理论力学静力学-重心
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第6章 静力学专题
yC
A
ydA A
2 πR2
0R2
y
R2 y2 dy
yC
4R 3π
工程力学（静力学与材料力学）
7
例题 试计算图示环形图形形心C的纵坐标yC。
解：
环形图形大半圆图形小半圆图形
yC
Ao
πRo2 2
,
πRo2 2
4Ro 3π
yC Ao
yCo
4 Ro 3π
πRi2 4Ri
2 3π
yCo Ai yCi
第六章 静力学专题
§1 重 心 §2 形Байду номын сангаас心 §3 桁 架
工程力学（静力学与材料力学）
1
§1 重 心
重心概念
物体各部分所受地心引力，组成一空间平行力系，其 合力即重力，其作用线即重力作用线。
相对地球处于不同方位的同一物体，相应各重力作 用线的汇交点，称为重心。
对于物体的平衡与运动，重心的位置具有重要作用。
以桁架整体为研究对象,确定支座反力;截取多个节点为
研究对象,用平面力系平衡方程求解;设正法画杆件内力。
工程力学（静力学与材料力学）
12
本章结束
工程力学（静力学与材料力学）
13
解：
rz
z h
r
dV
πrz2dz
π
r2 h2
z
2dz
zC
V V
zdV dV
h
0
z3dz
h
0
z
2dz
h4 4
3 h3
3h 4
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 形 心
平面图形的形心
对于几何形体，由匀质物体重心公式 计算所得几何对应点，称为形心。
工程力学-静力学专题-桁架·重心
三、组合图形的静矩和形心
静矩
S x S xi Ai yi S y S yi Ai xi
形心
x S y Ai xi
A
Ai
y Sx Ai yi
A
Ai
c x
四、半圆形截面的形心:
y
R
o
x
x0
y Sx 4R A 3
五、极惯性矩·惯性矩·惯性积
y
I x
y 2dA
A
材料确定时，提高梁承载能力的主要途径：
☻提高截面的弯曲截面系数；
☻降低梁的最大弯矩。
1、选择合理截面
2、合理布置载荷及支座
十四、组合变形的概念
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基 本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形） 属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形。
❖组合变形的分析方法
线弹性小变形范围内，采用叠加原理
1、横向力与轴向力共同作用
F2
z
x F1
强度条件
l
y
t max
FN A
M z max Wz
t
c max
FN A
- M z max Wz
c
2、偏心拉伸（压缩） 受力特点：外力作用线平行（但不重合）于杆轴。
F Mez
z
F e (yF,zF)
y Mey
强度条件
t max
FN A
My Wy
这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可
由下式求出。
xC
Pi xi Pi
,
yC
Pi yi Pi
,
zC
Pi zi Pi
2、负面积法
若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物
第06章 静力学专题-桁架、重心
yili li
yi L
li
zC
zili li
zi li
L
极限为：
xdl
ydl
xC
C
L
,
yC
C
L
,
zdl
zC
C
L
z
O x
Pi zi
yi yC
C
P zC
xi
xC y
本章小结
1. 了解桁架的构成、结构特点以及桁架杆件内力的求解 方法;
§6.1 桁架 基本三角形 三个铰链为节点连接的三根杆构成的三角形 平面简单桁架
平面简单桁架节点和杆件数的关系 桁架节点数为n，杆件数为m，则 m-3=2(n-3) 即 m=2n-3 或 m+3=2n
§6.1 桁架 无冗杆桁架 从桁架中抽出任何一根杆，原有的几何形状不能保持， 没有多余杆件的桁架 有冗杆桁架 从桁架中抽出一根杆或几根杆件，原有的几何形状能 保持，桁架有多余杆件
S
xdS
ydS
xC
S
S
,
yC
S
S
,
zdS
zC
S
S
z ds
Pi
C
zi
PzC
O
yi
xi
xC y
x
yC
§6.3 重心
如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与 其长度 L 相比是很小的，则重心公式为
xC
xili li
xi li
L
yC
(3)、节点连接三根杆，其中两根共线，并且在此节 点上无外载荷，则第三根杆件为零杆
理论力学-空间力系与重心
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
理论力学（静力学）总结
理论力学（静力学）总结静力学——主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件;同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法等。
运动学——只从几何的角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度等)，而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学——研究受力物体的运动与作用力之间的关系。
所谓刚体是指这样的物体，在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。
公理1 力的平行四边形规则公理2 二力平衡条件公理3 加减平衡力系原理推理1 力的可传性推理2 三力平衡汇交定理公理4 作用和反作用定律公理5 刚化原理约束反力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反1．具有光滑接触表面的约束F N作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向受力物体2．由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束拉力F T 方向沿着绳索背离物体3．光滑铰链约束(1)向心轴承(2) 圆柱铰链和固定铰链支座4．其它约束(1)滚动支座(2)球铰链一个空间力(3)止推轴承物体的受力分析受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向平面汇交力系几何法解析法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零力对刚体的转动效应可用力对点的矩(简称力矩)来度量力F 对于点O的矩以记号Mo(F )表示Mo(F )=±F h 力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。
力对点之矩是一个代数量r表示由点O到A的矢径矢积的模r F 就等于力F对点0的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。
合力矩定理这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶力偶只对物体的转动效应，可用力偶矩来度量力偶矩 M(F，F') 力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关M=±F d 代数量一般以逆时针转向为正，反之则为负。
同平面内力偶的等效定理推论(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
静力学第06章桁架、摩擦、重心
结论与讨论
桁架的坚固性
在平面桁架中，不难建立关于节点数 和杆件数与保持坚固性之间的关系：
m2j-3
m － 杆件数
j － 节点数
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
j=3, m=23-3=3
j=8, m=28-3=13
m2j-3
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
m = 2 j - 3 － 无冗余杆件 m < 2 j - 3 － 几何可变
二力杆—组成桁架的基本 构件。
力
学 中
基本假定：
的 1. 所有杆件只在端部连接；
桁 2. 所有连接处均为光滑铰链；
架 3. 只在连接处加载；
模 4. 杆的重量忽略不计。
型
桁架分类
平面桁架
平面结构，
载荷作用在结构 平面内；
对称结构， 载荷作用在对称 面内。
桁架分类
空间桁架
结构是空间的， 载荷是任意的；
G G1tgf
f
tg
G
tg(
m
)
平衡范围应是
Qmin QQmax
49
[例2] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩
擦系数f =0.5, 求 多大时，梯子能处于平衡？
解：考虑到梯子在临界平衡状 态有下滑趋势，做 受力图。
50
由 X 0, NB FA0(1)
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小： F' f 'N
（无平衡范围）
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反
定律： F' f 'N （f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
理论力学复习总结(重点知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
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2
二、重心坐标公式：
如果把物体的重力都看成为 平行力系，则求重心问题就
是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
P xC P i xi
xC
Px i
P
, ,
物体分割的越多，每一小部分体积越小，
yC zC
Py i
P
求得的重心位置就越准确。在极限情况下，
(n- )，常用积分法求物体的重心位置。
平行力系的中心
物体的重心
一、空间平行力系的中心、物体的重心 空间平行力系，当它有合 力时，合力的作用点C 就是此 空间平行力系的中心。而物体 重心问题可以看成是空间平行 力系中心的一个特例。
1、平行力系的中心
由合力矩定理：
m O ( R ) m O ( Fi )
rC R r1 F1 r2 F 2 rn F n
xC
V x dV
V
,yC
V y dV
V
,zC
V z dV
V
同理对于薄平面和细长杆均可写出源自应的公式。4根据平行力系中心位置与各平
行力系的方向无关的性质，将力 线转成与y轴平行，再应用合力矩 定理对x 轴取矩得：
Pz C Pi z i , z C
Pi z i
2负面积法
3 实验法：
<1>悬挂法 <2>称重法
由m B (F )0
- P称 l1 P x C 0
xC
P称 l 1 P
简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
15
例：图示机床重50kN，当水平放置时（）称上读 数为35kN；当时称上读数为30kN，试确定机床 重心的位置。
1
令 R R P0 , F1 F1 P0
R rC F1 r1 F 2 r2 F n rn
rC
F1 r1 F 2 r2 F n rn R
F i ri Fi
投影式:
xC
Fi xi
R
, yC
Fi yi
R
, zC
Fi zi
T
67 . 66 - 46 . 98 x c 17 . 1 y c 0
x c 1 . 68 m, y c 0 . 659 m
• 解得：
三、重心的求法： 已知：
S 1 80cm
2
①组合法
1 , S2 π R 2
2
, y 1 4 cm , y 2 ( 8
4R )cm 2π
求：该组合体的重心？ 解：
由 yC
A y
i
i
A S 1 y1 S 2 y 2 S1 S 2 6 . 4 cm
11
立体 : x C
Vi xi
V
,yC
Vi yi
V
,zC
Vi zi
V
平板 : x C
Ai x i
A
,yC
Ai y i
A
,zC
Ai z i
A
细杆 : x C
li x i
l
,yC
li y i
l
,zC
li z i
•
解：以机床为研究对象。设机床的形心
C ( xc , yc )
• 坐标为
，列平衡方程
mB 0
FT 2 . 4 cos - G cos x c G sin y c 0
• 将 0和 20及 F 其的值代入上式， • 得关于 x c , y c 的代数方程 84 - 50 x c 0 •
Pz i
P
3
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：
Pi i V i
xC
xdV V
P
, yC
ydV V
P
, zC
zdV V
P
式中
P dV
V
，上式为重心C 坐标的精确公式。
对于均质物体， =恒量，上式成为：
l
6
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL R d
xC L
2 - R cos d
x Rcos
L x dL
O
2 R
R sin
xC
P
综合上述得重心坐标公式为：
xC
Pi xi
P
, yC
Pi yi
P
, zC
Pi z i
P
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
xC
mi xi
M
, yC
mi yi
M
, zC
mi zi
M
5
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心） 坐标分别为：