均值不等式

均值不等式
定义
Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

其中：
1、调和平均数：
2、几何平均数：
3、算术平均数：
4、平方平均数（均方根）：
一般形式
设函数（当r不等于0时）；
（当r=0时）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。

特例
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当n=2时，上式即：
当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。

记忆
调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

均值不等式的
变形
(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
证明
均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1＋a2＋…＋an)／n)^n≥a1a2…an。

当n＝2时易证；
假设当n＝k时命题成立，即
((a1＋a2＋…＋ak)／k)^k≥a1a2…ak。

那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，…，a(k＋1)中最大者，则
ka(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。

设s＝a1＋a2＋…＋ak，
{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)
＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)
≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理
＝(s／k)^k*a(k＋1)
≥a1a2…a(k＋1)。

用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1 /n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
均值不等式的应用
例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x
例二长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p
周长最小值为4√p
例三长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16。