均值不等式1

∵ a,b, c 为非负实数， ∴ ab a b ， bc b c ， ca c
2
2
2
三式相加得： ab bc ca 2(a b c) 1， 2
∴ ab bc ca 1 成立， ∴ a b c 3 ．
5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的 距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成 正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小， 仓库应建在离车站( C )
3.设a>0,b>0,a+b=4,则有________.
A. 1 ab
1 2
B. 1 1 1 ab
C. ab 2
11
D.
a2 b2 4
小结：
１.均值不等式的记忆，以及变形公式的 掌握．
２．注意公式应用的条件．
（１）求最值时一定要能够取到 “＝”．
（２）在用公式证明不等式成立时，不 一定要取到“＝”．
一 要点归纳: 1.基本不等式:
设a,b∈R则⑴a2≥0;(2) a2+b2≥2ab(a，b∈R)；
2.均值不等式
a b 2 ab (a，b>0)
当且仅当a＝b时取等号 即左边等于右边
3.灵活变式
当且仅当
a＝b时
取等号
a 2 b 2 a b ab 2
2
2
11
ab
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均 （a、b为正数)
４
4x-5
３.若x＞０，y＞０,且１＋9 =1,求x+y的最小值． xy
例2.设函数y x2 c 1 (c为常数）的最小值为m. x2 c
求证：（1）当c 1时，m=2
(2)当c＞１时，m= c(1 1) c
ex :１．见书P92 ２.sin2x • (2
cos2
9
x)的最大值为＿4＿．
3. b a 2(ab 0时）b a 2(ab 0时）
ab
ab
4 2 ex:函数y x2 8（1 x 4)的最小值是_______, x 最大值是___1___.
ex．下列函数中，最小值为4 的是(
)
(A) y x 4
x (B) y sinx
4
0 x
sinx
(C)y 4e x e-x
Ex:1.“a＞0且b＞0”是“a b 2
ab
”成立的(A
)
(A)充分而非必要条件
(B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( A)
但还是要优先考 虑用均值不等式
(D)y log3 x log x 30 x 1
特别提醒:
利用均值不等式求最值时,若等号取不到, 则就不 能用均值不等式了,而要用勾形函数的单调性求 得.
例.
1.设a 0,b 0,a2 b2 1,则a 1 b2的最大值是 ______ . 2
2.已知x＜ 5 ，求函数y=4x＋ 1 的最大值．
(A)5公里
(B)4公里
(C)3公里
(D)2公里
返回
4.已知lgx+lgy＝1， 5 2的最小值是____2__. xy
Ex: “a＞0且b＞0”是“a b ab ”成立的
(
)
2
(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 2 p；
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 1 s2 . 4
!!主要用途
5..在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数， 和有最小值”这两个结论时，应把握三点：
“一正、二定、三相等、四最值”. 当条件不完全具备时，应创造条件.
注意:几个常用的公式:
1.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
2.当k 0时，x k 2 （ k x 0) x
x k 2 （ k x 0) x
∴ a1 b1 2
2
2
（3）——分析法
2．若 a b c 1，且 a,b, c 为非负实数，
求证： a b c 3
证明：要证 a b c 3 ，
只需证明 ( a b c )2 3 ，
展开得： a b cБайду номын сангаас 2( ab bc ca ) 3 ，
又∵ a b c 1， ∴即证 ab bc ca 1 ，
(A)甲车先到达B地
(B)乙车先到达B地
(C)同时到达
(D)不能判定
不等式证明（1）——比较法
（2）——综合法
例 2．若 a b 1, 求证： a 1 b 1 2
2
2
证：由均值不等式知：
1( a 1 b 1)
2
2
2
(a 1 ) (b 1 )
2
2
2
(a b 1) 2
2 1． 2