理论力学静力学-重心

2负面积法
3 实验法：
<1>悬挂法 <2>称重法
由m B (F )0
- P称 l1 P x C 0
xC
P称 l 1 P
简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
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例：图示机床重50kN，当水平放置时（）称上读 数为35kN；当时称上读数为30kN，试确定机床 重心的位置。
平行力系的中心
物体的重心
一、空间平行力系的中心、物体的重心 空间平行力系，当它有合 力时，合力的作用点C 就是此 空间平行力系的中心。而物体 重心问题可以看成是空间平行 力系中心的一个特例。
1、平行力系的中心
由合力矩定理：
m O ( R ) m O ( Fi )
rC R r1 F1 r2 F 2 rn F n
•
解：以机床为研究对象。设机床的形心
C ( xc , yc )
• 坐标为
，列平衡方程
mB 0
FT 2 . 4 cos - G cos x c G sin y c 0
• 将 0和 20及 F 其的值代入上式， • 得关于 x c , y c 的代数方程 84 - 50 x c 0 •
1
令 R R P0 , F1 F1 P0
R rC F1 r1 F 2 r2 F n rn
rC
F1 r1 F 2 r2 F n rn R
F i ri Fi
投影式:
xC
Fi xi
R
, yC
Fi yi
R
, zC
Fi zi
P
综合上述得重心坐标公式为：
xC
Pi xi
P
, yC
Pi yi
P
, zC
Pi z i
P
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
xC
mi xi
M
, yC
mi yi
M
, zC
mi zi
M
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同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心） 坐标分别为：

T
67 . 66 - 46 . 98 x c 17 . 1 y c 0
x c 1 . 68 m, y c 0 . 659 m
• 解得：
R
2
二、重心坐标公式：
如果把物体的重力都看成为 平行力系，则求重心问题就
是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
P xC P i xi
xC
Px i
P
, ,
物体分割的越多，每一小部分体积越小，
yC zC
Py i
P
求得的重心位置就越准确。在极限情况下，
(n- )，常用积分法求物体的重心位置。

三、重心的求法： 已知：
S 1 80cm
2
①组合法
1 , S2 π R 2
2
, y 1 4 cm , y 2 ( 8
4R )cm 2π
求：该组合体的重心？ 解：
由 yC
A y
i
iBiblioteka Baidu
A S 1 y1 S 2 y 2 S1 S 2 6 . 4 cm
11
l
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下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL R d
xC L
2 - R cos d
x Rcos
L x dL

O

2 R
R sin
xC
Pz i
P
3
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：
Pi i V i
xC
xdV V
P
, yC
ydV V
P
, zC
zdV V
P
式中
P dV
V
，上式为重心C 坐标的精确公式。
对于均质物体， =恒量，上式成为：
xC
V x dV
V
,yC
V y dV
V
,zC
V z dV
V
同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。
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根据平行力系中心位置与各平
行力系的方向无关的性质，将力 线转成与y轴平行，再应用合力矩 定理对x 轴取矩得：
Pz C Pi z i , z C
Pi z i
立体 : x C
Vi xi
V
,yC
Vi yi
V
,zC
Vi zi
V
平板 : x C
Ai x i
A
,yC
Ai y i
A
,zC
Ai z i
A
细杆 : x C
li x i
l
,yC
li y i
l
,zC
li z i