点A 关于O 的12倍特征点，∴112AC AE =，22AE OA ∴=>=，不符合题意，∴点1C 不是点A 关于O 的12倍特征点，同理可求出32AC =， 假设点3C 是点A 关于O 的12倍特征点， ∴312AC AF =， 3C ∴为AF 的中点，(0,1)F ∴−， F 在圆上，∴点3C 是点A 关于O 的12倍特征点， 21(,0)2C ， 212AC ∴=， ∴214AC AB =， ∴点2C 不是点A 关于O 的12倍特征点， 故答案为：3C ；③如图，当点D 在y 轴正半轴上时，设直线AD 交O 于B ，连接OE ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，点E 点A 关于O 的12倍特征点， ∴12AE AB =，E ∴是AB 的中点，OE AB ∴⊥，60EAO ∠=︒，30EOA ∴∠=︒，1122AE OA ∴==，12EF OE =，2OE ==，EF ∴=，3(4E ∴，当点D 在y 轴负半轴上时，同理可得3(,4E ，综上：3(4E 或3(,4； （2）设直线1y x =−+与x 轴，y 轴的交点分别为C ，D ，过点N 作NP CD ⊥交CD 于P ，交O 于B ，过点O 作直线EF CD ⊥交O 于E ，F ，MN NP ∴，AM BP ，(1)AM AN MN k AN =−=−， ∴1111MN k AM k k==−+−−， k 越大，1k −的值越小，111k ∴−+−的值越小， ∴当MN AN的值越大，k 的值越小， AM BP ∴=，MN NP =时，k 的值最小，A ∴与E 重合，N 与F 重合时，k 的值最小，C ，D 是直线1y x =−+与x 轴，y 轴的交点，(1,0)C ∴，(0,1)D ， O 到C 和D 的距离都是1，1OC OD ∴==，CD ∴==OG CD ⊥，2CG DG ∴==，2OG ∴==，12FG OF OG ∴=−=−，12224FG k EF −∴===， k ∴， 当点N 在E 点，A 在F 点时，k． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的相关知识，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
北京西城初三上期末数学试卷
年北京西城初三上期末数学试卷一、选择题（本题共分，每小题分）．二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是（ ）．．2- ．1- ．1 ．2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果120ADE ∠=︒，那么B ∠等于（ ）． ．130︒ ．120︒ ．80︒ ．60︒．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．． ． ． ．．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）． ．2(3)1y x =+-．2(3)3y x =++．2(3)1y x =--．2(3)3y x =-+．ABC △与A B C '''△是位似图形，且ABC △与A B C '''△的位似比是1:2，如果ABC △的面积是3，那么A B C '''△的面积等于（ ）． ．3．6．9．12．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是（ ）． ．2m >．3m ≥．5m <．5m ≤．如图，在Rt ABC △中，sin 90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（ ）． ．512 ．513 ．1213 ．125．如图，在1010⨯的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果ABC △是该抛物线的内接格点三角形，32AB =，且点A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A C B x x x <<，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ）． ．7．8．14．16二、填空题（本题共分，每小题分）．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，AB x ⊥轴于点B ，那么AOB △的面积等于．．如图，将ABC △绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到AB C ''△，使AB CB '∥，CB ，AC '的延长线相交于点D ，如果28D ∠=︒，那么BAC ∠=︒．．如图，点D 为ABC △外一点，AD 与BC 边的交点为E ，3AE =，5DE =，4BE =，要使BDE ACE ∽△△，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于．．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长等于（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为．三、解答题（本题共分，每小题分） ．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．．解方程：2410x x -+=．．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于35，1tan 2CPO ∠=，求弦CD 的长．．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC △的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将ABC △绕点A 顺时针方向旋转90︒得到AB C ''△．（）在正方形网格中，画出AB C ''△．（）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积．（结果保留π）．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．四、解答题（本题共分，每小题分）．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60︒方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30︒方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于多少米？（3取1.732，结果精确到1米）．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．（）求证：EBF FCD ∽△△． （）连接DH ，如果12BC =，3BF =，求tan HDG ∠的值．．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ． （）请依题意补全图形． （）求证：AOC DBC ∠=∠． （）求BMBC的值．．已知抛物线C ：2=23y x x +-．抛物线顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标抛物线：2=23y x x +-( )A ( )B (1,0)(0,3)-变换后的抛物线1C（）补全表中A ，B 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C ．（）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为1C ），且抛物线1C 的顶点是抛物线C 的顶点的对应点，求抛物线1C 对应的函数表达式．五、解答题（本题共分，第题分，第题分，第题分）．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数m y x=（m 为常数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE x ∥轴交直线l 于点E ．（）求m 的值及直线l 对应的函数表达式． （）求点E 的坐标． （）求证：BAE ACB ∠=∠．．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l 上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将ACP △绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到BCQ △，记点P 的对应点为Q ，线段PA 的长为m （0m >）． （）①QBC ∠=︒．②如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离等于．（）当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2中画出此时的线段0P C 及0BCQ △，并直接写出相应m 的值．（）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PAQ △的面积等于34时，求m 的值．．如图1，对于平面上不大于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为(,)d P MON ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足(,)5d P xOy ∠=，点P 运动形成的图形记为图形G ．（）满足条件的其中一个点P 的坐标是，图形G 与坐标轴围成图形的面积等于．（）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(,)d M AOB ∠的值．（）如果抛物线212y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(,)d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．年北京西城初三上期末数学试卷一、选择题（本题共分，每小题分）题号 答案二、填空题（本题共分，每小题分）．3．28．415． ．（1）m ；（2）3三、解答题（本题共分，每小题分）．解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒23233()2322=⨯+-⨯1332=+-12=．．解：2410x x -+=． ∵1a =，4b =-，1c =，∴224(4)41112b ac -=--⨯⨯=． ∴2441222b b ac x a -±-±==423232±==±． ∴原方程的解是123x =+，223x =-．．解：连接OC ．∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ， ∴OC PC ⊥，PC PD =，OPC OPD ∠=∠． ∴CD OP ⊥，2CD CE =．∵1tan 2CPO ∠=，∴1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=．设OE k =，则2CE k =，5OC k =．（0k >） ∵⊙O 的半径等于35， ∴535k =，解得3k =． ∴6CE =． ∴212CD CE ==．．（1）画图如图所示．（2）由图可知ABC △是直角三角形，4AC =，3BC =， 所以5AB =．线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为90︒，半径为5． ∴ 221125ππ5π444AB BSAB '=⨯=⨯=扇形． 所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为25π4．．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（2080a ≤≤） 整理，得210024000a a -+=． 可得(40)(60)0a a --=． 解方程，得140a =，260a =．当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）． 当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）． 因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =．答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是元．．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．（2）当0a ≠时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．∵它的图象与x 轴只有一个公共点，∴关于x 的方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根．∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．整理，得2340a -=． 解得233a =±． 综上，0a =或233a =±．四、解答题（本题共分，每小题分）．解：如图，由题意，可得30PAC ∠=︒，60PBC ∠=︒． ∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒． ∴PAC APB ∠=∠． ∴ 400PB AB ==．在Rt PBC △中，90PCB ∠=︒，60PBC ∠=︒，400PB =，∴3sin 4002003346.43462PC PB PBC =⋅∠=⨯==≈（米）． 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米．．（）证明：如图．∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴90B C ∠=∠=︒，90EFG ∠=︒， BC CD =，GH EF FG ==．又∵点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴90DFC EFB ∠+∠=︒，90DFC FDC ∠+∠=︒， ∴EFB FDC ∠=∠．（2）解：∵3BF =，12BC CD ==， ∴9CF =，2215DF CF CD =+=．由（1）得BE CFBF CD=． ∴399124BF CF BE CD ⨯⨯===． ∴22154GH FG EF BE BF ===+=． 454DG DF FG =-=． ∴1tan 3GH HDG DG ∠==．．（1）补全图形见图．（2）证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴2DBC ABC ∠=∠． 又∵2AOC ABC ∠=∠， ∴AOC DBC ∠=∠．（3）解：∵»»BF BF =， ∴A D ∠=∠． 又∵AOC DBC ∠=∠， ∴AOE DBM ∽△△． ∴OE BM OA BD=． ∵3OC OE =，OA OC =，∴13BM OE OE BD OA OC ===． ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴BC BD =． ∴13BM BM BC BD ==．．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -．画图象见图．（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：抛物线 顶点坐标与轴交点坐标与轴交点坐标变换后的抛物线1C(2,2)A '--(6,0)B '- (2,0)(0, 1.5)-设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（0a ≠）∵抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-，∴3422a -=-． 解得18a =．∴221113(2)28822y x x x =+-=+-．∴抛物线1C 对应的函数表达式为2113822y x x =+-．五、解答题（本题共分，第题分，第题分，第题分） ．解：（1）∵点1(,2)2A 在反比例函数m y x=（m为常数）的图象G 上， ∴1212m =⨯=． ∴反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x=．设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，0k ≠）．∵直线l 经过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴1220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得44k b =-⎧⎨=⎩．∴直线l 对应的函数表达式为44y x =-+．（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2C --． ∵CE x ∥轴交直线l 于点E ， ∴E C y y =．∴点E 的坐标为3(,2)2E -．（3）如图，作AF CE ⊥于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ， 作CH BG ⊥于点H ，则BH CE ∥，BCE CBH ∠=∠． ∵1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2E-，∴点F 的坐标为1(,2)2F -． ∴CF EF =． ∴AC AE =．∴ACE AEC ∠=∠．∵点(3,)B n 在图象G 上，∴13n =， ∴1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -．在Rt ABG △中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-， 在Rt BCH △中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ABH CBH ∠=∠． ∴BCE ABH ∠=∠．∵BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠， ∴BAE ACB ∠=∠．．解：（1）①90QBC ∠=︒；②3m =时，点Q 到直线l 的距离等于32+32． （2）画图如图所示． 433m =． （3）作BG AC ⊥于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ． ∵CA ⊥直线l ， ∴90CAP ∠=︒．易证四边形ADFG 为矩形． ∵等边三角形ABC 的边长为4，∴60ACB ∠=︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒． ∵将ACP △绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到BCQ △，∴ACP △≌BCQ △．∴AP BQ m ==，90PAC QBC ∠=∠=︒ ︒． ∴60QBF ∠=︒．在Rt QBF △中，90QFB ∠=︒，60QBF ∠=︒，BQ m =， ∴32QF m =．要使PAQ △存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两种情况： 如图，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得4303m <<， 此时点Q 在直线l 的下方．∴322DQ DF QF m =-=-． ∵1324APQ S AP DQ =⋅=△， ∴133(2)224m m -=． 整理，得23430m m -+=． 解得133m =或23m =． 经检验，33m =或3在4303m <<的范围内，均符合题意． 如图，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得433m >， 此时点Q 在直线l 的上方．∴322DQ QF DF m =-=-． ∵1324APQ S AP DQ =⋅=△， ∴133(2)224m m -=． 整理，得 234330m m --=． 解得23213m ±=（舍负）． 经检验，23213m +=在433m >的范围内，符合题意． 综上所述，33m =或3或23213+时，PAQ △的面积等于34．．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=，05x ≤≤，05y ≤≤均可） 图形与坐标轴围成图形的面积等于252． （2）如图，作ME OB ⊥于点E ，MF x ⊥轴于点F ，则1MF =，作MD x ∥轴，交OB 于点D ，作BK x⊥轴于点K ．由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43y x =． ∴点D 的坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=．∴，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=．∴13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=．∴1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=．（3）∵抛物线212y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点，∴221055214332b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩．∴抛物线对应的函数关系式为215222y x x =-++．如图，作QG OB ⊥于点G ，QH x ⊥轴于点H ．作QN x ∥轴，交OB 于点N ．设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中35m ≤≤， 则215222QH n m m ==-++． 同（2）得4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=． ∴点N 的坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-．∴43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-． ∴4342(,)5555d Q AOB QG QH m n n m n ∠=+=-+=+24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++2121(4)55m =--+．∴当4m =（在35m ≤≤范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值215． 此时点Q 的坐标为5(4,)2．年北京西城初三期末上数学试卷部分解析一、选择题 ．【答案】【解析】二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是2-．故选． ．【答案】【解析】四边形ABCD 内接于⊙O ，120B ADE ∠=∠=︒． 故选． ．【答案】【解析】既是轴对称图形又是中心对称图形的是只有B ，选项A 、C 是轴对称图形，选项D 是中心对称图形． 故选． ．【答案】【解析】把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为2(3)1y x =--．故选． ．【答案】【解析】ABC △与A B C '''△是位似图形，且ABC △与A B C '''△的位似比是1:2，面积比等于相似比的平方，即ABC △的面积是3，则A B C '''△的面积等于12． 故选． ．【答案】【解析】关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，114(1)1404m m ∆=--=-+≥，解得5m ≤．故选．．【答案】【解析】∵90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， ∴BCD A ∠=∠．在在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，13AB =． 5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==． 故选． ．【答案】【解析】当(1,1)A ，(4,4)B ，(2,0)C 时，过A 、B 、C 三点的抛物线为2(2)y x =-，符合题意． 将此抛物线依次向右平移，再向上平移1个单位，都符合题意，当(4,4)B 依次平移到(5,5)B 、(6,6)B 、(7,7)B 、(8,8)B 、(9,9)B 、(10,10)B ，一共有7个；同理，当(0,0)A ，(2,4)B ，(3,3)C 时，过A 、B 、C 三点的抛物线为2(2)4y x =--+，符合题意． 将此抛物线依次向右平移，再向上平移1个单位，都符合题意，当(3,3)B 依次平移到(4,4)B 、(5,5)B 、(6,6)B 、(7,7)B 、(8,8)B 、(9,9)B ，一共有7个．故符合上述条件的抛物线一共有7714+=条． 故选．二、填空题 ．【答案】3【解析】点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，32AOB k S ==△．答案为3． ．【答案】28【解析】依题可知，AB CB '∥，28D B AC ''∠=∠=︒．有旋转的性质可知28BAC B AC ''∠=∠=︒． 故答案为28．．【答案】415【解析】∵BDE ACE ∽△△，∴43DE BE CE AE ==，∵3AE =，5DE =，4BE =，∴31544CE DE ==． 故答案为415． ．【答案】（1）m ；（2）3【解析】∵90APB ∠=︒，AO BO =，∴12PO AB OA OB m ====． OC CP PO OC CP -+≤≤，(3,4)C ，5OC =，2CP r ==， ∴OP 最小值为3．故答案为（1）m ；（2）3．。
北京市西城区九级上学期数学期末试卷 (内含答案详析)
北京市西城区九级上学期期末试卷数 学（考试时间共120分钟，满分120分）准考证号：__________ 姓名：________ 座位号：___________ {请同学们保持良好的心态，认真审真，认真答题，切不可马虎应付} 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)--，2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D5．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sinA 的值为A BC ．12D ．26．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线12x =-．下列结论中，正确的是A ．a ＜0B ．当12x <-时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．当12x =-时，y 的最小值是44c b -7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，则旋转中心的坐标是A ．(00)，B ．(10)，C ．(11)-，D ．(2.50.5)，8．若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是A ．2m <B ．2m >C ．94m < D ．94m >二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE∥BC若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．10．把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y ．－111．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC 绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A' 落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．12．在平面直角坐标系xOy中，过点(65)A，作AB⊥x轴于点B．半径为r r<<的⊙A(05)与AB交于点C，过B点作⊙A的切线BD，切点为D，连接DC并延长交x 轴于点E.（1）当5r=时，EB的长等于；2（2）点E的坐标为（用含r的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．14．已知：二次函数23=+-的图象经过点(25)y x bxA，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2y x h k=-+的形式．()15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，点P在AD边上，且PC PB⊥．若AB＝6，DC＝4，PD＝2，求PB的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB⊥B D ，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点BC ，D 在同一条直线上．若测得CD ＝30米，求河宽AB （结果精确到1取1.73 1.41）．18．如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C ，连接OA ，AB ＝12，cos A = （1）求OC 的长；（2）点E ，F 在⊙O 上，EF∥AB．若EF ＝16，直接写出EF 与AB 之间的距离．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图ABCO象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式；（2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．20．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点（不与点C ，D 重合），作AF⊥AE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE∽△ABF ；（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ，①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若23CEDE=，求cos ABC ∠的值．22．阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线．．．．．．．都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．问题：⊙O 的半径为1，画一个⊙O 的关联图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发现能画出很多⊙O 的关联图形，例如：⊙O 本身和图1中的△ABC （它们都是封闭的图形），以及图2中以O 为圆心的 （它是非封闭的图形），它们都是⊙O 的关联图形．而图2中以P ，Q 为端点的一条曲线就不是⊙O 的关联图形．参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O 的关联图形是 （填序号）； ① ⊙O 的外切正多边形 ② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于1的同心圆（2）若图形G 是⊙O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形G 的周长的（DmE（最小值是____；（3）在图2中，当⊙O 的关联图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为y =__；（4）请你在备用图中画出一个⊙O 的关联图形，所画图形的长度l 小于（2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上．①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．24．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE.（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH⊥B C 于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．25．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ； ②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐图2备用图图1角，且tan2∠=，求点P的横坐标；ADP（3）点E在x轴的正半轴上，o45OCE∠>，点O与点O'关于EC所在直线对称．作ON⊥EO'于点N，交EC于点M．若EM·EC＝32，求点E的坐标．数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．232=- ........................... 4分= (5)分14．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A(2，5)， ∴ 4235b +-=． ................................. 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． ............... 2分 （2） 令0y =，则有2230x x +-=． 解得13x =-，21x =．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． . 4分 （3）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． (5)分∴ ∠D=90°．∴ 90DCP DPC ∠+∠=︒． ∵PC PB ⊥，∴∠BPC=90°，90DPC APB ∠+∠=︒． ∴∠DCP=∠APB． ............. 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠．在Rt △PCD 中， CD=2，PD=4， ∴1tan 2PD DCP CD∠==．在Rt △PBA 中，AB=6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=．∴12PA =． ...................................... 4分 ∴PB == ..........................5分16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． ........................................... 1分依题意，得275(1)108x +=． ..................... 2分 整理，得236(1)25x +=． ......................... 3分615x +=±． 解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． .......... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． .............................................. 5分17．解：设河宽AB 为x 米． ..................... 1分 ∵ AB ⊥BC ，∴ ∠ABC=90°．∵ 在Rt△A BC 中，∠AC B=45°， ∴ AB=BC=x ． ....... 2分∵ 在Rt△ABD 中，∠ADB=30°， ∴ BD=33AB x =． (3)分3CD BD BC x x =-=-∴330x x -=． ................................. 4分解得15315x =+≈41．答：河宽AB 约为41米． ......................... 5分 18．解：（1）∵ AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB=12， ∴ 162AC AB ==． ................ 1分∵ 在Rt△AOC 中，∠ACO=90°，3cos 5A =，∴ 10OA =． .................... 2分 ∴ 228OC OA AC =-． (3)分（2）2或14． ................................. 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，······················· 1分 ∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ···· 2分 即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ··············· 4分 （3）20x -<<． ················ 5分ABCO20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°． ∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF⊥AE，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．∴ △ADE ∽△ABF ． ·············· 2分 （2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ． ∵ M 为EF 的中点， ∴ MH∥DC ，12MH EC =．∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴ MH⊥FC，即MH 是点M 到FC 的距离． ∵ DE=x ，DC=AB=4． ∴ EC=4x -， ∴ 12MH EC =122x =-．即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． ................. 3分②∵△ADE∽△ABF ， ∴ DE BF ADAB=．∴ 24x BF =．∴ 2BF x =，FC=22x +，FH= CH=1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-．HMDFAECB∵ 122MH x =-，∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ...................... 4分 当85x =时，BM长的最小值是． ................. 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DA B =90°． ∵ OD∥BC，∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ． ∵ OC=OB ， ∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ． 在△COD 和△AOD 中， OC = OA ，∠DOC =∠AOD ， OD=OD ，∴ △COD ≌△AOD ．.............................. 1分 ∴ ∠OCD=∠DAB = 90°． ∴ OC⊥DE 于点C ． ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线． ............................ 2分（2）解：由23CEDE=，可设2(0)CE k k =>，则3DE k =．.. . 3分∴ AD DC k ==． ∴ 在Rt △DAE 中，2222AE DE AD k=-=．∴ tan E =22AD AE =． ∵ 在Rt △OCE 中，tan 2OC OC E CEk==．∴222OCk=， ∴ 2OC OA ==．∴ 在Rt △AOD 中，2232OD AO AD k=+=．.. ......... 4分∴ 3cos cos OA ABC AOD OD∠=∠==．.. .................. 5分22．解：（1）①③； 2分 （2）2π； 3分 （3）2x --；4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l 满足2π+≤ l ＜2π．例如：在图1中l 2=π+， 在图2中l =6． .. 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，图1 图2∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． ........................ 1分整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m=4． ....................................... 2分 ②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上， ∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ..... 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． .... 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况：(ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+．7分24．（1）AD BE=，AD BE ⊥． ..................... 2分（2）证明：连接DM ，AM ． 在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点， ∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM=∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DMEM=，90AMD EMA ∠+∠=︒．∴ AMDMBMEM=，AMD BME ∠=∠． ·· 3分∴ △ADM ∽△BEM ． ∴AD DMBEEM== ............................... 4分延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ． ∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠． ∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ................................... 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时， ∵ △ADM ∽△BEM ， ∴ 2()3ADMBEMS AD S BE∆∆==． ∴ 13BEMADM S S ∆∆= ∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯=+∴S =（3≤x≤3． (6)分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADMS BM S AM ∆∆==．∴ 13BEMADM S S ∆∆=． ∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--9213333(3)232x =-⨯⨯-+33x =+．∴ 33S x =+(33-≤x ≤3)．综上，33S x =+(33-≤x ≤33+)． .............. 7分25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-；1分 ②∵ 当x=0时，y=－4， ∴ 点C 的坐标为(04)-，． ∵ ABCS ∆12c AB y =⋅＝12，∴ AB=6．又∵点A ，B 关于直线1x =-对称，∴ A 点和B 点的坐标分别为(40)-，，(20)，． ∴ 4440a a +-=．解得 12a =．∴ 所求二次函数的解析式为2142y x x =+-．......... 2分（2）如图，作DF⊥x 轴于点F ．分两种情况： (ⅰ)当点P 在直线AD 的下方时，如图所示． 由（1）得点A (40)-，，点D (21)-，， ∴ DF=1，AF=2．在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2AFADF DF∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求．∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ....................... 3分(ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG=AP 1，连接DG ，作GH⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ． 又∵ (40)A -，，1(24)P --，， ∴ 点G 的坐标是(64)-，． 在△ADP 1中，5DA =，DP 1＝５， 125AP =，∴ 22211DA AP DP +=． ∴ 1o 90DAP ∠=． ∴ DA ⊥1GP ． ∴ 1DG DP =． ∴ 1ADG ADP ∠=∠． ∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求． 作D K⊥GH 于点K ，作P 2S∥GK 交DK 于点S ． 设P 2点的坐标为21(4)2x x x +-，，则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--．由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 整理，得 227140x x +-=． 解得7161x -±=．∵ P 2点在第二象限， ∴ P 2点的横坐标为71614x --=（舍正）．综上，P 点的横坐标为－2或71614--． .......... 5分（3）如图，连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ． ∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称， ∴ O O '⊥CE，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=． ∴ O 'C⊥O 'E ． ∵ ON ⊥O 'E ， ∴ O 'C ∥O N ． ∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠．∴ OC OM =． ................................... 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=，在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=，∴ OE ET ECOE=．∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅ 32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=．祝您生活愉快，工作顺心，前程似锦，愿此文帮助到您，谢谢！21 ∴ 2321648OE =+=．∵ 0OE >，∴ 43OE =．∵ 点E 在x 轴的正半轴上，∴ E 点的坐标为(43,0))． ...................... 8分。
西城九上期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则下列说法正确的是（）A. a>0，b>0，c>0B. a<0，b<0，c<0C. a>0，b<0，c>0D. a<0，b>0，c<02. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为（）A.（-3，2）B.（3，-2）C.（-2，3）D.（2，-3）3. 若方程x^2-4x+3=0的解为x1、x2，则x1+x2的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 24. 在等边三角形ABC中，角B的平分线交AC于点D，则BD与AC的比值为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：3D. 3：15. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，则三角形ABD与三角形ADC的面积比为（）B. 2：1C. 1：1D. 2：26. 若sinα=1/2，则cos(α+π/3)的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/27. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y=-x+1的对称点为（）A.（-1，2）B.（1，-2）C.（-2，1）D.（2，-1）8. 若方程x^2-5x+6=0的解为x1、x2，则x1^2+x2^2的值为（）A. 25B. 26C. 27D. 289. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，则∠BAD的度数为（）A. 45°B. 30°C. 60°10. 已知sinα=3/5，cosα=4/5，则tanα的值为（）A. 3/4B. 4/3C. 3/2D. 2/3二、填空题（每题5分，共50分）1. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=______。
2. 若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn=______。
2023北京西城区初三(上)期末数学试题及参考答案
2023北京西城初三（上）期末数 学满分100分，考试时间120分钟．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.二次函数y ＝(x －2)2＋3的最小值是() A.3 B.2 C.－2 D.－32.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.下列事件中是随机事件的是（ ）A.明天太阳从东方升起B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C.平面内不共线的三点确定一个圆D.任意画一个三角形，其内角和是540︒4.如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，45A ∠=︒，80APD ∠=︒，则B ∠的大小是（ ）A.35°B.45°C.60°D.70°5.抛物线221y x =−+通过变换可以得到抛物线()2213y x =−++，以下变换过程正确的是（ ）A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请x 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）A.215x =B.()115x x +=C.()115x x −=D. ()1152x x −=7. 如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒得到CDE ，当点A 的对应点D 落在BC 上时，连接BE ，则BED ∠的度数是（ ）A.30°B.45°C.55°D.75°8.下表记录了二次函数()220y ax bx a =++≠中两个变量x 与y 的5组对应值，其中121x x <<．根据表中信息，当02x −<<时，直线y k =与该二次函数图象有两个公共点，则k 的取值范围是（ ）. A. 726k << B. 726k <≤ C. 823k << D. 823k <≤第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.一元二次方程x 2﹣16＝0的解是_____．10.已知O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为8，则点P 在O ______（填“内”“上”或“外”）．11.若关于x一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．12.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是_____．13.点()3,M m 是抛物线2yx x 上一点，则m 的值是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．14.已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当1x >时，y 随x 的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点)A 为圆心，1为半径画圆，将A 绕点O 逆时针旋转的()0180αα︒<<︒得到A '，使得A '与y 轴相切，则α的度数是____．16.如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，且AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为2，则CM 长的最大值是_____．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 解方程：2420x x −+=18. 已知：点A ，B ，C 在O 上，且45BAC ∠=︒．求作：直线l ，使其过点C ，并与O 相切．作法：①连接OC ；②分别以点B ，点C 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于O 外一点D ；③作直线CD ．直线CD 就是所求作直线l ．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：连接OB ，BD ，∵OB OC BD CD ===，∴四边形OBDC 菱形，∵点A ，B ，C 在O 上，且45BAC ∠=︒， ∴BOC ∠=______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形OBDC 是正方形，∴90OCD ∠=︒，即OC CD ⊥，∵OC 为O 半径，∴直线CD 为O 的切线（_________________）（填推理的依据）．19.已知二次函数2=23y x x −−．（1）将2=23y x x −−化成()2y a x h k =−+的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当12x −<<时，结合图象，直接写出函数值y 的取值范围．20.如图，AB 是O 的一条弦，点C 是AB 的中点，连接OC 并延长交劣弧AB 于点D ，连接OB ，DB ，若4AB =，1CD =，求BOD 的面积．21.在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是的是______，其中红球的个数是______；（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．22.如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，将点B 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ，连接AE ，BE ，CE ．（1）求CBE ∠的度数；（2）若ACD 是等边三角形，且30ABC ∠=︒，3AB =，5BD =，求BE 的长．23. 已知关于x 的方程22x 2mx m 90−+−=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，且12x x >，若1225x x =+，求m 的值．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点O 是AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径作圆，使O 与BC 相切于点D ，与AC 相交于点E ．过点B 作BF AC ∥，交ED 的延长线于点F ．（1）若4AB =，求O 的半径；（2）连接BO ，求证：四边形BFEO 是平行四边形．25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =−++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．（1）点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______；（2）求满足的函数关系2116y x bx c =−++； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x t =，且320a b c ++=．（1）当0c 时，求t 的值；（2）点()12,y −，()21,y ，()33,y 在抛物线上，若0a c ，判断1y ，2y 与3y 的大小关系，并说明理由．27.如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45APB ∠=︒，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，连接AQ ．（1）依题意，补全图形，并证明：AQ BP =；（2）求QAP ∠度数；（3）若N 为线段AB 的中点，连接NP ，请用等式表示线段NP 与CP 之间的数量关系，并证明． 28.给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2−−A ，()5,2B −，()1,4C −．（1）在点()4,0D −，()2,2E ，()6,0F 中，与点O 关于线段AB 双对合的点是______；（2）点K 是x 轴上一动点，K 的直径为1． ①若点A 与点()0,T t 关于K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ABC 上存在一点与K 上任意一点关于K 双对合，直接写出点K 横坐标k 的取值范围．的参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】二次函数y=（x-2）2+3，当x=2时，最小值是3，故选A．【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．3.【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是540︒，是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得C ∠，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】解：C A APD ∠+∠=∠，45A ∠=︒，80APD ∠=︒，804535C APD A ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，35B C ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；【详解】解：抛物线221y x =−+通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线()2213y x =−++，故选择：D【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数()112x x =−，由此可得出方程．【详解】解：设邀请x 个队，每个队都要赛()1x −场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得(1)152x x −=． 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．7.【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得30ABC ACB ∠=∠=︒，根据旋转的性质，得BC CE =，30DCE DEC ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，再由等腰三角形和三角形内角和定理得()118030752CBE CEB ∠=∠=︒−︒=︒，即可求得BED BEC CED ∠=∠−∠． 【详解】解：AB AC =，120A ∠=︒，30ABC ACB ∴∠=∠=︒，由旋转得，BC CE =，30DCE DEC ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，()118030752CBE CEB ∴∠=∠=︒−︒=︒， 753045BED BEC CED ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】根据表中数据得出对称轴=1x −，进而得到抛物线与x 轴的交点，利用交点式得到()()31y a x x =+−，从而得到二次函数表达式为224233y x x =−−+，根据当502x −<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点，可得823k <<． 【详解】解：由()()53m m −，、，可得抛物线对称轴5312x −+==−， 又由()()1,01,0x 、以及对称轴=1x −可得13x =−，()()3,01,0∴−、，则设抛物线交点式为()()31y a x x =+−，()()()22312323y a x x a x x ax ax a =+−=+−=+−与()220y ax bx a =++≠对比可得32a −=，解得23a =−， ∴二次函数表达式为224233y x x =−−+， ∴当52x =−时，2557313226y ⎛⎫⎛⎫=−−+−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 当0x =时，2y =； 当=1x −时，()()28131133y =−−+−−=， 78263<<，当502x −<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点， ∴823k <<， 故选：C【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键． 第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】x 1＝﹣4，x 2＝4【解析】【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.【详解】解：方程变形得：x 2＝16，开方得：x ＝±4，解得：x 1＝﹣4，x 2＝4．故答案为：x 1＝﹣4，x 2＝4【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键. 10.【答案】外【解析】【分析】点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外⇔d r ；②点P 在圆上⇔d r =；③点P 在圆内⇔d r <，由此即可判断； 【详解】解：=5r ，8d =， d r ∴>，∴点P 在O 外，故答案为：外．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点P 在圆外⇔d r ；②点P 在圆上⇔d r =；③点P 在圆内⇔d r <是解题的关键．11.【答案】94【解析】【分析】根据判别式0∆=求解即可．【详解】解：∵一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，∴2340c ∆=−=，解得94c =． 故答案为：94． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 12.【答案】6π【解析】【分析】根据扇形的面积公式S =2π360n r 计算，即可得出结果．【详解】解：该扇形的面积S =2606360π⨯=6π． 故答案为6π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．13.【答案】①.6②.(3,6)−−【解析】 【分析】将()3,M m 代入二次函数解析式，得出()36M ，，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点()3,M m 是抛物线2yx x 上一点，∴2336m =−=， ∴()36M ，，∴点M 关于原点对称的点的坐标是(3,6)−−，故答案为：6，(3,6)−−．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，求得点()36M ，是解题的关键．14. 【答案】22y x x =−(答案不唯一)【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可．【详解】解：图像过原点，∴可以设解析式为：()1y ax x x =−，当1x >时，y 随x 的增大而增大，∴0a >，开口向上，且对称轴112x x =≤， 即12x ≤， ∴可以设二次函数为()1y ax x x =−，满足102a x >≤，均可．故答案不唯一，如：22y x x =−．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键． 15.【答案】45︒或135︒【解析】【分析】分析可知：A 在以O 为半径的圆上运动，分情况讨论，当A 转到A '时，OA '=，作A B y '⊥轴与点B ，利用勾股定理可知1OB =，进一步可求出旋转角度为45︒；当A 转到A ''时，OA ''=A C x '⊥轴与点C ，利用勾股定理可知1OC =，进一步可求出旋转角度为135︒．【详解】解：∵)A ，将A 绕点O 逆时针旋转()0180αα︒<<︒得到A '∴A 在以O 为半径的圆上运动，当A 转到A '时，OA '=，作A B y '⊥轴于点B ，∵A '半径为1，A '与y 轴相切，∴1BA '=，由勾股定理可得：1OB ===， ∴OBA '为等腰直角三角形，∴45BOA '∠=︒，45AOA '∠=︒，即旋转角度为45︒；当A 转到A ''时，OA ''=A C x '⊥轴于点C ，∵A ''半径为1，A ''与y 轴相切，∴1CA ''=，由勾股定理可得：1OC ===， ∴OCA ''△为等腰直角三角形，∴45COA ''∠=︒，18045135AOA ''∠=︒−︒=︒，即旋转角度为135︒；故答案为：45︒，135︒【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转，理解A 在以O16.1##1+【解析】【分析】连接OM ，PB ，取AO 中点D ，连接CD DM 、、PB ，AB 是⊙O 的直径，可推出90APB ∠=︒和AMO APB ~，由此可知90APB AMO ∠=∠=︒，则M 在以AO 为直径的圆上，当CM 与D 点重合时，CM 最大，根据AB OC ⊥求出CD 长代入即可．【详解】解：连接OM ，PB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴90APB ∠=︒，∵M 为AP 的中点，O 为AB 的中点，∴AMO APB ~，∴90APB AMO ∠=∠=︒，取AO 中点D ，连接CD DM 、，∴M 在以AO 为直径的圆上，∵三角形两边之和大于第三边，且O 的半径为2，∴1DM =，∴当CM 与D 点重合时，CM 最大，∴CM CD DM =+，∵AB OC ⊥，∴CD ==，∴1CM =，1+．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90︒及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键． 三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】12x =+22x =；【解析】【分析】选用配方法可解此方程.【详解】解：x 2-4x+2=0x 2-4x+4-2=0(x-2)2=2∴x-2=解得：12x =+22x =故答案为12x =，22x =【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.18.【答案】（1）见解析；（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．【小问1详解】解：补全图形，如图所示；【小问2详解】90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．19.【答案】（1）2(1)4y x =−−，()1,4−（2）见解析（3）40y −≤<【解析】 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；（3）根据函数图像确定当12x −<<时对应的y 的取值范围即可．【小问1详解】2=23y x x −−22113x x =−+−−2(1)4x =−−．【小问2详解】列表如下：【小问3详解】由图象可得，当12x −<<时，4<0y −≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．20.【答案】52【解析】【分析】设O 的半径为x ，由垂径定理得出BC ，用含x 的式子表示OC ，再根据勾股定理列方程解得半径的长，即可求解．【详解】解：设OD x =，则OB x =．点C 是AB 的中点，OC 过圆心O ，OC AB ∴⊥．4AB =，1CD =，122BC AB ∴==，1OC OD CD x =−=−． 在Rt BCO △中，222OB OC BC =+，222(1)2x x ∴=−+．解得，52x =．52OD ∴=． 1522BOD S OD BC =⋅⋅=∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解题的关键． 21.【答案】（1）0.75，3（2）12【解析】【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；（2）列出表格，利用概率公式计算．【小问1详解】解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75，红球的个数是：40.753⨯=，故答案为：0.75，3；小问2详解】 由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球． 列表如下：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A ）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3）， 所以31()62P A ==． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了利用频率估计概率．22.【答案】（1）60︒（2）4【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到CB CE =,60BCE ∠=︒，进而证明BCE 为等边三角形，即可得到答案；（2）首先证明ACE DCB ≅，之后在Rt ABE 中根据勾股定理得到BE 的长．【小问1详解】 解：将点B 绕点C 逆时针旋转60︒得到点E ，CB CE ∴=，60BCE ∠=︒，BCE ∴△是等边三角形，60CBE ∴∠=︒．【小问2详解】解：ACD 是等边三角形，AC DC ∴=，60ACD ∠=︒ ，ACE DCB ∴∠=∠，又CB CE =，ACE DCB ∴≅ ，AE BD ∴=，5BD =，5AE ∴=．60CBE ∠=︒，30ABC ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，∴在Rt ABE 中，B E3AB =，4BE ∴=．【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关定理是解题的关键．23.【答案】（1）见解析；（2）4−．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出0∆>，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）解方程，再由12x x >，1225x x =+，即可得到关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【小问1详解】证明：()()222419m m ∆=−−⨯⨯−224436m m =−+360=>．∴方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：解方程，得22622m m x ±±==，12x x >，13x m ∴=+，23x m =−．1225x x =+，()2335m m ∴+=−+．4m ∴=−．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．24.【答案】（1）4；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连接OD ，由⊙O 与AB 相切于点A ，与BC 相切于点D ，得到90ODC OD DC ∠=︒=，，由切线长定理得：4BD AB ==，由勾股定理求出BC =O 的半径．（2）连接AD ，交OB 于点H ，由AE 是⊙O 的直径，得到90ADE ∠=︒．根据AB BC ，与⊙O 分别相切于点A ，D ，证得90AHO ∠=︒．得到OB EF ∥．即可证得四边形BFEO 是平行四边形．【小问1详解】解：连接OD ，如图．∵在ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，∴⊙O 与AB 相切于点A ，45ACB ∠=︒．∵OD 是⊙O 的半径，⊙O 与BC 相切于点D ，∴OD BC ⊥．∴90ODC OD DC ∠=︒=，．∵4AB =，∴由切线长定理得：4BD AB ==，由勾股定理得：BC =．∴ 4OD DC ==−．∴⊙O的半径是4．【小问2详解】证明：连接AD ，交OB 于点H ，如图．∵AE 是⊙O 的直径，∴90ADE ∠=︒．∵AB BC ，与⊙O 分别相切于点A ，D ，∴BD AB ABO DBO =∠=∠，．∴OB AD ⊥．∴90AHO ∠=︒．∴AHO ADE ∠=∠．∴OB EF ∥．∵BF AC ∥，∴ 四边形BFEO 是平行四边形．【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．25.【答案】（1）()0,70A ，()40,30P ；（2）21370162y x x =−++； （3）18m【解析】【分析】（1）70m OA =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ，即可得到点A 、P 的坐标； （2）用待定系数法求解即可；（3）由60m OC =，先求出直线BC 的表达式，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ，用含未知数m 的式子表示MN ，再根据二次函数的性质进行判断即可．小问1详解】 解：70m OA =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ， ()0,70A ∴，()40,30P ；【小问2详解】 解：把()0,70A ，()40,30P 代入2116y x bx c =−++【得，270130404016c b c =⎧⎪⎨=−⨯++⎪⎩， 解得，3270b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，21370162y x x ∴=−++； 【小问3详解】解：60m OC =，∴设直线BC 的表达式为()600y kx k =+≠， 把()40,30P 代入，得304060k =+， 解得，34k =−， 3604y x ∴=−+，设213,70162M m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭到BC 竖直方向上的距离最大，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ， ∴3,604N m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， 213370601624MN m m m ⎛⎫∴=−++−−+ ⎪⎝⎭21910164m m =−++()22213618181016m m =−−+−+()21811810164m =−−++()2112118164m =−−+()2118016m −−≤， ∴当18m =时，MN 最大，即水平距离为18m 时，运动员与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．26.【答案】（1）34（2）231y y y <<【解析】【分析】（1）由320a b c ++=，0c ，可得320a b +=，根据对称轴为直线2b x a=−即可求解； （2）根据320a b c ++=，求得对称轴2b x t a ==−的范围，再将点()12,y −根据对称性转化到对称轴右侧，再根据0a c 得抛物线开口向上，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【小问1详解】当0c 时，得320a b +=， 32b a ∴=−， 332224a b t a a −∴=−==； 【小问2详解】320a b c ++=， 32a c b +∴=−， 333222444a cb ac c t a a a a +−+∴=−=−==+， 0a c >>， 1044c a ∴<<， 314t ∴<<， 点()12,y −关于直线x t =的对称点的坐标是()122,t y +，72242t ∴<+<． 1322t ∴<<+．0a >，∴当x t >时，y 随x 的增大而增大．231y y y ∴<<．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．27.【答案】（1）画图和证明见解析；（2）135°（3）CP =，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS 证明BCP ACQ ≌即可证明AQ BP =； （2）连接QP ，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到45CQP CPQ ∠=∠=︒．再证明APQ CPB ∠=∠．由全等三角形的性质得到CQA CPB ∠=∠．则可以推出45APQ PQA ∠+∠=︒，利用三角形内角和定理即可得到180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；（3）如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．证明ANK BNP ≌．得到KAN PBN ∠=∠，AK BP =，则AK BP ∥．进一步证明135KAP ∠=︒．得到KAP QAP ∠=∠．由此证明KAP QAP ≌，得到KP QP =．在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，则KP QP ==，即可证明CP =．【小问1详解】补全图形，如图所示．证明：∵ 线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，∴90CP CQ PCQ =∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴BCP ACQ ∠=∠，∵AC BC =，∴()SAS BCP ACQ ≌∴AQ BP =；【小问2详解】解：连接QP ，如图所示．由（1）可得PCQ △是等腰直角三角形，∴45CQP CPQ ∠=∠=︒．∴45CQA PQA ∠∠=︒＋．∵45APB ∠=︒，∴APQ CPB ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得CQA CPB ∠=∠．∴45APQ PQA ∠+∠=︒．∴180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；【小问3详解】解；CP =，理由如下：如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．∵N 为线段AB 的中点，∴AN BN =．∵ANK BNP ∠=∠，∴()SAS ANK BNP ≌．∴KAN PBN ∠=∠，AK BP =．∴AK BP ∥，AK AQ =．∴180KAP APB ∠+∠=︒．∵45APB ∠=︒，∴135KAP ∠=︒．∵135QAP ∠=︒，∴KAP QAP ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得AQ BP =，∴AK AQ =，∵AP AP =，∴()SAS KAP QAP ≌．∴KP QP =．∵在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，∴KP QP ==．∵2KP NP =，∴CP =．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28.【答案】（1）D ，F ；（2）①2−−t ≤≤2−+52−k ≤≤12或3k ≤≤3+ 【解析】【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案；（2）①由双对合定义可知随着直径GH 的端点G ，H 在K 上运动，点1A 在以点A 为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A ），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围．【小问1详解】 由双对合定义可知：12MN PQ MN PQ =，， ()1,2−−A ，()5,2B −，6AB AB x ∴=，轴，()4,0D −，()6,0F ，46OD OF OD AB OF AB ∴==，，，，∴O 关于线段AB 的双对合点是D ，F ；故答案为D ，F ；【小问2详解】①设GH 是K 上任意一条直径，则1GH =．设点1A 是与点A 关于K 双对合的点，将点A 和点1A 分别关于点G ，H 对称后重合的点记为2A ，所以点G ，H 分别是2AA 和12A A 的中点．由三角形中位线的知识，可知1AA 22GH ==．随着点G ，H 在K 上运动，点1A 在以点A 为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A ），将它记为S ．因为点A 与点()0T t ，关于K 双对合，所以当S 与y 轴相交时，可求得t 的值为2−−2−+所以t 的取值范围是2−t ≤≤2−②当ABC 上的一点在AC 上时，如图，则K 上离AC 最近的点到AC 的距离为：1112k ⎛⎫−−+≤ ⎪⎝⎭时存在，解得5122k −≤≤；当ABC 上的一点在BC 上时，则K 上的点离BC 最近的点到BC 的距离不大于1， 即K 到BC 的距离不大于32， AC AB 6==，B C 45∠∠∴==︒，即BC 与x 轴的的夹角为45°，∴交点()30M ，，这时MK ≤，即33k ≤≤；当ABC 上的一点在BC 上时，则K 上的点离AB 最近的点到AB 的距离大于1，不存在；综上所述：52−k ≤≤12或3k ≤≤3+【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键．。
2022-2023学年北京市西城区数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-2．二次函数y ＝x 2+（t ﹣1）x +2t ﹣1的对称轴是y 轴，则t 的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．23．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）形状如图，下列结论：①b ＞0；②a ﹣b+c ＝0；③当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0；④一元二次方程ax 2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值是（ ）A ．45B ．35C ．43D ．345．点(,)P x y 在二次函数y ＝x 2+3x ﹣5的图像上，x 与y 对应值如下表：A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.36．若3a ＝5b ，则a ：b ＝（ ）A ．6：5B ．5：3C ．5：8D ．8：5 7．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()5,0A -，对称轴为直线2x =-，给出四个结论：①0abc >； ②40a b +=；③若点()13,B y 、()24,C y -为函数图象上的两点，则12y y >；④关于x 的方程220ax bx c +++=一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．平面直角坐标系内点()1,1P 关于点()1,0Q -的对称点坐标是（ ）A ．(-2, -1)B ．(-3, -1)C ．(-1, -2)D ．(-1, -3)9．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠1）如图所示，下列结论：①abc ＜1；②点（﹣3，y 1），（1，y 2）都在抛物线上，则有y 1＞y 2；③b 2＞（a +c ）2；④2a ﹣b ＜1．正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．若△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的面积比是94，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．3211．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=50°，则∠A 的度数为（ ）A ．80ºB ．60ºC ．40ºD ．50º12．一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1到6的点数．下列事件中，是不可能事件的是（ ）A ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5B ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5C ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6D ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为_________．14．二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是___________________________．15．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 上一点，CD ＝2，过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ，则DP ＝________．16．已知0456c b a ==≠，则b c a+的值为_______． 17．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x 棵树苗，则可列出方程__________．18．方程24x =的根是__________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()()2,0,4,0A B -，直线24y x =-与y 轴交于点,D 与y 轴左侧抛物线交于点C ，直线BD 与y 轴右侧抛物线交于点E .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上方抛物线上一动点，求PAC 面积的最大值；(3)点M 是抛物线上一动点，点N 是抛物线对称轴上一动点，请直接写出以点,,,M N C E 为顶点的四边形是平行四边形时点M 的坐标.20．（8分）如图，已知ABC ∆，直线PQ 垂直平分AC 交AC 于D ，与边AB 交于E ，连接CE ，过点C 作CF 平行于BA 交PQ 于点F ，连AF .（1）求证：AED CFD ∆≅∆；（2）求证：四边形AECF 是菱形；（3）若3,5AD AE ==，求菱形AECF 的面积.21．（8分）如图，若111A B C 是由ABC 平移后得到的，且ABC 中任意一点P(x,y)经过平移后的对应点为P (x 5,y 2)-+(1)求点小111A,B,C的坐标．(2)求111A B C的面积．22．（10分）为响应市政府关于“垃圾不落地⋅市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A：非常了解；B：比较了解；C：了解较少；D：不了解.”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题；()1求m=______，并补全条形统计图；()2若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有______名；()3已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．23．（10182=_________。
西城区九上期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列选项中，不是二次函数的是（）A. y = x^2 - 3x + 2B. y = 2x^2 + 5C. y = x^2 + 3x - 4D. y = 3x + 42. 已知一次函数y = kx + b，若k > 0，则函数图像（）A. 经过一、二、四象限B. 经过一、二、三象限C. 经过一、三、四象限D. 经过一、二、三、四象限3. 若实数a、b满足a^2 + b^2 = 1，则a + b的取值范围是（）A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [-√2, √2]D. [-2, 2]4. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）5. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x - 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = 3x^26. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两根，则a + b的值是（）A. 2B. 4C. 6D. 87. 下列选项中，能表示圆的方程是（）A. x^2 + y^2 = 9B. x^2 - y^2 = 4C. x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0D. x^2 - 2x + y^2 = 18. 若一个正方形的边长为a，则其对角线长是（）A. √2aB. 2√2aC. √3aD. 3√2a9. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2C. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^210. 已知函数y = 2x - 3，若x的取值范围是[1, 3]，则y的取值范围是（）A. [-2, 3]B. [-5, 3]C. [-2, 5]D. [-5, 2]二、填空题（每题5分，共50分）11. 若实数x满足不等式2x - 3 > 0，则x的取值范围是__________。