2020-2021学年上海宝山区初三(上)中考一模数学试卷(pdf版,含答案)
2020学年宝山区第一学期期末考试九年级数学试卷
一、选择题
1. 如果C 是线段AB 延长线上一点，且AC :BC =3:1，那么AB :BC 等于（ ） A . 2:1 B . 1:2 C . 4:1 D . 1:4
2. 在Rt ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，那么sinA 的值为（ ）
A
.
53
B .
4
3
C .
54 D . 3
4
3. 如图，AB //DE ，BC //DF ，已知AF :FB =m :n ，=BC a ，那么CE 等于（ ）
A . n am
B . m an
C . +m n am
D . +m n
an
4. 已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ） A . =AM BM
B . =
AM AB 2
1
C . =
BM AB 2
1
D . +=AM BM 0
5. 将抛物线=y x 2
先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表
达式为（ ） A . =−−y x 122
() B . =+−y x 122
() C . =−+y x 122()
D . =++y x 122
()
6. 如图所示是二次函数=++≠y ax bx c a 02
()图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ） A . <ac 0
B . 抛物线的对称轴为直线=x 1
C . −+=a b c 0
D . 点−y 2,1()和y 2,2()在抛物线上，则>y y 12
二、填空题
7. 如果=x y 23，那么
=+y
x y
____________ 学习是件很有意思的事
8. 已知线段2a =厘米，c =8厘米，那么线段a 和c 的比例中项b 的长度为____________厘米 9. 如果线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较短的线段AP =____________ 10. 计算：()()
32a b a b −−+=____________ 11. 已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为
3
5
，那么其周长为____________ 12. 某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为()0x x >，九月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式为____________（不要求写定义域） 13. 如果抛物线()2
1y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标为第二象限，那么它的开口方向____________
14. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降，试写出一个符号要求的抛物线的表达式：____________ 15. 如图，已知ABC 中，EF //AB ，1
2
AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为____________
16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC ，∠C =90°，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果AF =4，GB =9，那么正方形铁皮的边长为____________
17. 如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为_______米
18. 在Rt ABC 中，∠ACB =90°，AC=B C ,点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP =____________
三、解答题
19. 计算：21cos 45cot 30sin 60tan 30−︒
︒+︒⋅︒
20. 如图，已知ABC 中，DE //BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，,BD a BC b ==. （1）试用向量,a b 表示向量BE ； （2）求作向量
()
2
33
a b −（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
21. 已知二次函数()2
0y ax ax a =−≠的图像经过点()1,2−. （1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2
1
32
y x x =++
? 如果能，请说明怎样平移；如果不能，请说明理由.
22. 如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线 于点F .
（1）求证：2
AB DE BF =⋅；
（2）如果OE =1，EF =2，求
CF
BF
的值.
23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量
数据如下表：
课题测量教学大楼（AB）的高度
测量工具测量角度的仪器，皮尺等
测量小组第一组第二组第三组
测量方案
示意图
说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居
民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向
测量数据从点C处测得A点的仰角
为37°，从点D处测得A点
的仰角为45°，CD=12米从点G处测得A点的
仰角为37°，测得点B
的俯角为45°
EF=9米，从点P处测得A
点的仰角为37°，从点F处
测得A点的仰角为45°
（1）根据测量方案和所得数据，第______小组的数据无法算出大楼高度? （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度.
参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75
︒≈︒≈︒≈
24. 已知抛物线()
20
y ax bx a
=+≠经过()()
4,0,1,3
A B−两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点
D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD.
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点E在线段BC上，当∠CED=∠OBD时，求点E的坐标；
（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积.
25. 如图，已知中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在边AB上，∠DCE=45°，过点A作AB的垂线
交CE的延长线于点M，联结MD.
（1）求证：2
CE BE DE
=⋅；
（2）当AC=3，AD=2BD时，求DE的长；
（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设
BD
x
BC
=，tan FMD y
∠=，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.
ABC
参考答案
一、选择题
1. A
2. A
3. D
4. B
5. C
6. B
二、填空题 7.
52
8. 4 9. 35− 10. 54a b − 11. 26 12.()2
101y x =+ 13. 向上 14. 2
y x =− 15. 45 16. 6 17. 15 18. √2-1
三、解答题 19. 原式=
231
11
− 20.（1）23
BE a b =+ （2）作图略
21.（1）解析式2
1124y x ⎛⎫=−− ⎪⎝
⎭，顶点坐标为11,24⎛⎫
− ⎪⎝⎭
（2）能，可由原抛物线向左平移2个单位，向下平移3
2
个单位 22.（1）证明略 （2）
33
3
− 23.（1）二 （2）36米
24.（1）2312
55
y x x =
−， （2）（1,1） （3）
1445或485
25.（1）证明略 （2）
524
（3）21202y x x ⎛⎫
=−<< ⎪ ⎪⎝⎭
百人驳相对论(信念)
爱因斯坦的“相对论”发表以后，有人曾创造了一本《百人驳相对论》，网罗了一批所谓名流对这一理论进行声势浩大的反驳。
可是爱因斯坦自信自己的理论必然会取得胜利，对反驳不屑一顾，他说：“如果我的理论是错的，一个反驳就够了，一百个零加起来还是零。
”
他坚定了必胜的信念，坚持研究，终于使“相对论”成为２０世纪的伟大理论，为世人瞩目。
自信，是建筑在对前途充满必胜心理基础之上的优秀心理素质。
没有自信，就没有成功。
爱因斯坦获得了巨大成功，与他对自己理论的坚信程度是分不开的。
。
【2022年上海市初中一模数学卷】2022年上海市宝山区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案
2021学年第一学期期末考试九年级数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 如果32=b a ，且b 是a 和c 的比例中项，那么cb 等于（ ） （A ）43； （B ）34； （C ）23； （D ）32.2. 在比例尺为1:5000的地图上，如果A 、B 两地间的距离是10厘米，那么这两地的实际 距离是（ ）（A ）50000米； （B ）5000米； （C ）500米； （D ）50米.3. 已知c 为非零向量，c a 2=，c b3−=，那么下列结论中，不．正确的是（ ） （A ）|b ||a |32=；（B ）32a b =−；（C ）023=+b a ； （D ）b a ∥.4. 如图，已知Rt △ABC ，CD 是斜边AB 边上的高，那么下列 结论正确的是（ ）（A ）B AB CD tan ⋅=； （B ）A AD CD cot ⋅=； （C ）B AC CD sin ⋅=； （D ）A BC CD cos ⋅=.5. 把抛物线()312+−=x y 向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） （A ）()512+−=x y ； （B ）()112+−=x y ； （C ）()312++=x y ； （D ）()332+−=x y . 6. 下列格点三角形中，与右侧已知格点△ABC 相似的是 （ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）（第4题）二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 已知点B 在线段AC 上，AB =2BC ，那么AC ∶AB 的比值是 . 8. 如果y y x −的值是黄金分割数，那么yx的值为 . 9. 计算：°+°45cos 30sin 22= .10. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果43=BCAC ，那么A sin 的值是 .11. 已知二次函数1312−+=x x y ，当3−=x 时，函数y 的值是 . 12. 据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y 万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x （x >0），那么y 关于x 的函数解析式为 .13. 如果抛物线122−++=m x x y 的顶点在x 轴上，那么m 的值是 .14. 已知△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点F . 如果AF =10，那么AD 的长为 . 15. 如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD 为3米，路基高为1米，斜坡AB 的坡度i =1:1.5，那么路基的下底宽BC 是 米.16. 如图，已知一张三角形纸片ABC ，AB =5，BC =2，AC =4，点M 在AC 边上. 如果过点M剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM=x ，那么x 的取值范围是 .17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 在CD 边上，联结AP . 如果将△ADP 沿 直线AP 翻折，点D 恰好落在线段BC 上，那么ABCPADPS S 四边形△的值为 .18. 如果一条抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”. 已知()02>+=b bx x y 的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为 .（第16题）（第15题）（第17题）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6.（1）求tan B 的值；（2）延长BC 至点D ，联结AD ，如果∠ADB =30°，求CD 的长.20. （本题满分10分）如图，已知在四边形ABCD 中，F 是边AD 上一点，AF =2DF ，BF 交AC 于点E ， 又14AF BC = ．（1）设AB a = ，AD b =，用向量a 、b 表示向量BF = ，AC =；（2）如果∠ABC =90°，AD =3，AB =4，求BE 的长.21. （本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图像的顶点为A ()21,−，且经过B ()03,−. （1）求二次函数的解析式；（2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标.如图，小杰在湖边高出水面MN 约10米的平台A 处发现一架无人机停留在湖面上空的点P 处，该无人机在湖中的倒影为点'P .小杰测得点P 的仰角为45°，点'P 的俯角为60°，试求该无人机离开湖面的高度.（结果保留根号）23.（本题满分12分）如图，已知△ABC 和△DCE 都是等边三角形，点B 、C 、E 在同一直线上，联结BD 交AC 边于点F .（1）如果∠ABD =∠CAD ，求证：DB DF BF ⋅=2； （2）如果FC AF 2=，18=ABCD S 四边形，求DCE S △的值.24.（本题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02≠++=a c bx ax y 经过点A （1−，0）、B （3，0）、C （0，3），顶点为点D . （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结BD 、CD ，试判断△BCD 与△AOC 是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点P ，使得∠P AC =45°.如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.MN P如图，已知正方形ABCD ，将边AD 绕点A 逆时针方向旋转°n （900<<n ）到AP 的位置，分别过点C 、D 作CE ⊥BP ，DF ⊥BP ，垂足分别为点E 、F . （1）求证：CE =EF ；（2）联结CF ，如果31=CF DP ，求∠ABP 的正切值；（3）联结AF ，如果AB AF 22=，求n 的值.DABECPF参考答案一、选择题：（大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6. A ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.23； 8. 215+； 9. 43 ； 10. 54； 11. ﹣1 ； 12. 2)1(100x y +=； 13. 2； 14. 15； 15. 6； 16. 43＜x ≤； 17. 135； 18. 2. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分） 解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ……………………………………1分∵AB=AC ，∴BH=21BC=3 ……………………………………1分 Rt △ABH 中，由勾股定理得AH=4 ……………………………1分 ∴tan B=34=BH AH …………………………………………………2分 （2）Rt △AHD 中，∵∠D =30°，∴tan D=33=HD AH . …………………1分 ∴HD=34…………………………………………………………2分∴CD=HD －HC=334−……………………………………………2分20. （本题满分10分） 解：（1）b a32+−；b a38+. …………………………………………………4分（2）∵AD=3，AF=2DF ，∴AF=2. …………………………………………1分∵AF =，∴AD //BC ，41=BC AF ……………………………………2分∴41==BC AF BE EF ,∠DAB=∠ABC=90° ………………………………………1分 Rt △ABF 中，由勾股定理得52=BF ………………………………………1分 ∴558525454=×==BF BE………………………………………………1分 21.（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）由顶点A （﹣1,2）设二次函数的解析式为2)1(2++=x a y…………2分∵二次函数图形经过点B （﹣3,0），∴02)13(2=++−a ，∴21−=a…………2分 ∴二次函数解析式为2)1(212++−=x y . ………………………………………1分 （2）∵B （﹣3,0）向右平移3个单位到达坐标原点，∴二次函数的图像向右平移3个单位后所得到的函数图像经过原点. ………………………………………………3分 平移后所得图像与x 的轴另一个交点坐标是（4,0）. ……………………………………2分 22.（本题满分10分）解：联结'PP ，与MN 交于点H ，过点A 作AG //MN ，交'PP 于点G …………1分 由题意得，'PP ⊥MN ，∠AGP =90°，∠AMN=90°，PH=H P '. AG=MH ，AM=GH=10m ，∠P AG=45°，∠AG P '=60°…………2分 设PG=x ，Rt △APG 中，∠P AG=45°，∴AG=PG=x .…………………2分 Rt △G AP '中，∠AG P '=60°，∴G P '=x 3.……………2分 ∵GH PH GH G P +=−'，∴10103+=−x x ，∴10310+=x .……………………………………………………2分 ∴PH=203101010310+=++.………………………………1分23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）（1）证：∵△ABC 和△CDE 为等边三角形，∴AB=AC ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BAC=60°.∵∠ABD =∠CAD ，∴△ABF ≌△CAD ，∴DA=BF .……………………………2分 ∵∠ADF =∠BDA ，∴△DAF ∽△DBA ，………………………………………2分 ∴DADB DF DA =，∴DB DF DA ⋅=2，…………………………………………1分 ∴DB DF BF ⋅=2 (1)分（2）∵∠BAC =∠ACD =60°，∴DC //AB ，∴21==AF FC AB CD ， ∴21==AB CD S S BAC DAC △△…………………………………………………………………………2分∵18=ABCD S 四边形，∴121832=×=ABC S △.……………………………………………1分易证△ABC ∽△DCE ，∴41)(2==AB DC S S ABCDCE △△…………………………………………2分 31241=×=DCE S △.………………………………………………………………………1分24.（本题满分12分,每小题满分各4分）解：（1）∵)0(2≠++=a c bx ax y 经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0,3） 由题意得a=-1，b=2，c=3∴抛物线的表达式是322++−=x x y ………………………………………………………3分 ∴顶点D （1,4）………………………………………………………………………………1分 （2）过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H . 由D （1，4），得DH =1，HO=4.由A （﹣1，0）、C （0，3）得，AO =1，CO =3.∴HC=HO -CO=4-3=1，∴HC=HD=1，∴CD=2，∠HCD =45°.由B （3,0），得CO=BO=2，BC=23，∠OCB =45°.……………………………………1分 ∴∠DCB=180°-∠HCD -∠BCO =90°，∴∠AOC=∠DCB .………………………………1分 tan ∠CAO =AO CO =3，tan ∠BDC=DCBC=3，∴∠CAO =∠BDC .……………………………1分 ∴△BCD ∽△COA .……………………………………………………………………………1分 （3）过C 和B 分别作y 轴和x 轴的垂线，交于点M ，在BM 上取点Q ，使得MQ=AO ，∴Q （3，2），BQ=2.…………………………………1分 易证△CQM ≌△CAO ，∴∠ACO=∠QCM ，CA=CQ ，∴∠ACQ=90°.…………………1分 ∴∠CAQ=45°，∴AQ 与抛物线在第一象限内的交点即为点P . 设点P 的坐标是（m ，322++−m m ），且m ＞0. 过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为G ，∴G （m ，0）， ∴AG=1+m ，322++−=m m PG ，tan ∠QAB=2142==AB QB ，∴tan ∠P AG=211322=+++−=m m m AG PG ，…………………1分 ∴05322=−−m m ，解得1−=m （不合题意，舍去），25=m ，∴点P 的坐标是)4725(，…………………1分25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）解：（1）如图1，过点D 作DH ⊥EC ，垂足为H .…………………………………………1分 ∵DF ⊥BP ，CE ⊥BP ，∴∠DFE=∠FEC=∠DHE=90°，∴DH=EF .…………………1分 易证△BEC ≌△CHD ，∴DH=CE ，…………………………………………………………1分 ∴CE=EF . …………………………………………………………………………………1分 （2）如图2，易证∠ABP=∠CDH . ∵AB=AP ，∴∠ABP=∠APB=245°−°n ， 同理，∠APD=∠ADP=290°−°n ， ∴∠FPD=45°，∴FD=FP .…………………………………………………………………1分 ∵EF=EC ，∴1==EFECPF FD ，∴EF PF EC FD =.……………………………………………1分 ∵∠PFD=∠FEC=90°，∴△PFD ∽△FEC ，∴31==CF DP EF PF .……………………1分 设PF=x ，则EF=3x ，∴HC=2x ，tan ∠CDH=3232==x x DH HC .………………………… 1分（3）如图3，过点A 作AG ⊥BP ，垂足为G .……………………………………………… 1分 易证△P AF ≌△DAF ，∴∠P AF =2°n . ∵∠BAP=（90＋n ）°，∴∠GAP=45°＋2°n ，∴∠F AG=45°.……………………1分 设AG=a ，则AF=a 2.∵AB AF 22=，∴AB=2a .………………………………………………………… 1分 Rt △ABG 中，AB=2AG ，∴∠ABP=30°.………………………………………………… 1分图1图2图3。
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷(完美解析版)
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 符号sinA表示（）A. ∠A的正弦B. ∠A的余弦C. ∠A的正切D. ∠A的余切【答案]A【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【详解】符号sinA表示∠A的正弦．故选：A【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在RtABC中，∠C=90°.(1) 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.(2) 余弦：锐角A的邻边忙亏斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.(3) 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.(4) 三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2. 如果2a =-3b ，那么ab=（）2 3B. -32C. 5D. —1A. -【答案]B【详解】此题应该有一个前提条件是A、 B均不为0,即使有这个条件，当2a =-3b 时，所以此题选B3. 二次函数y = 1- 2x2的图像的开口方向（）A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下【答案]D【分析】分析题目，本题可以根据二次函数的性质来解答；由抛物线解析式可知，二次项系数a=-2<0, 可知抛物线开口向下4. 直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A. 俯角 67°方向B. 俯角 23°方向C. 仰角 67°方向D. 仰角 23°方向【答案】D.【解析】∠B == 90°，∠BCA == 67°，得∠BAG==23°从低处A处看高处C处，点C在点A的仰角23°方向故选：D.【点睛］此题考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上春的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角5. 已知 a⃗，b⃗⃗为非零向量，如 b⃗⃗=-5a⃗，那么向量 a⃗与b⃗⃗的方向关系是（）A. a⃗ // b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向一致B. a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反C. a⃗和b⃗⃗方向互相垂直D. a⃗和b⃗⃗之间夹角的正切值为 5【答案】B【解析】由 b⃗⃗=-5a⃗，-5<0，得 b⃗⃗//-5a⃗且方向相反，所以a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反故选：B6. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积（）A. π + √3B. π -√3C. 2π -2√D. 2π-√【答案】D【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，。
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题1. 符号sin A 表示（ ）A.∠A 的正弦B.∠A 的余弦C.∠A 的正切D.∠A 的余切2. 如果2a ＝−3b ，那么a b =( )A.−23B.−32C.5D.−13. 二次函数y ＝1−2x 2的图象的开口方向（ ）A.向左B.向右C.向上D.向下4. 直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA ＝67∘，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的（ ）A.俯角67∘方向B.俯角23∘方向C.仰角67∘方向D.仰角23∘方向5. 已知a →，b →为非零向量，如果b →=−5a →，那么向量a →与b →的方向关系是（ ）A.a → // b →，并且a →和b →方向一致B.a → // b →，并且a →和b →方向相反 C.a →和b →方向互相垂直D.a →和b →之间夹角的正切值为56. 如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB =2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A.π+√3B.π−√3C.2π−√3D.2π−2√3二、填空题已知1:2＝3:x ，那么x ＝________．如果两个相似三角形的周长比为1:2，那么它们某一对对应边上的高之比为________．如图，△ABC 中∠C ＝90∘，如果CD ⊥AB 于D ，那么AC 是AD 和________的比例中项．在△ABC 中，AB →+BC →+CA →=________．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14∘方向，那么从B 观察A ，A 在B 的________方向．如图，在ABC 中，∠C ＝90∘，∠A ＝30∘，BD 是∠ABC 的平分线，如果AC →=x →，那么CD →=________（用x →表示）．如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ．若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝________．若抛物线y ＝(x −m)2+(m +1)的顶点在第二象限，则m 的取值范围为________．二次函数y ＝x 2+√2x +√3的图象与y 轴的交点坐标是________√3） ．如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，如果P 是AB̂的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE =________．如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC <BC ，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 、△BCE ，联结DE ，当△CDE 的面积为3√3时，线段AC 的长度是________．x上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后如图，点A在直线y=34的抛物线的表达式为________．三、解答题−212计算：√6tan60−2cos45已知：抛物线y＝x2−2x+m与y轴交于点C(0, −2)，点D和点C关于抛物线对称轴对称．（1）求此抛物线的解析式和点D的坐标；（2）如果点M是抛物线的对称轴与x轴的交点，求MCD的周长．某仓储中心有一个坡度为i＝1:2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．如图，直线l:y=√3x，点A1坐标为(1, 0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去．求：（1）点B1的坐标和∠A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度．如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BDDE =ADDC，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝a(x2+x−1)的图象交于点A(1, a)和点B(−1, −a)．（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36∘，点D为OC上一点，如果OD＝k∗OC，过D作DE // CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0∘<α<180∘）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．参考答案与试题解析2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题1.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【解答】符号sin A表示∠A的正弦．2.【答案】B【考点】比例的性质【解析】直接利用已知变形进而得出答案．【解答】∵2a＝−3b，∴ab =−32．3.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换二次函数的性质【解析】二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向．【解答】∵二次函数y＝1−2x2中−2<0，∴图象开口向下，4.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题方向角【解析】求出∠BAC＝23∘，即可得出答案．【解答】∵BC⊥AB，∠BCA＝67∘，∴∠BAC＝90∘−∠BCA＝23∘，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23∘方向；5.【答案】B【考点】*平面向量垂线解直角三角形【解析】根据平行向量的性质解决问题即可．【解答】∵知a→，b→为非零向量，如果b→=−5a→，∴a→ // b→，a→与b→的方向相反，6.【答案】D【考点】扇形面积的计算等边三角形的判定方法【解析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=√3BD=√3，∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×√3=√3，S扇形BAC =60π×22360=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2×√3=2π−2√3，故选D.二、填空题【答案】6【考点】比例的性质【解析】直接利用比例的性质得出x 的值．【解答】∵ 1:2＝3:x ，∴ 12=3x ， ∴ x ＝6．【答案】1:2【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比．【解答】∵ 两个相似三角形的周长比为1:2，∴ 两个相似三角形的相似比为1:2，∴ 它们某一对对应边上的高之比为1:2，【答案】AB【考点】射影定理相似三角形的性质与判定【解析】根据射影定理得到AC 2＝AD ⋅AB ，得到答案．【解答】∵ ∠C ＝90∘，CD ⊥AB ，∴ AC 2＝AD ⋅AB ，∴ AC 是AD 和AB 的比例中项，【答案】0→【考点】*平面向量【解析】由在△ABC 中，根据三角形法则即可求得AB →+BC →的值，则可求得答案．【解答】∵ AB →+BC →+CA →=AC →+CA →=0→．【答案】南偏西14∘【考点】方向角【解析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．【解答】由题意可知，∠1＝14∘，∵AC // BD，∴∠1＝∠2＝14∘，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14∘方向．【答案】−1 3 x【考点】*平面向量【解析】首先证明AD＝2CD，推出CD=13AC即可解决问题．【解答】在Rt△ABC中，∵∠C＝90∘，∠A＝30∘，∴∠ABC＝60∘，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30∘，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，DB＝2DC，∴AD＝2DC，∴CD=13AC，∴CD→=−13x→，【答案】23【考点】解直角三角形线段垂直平分线的性质【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE＝BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD＝BD，从而得出CD:CE，即为cos C．【解答】∵DE是BC的垂直平分线，∴CE＝BE，∴CD＝BD，∵BE＝9，BC＝12，∴CD＝6，CE＝9，∴cos C=CDCE =69=23，【答案】−1<m<0【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】求出函数的顶点坐标为(m, m+1)，再由第二象限点的坐标特点的得到：m<0，m+ 1>0即可求解．【解答】∵ y ＝(x −m)2+(m +1)，∴ 顶点为(m, m +1)，∵ 顶点在第二象限，∴ m <0，m +1>0，∴ −1<m <0，【答案】(0，【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】根据图象与y 轴的相交的特点可求出坐标．【解答】由图象与y 轴相交则x ＝0，代入得：y =√3，∴ 与y 轴交点坐标是(0, √3)；【答案】√2−12【考点】圆周角定理相似三角形的性质与判定正方形的性质【解析】根据垂径定理，连接OP 后有OP // AD ，可构成比例线段求解．【解答】连接OP ，交AB 于点F ，连接AC ．根据垂径定理的推论，得OP ⊥AB ，AF ＝BF ．根据90∘的圆周角所对的弦是直径，则AC 为直径．设正方形的边长是1，则AC =√2，圆的半径是√22．根据正方形的性质，得∠OAF ＝45∘．所以OF =12，PF =√2−12． ∵ OP // AD ，∴ PE DE =PF AD =√2−12． 【答案】2【考点】等边三角形的性质全等三角形的性质与判定【解析】作DH ⊥EC 于H ．设AC ＝x ，则BC ＝EC ＝8−x ．利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【解答】作DH ⊥EC 于H ．设AC ＝x ，则BC ＝EC ＝8−x ．∵△ACD，△ECB都是等边三角形，∴∠ACD＝∠ECB＝60∘，∴∠DCE＝60∘，∴S△DCE=12⋅EC⋅CD⋅sin60∘＝3√3，∴12⋅(8−x)⋅√32x＝3√3，解得x＝2或6（舍弃），∴AC＝2，【答案】y＝(x−4)2+3【考点】二次函数图象与几何变换【解析】过点A作AB⊥x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【解答】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵点A在直线y=34x上，OA＝5，∴OB＝4，AB＝3，∴点A的坐标为(4, 3)，∴平移后的抛物线解析式是y＝(x−4)2+3．三、解答题【答案】原式=√6√3−2×√22√2=√6√3√2)(√3−√2)(√3+√2)−√2＝3√2+2√3−√2＝2√2+2√3．【考点】特殊角的三角函数值实数的运算分数指数幂【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】原式=√6√3−2×√22√2=√6√3√2)(√3−√2)(√3+√2)−√2＝3√2+2√3−√2＝2√2+2√3．【答案】抛物线y＝x2−2x+m与y轴交于点C(0, −2)，∴m＝−2，∴此抛物线的解析式为y＝x2−2x−2，∵抛物线的解析式为y＝x2−2x−2＝(x−1)2−3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，∴点D的坐标为(2, −2)．∵抛物线的对称轴为直线x＝1．∴M(1, 0)，∴MC＝MD=√12+22=√5∵CD＝2，∴△MCD的周长为：2+2√5．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征二次函数的性质二次函数图象与几何变换【解析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；（2）求得M点的坐标，然后根据勾股定理求得MC＝MD=√5，即可求得△MCD的周长为：2+2√5．【解答】抛物线y＝x2−2x+m与y轴交于点C(0, −2)，∴m＝−2，∴此抛物线的解析式为y＝x2−2x−2，∵抛物线的解析式为y＝x2−2x−2＝(x−1)2−3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，∴点D的坐标为(2, −2)．∵抛物线的对称轴为直线x＝1．∴M(1, 0)，∴MC＝MD=√12+22=√5∵CD＝2，∴△MCD的周长为：2+2√5．【答案】∵坡度为i＝1:2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m．∴AB=√AC2+BC2=√42+82=4√5（米）；∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，∴∠GDM＝∠HBM，∴GMGD =12，∵DG＝EF＝2m，∴GM＝1m，∴DM=√12+22=√5，BM＝BF+FM＝3.5+(2.5−1)＝5m，设MH＝xm，则BH＝2xm，∴x2+(2x)2＝52，∴x=√5m，∴DH=√5+√5=2√5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】（1）根据坡度定义以及勾股定理解答即可；（2）证出∠GDM＝∠HBM，根据GMGD =12，得到GM＝1m，利用勾股定理求出DM的长，然后求出BM＝5m，进而求出MH，然后得到DH．【解答】∵坡度为i＝1:2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m．∴AB=√AC2+BC2=√42+82=4√5（米）；∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，∴∠GDM＝∠HBM，∴GMGD =12，∵DG＝EF＝2m，∴GM＝1m，∴DM=√12+22=√5，BM＝BF+FM＝3.5+(2.5−1)＝5m，设MH＝xm，则BH＝2xm，∴x2+(2x)2＝52，∴x=√5m，∴DH=√5+√5=2√5m．【答案】∵直线的解析式y=√3x，∴tan∠A1OB1=A1B1OA1=√3，∴∠A1OB1＝60∘，OA1＝1，∴A1B1=√3，OA2＝OB1＝2，∴B1(1, √3)．连接A4B3，作OH⊥A4B3于H．由题意OA1＝1，OA2＝2，OA3＝4，OA4＝8，∵OA4＝OB3，OH⊥A4B3，∴∠A4OH=12∠A4OB3＝30∘，∴OH＝OA4⋅cos30∘＝8×√32=4√3．【考点】规律型：图形的变化类规律型：点的坐标规律型：数字的变化类正比例函数的性质垂径定理【解析】（1）求出tan∠A1OB1的值，A1B1即可解决问题．（2）连接A4B3，作OH⊥A4B3于H．求出OH即可．【解答】∵直线的解析式y=√3x，∴tan∠A1OB1=A1B1OA1=√3，∴∠A1OB1＝60∘，OA1＝1，∴A1B1=√3，OA2＝OB1＝2，∴B1(1, √3)．连接A4B3，作OH⊥A4B3于H．由题意OA1＝1，OA2＝2，OA3＝4，OA4＝8，∵OA4＝OB3，OH⊥A4B3，∴∠A4OH=12∠A4OB3＝30∘，∴OH＝OA4⋅cos30∘＝8×√32=4√3．【答案】∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵BDDE =ADDC，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≅△ACF(SSS)∴∠ABF＝∠ACF，由（1）可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴DFCF =CFEF，且BF＝CF，∴BF2＝DF⋅EF，∴BF是DF和EF的比例中项．【考点】相似三角形的性质与判定等腰三角形的性质【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；（2）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得DFCF =CFEF，可得结论．【解答】∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵BDDE =ADDC，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≅△ACF(SSS)∴ ∠ABF ＝∠ACF ，由（1）可知：△ADB ∽△CDE ，∴ ∠ABF ＝∠E ，∴ ∠ACF ＝∠E ，且∠EFC ＝∠DFC ，∴ △DCF ∽△CEF ，∴ DF CF =CF EF ，且BF ＝CF ，∴ BF 2＝DF ⋅EF ，∴ BF 是DF 和EF 的比例中项．【答案】设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b ，由题意可得{a =k +b −a =−k +b∴ b ＝0，k ＝a ，∴ 直线AB 的解析式为：y ＝ax ，∴ 当x ＝0时，y ＝0，∴ 直线AB 与y 轴的交点坐标(0, 0)；∵ 反比例函数过点A(1, a)，∴ 反比例函数解析式为：y =a x ，∵ 要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，∴ a <0．∵ 二次函数y ＝a(x 2+x −1)＝a(x +12)2−54a ，∴ 对称轴为：直线x =−12． 要使二次函数y ＝a(x 2+x −1)满足上述条件，在k <0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即x ≤−12时，才能使得y 随着x 的增大而增大． 综上所述，a <0且x ≤−12；∵ 二次函数y ＝a(x 2+x −1)＝a(x +12)2−54a ，∴ 顶点Q(−12, −54a)，∵ Q 在以AB 为直径的圆上，∴ OA ＝OQ ，∴ (−12)2+(−54a)2＝12+a 2， ∴ a ＝±2√33【考点】二次函数综合题【解析】（1）由待定系数法可求直线AB 解析式，即可求解；（2）由反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，可得a <0，又由二次函数y ＝a(x 2+x −1)的对称轴为x =−12，可得x ≤−12时，才能使得y 随着x 的增大而增大；（3）先求点Q 坐标，由OQ ＝OA ，可得方程，即可求a 的值．【解答】设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b ，由题意可得{a =k +b −a =−k +b∴ b ＝0，k ＝a ，∴ 直线AB 的解析式为：y ＝ax ，∴ 当x ＝0时，y ＝0，∴ 直线AB 与y 轴的交点坐标(0, 0)；∵ 反比例函数过点A(1, a)，∴ 反比例函数解析式为：y =a x ， ∵ 要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，∴ a <0．∵ 二次函数y ＝a(x 2+x −1)＝a(x +12)2−54a ，∴ 对称轴为：直线x =−12． 要使二次函数y ＝a(x 2+x −1)满足上述条件，在k <0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即x ≤−12时，才能使得y 随着x 的增大而增大．综上所述，a <0且x ≤−12；∵ 二次函数y ＝a(x 2+x −1)＝a(x +12)2−54a ，∴ 顶点Q(−12, −54a)， ∵ Q 在以AB 为直径的圆上，∴ OA ＝OQ ，∴ (−12)2+(−54a)2＝12+a 2，∴ a ＝±2√33 【答案】∵ OC 是△ABC 中AB 边的中线，△ABC 的面积为26，∴ S △OAC ＝13，∵ DE // AC ，∴ △ODE ∽△OCA ，∠OEM ＝∠OAC ，∴ S △DEOS △OAC =(OD OC )2，且OD ＝k ∗OC ，∴ S △ODE ＝13k 2，∵ △ODE ∽△OCA ，∴ OE OA =OD OC =DE AC =k ， ∵ OC 是△ABC 中AB 边的中线，点M 是DE 的中点，∴ AB ＝2AO ，EM =12DE ，∴OEAB =k2=EMAC，且∠OEM＝∠OAC，∴△OEM∽△BAC，∴∠EOM＝∠ABC＝36∘，如图2，当0<α<144∘时，∵∠AON＝∠B+∠ONB，∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB∴y＝α如图3，当144∘<α<180∘时，∵∠BON＝∠EOM−∠BOE＝36∘−(180∘−α)∴∠NOB＝α−144∘，∵∠BNO＝∠ABC−∠NOB＝36∘−(α−144∘)＝180∘−α；当0<α<144∘时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36∘＝α，若OB＝BN，则∠ONB=180−362=72∘＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36∘，∴∠ONB＝180∘−2×36∘＝108∘＝α，当144∘<α<180∘时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18∘＝180∘−α，∴α＝162∘．【考点】几何变换综合题【解析】（1）通过证明△ODE∽△OCA，可得S△DEOS△OAC =(ODOC)2，即可求解；（2）通过证明△OEM∽△BAC，可得∠EOM＝∠ABC＝36∘，分两种情况讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】∵OC是△ABC中AB边的中线，△ABC的面积为26，∴S△OAC＝13，∵DE // AC，∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC，∴S△DEOS△OAC =(ODOC)2，且OD＝k∗OC，∴S△ODE＝13k2，∵△ODE∽△OCA，∴OEOA =ODOC=DEAC=k，∵OC是△ABC中AB边的中线，点M是DE的中点，∴AB＝2AO，EM=12DE，∴OEAB =k2=EMAC，且∠OEM＝∠OAC，∴△OEM∽△BAC，∴∠EOM＝∠ABC＝36∘，如图2，当0<α<144∘时，∵∠AON＝∠B+∠ONB，∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB∴y＝α如图3，当144∘<α<180∘时，∵∠BON＝∠EOM−∠BOE＝36∘−(180∘−α)∴∠NOB＝α−144∘，∵∠BNO＝∠ABC−∠NOB＝36∘−(α−144∘)＝180∘−α；当0<α<144∘时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36∘＝α，=72∘＝α，若OB＝BN，则∠ONB=180−362若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36∘，∴∠ONB＝180∘−2×36∘＝108∘＝α，当144∘<α<180∘时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18∘＝180∘−α，∴α＝162∘．。
【2020精品中考数学提分卷】上海宝山区初三一模数学试卷 +答案
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣14．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．若2||＝3，那么3||＝．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为千米．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB 交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．2020年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似【分析】根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA＝4，OA＝2∴cotα＝＝．故选：B．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝【分析】根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）＝m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）＝m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本选项结论错误．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP＝＝4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为直线x＝3 ．【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，故其图象的对称轴为：直线x＝3．故答案为：直线x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10．若2||＝3，那么3||＝．【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，故3||＝3×＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为225 千米．【分析】依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺＝＝，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则＝，解得x＝22500000，∵22500000cm＝225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．【点评】本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16 ．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴＝，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是2≤r≤8 ．【分析】利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，∴CA＝8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【分析】根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D ＝AC＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，∵折叠∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，在Rt△BDC'中，BD＝＝3∴CD＝BC﹣BD＝2∴AC'＝2，在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，∴CP2＝4+（4﹣CP）2，∴CP＝故答案为：【点评】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝×+×＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【分析】（1）证△ABC∽△FAC，得＝，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB＝5，据此可得CH＝＝，AH＝＝，EH ＝AE﹣AH＝，依据tan D＝tan∠ECH＝可得答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．【点评】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．【分析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，﹣），先得出S△ABP′＝AB•P′H＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|，根据S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝6，∴点B（6，0），C（0，﹣3），∵tan∠OCA＝＝，∴OA＝2，即A（2，0），将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；（2）如图，由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，∴2（m+1）＝3|﹣m|，解得m＝或m＝．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【分析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求求解；（2）设：AP＝x，利用△APE∽△PEC，得出PC2＝CE•AP，利用勾股定理得出PC2＝PB2+BC2，即可求解；（3）利用△ADE∽△FGE，得到3α＝45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝，根据勾股定理得，HE＝＝3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴＝，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x＝（不合题意值已舍去），即：AP＝；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝2﹣2，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG＝EC＝5﹣2，∴＝，即：＝，解得：FG＝3﹣1．【点评】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．。
2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)第一次月考数学试卷 解析版
2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1．已知线段b是线段a、c的比例中项，a＝3，c＝2，那么b的长度等于（）A．B．6C．D．2．已知x：y＝2：3，下列等式中正确的是（）A．（x﹣y）：y＝1：3B．（x﹣y）：y＝2：1C．（x﹣y）：y＝（﹣1）：3D．（x﹣y）：y＝（﹣1）：23．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比中比值不可能为的是（）A．B．C．D．4．下列命题中的真命题是（）A．两个直角三角形都相似B．一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似C．两个等腰三角形都相似D．两个等腰直角三角形都相似5．如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则的值为（）A．2B．3C．D．6．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC＝﹣1．其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．已知＝＝，则＝．8．如图G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么GN：AC＝．9．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，若＝，则＝．10．两个相似三角形对应高的比2：3，且已知这两个三角形的周长差为4，则较小的三角形的周长为．11．当两个相似三角形的相似比为时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形．12．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为．13．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝．14．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若AD＝2，BC＝5，则EF＝．15．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2米，CD＝5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是米．16．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是．17．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，M为边长BC上的点，连接AM，如图，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是．18．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝2，则MN＝．三、解答题19．已知＝≠0，求代数式•（a+2b）的值．20．已知：如图，，求证：（1）∠DAB＝∠EAC（2）DB•AC＝AB•EC．21．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC＝15，高AH＝10，求正方形DEFG的边长和面积．22．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC．（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．23．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF＝CB•CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．24．如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD＝OA＝，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°．（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE＝x，AF＝y，试确定y与x之间的函数关系；（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．25．已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，连接AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知线段b是线段a、c的比例中项，a＝3，c＝2，那么b的长度等于（）A．B．6C．D．【分析】根据线段b是线段a、c的比例中项得出b2＝ac，再求出b即可．【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，∴b2＝ac，∵a＝3，c＝2，∴b2＝6，解得：b＝（负数舍去），故选：C．2．已知x：y＝2：3，下列等式中正确的是（）A．（x﹣y）：y＝1：3B．（x﹣y）：y＝2：1C．（x﹣y）：y＝（﹣1）：3D．（x﹣y）：y＝（﹣1）：2【分析】由x：y＝2：3，根据比例的性质，即可求得（x﹣y）：y＝（﹣1）：3．【解答】解：∵x：y＝2：3，∴（x﹣y）：y＝（2﹣3）：3＝（﹣1）：3．故选：C．3．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比中比值不可能为的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义进行判断．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴若AC为较长线段，则＝＝；若BC为较长线段，则＝＝．故选：C．4．下列命题中的真命题是（）A．两个直角三角形都相似B．一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似C．两个等腰三角形都相似D．两个等腰直角三角形都相似【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两个直角三角形都相似，错误，是假命题；B、一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似，错误，是假命题；C、两个等腰三角形不一定相似，故错误，是假命题；D、两个等腰直角三角形都相似，正确，是真命题，故选：D．5．如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则的值为（）A．2B．3C．D．【分析】过G作GM∥CD，交AB于M，根据平行线分线段成比例定理得出M为BD的中点，D为AM的中点，根据三角形的中位线性质得出＝，＝，求出CD＝2MG，MG＝2DE，求出CD＝4DE，即可求出答案．【解答】解：过G作GM∥CD，交AB于M，∵G是BC中点，E是AG中点，∴M为BD的中点，D为AM的中点，∴＝，＝，∴CD＝2MG，MG＝2DE，∴CD＝4DE，∴CE＝4DE﹣DE＝3DE，∴＝＝3，故选：B．6．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC＝﹣1．其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据黄金分割的定义及黄金比值，结合各项进行判断即可．【解答】解：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；说法正确；②如果点C是线段AB的中点，≠，故AC不是AB、BC的比例中项；说法错误；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；说法正确；④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC＝﹣1；说法正确；综上可得：①③④正确，共3个．故选：C．二、填空题7．已知＝＝，则＝．【分析】首先设＝＝＝k，即可得x＝5k，y＝3k，z＝4k，然后代入，即可求得答案．【解答】解：设＝＝＝k，∴x＝5k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝＝．故答案为：．8．如图G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么GN：AC＝．【分析】根据三角形的重心的性质、平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵G为△ABC的重心，∴＝，∵GN∥AC，∴＝＝，故答案为：．9．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，若＝，则＝．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，故答案为：．10．两个相似三角形对应高的比2：3，且已知这两个三角形的周长差为4，则较小的三角形的周长为8．【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【解答】解：∵两个相似三角形对应高的比为2：3，即相似比为2：3，∴它们周长的比是2：3，设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为3x，由题意得，3x﹣2x＝4，解得，x＝4，则2x＝8，∴较小的三角形的周长为8．故答案为：8．11．当两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形．【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．【解答】解：两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形，故答案为：1．12．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为9．【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，根据AG＝15得出方程3x+2x＝15，求出x，再求出答案即可．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，∵AD：DF：FB＝3：2：1，∴AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，∵AG＝15，∴3x+2x＝15，解得：x＝3，即AE＝9，EG＝6，GC＝3，∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，故答案为：9．13．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝6．【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，∴2GD＝AG，∵S△ABG＝2，∴S△ABD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．14．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若AD＝2，BC＝5，则EF＝4．【分析】首先延长BA，CD，相交于K，由AD∥BC，EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，又由AD＝2，BC＝5，AD＝2，BC＝5，可设BE＝x，EA＝2x，即可求得AK与EK的值，继而求得EF的值．【解答】解：延长BA，CD，相交于K，∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴，，，∵AD＝2，BC＝5，∴AK：BK＝2：5，∵BE：EA＝1：2，设BE＝x，EA＝2x，∴AB＝3x，AK＝2x，BK＝5x，∴EK＝AK+AE＝4x，∴，∴EF＝4．故答案为：4．15．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2米，CD＝5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是米．【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．【解答】解：∵AB∥CD∴△P AB∽△PCD∴AB：CD＝P到AB的距离：点P到CD的距离．∴2：5＝P到AB的距离：3∴P到AB的距离为m，故答案为．16．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是2或12或．【分析】分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形的性质列方程计算即可．【解答】解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，当△ABP∽△PDC时，＝，即＝，解得，x1＝2，x2＝12，当△ABP∽△CDP时，＝，即＝，解得，x＝，综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，故答案为：2或12或．17．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，M为边长BC上的点，连接AM，如图，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是2．【分析】如图，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，点D为AC的中点，根据折叠的性质得AD＝AB＝3，∠BAM＝∠CAM，则AC＝2AD＝6，根据角平分线定理得ME＝MF，然后利用面积法得到MF•AB+ME•AC＝AB•AC，即3ME+6ME＝3×6，解得ME＝2．【解答】解：如图，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，点D为AC的中点，∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点D处，∴AD＝AB＝3，∠BAM＝∠CAM＝45°，∴AC＝2AD＝6，ME＝MF，∵S△ABM+S△AMC＝S△ABC，∴MF•AB+ME•AC＝AB•AC，∴3ME+6ME＝3×6，∴ME＝2，即点M到AC的距离是2．故答案为2．18．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝2，则MN＝．【分析】设DH＝x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形的判定性质，可得NE的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：设DH＝x，CH＝2﹣x，由翻折的性质，DE＝1，EH＝CH＝2﹣x，在Rt△DEH中，DE2+DH2＝EH2，即12+x2＝（2﹣x）2，解得x＝，EH＝2﹣x＝．∵∠MEH＝∠C＝90°，∴∠AEN+∠DEH＝90°，∵∠ANE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠DEH，又∠A＝∠D，∴△ANE∽△DEH，＝，即＝，解得EN＝，MN＝ME﹣NE＝2﹣＝，故答案为：．三、解答题19．已知＝≠0，求代数式•（a+2b）的值．【分析】设＝＝k≠0，可得，a＝3k，b＝2k，然后将原式转化为关于k的代数式，消元即可．【解答】解：设＝＝k≠0，可得，a＝3k，b＝2k，原式＝•（a+2b）＝，把a＝3k，b＝2k代入上式，原式＝＝﹣4．20．已知：如图，，求证：（1）∠DAB＝∠EAC（2）DB•AC＝AB•EC．【分析】（1）由已知可证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应角相等，角的和差关系证明结论；（2）观察所证结论，考虑证明△ADB和△AEC相似，利用已知比，公共角证明相似，得出结论．【解答】证明：（1）在△ADE和△ABC中，∵，∴△ADE∽△ABC（2分），∴∠DAE＝∠BAC（2分），即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC（2分）；（2）在△ADB和△AEC中，∵且∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC（2分），∴（2分），∴DB•AC＝AB•EC（2分）．21．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC＝15，高AH＝10，求正方形DEFG的边长和面积．【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，所以AM＝10﹣x，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求出x，再计算x2的值即可．【解答】解：高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝6，∴x2＝36．答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．22．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC．（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．【分析】（1）设S△BDE＝x，则可得出△ABE△BCE的面积之比，再将x的值代入即可得出答案；（2）由（1）知＝，设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，从而得出y 与m、n的函数关系式，即可表示出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）设S△BDE＝x．∴，∴．∵DE∥BC，∴，∵S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，∴，解得：x1＝﹣5（舍），x2＝3．∴S△BDE＝3；（2）由（1）知＝，设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，∴，解得，∴．23．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF＝CB•CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．【分析】（1）首先证得△DCF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得结论；（2）①由勾股定理可得BC的长，利用梯形的面积公式可得结果；②首先由垂直平分线的性质可得点C关于直线DE的对称点是点A，PB+PC＝PB+P A，故只要求PB+P A最小即可，因为当P、A、B三点共线时PB+P A最小，由中位线的性质可得EF＝，由（1）知CF：BC＝CD：AB，可得CD，即得AD，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF，易得DE，即得x，代入①可得y．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC，∴AF＝CF，∠DF A＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．∵∠DAB＝∠DAF+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B，在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，∴△DCF∽△ABC，∴＝，即＝．∴AB•AF＝CB•CD；（2）解①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6，∴y＝（x+9）×6＝3x+27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小．由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB+PC＝PB+P A，故只要求PB+P A最小．显然当P、A、B三点共线时PB+P A最小．此时DP＝DE，PB+P A＝AB．由（1），∠ADF＝∠F AE，∠DF A＝∠ACB＝90°，∴△DAF∽△ABC．EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．∴AF：BC＝AD：AB，即6：9＝AD：15．∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF+FE＝8+＝．∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝．24．如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD＝OA＝，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°．（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE＝x，AF＝y，试确定y与x之间的函数关系；（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．【分析】（1）过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA＝4，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，由此可求得D点的坐标；（2）连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；（3）若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：①AF＝EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；②AE＝EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF＝∠EF A＝45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE＝BD，进而可求得重合部分的面积；③AF＝AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD＝OE＝3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．【解答】解：（1）过B作BM⊥x轴于M；Rt△ABM中，AB＝3，∠BAM＝45°；则AM＝BM＝；∴BC＝OA﹣AM＝4﹣＝，CD＝BC﹣BD＝；∴D点的坐标是；（2）连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE＝∠COD＝45°；又在梯形DOAB中，∠BAO＝45°，∴OD＝AB＝3，由三角形外角定理得：∠1＝∠DEA﹣45°，又∠2＝∠DEA﹣45°，∴∠1＝∠2，∴△ODE∽△AEF∴，即：，∴y与x的解析式为：．（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF＝AF或EF＝AE或AF＝AE共3种情况；①当EF＝AF时，如图（2），∠F AE＝∠FEA＝∠DEF＝45°；∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），B在A′F上（A′F⊥EF）∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；∵，∴，，∴，∴；（也可用S阴影＝S△A'EF﹣S△A'BD）②当EF＝AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF 面积．∠DEF＝∠EF A＝45°，DE∥AB，又DB∥EA，∴四边形DEAB是平行四边形，∴AE＝DB＝，∴．③当AF＝AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．由（2）知△ODE∽△AEF，则OD＝OE＝3，∴AE＝AF＝OA﹣OE＝，过F作FH⊥AE于H，则，∴．综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或．25．已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，连接AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．【分析】（1）当AD＝2时，AD＝AB，此时△ABD为等腰直角三角形，易证△BPC也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求；（2）易知点P到AB的距离与到BC的距离的比与BA、AD长度的比相等，即△APQ中AQ边上的高与△PBC中BC边上的高的比可求；AQ＝2﹣x，BC＝3，则△APQ与△BPC 的面积可表示出来，利用其面积比为y，可得函数关系式，由于AB＝2，AD＝，所以，＝，而点P在线段BD上，所以PC有最大值和最小值，即可确定出PQ的最大值和最小值，即可得出结论．（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知条件可证Rt△PCF∽Rt△PQE，则∠EPQ ＝∠FPC，利用角的和差关系可求得∠QPC＝90°．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ABC＝90°．当AD＝2时，AD＝AB，∴∠D＝∠ABD＝45°，∴∠PBC＝∠D＝45°．∵，∴PQ＝PC，∴∠C＝∠PQC＝45°，∴∠BPC＝90°．∴PC＝BC•sin45°＝3×．（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC＝90°，∴四边形EBFP是矩形．∴PF＝BE．又∵∠BAD＝90°，∴PE∥AD，∴Rt△BEP∽Rt△BAD．∴．设BE＝4k，则PE＝3k，∴PF＝BE＝4k．∵BQ＝x，∴AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x．∴S△AQP＝AQ•PE＝（2﹣x）•3k，S△BPC＝BC•PF＝×3×4k＝6k．∵，∴，即y＝﹣x+．过D作BC的垂线DM，在直角△DCM中，DC＝＝＝．当P在D点时，x最大，则PC＝DC＝，而，得PQ＝，利用勾股定理得到AQ＝，所以此时BQ＝∴0≤x≤．（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC＝90°，∴四边形EBFP是矩形．∴PF＝BE，∠EPF＝90°．又∵∠A＝90°，∴PE∥AD．∴Rt△BEP∽Rt△BAD．∴，∴．∴．又∵，∴．∴Rt△PCF∽Rt△PQE，∴∠EPQ＝∠FPC．∵∠EPQ+∠QPF＝∠EPF＝90°，∴∠FPC+∠QPF＝90°，即∠QPC＝90°．。
2020-2021上海宝山实验学校初三数学上期中一模试卷含答案
2020-2021上海宝山实验学校初三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．13 2．方程2(2)9x -=的解是（ ）A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 3．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．2017 6．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．87．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．8．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120°9．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >且k ≠1B ．12k >C ．12k ≥且k ≠1D ．12k < 10．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ）A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对11．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球 12．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．14．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．15．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.16．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．17．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．18．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是 _________.19．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．20．如图，四边形ABCD 是O 内接四边形，若3080BAC CBD ∠︒∠︒＝，＝，则BCD∠的度数为______．三、解答题21．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．22．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？23．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．24．解方程：2411231x x x -=+-- 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数21262y x x =-++的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；（2）把点B 向上平移m 个单位得点B 1．若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合．已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B ．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.2．A解析：A【解析】【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x -＝，故x －2＝3或x －2＝－3，解得：x 1＝5，x 2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2（a+c）+c＜0，∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2b+b﹣a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．4．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．B解析：B【解析】【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3＝2018﹣2+3＝2019，故选：B．【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．6．A解析：A【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．7．C解析：C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k＞0和k＜0，函数y=kx2与y=kx+k的图象，从而可以解答本题．【详解】当k＞0时，函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，当k＜0时，函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P 在优弧ADB 上，则∠APB=12∠AOB=45°； 若点P 在劣弧AB 上， 则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C ．9．A解析：A【解析】【分析】由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->，解得：12k >， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是12k >且k≠1； 故选：A ．【点睛】本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．10．C解析：C【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004=，故选C．点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.11．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．12．B解析：B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0．故选项正确；C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二、填空题13．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°15．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，解得x1=4,x2=8，即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.16．15【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π故答案为15π考点：圆锥的计算解析：15π【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=12•2π•3•5=15π．故答案为15π．考点：圆锥的计算．17．m【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径那么就能求得扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径∴扇形的半径为：m∴扇形的弧长为：＝πm∴圆锥的底面半径为：π÷m ． 【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，m ，∴扇形的弧长为：902180π⨯m ，π÷2π＝8m ． 【点睛】 本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式．18．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键 解析：14【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球，∴任意摸出1个球，摸到白球的概率是14. 【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式的知识点. 19．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概 解析：14【解析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41 164=，故答案为：14．【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答20．70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出的度数再由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】∵四边形ABCD是内接四边形故答案为：70°【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质熟知圆内接四边形的对角互补解析：70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出BAD∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】80CBD∠︒＝，80CAD CBD∴∠∠︒＝＝．．30BAC∠︒＝3080110BAD∴∠︒+︒︒＝＝．∵四边形ABCD是O内接四边形，180********BCD BAD∴∠︒∠︒︒︒＝﹣＝﹣＝．故答案为：70°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．三、解答题21．(1) 12；（2）公平，理由见解析【解析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【详解】方法一画树状图：由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种．∴P （和为奇数）= 12． 方法二列表如下：由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种．∴P （和为奇数）=12； （2）∵P （和为奇数）=12，∴P （和为偶数）= 12，∴这个游戏规则对双方是公平的． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意列出关于x 的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y 元，则每天售出（200+50y ）千克，根据题意列出关于y 的一元二次方程，求解方程即可.【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意得2100(1)196x += 解得10.440%x ==，2 2.4x =-（不合题意，舍去）答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）设售价应降低y 元，则每天可售出(20050)y +千克根据题意，得(2012)(20050)1750y y --+=整理得，2430y y -+=，解得11y =，23y =∵要减少库存∴11y =不合题意，舍去，∴3y =答：售价应降低3元.【点睛】本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键.23．每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【解析】试题分析：首先设每个粽子的定价为x 元，然后根据题意得出方程，从而求出x 的值，然后根据售价不能超过进价的200%，从而得出x 的取值范围，从而得出答案.试题解析：设每个粽子的定价为x 元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x ﹣3）（500﹣10×）=800， 解得x 1=7，x 2=5．∵售价不能超过进价的200%， ∴x ≤3×200%．即x≤6． ∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．考点：一元二次方程的应用24．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0，解得：x 1＝－4，x 2＝1．经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．25．（1）()()2060A B -，，，，26x -；（2）m n ，的值分别为72，1. 【解析】【分析】（1）把y ＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A 、B 两点的坐标，再根据函数图象不在x 轴下方的x 的取值范围得y≥0时x 的取值范围；（2）根据题意写出B 2，B 3的坐标，再由对称轴方程列出n 的方程，求得n ，进而求得m 的值．【详解】解：（1）令0y =，则212602x x -++=， ∴1226x x =-=，， ∴()()2060A B -，，，. 由函数图象得，当0y 时，26x -.（2）由题意得()()236B n m B n m --，，，， 函数图象的对称轴为直线2622x -+==. ∵点23B B ，在二次函数图象上且纵坐标相同，∴()622n n -+-=，∴1n =， ∴()()217121622m =-⨯-+⨯-+=， ∴m n ，的值分别为712，. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的解集以及平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题．。
2020-2021学年上海市宝山区九年级中考一模数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市宝山区九年级中考一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：42．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．3．如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．4．已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0 5．将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+26．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2二、填空题（共12小题）.7．如果2x＝3y，那么＝．8．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是厘米．9．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝．10．计算：3＝．11．已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为．12．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写定义域）13．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向．14．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：．15．如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC 的面积为．16．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．17．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．计算：．20．如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．22．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．23．某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测从点C处测得A点的仰角为从点G处测得A点的仰角EF＝9米，从点P处测得A量数据37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米为37°，测得B点的俯角为45°点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]24．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．25．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．参考答案一、选择题（共6小题）.1．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4解：∵AC：BC＝3：1，∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，则AB：BC＝2：1．故选：A．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝＝，故选：A．3．如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．解：∵DF∥BC，∴＝，∴＝，∵AB∥DE，∴△DEC∽△ABC，∴，∴，∴CE＝，故选：D．4．已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0解：如图所示，点M是线段AB的中点，A、，故本选项不符合题意．B、，故本选项符合题意．C、，故本选项不符合题意．D、＝，故本选项不符合题意．故选：B．5．将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+2解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2，故选：C．6．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；D、点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，∵y1＞0，y2＝0，∴y1＞y2，故D正确；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．如果2x＝3y，那么＝．解：∵2x＝3y，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是4厘米．解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac＝16，解得b＝±4，又∵线段是正数，∴b＝4．故答案为4．9．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝3﹣．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，AP＜BP，∴BP＝AB＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．10．计算：3＝5﹣4．解：原式＝3×2﹣3﹣﹣＝5﹣4．故答案是：5﹣4．11．已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为26．解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意得，AE＝DF＝4，cos∠B＝，AD＝5，设BE＝3x，则可得AB＝5x，AE＝4x，∴x＝1，∴BE＝3，AB＝5，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD＝5，BC＝BE+EF+FC＝3+3+5＝11，∴梯形ABCD的周长＝5+5+5+11＝26，故答案为：26．12．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为y＝10（1+x）2．（不要求写定义域）解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，∴y＝10（1+x）2．故答案为：y＝10（1+x）2．13．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向向上．解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），∵顶点坐标在第二象限，∴m＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：向上．14．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：y＝﹣x2（答案不唯一）．解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，∵经过原点，∴c＝0，∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，∴a＜0，﹣＝0，即：b＝0，只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．故答案为：y＝﹣x2．15．如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC 的面积为45．解：∵，∴，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝，∴设S△EFC＝4x，S△ABC＝9x，∴四边形ABEF的面积5x＝25，∴x＝5，∴△ABC的面积＝45，故答案为：45．16．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为6．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．17．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为15米．解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝﹣1．解：如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，∴tan∠CAP＝＝＝+1；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴tan∠CAP＝＝＝﹣1，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．计算：．解：原式＝＝＝＝．20．如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．解：（1）连接BE．∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴＝＝＝，∵＝，∴＝，∴＝+＝a+．（2）∵＝+，＝3，∴＝3﹣，∴＝＝（3﹣），∴如图即为所求作．21．已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax2﹣ax（a≠0），得a+a＝2．解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．由y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣知，该抛物线的顶点坐标是（，﹣）；（2）可以，理由如下：由y＝x2+3x+，得y＝（x+）2﹣．则平移后抛物线顶点坐标是（﹣，）．而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（﹣，﹣），所以将抛物线y＝x2﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线y＝x2+3x+．22．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE•BF；（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO ＝，∴＝＝．23．某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测量数据从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°EF＝9米，从点P处测得A点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第二小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，所以第二小组的数据无法算出大楼高度，故答案为：二；（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝BD+CD＝（x+12）米，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan37°≈0.75，∴≈，解得：x≈36，即教学大楼AB的高度约为36米．24．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∴对称轴为直线x＝2；（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点D（5，3），∴BD＝6，∵点C（2，0），点B（﹣1，3），∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，如图，连接BO，∵BD∥OC，∴∠DBE＝∠BCO，∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，∴∠OBC＝∠BDE，∴△OBC∽△EDB，∴，∴＝，∴BE＝2，设点E（x，﹣x+2），∴2＝，∴x＝1或x＝﹣2（舍去），∴点E（1，1）；（3）当OA为边时，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴OA＝MN＝4，OA∥MN，∴点N横坐标为6或﹣2，∴点N的纵坐标为，∴平行四边形的面积＝4×＝，当OA为对角线，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN与OA互相平分，∴，∴N x＝2，∴点N（2，﹣），∴平行四边形的面积＝4×＝，综上所述：平行四边形的面积为或．25．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．【解答】（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵∠DCE＝45°，∴∠B＝∠DCE，∵∠CED＝∠CEB，∴△CDE∽△BCE，∴，∴CE2＝BE•DE；（2）解：如图2，过D作DN⊥AC于N，∴∠AND＝90°，∵∠DAN＝45°，∴△ADN是等腰直角三角形，∵DN∥BC，AD＝2BD，∴，∵AC＝3，∴AB＝3，AN＝DN＝2，CN＝1，∵AD＝2BD，∴BD＝，由勾股定理得：DC＝＝＝，由（1）知：△CDE∽△BCE，∴，设DE＝x，CE＝3x，∴＝，∴x＝，∴DE＝x＝；（3）解：如图3，过点C作CP⊥CM，交AB的延长线于点P，∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°∴∠ACM+∠BCD＝45°＝∠BCD+∠BCP，∴∠BCP＝∠ACM，∵∠CBP＝180°﹣45°＝135°＝∠CAM，AC＝BC，∴△AMC≌△BPC（ASA），∴CM＝CP，∵∠DCM＝∠DCP＝45°，CD＝CD，∴△MCD≌△PCD（SAS），∴∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，∵∠ABC＝45°＝∠MCD，∴△BCD∽△CMD，∴，即，∵FM⊥FC，∠DCE＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝FM，∴y＝tan∠FMD＝＝＝＝＝1﹣＝1﹣x；Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝BC，∵D，E是AB上一点，∠DCE＝45°，∴当点E与A重合时，BD最大为AB，∵＝x，∴0＜x＜，∴y＝1﹣x（0＜x＜）．。
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷含答案(20200421092528).pdf
）
A ．∠ A 的正弦
B ．∠ A 的余弦
C．∠ A 的正切
D．∠ A 的余切
2．如果 2a＝﹣ 3b，那么 ＝（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C． 5
D．﹣ 1
3．二次函数
y＝
1﹣
2
2x
的图象的开口方向（
）
A ．向左
B ．向右
C．向上
D ．向下
4．直角梯形 ABCD 如图放置， AB、 CD 为水平线， BC⊥ AB，如果∠ BCA＝ 67°，从低处 A
（0， ） ．
【解答】 解：由图象与 y 轴相交则 x＝0，代入得： y＝ ， ∴与 y 轴交点坐标是（ 0， ）； 故答案为（ 0， ）．
16．如图，已知正方形 ABCD 的各个顶点 A、B、 C、 D 都在 ⊙ O 上，如果 P 是 的中点，
PD 与 AB 交于 E 点，那么 ＝
．
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∴＝＝
．
故答案为
．
17．如图，点 C 是长度为 8 的线段 AB 上一动点，如果 AC＜ BC，分别以 AC、 BC 为边在线 段 AB 的同侧作等边△ ACD 、△ BCE，联结 DE ，当△ CDE 的面积为 3 时，线段 AC 的 长度是 2 ．
【解答】 解：作 DH ⊥ EC 于 H．设 AC ＝x，则 BC＝ EC＝ 8﹣x．
故选： A．
2．如果 2a＝﹣ 3b，那么 ＝（ ）
A ．﹣
B ．﹣
【解答】 解：∵ 2a＝﹣ 3b， ∴ ＝﹣ ．
C． 5
D．﹣ 1
故选： B．
3．二次函数
y＝
1﹣
2
2x
的图象的开口方向（
2019-2020学年上海市宝山区初三数学第一学期中考一模试卷及解析
2019-2020学年上海市宝山区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题1．符号sin A 表示( ) A ．A ∠的正弦 B ．A ∠的余弦 C ．A ∠的正切 D ．A ∠的余切2．如果23a b =-，那么(ab = ) A ．23-B ．32-C ．5D ．1-3．二次函数212y x =-的图象的开口方向( ) A ．向左B ．向右C ．向上D ．向下4．直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC AB ⊥，如果67BCA ∠=︒，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的( )A ．俯角67︒方向B ．俯角23︒方向C ．仰角67︒方向D ．仰角23︒方向5．已知a ，b 为非零向量，如果5b a =-，那么向量a 与b 的方向关系是( ) A ．//a b ，并且a 和b 方向一致 B ．//a b ，并且a 和b 方向相反 C ．a 和b 方向互相垂直D ．a 和b 之间夹角的正切值为56．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若2AB =，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为( )A ．3π+B ．3πC ．23π-D ．223π-二、填空题7．已知1:23:x =，那么x = ．8．如果两个相似三角形的周长比为1:2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ． 9．如图，ABC ∆中90C ∠=︒，如果CD AB ⊥于D ，那么AC 是AD 和 的比例中项．10．在ABC ∆中，AB BC CA ++= ．11．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14︒方向，那么从B 观察A ，A 在B 的 方向．12．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，如果AC x =，那么CD = （用x 表示）．13．如图，ABC ∆中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ．若9BE =，12BC =，则cos C = ．14．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 ． 15．二次函数223y x x =++的图象与y 轴的交点坐标是 ．16．如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在O 上，如果P 是AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE= ．17．如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC BC <，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边ACD ∆、BCE ∆，联结DE ，当CDE ∆的面积为33时，线段AC 的长度是 ．18．如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线2y x =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ．三、解答题19．计算：1262tan 602cos 45-︒-︒20．已知：抛物线22y x x m =-+与y 轴交于点(0,2)C -，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称． （1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，求MCD ∆的周长．21．某仓储中心有一个坡度为1:2i =的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长 2.5DE =米，高2EF =米，该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所在水平面的高度不断变化，求当 3.5BF =米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH ．22．如图，直线:3l y x =，点1A 坐标为(1,0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，⋯，按此做法进行下去． 求：（1）点1B 的坐标和11AOB ∠的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度．23．如图，ABC ∆中，AB AC =，AM 为BC 边的中线，点D 在边AC 上，联结BD 交AM 于点F ，延长BD 至点E ，使得BD ADDE DC=，联结CE ．求证： （1）2ECD BAM ∠=∠；（2）BF 是DF 和EF 的比例中项．24．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数2(1)y a x x =+-的图象交于点(1,)A a 和点(1,)B a --．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．25．如图，OC 是ABC ∆中AB 边的中线，36ABC ∠=︒，点D 为OC 上一点，如果OD k OC =，过D 作//DE CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点，将ODE ∆绕点O 顺时针旋转α度（其中0180)α︒<<︒后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果ABC ∆的面积为26，求ODE ∆的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究ONB ∠的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当ONB ∆为等腰三角形时，旋转角α的度数．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：符号sin A 表示A ∠的正弦． 故选：A ．2．【解答】解：23a b =-，∴32a b =-． 故选：B ．3．【解答】解：二次函数212y x =-中20-<，∴图象开口向下，故选：D ．4．【解答】解：BC AB ⊥，67BCA ∠=︒， 9023BAC BCA ∴∠=︒-∠=︒，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的仰角23︒方向； 故选：D ．5．【解答】解：知a ，b 为非零向量，如果5b a =-，∴//a b ，a 与b 的方向相反，故选：B ．6．【解答】解：过A 作AD BC ⊥于D ，ABC ∆是等边三角形，2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒， AD BC ⊥，1BD CD ∴==，33AD BD =ABC ∴∆的面积为1123322BC AD ⨯⨯=⨯，260223603BACS ππ⨯==扇形，∴莱洛三角形的面积23232233Sππ=⨯-⨯=-，故选：D．二、填空题7．【解答】解：1:23:x=，∴132x =，6x∴=．故答案为：6．8．【解答】解：两个相似三角形的周长比为1:2，∴两个相似三角形的相似比为1:2，∴它们某一对对应边上的高之比为1:2，故答案为：1:2．9．【解答】解：90C∠=︒，CD AB⊥，2AC AD AB∴=，AC∴是AD和AB的比例中项，故答案为：AB．10．【解答】解：0AB BC CA AC CA++=+=．故答案为：0．11．【解答】解：由题意可知，114∠=︒，//AC BD，1214∴∠=∠=︒，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14︒方向．故答案为：南偏西14︒．12．【解答】解：在Rt ABC∆中，90C∠=︒，30A∠=︒，60ABC ∴∠=︒，BD 平分ABC ∠，30ABD CBD ∴∠=∠=︒，A ABD ∴∠=∠，AD BD ∴=，2DB DC =，2AD DC ∴=，13CD AC ∴=， ∴13CD x =-，故答案为13x -．13．【解答】解：DE 是BC 的垂直平分线， CE BE ∴=， CD BD ∴=， 9BE =，12BC =， 6CD ∴=，9CE =，62cos 93CD C CE ∴===， 故答案为23． 14．【解答】解：2()(1)y x m m =-++，∴顶点为(,1)m m +，顶点在第二象限， 0m ∴<，10m +>， 10m ∴-<<，故答案为10m -<<．15．【解答】解：由图象与y 轴相交则0x =，代入得：y =，∴与y 轴交点坐标是；故答案为．16．【解答】解：连接OP ，交AB 于点F ，连接AC ． 根据垂径定理的推论，得OP AB ⊥，AF BF =．根据90︒的圆周角所对的弦是直径，则AC 为直径． 设正方形的边长是1，则2AC =，圆的半径是22． 根据正方形的性质，得45OAF ∠=︒． 所以12OF =，212PF -=．//OP AD ，∴212PE PF DE AD -==． 故答案为212-．17．【解答】解：作DH EC ⊥于H ．设AC x =，则8BC EC x ==-．ACD ∆，ECB ∆都是等边三角形， 60ACD ECB ∴∠=∠=︒， 60DCE ∴∠=︒，1sin 60332DCE S EC CD ∆∴=︒= ∴13(8)3322x x -= 解得2x =或6（舍弃）， 2AC ∴=，故答案为2．18．【解答】解：如图，过点A 作AB x ⊥轴于B ， 点A 在直线34y x =上，5OA =， 4OB ∴=，3AB =，∴点A 的坐标为(4,3)，∴平移后的抛物线解析式是2(4)3y x =-+．故答案为2(4)3y x =-+．三、解答题19．【解答】解：原式622322-⨯6(32)2(32)(32)⨯+=--+32232= 2223=20．【解答】解：（1）抛物线22y x x m =-+与y 轴交于点(0,2)C -， 2m ∴=-，∴此抛物线的解析式为222y x x =--，抛物线的解析式为2222(1)3y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴为直线1x =．点D 与C 关于抛物线的对称轴对称，∴点D 的坐标为(2,2)-．（2）抛物线的对称轴为直线1x =． (1,0)M ∴，22125MC MD ∴=+= 2CD =，MCD ∴∆的周长为：225+21．【解答】解：（1）坡度为1:2i =，4AC m =， 428BC m ∴=⨯=．AB ∴=)；（2）DGM BHM ∠=∠，DMG BMH ∠=∠， GDM HBM ∴∠=∠， ∴12GM GD =， 2DG EF m ==，1GM m ∴=，DM ∴== 3.5(2.51)5BM BF FM m =+=+-=， 设MH xm =，则2BH xm =，222(2)5x x ∴+=，x ∴=，DH ∴=．22．【解答】解：（1）直线的解析式y =，11111tan A B AOB OA ∴∠= 1160AOB ∴∠=︒，11OA =，11A B ∴=212OA OB ==，1B ∴．（2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ．由题意11OA =，22OA =，34OA =，48OA =，43OA OB =，43OH A B ⊥，4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒，4cos308OH OA ∴=︒==23．【解答】证明：（1）AB AC =，AM 为BC 边的中线， 2BAC BAM ∴∠=∠， BD ADDE DC =，ADB CDE ∠=∠，ADB CDE ∴∆∆∽，BAC ECD ∴∠=∠，2ECD BAM ∴∠=∠；（2）如图，连接CF ，AB AC =，AM 为BC 边的中线，AM ∴是BC 的垂直平分线，BF CF ∴=，且AB AC =，AF AF =，()ABF ACF SSS ∆≅∆ABF ACF ∴∠=∠，由（1）可知：ADB CDE ∆∆∽，ABF E ∴∠=∠，ACF E ∴∠=∠，且EFC DFC ∠=∠，DCF CEF ∴∆∆∽，∴DF CFCF EF =，且BF CF =，2BF DF EF ∴=，BF ∴是DF 和EF 的比例中项．24．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为：y kx b =+，由题意可得a k b a k b =+⎧⎨-=-+⎩0b ∴=，k a =，∴直线AB 的解析式为：y ax =，∴当0x =时，0y =，∴直线AB 与y 轴的交点坐标(0,0)；（2）反比例函数过点(1,)A a ，∴反比例函数解析式为：a y x=， 要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大， 0a ∴<． 二次函数2215(1)()24y a x x a x a =+-=+-， ∴对称轴为：直线12x =-． 要使二次函数2(1)y a x x =+-满足上述条件，在0a <的情况下，x 必须在对称轴的左边，即12x -时，才能使得y 随着x 的增大而增大．综上所述，0a <且12x -； （3）二次函数2215(1)()24y a x x a x a =+-=+-， ∴顶点1(2Q -，5)4a -， Q 在以AB 为直径的圆上，OA OQ ∴=，222215()()124a a ∴-+-=+，a ∴=25．【解答】解：（1）OC 是ABC ∆中AB 边的中线，ABC ∆的面积为26， 13OAC S ∆∴=， //DE AC ，ODE OCA ∴∆∆∽，OEM OAC ∠=∠，∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD k OC =， 213ODE S k ∆∴=，（2）ODE OCA ∆∆∽，∴OE OD DE k OA OC AC===， OC 是ABC ∆中AB 边的中线，点M 是DE 的中点， 2AB AO ∴=，12EM DE =， ∴2OE k EM AB AC==，且OEM OAC ∠=∠， OEM BAC ∴∆∆∽，36EOM ABC ∴∠=∠=︒，如图2，当0144α<<︒时，AON B ONB ∠=∠+∠，AOE EOM B ONB ∴∠+∠=∠+∠y α∴=如图3，当144180α︒<<︒时，36(180)BON EOM BOE α∠=∠-∠=︒-︒-144NOB α∴∠=-︒，36(144)180BNO ABC NOB αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-；（3）当0144α<<︒时，若OB ON =，则36ABC BNO α∠=∠=︒=， 若OB BN =，则18036722ONB α︒-︒∠==︒=， 若ON BN =，则36ABC BON ∠=∠=︒，180236108ONB α∴∠=︒-⨯︒=︒=，当144180α︒<<︒时，若OB BN =，则18180N NOB α∠=∠=︒=︒-， 162α∴=︒．。
2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如果线段a=2cm，b=10cm，那么ab的值为()A. 15B. 5 C. 2 D. 122.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=12，则BC∶AC∶AB等于()A. 1∶2∶5B. 1∶√3∶√5C. 1∶√3∶2D. 1∶2∶√33.如图，AB//CD，AB=6，CD=9，AD=10，则OD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 74.已知|a⃗|=1,|b⃗ |=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，那么下列结论中正确的是()A. a⃗=3b⃗B. a⃗=−3b⃗C. b⃗ =3a⃗D. b⃗ =−3a⃗5.抛物线y=5x2+6向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为()A. y=5(x−3)2+6B. y=5x2C. y=5(x+3)2+6D. y=5x2+96.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是()A. c>0B. 2a+b=0C. b2−4ac>0D. a−b+c>0第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知2x=5y，那么xx+2y=______．8.线段长度为3cm和4cm的比例中项是______ cm．9.已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=______．10.计算：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=______．11.已知等腰梯形的两底分别为4cm和6cm，将它的两腰分别延长6cm后可相交，那么此等腰梯形的腰长是______cm．12.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(不写定义域)．13.抛物线y=−4(x+1)2+1的开口方向向______，对称轴是______，顶点的坐标是______．14.抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为______．15.如图，在△ABC在，DE//BC，ADDB =23，S△ADE=8，则四边形BDEC的面积为______ ．16.如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是______．17.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，背水坡CD的坡度i=1：√3，则背水坡的坡长CD为______米．18. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD =15°，AD =6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点为点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为______cm ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：4cos 230°−cot45°tan60∘+2sin45∘．20. 如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示向量AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若∠B =∠ACE ，AB =6，AC =2√6，BC =9，求EG 的长．21.已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1,0)，(0,32).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G，连接OH．(1)求证：AG⋅GO=HG⋅GD；(2)若AC=8，BD=6，求DG的长．23.如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m.求建筑物EF的高度(精确到1m)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，√2≈1.4)24.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)，C(0,6)三点．(1)求抛物线的解析式．(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P是边BC的中点，点D、E分别是射线AC、射线BA上一个动点，且∠DPE=90°，联结DE，设BE=x，CD=y．(1)如图1，当D、E分别在边AC、边BA上时，试求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．(2)若△BEP为等腰三角形，求出CD的长．(3)若△DEP与△ABC相似，求出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题考查比例线段问题，关键是根据比例线段解答．根据比例线段计算即可．【解答】解：因为线段a=2cm，b=10cm，所以ab 的值=210=15，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数．根据正弦的定义和勾股定理可得比值．【解答】解：∵sinA=BCAB =12，∴设∠A的对边BC=x，则斜边AB=2x，根据勾股定理可得AC=√3x，∴BC:AC:AB=x:√3x:2x=1:√3:2．故选C．3.【答案】C【解析】解：∵AB//CD，∴△AOB∽△DOC，∴ABCD =AOOD，∵AB=6，CD=9，AD=10，∴69=10−ODOD，∴OD=6，故选：C．根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵|a⃗|=1,|b⃗ |=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，∴b⃗ =−3a⃗，故选：D．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先确定抛物线y=5x2+6的顶点坐标为(0,6)，再利用点平移的坐标特征得到点(0,6)平移后对应点的坐标为(3,6)，然后根据顶点式写出平移后的新抛物线的表达式．【解答】解：抛物线y=5x2+6的顶点坐标为(0,6)，点(0,6)向右平移3个单位长度后的对应点的坐标为(3,6)，所以平移后的新抛物线的表达式为y=5(x−3)2+6．故选：A．6.【答案】D【解析】解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c>0，正确；=1，得2a+b=0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=−b2aC、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2−4ac>0，正确；D、直线x=−1与抛物线交于x轴的下方，即当x=−1时，y<0，即y=a−b+c<0，故选：D．本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．7.【答案】59【解析】解：∵2x=5y，∴设x=5a，则y=2a，那么xx+2y =5a5a+4a=59．故答案为：59．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8.【答案】2√3【解析】解：设比例中项是xcm，则：3：x=x：4，x2=12，x=±2√3，∵线段是正值，∴负值舍去，故答案为：2√3．根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键．9.【答案】√5−1【解析】【分析】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．根据黄金分割的概念得到MP=√5−12MN，把MN=2代入计算即可．解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，∴MP=√5−12MN=√5−12×2=√5−1；故答案为：√5−1．10.【答案】a⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于该题．考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．【解答】解：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=3a⃗−3b⃗ −2a⃗+3b⃗=(3−2)a⃗+(−3+3)b⃗=a⃗．故答案是：a⃗．11.【答案】3【解析】解：如图，等腰梯形ABCD中，AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，求AB、CD．∵AD//BC∴△EAD∽△EBC∴EAEB=ADBC∵AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，EB=EA+AB ∴AB=CD=3cm．由AD//BC，可知△EAD∽△EBC，则EAEB =ADBC，根据AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，EB=EA+AB，可求得AB=CD=3cm．根据等腰梯形的性质，结合相似三角形求解．12.【答案】S=−2x2+10x【解析】解：设平行于墙的一边为(10−2x)米，则垂直于墙的一边为x米，根据题意得：S=x(10−2x)=−2x2+10x，故答案为：S=−2x2+10x根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．13.【答案】下直线x=−1(−1,1)【解析】解：抛物线y=−4(x+1)2+1的开口方向、对称轴和顶点坐标是：开口向下，对称轴为直线x=−1，顶点(−1,1)．故答案为：下，直线x=−1，(−1,1)．利用a=−4得出图象的开口方向，再利用顶点式得出抛物线的对称轴和顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用顶点式得出函数顶点坐标是解题关键．14.【答案】y=14x2−x+1【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，∴抛物线的对称轴是直线x=6+(−2)2=2，即顶点坐标为(2,0)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+0，把(−2,4)代入得：4=a(−2−2)2+0，解得：a=14，即y=14(x−2)2+0=14x2−x+1，故答案为：y=14x2−x+1．先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出顶点坐标是解此题的关键．15.【答案】42【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．由于DE//BC ，则可判断△ADE∽△ABC ，根据相似的性质得S △ADES△ABC=(AD AB )2=425，则可计算出S △ABC =50，然后利用四边形BDEC 的面积=S △ABC −S △ADE 求解． 【解答】 解：∵ADDB =23， ∴AD AB=22+3=25， ∵DE//BC ， ∴△ADE∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC=(AD AB )2，即8S△ABC=425，∴S △ABC =50，∴四边形BDEC 的面积=S △ABC −S △ADE =50−8=42． 故答案为42．16.【答案】13【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．根据正方形的性质可得到△AME∽△CDE ，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH ，EF 的长，从而即可求得阴影部分的面积． 【解答】解：如图，过点E 作HF ⊥AB ，∵AM//CD，∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA，∴△AME∽△CDE，∴AM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1，∴EH=13，EF=23．∴阴影部分的面积=S正方形ABCD −S△AME−S△CDE−S△MBC=1−112−13−14=13．故答案为13．17.【答案】20【解析】解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，∴AE=10√2×sin45°=10(米)，∵背水坡CD的坡度i=1：√3，∴tan∠C=DFFC =√3=√33，∴∠C=30°，则DC=2DF=2AE=20(米)，故答案为：20．由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i=1：√3得出∠C的度数，即可求解．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．18.【答案】(10−2√6)【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED=∠ADG=45°，∠AFD=60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF=AC−AF=10−2√6．【解答】解：过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°， ∴∠AED =∠ADG =45°， ∠AFD =∠AED +∠CAE =60°， 在Rt △ADG 中，AG =DG =√2=3√2，在Rt △AFG 中，GF =√3=√6，AF =2FG =2√6，∴CF =AC −AF =10−2√6， 故答案为：10−2√6．19.【答案】解：原式=4×(√32)2−13+2×√22=3+2=2√3−2√2．【解析】把30°、45°、60°角的各种三角函数值代入计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12(b ⃗ −a ⃗ )=12a ⃗ +12b ⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +13b ⃗ ．(2)∵∠B =∠ACE ，∠CAE =∠BAC ， ∴△ACE∽△ABC ， ∴AEAC =ACAB ， ∴AE =4，此时AEAB =23=AGAD ，∵∠EAG =∠BAD ， ∴△AEG∽△ABD ，∴EG =23BD =13BC =3．【解析】(1)由点G 是△ABC 的重心，推出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据三角形法则求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题；(2)想办法证明△AEG∽△ABD ，可得EG =23BD =13BC =3；本题考查三角形的重心、平面向量、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)把(1,0)，(0,32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32， 解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32；(2)抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2，其顶点恰好落在原点．【解析】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． (1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可； (2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB 于H ， ∴∠DHA =∠DOG =90°， ∵∠AGH =∠DGO ， ∴△AGH∽△DGO ， ∴AGDG =HGOG ，∴AG ⋅GO =HG ⋅GD ；(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =8，BD =6，∴AO=CO=4，BO=DO=3，∴AB=AD=√42+32=5，∵S菱形ABCD =12⋅AC⋅BD=AB⋅DH，∴DH=245，∵∠DOG=∠DHB=90°，∠ODG=∠HDB，∴△DOG∽△DHB，∴ODDH =DGBD，∴3245=DG6，∴DG=154．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．(1)根据菱形的性质得到AC⊥BD，由于DH⊥AB于H，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH∽△DGO，根据相似三角形的性质得到AGDG =HGOG，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到AO=CO=4，BO=DO=3，根据勾股定理得到AB=AD=√42+32=5，根据菱形的面积公式得到DH=245，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．23.【答案】解：设AG⊥EF于G，CH⊥EF于H设CH=xm，由题意得，四边形ACHG为矩形，∴AG=CH=x，GH=AC=20−10=10，∵∠ECH=45°，∴EH =CH =x ，在Rt △EAG 中，tan∠EAG =EGAG ，即tan37°=EG x，解得，EG ≈34x ， 则x −34x =10， 解得，x =40， ∴EF =FH +EH =50， 故建筑物EF 的高度约为50m ．【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．设CH =xm ，根据矩形的性质得到AG =CH =x ，根据正切的定义用x 表示出EH 、EG ，结合图形列式计算即可．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)，∴设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −3)，∵抛物线y =a(x −1)(x −3)(a ≠0)的图象经过点C(0,6)， ∴6=a(0−1)(0−3)， ∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −3)=2x 2−8x +6； (2)∵y =2x 2−8x +6=2(x −2)2−2， ∴顶点M 的坐标为(2,−2)，∵抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称， ∴点N(2,2)，设直线AN 解析式为：y =kx +b ， 由题意可得：{0=k +b 2=2k +b，解得：{k =2b =−2，∴直线AN 解析式为：y =2x −2， 联立：{y =2x −2y =2x 2−8x +6，解得：{x 1=1y 1=0，{x 2=4y 2=6，∴点D(4,6)，∴S △ABD =12×2×6=6， 设点E(m,2m −2)，∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分， ∴S △ABE =13S △ABD =2或S △ABE =23S △ABD =4，∴12×2×(2m −2)=2或12×2×(2m −2)=4，∴m =2或m =3， ∴点E(2,2)或(3,4)；(3)若AD 为平行四边形的边，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD =PQ ，∴x D −x A =x P −x Q 或x D −x A =x Q −x P ， ∴x P =4−1+2=5或x P =2−4+1=−1， ∴点P 坐标为(5,16)或(−1,16)； 若AD 为平行四边形的对角线，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD 与PQ 互相平分， ∴x A +x D2=x P +x Q2，∴x P =3， ∴点P 坐标为(3,0)，综上所述：当点P 坐标为(5,16)或(−1,16)或(3,0)时，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．【解析】【试题解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，属于较难题．(1)设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −3)，把点C 坐标代入解析式，可求解；(2)分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；(3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．25.【答案】解：(1)如图1中，作EF⊥BC于F．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵EF//AC，∴BEBA =BFBC=EFAC，∴x5=BF4=EF3，∴EF=35x，BF=45x，∵PC=PB=2，∴PF=2−45x，∵∠C=∠EFP=∠DPF=90°，∴∠DPC+∠EPF=90°，∠EPF+∠PEF=90°，∴∠DPC=∠PEF，∴△PDC∽△EPF，∴EFPC =PFCD，∴35x2=2−45xy，∴y=20−8x3x，当y=4时，x=1，当y=0时，x=52，∴1≤x≤52．(2)①如图2−1中，当EP=EB时，作EF⊥PB于F．∵EP=EB，EF⊥PB，∴PF=BF，∴45x=1，∴x=54，∴CD=y=20−8×5 43×54=83．②如图2−2中，当BP=BE时，x=2，CD=y=20−8×23×2=23③如图2−3中，当PE=PB时，点D在AC的延长线上，同法可得y=8x−103x．作PM⊥BE于M，则BM=BE=3×45=85，∴x=165，∴CD =y =8×165−203×165=712． 综上所述，满足条件的CD 的值为83或23或712．(3)①如图3−1中，当△DPE∽△BCA 时，则有DP PE =BC AC =43，∵△DCP∽△PFE ，∴PDPE =PCEF=43， ∴EF =32，∴35x =32，∴x =52，此时CD =y =0，∴AD =AC =3．②如图3−2中，当大王E 在BA 的延长线上时，△EPD∽△BCA ，则有EP PD =BC AC =43，同法可得EFPC =43，∴EF=83，∴35x=83，∴x=409，∴CD=y=8×409−203×409=76，∴AD=AC+CD=3+76=256，综上所述，满足条件的AD的值为3或256．【解析】(1)如图1中，作EF⊥BC于F.利用相似三角形的性质构建关系式即可．(2)分三种情形：①如图2−1中，当EP=EB时．②如图2−2中，当BP=BE时．③如图2−3中，当PE=PB时，点D在AC的延长线上，分别求解即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，当△DPE∽△BCA时，则有DPPE =BCAC=43，构建方程即可解决问题．②如图3−2中，当大王E在BA的延长线上时，△EPD∽△BCA，则有EPPD=BC AC =43，构建方程即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。