2021届绵阳一诊 理科数学(Word版含答案)
四川省绵阳中学2021-2022学年高三上学期第一次质量检测数学试题及答案
四川省绵阳中学高2022届高三第一次质量检测理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则（）A. B.C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.某学校共有教职工120人,对他们进行年龄结构和受教育程度的调查,其结果如下表:现从该校教职工中任取1人,则下列结论正确的是（）本科研究生合计35岁以下40307035-50岁27134050岁以上8210A.该教职工具有本科学历的概率低于60%B.该教职工具有研究生学历的概率超过50%C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%4.设p：“事件A与事件B互斥”，q：“事件A与事件B互为对立事件”，则p是q的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A.225B.185C.145D.1106.已知椭圆C 的方程是，点在椭圆C 上，过点A 且斜率为的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆C 的方程为A.B. C.D.7.函数f （x ）＝x sinx 在处的切线的倾斜角为A. B. C. D.8.已知==10,则+=()A.1B.2C.D.9.已知数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若a k ＋a k ＋2＝a k ＋1，k ∈N *，则（）A.S k ＝S k ＋1B.S k ＋1＝S k ＋2C.S k ＝S k ＋2D.S k -1＝S k10.在空间，若∠AOB =∠AOC =60°，∠BOC =90°，直线OA 与平面OBC 所成的角为θ，则cosθ=（）A.B.C. D.11.设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若(+)=0，则双曲线的离心率是（）A.B. C.D.12.已知函数则不等式f (2020+x )+f (2021)≤1的解集是（）A.B.[4039，+∞]C.(-∞，4042)D.[4042，+∞]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学一诊试卷(含解析)
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学一诊试卷一.选择题（共12小题）.1．下列国产车的标志中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（）A．7B．﹣3C．1或﹣3D．03．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二，三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程为（）A．80（1+x）2＝340B．80+80（1+x）2＝340C．80（1+x）+80（1+x）2＝340D．80+80（1+x）+80（1+x）2＝3404．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣55．如图，在△ABC中，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，若∠B′C′B＝52°，则∠C的度数为（）A．74°B．66°C．64°D．76°6．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣1，）7．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠ACB＝∠AOB，则∠AOB的度数是（）A．60°B．90°C．100°D．120°8．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（）A．B．C．D．9．如图，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2．把BC绕B逆时针旋转，使C恰好落在AD 上的点E处，线段BC扫过部分为扇形BCE．若扇形BCE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．C．D．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（）x…﹣1013…y…﹣3131…A．a＜0B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间C．2a+b＞0D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y211．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（）A．5B．5C．5D．12．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x+b的图象记为y2，则以下说法中正确的有（）①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题）.13．平面直角坐标系中，P（x，2+y）与Q（2y，x）关于原点对称，则xy＝．14．如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝50cm，AB＝30cm，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是．15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后秒停下．16．已知△ABC三边的长分别为5、12、13，那么△ABC内切圆的半径为．17．若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，2x+4，12﹣x}时，则y的取值范围是．18．等边△ABC的边长为6，P是AB上一点，AP＝2，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为P′，连接BP′，BP′的中点为Q，连接CQ．则CQ长度的最小值是．三、解答题（共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：x2+2x+1＝3x+3．20．在乐善中学组织的体育测试中，小壮掷出的实心球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣（x﹣3）2+，求小壮此次实心球推出的水平距离．21．疫情期间，游海中学进行了一次线上数学学情调查，九（1）班数学李老师对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图．60到70之间学生成绩尚未统计，根据情况画出的扇形图如图．请解答下列问题：类别分数段频数（人数）A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9024D90≤x＜1006（1）完成频数分布表，a＝，B类圆心角＝°，并补全频数分布直方图；（2）全校九年级共有720名学生全部参加此次测试，估计该校成绩80≤x＜100范围内的学生有多少人？（3）九（1）班数学老师准备从D类优生的6人中随机抽取两人进行线上学习经验交流，已知这6人中有两名是无家长管理的留守学生，求恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3）．以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1．（1）在坐标系中画出△A1B1C1．（2）若△ABC上有一点P（m，n），直接写出旋转后对应点P1的坐标．（3）求旋转中线段AC所经过部分的面积．23．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．（1）求a的取值范围；（2）当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．24．如图，游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD，AD＝32米，AB＝20米．为了便于养护与运输，养植园内留有四横四纵等宽道路，养植面积与道路面积比为7：3．（1）求道路的宽度．（2）养植区域内月季盆裁要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样．每平方米最多能摆放36盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低．大棚内现在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售价为5元．分析发现：每平方米每增加5盆，每盆的出售价会下降0.5元．老板准备增加养植数量，以获得最多的出售总额，那么每平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？25．如图1，O是△ABC的边BC的中点，⊙O与BC交于E、F两点，与AB相切于点D，连接AO交⊙O于点P，＝．（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想．（2）如图2，延长AO交⊙O于Q点，连接DE、DF，DQ，FQ，FQ＝，ED＝5，求DQ的长．（3）如图3，若DE＝5，连接DF、DP、PF，设DP＝x，△DPF的面积为y，求y与x 之间的函数关系式．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．抛物线顶点纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的解析式及C点坐标．（2）如图1，过C作x轴的平行线，与抛物线交于点M，连接AM、BM，在y轴上是否存在点N，使∠ANB＝∠AMB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）把线段OC绕O点顺时针旋转，使C点恰好落在抛物线对称轴上的点P处，如图2，再将线段OP绕P点逆时针旋转45°得线段PQ，请计算Q点坐标，并判断Q点在抛物线上吗？参考答案一.选择题（共12小题）.1．下列国产车的标志中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．不是中心对称图形，不合题意；B．是中心对称图形，符合题意；C．不是中心对称图形，不合题意；D．不是中心对称图形，不合题意；故选：B．2．关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（）A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0，得m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或﹣3．故选：C．3．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二，三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程为（）A．80（1+x）2＝340B．80+80（1+x）2＝340C．80（1+x）+80（1+x）2＝340D．80+80（1+x）+80（1+x）2＝340解：设月平均增长率的百分数为x，80+80（1+x）+80（1+x）2＝340．故选：D．4．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．5．如图，在△ABC中，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，若∠B′C′B＝52°，则∠C的度数为（）A．74°B．66°C．64°D．76°解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∴AC′＝AC，∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′，∵∠B′C′B＝52°，∴∠CC′B′＝180°﹣52°＝128°，∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′＝×128°＝64°，故选：C．6．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣1，）解：连接OF．∵∠AOF＝＝60°，OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA＝OF＝4．设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．在Rt△GOF中，∵∠GOF＝30°，OF＝4，∴GF＝2，OG＝2．∴F（﹣2，2）．故选：C．7．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠ACB＝∠AOB，则∠AOB的度数是（）A．60°B．90°C．100°D．120°解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD．∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠ACB＝∠AOB＝2∠ADB，∴2∠ADB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝60°，∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，故选：D．8．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（）A．B．C．D．解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，设草鱼的条数为x，可得：＝0.5，解得：x＝2400，∴由题意可得，捞到鲢鱼的概率为：＝；故选：D．9．如图，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2．把BC绕B逆时针旋转，使C恰好落在AD 上的点E处，线段BC扫过部分为扇形BCE．若扇形BCE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．C．D．解：∵线段CE由线段BC旋转而成，BC＝2，∴BE＝BC＝2．∵AB＝1，∠BAE＝90°，∴∠AEB＝30°．∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB＝30°，∴S阴影＝＝，设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr＝，解得：r＝．故选：A．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（）x…﹣1013…y…﹣3131…A．a＜0B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间C．2a+b＞0D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，∴a＜0，故A正确；∵x＝﹣1时，y＝﹣3，∴x＝4时，y＝﹣3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，故B错误；∵抛物线过点（0，1）和（3，1），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝＞1，∴2a+b＞0，故C正确；∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），∵＜5，∴y1＜y2，故D正确；故选：B．11．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（）A．5B．5C．5D．解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：C．12．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x+b的图象记为y2，则以下说法中正确的有（）①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）．A．1个B．2个C．3个D．4个解：①错误．如图1中，当直线y＝x+b与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时b≠1，故①错误．②正确．如图2中，当抛物线经过点（﹣2，0）时，0＝4﹣m，m＝4．由消去y得到x2+x+b﹣4＝0，当△＝0时，1﹣4b+16＝0，∴b＝，观察图象可知当b＞或﹣2＜b＜2时，y1与y2有两个交点．故②正确．③错误．如图3中，当b＝﹣4时，观察图象可知，y1与y2没有交点，故③错误．④正确．如图4中，当b＝4时，观察图象可知，b＞0，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m），故④正确．故选：B．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．平面直角坐标系中，P（x，2+y）与Q（2y，x）关于原点对称，则xy＝﹣8．解：∵P（x，2+y）与Q（2y，x）关于原点对称，∴，解得：，则xy＝﹣4×2＝﹣8．故答案为：﹣8．14．如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝50cm，AB＝30cm，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是．解：∵∠ABC＝90°，AC＝50cm，AB＝30cm，∴由勾股定理得：BC＝40cm，∴S△ABC＝AB•BC＝×30×40＝600（cm2），∴S阴影＝S正方形﹣4S△ABC＝502﹣4×600＝100（cm2），∴小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是＝，故答案为：．15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后40秒停下．解：s＝96t﹣1.2t2，当t＝﹣＝＝40（秒）时，s将取到最大值，即飞机着陆后40秒停下．故答案为：40．16．已知△ABC三边的长分别为5、12、13，那么△ABC内切圆的半径为2．解：如图，圆O为△ABC内切圆，切点分别为D、E、F，连接OF、OE、OD，则OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB．由切线长定理，可知AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，∴OE＝OF＝CE＝CF，又∵52+122＝132，∴∠C＝90°，∴四边形FCEO为正方形，∴CE＝＝＝2．故答案为2．17．若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，2x+4，12﹣x}时，则y的取值范围是y≤9．解：如图，当x＝3时y有最大值，y最大＝12﹣3＝9，故答案为y≤9．18．等边△ABC的边长为6，P是AB上一点，AP＝2，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为P′，连接BP′，BP′的中点为Q，连接CQ．则CQ长度的最小值是3﹣1．解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，∵AP＝2，把AP绕点A旋转一周，∴AP'＝2，∵等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，∴BD＝AD＝3，CD⊥AB，∴CD＝＝＝3，∵点Q是BP'是中点，∴BQ＝QP'，又∵AD＝BD，∴DQ＝AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，∴CQ的最小值为3﹣1，故答案为3﹣1．三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：x2+2x+1＝3x+3．解：∵x2+2x+1＝3x+3，∴（x+1）2﹣3（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣2）＝0，∴x+1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2．20．在乐善中学组织的体育测试中，小壮掷出的实心球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣（x﹣3）2+，求小壮此次实心球推出的水平距离．解：令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣2（舍去），故小壮此次实心球推出的水平距离为：8米．21．疫情期间，游海中学进行了一次线上数学学情调查，九（1）班数学李老师对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图．60到70之间学生成绩尚未统计，根据情况画出的扇形图如图．请解答下列问题：类别分数段频数（人数）A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9024D90≤x＜1006（1）完成频数分布表，a＝2，B类圆心角＝120°，并补全频数分布直方图；（2）全校九年级共有720名学生全部参加此次测试，估计该校成绩80≤x＜100范围内的学生有多少人？（3）九（1）班数学老师准备从D类优生的6人中随机抽取两人进行线上学习经验交流，已知这6人中有两名是无家长管理的留守学生，求恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率．解：（1）调查的总人数为：24÷50%＝48（人），∴a＝48﹣16﹣24﹣6＝2，B类圆心角的度数为360°×＝120°，故答案为2，120；补全频数分布直方图为：（2）720×＝450（人），所以估计该校成绩80≤x＜100范围内的学生有450人；（3）把D类优生的6人分别即为1、2、3、4、5、6，其中1、2为留守学生，画树状图如图：共有30个等可能的结果，恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的结果有16个，∴恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率为＝．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3）．以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1．（1）在坐标系中画出△A1B1C1．（2）若△ABC上有一点P（m，n），直接写出旋转后对应点P1的坐标．（3）求旋转中线段AC所经过部分的面积．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）P1（n，﹣m）．（3）线段AC所经过部分的面积＝﹣＝（OC2﹣OA2）＝•（32+52﹣22﹣42）＝，23．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．（1）求a的取值范围；（2）当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，∴，解得a＜且a≠3．（2）由（1）得a的最大整数值为4；∴x2﹣4x+3＝0解得：x1＝1 x2＝3．∵△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，∴①三边都为1，则△ABC的周长为3；②三边都为3，则△ABC的周长为9；③三边为1，1，3，因为1+1＜3，此情况不存在；④三边为1，3，3，则△ABC的周长为7．24．如图，游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD，AD＝32米，AB＝20米．为了便于养护与运输，养植园内留有四横四纵等宽道路，养植面积与道路面积比为7：3．（1）求道路的宽度．（2）养植区域内月季盆裁要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样．每平方米最多能摆放36盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低．大棚内现在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售价为5元．分析发现：每平方米每增加5盆，每盆的出售价会下降0.5元．老板准备增加养植数量，以获得最多的出售总额，那么每平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？解：（1）设道路宽x米，则（32﹣4x）（20﹣4x）＝32×20×，解得：x1＝1，x2＝12（不合题意舍去），故x＝1，答：道路宽为1米；（2）∵5：0.5＝10：1，故设每平方米增加10z盆，则每盆售价降低z元，出售总额为w元/m2，则：w＝（10+10z）（5﹣z）＝﹣10（z﹣2）2+90，∵10z≤36﹣10，∴z≤2.6，∴0≤z≤2.6，又∵a＝﹣10＜0，且z＝2在0≤z≤2.6内，∴每平米应该养植20盆月季小盆栽才能使出售总额最多．25．如图1，O是△ABC的边BC的中点，⊙O与BC交于E、F两点，与AB相切于点D，连接AO交⊙O于点P，＝．（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想．（2）如图2，延长AO交⊙O于Q点，连接DE、DF，DQ，FQ，FQ＝，ED＝5，求DQ的长．（3）如图3，若DE＝5，连接DF、DP、PF，设DP＝x，△DPF的面积为y，求y与x 之间的函数关系式．解：（1）结论：AC与⊙O相切，理由：过点O作OH⊥AC于H，∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB，∵，点O是圆心，∴∠BOP＝∠COP＝90°，又∵O是BC的中点，∴AB＝AC，∴∠BAO＝∠OAC，又∵OD⊥AB，OH⊥AC，∴OD＝OH，∴OH是半径，∴AC与⊙O相切．（2）如图2中，过点Q作QN⊥CD于N，QM⊥DE交DE的延长线于M，连接QE．∵AO⊥BC，O是圆心，∴PQ是直径，∴OQ＝OF，∴FQ＝OF＝，∴FO＝，∴EF＝13，∵EC是直径，∴∠EDC＝90°，∵DE＝5∴CD＝＝＝12，∵∠QDC＝∠QOF＝45°，∴∠QDM＝∠QDN＝45°，∴＝，∴EQ＝FQ，∵QM⊥DM，QN⊥DN，∴QM＝QN，∵∠M＝∠QNF＝90°，∴Rt△QME≌Rt△QNF（HL），∴EM＝FN，∵∠M＝∠MDN＝∠DNQ＝90°，∴四边形DMQN是矩形，∵QM＝QN，∴四边形DMQN是正方形，∴DM＝DN，∴DE+DF＝DM﹣EM+DN+NF＝2DM＝17，∴DM＝DN＝，∴DQ＝DN＝．（3）如图3中，过点F作FH⊥DP交DP的延长线于H．∵∠PDF＝∠POC＝45°，∠H＝90°，∴∠HDF＝∠DFH＝45°，∴DH＝FH，DF＝FH，∵∠EDF＝∠H＝90°，∠EFP＝∠DFH＝45°，∴∠EFD＝∠PFH，∴△EFD∽△PFH，∴＝＝，∵DE＝5，∴PH＝，∴DH＝FH＝x+，∴y＝S△PDF＝•DP•FH，∴y＝×x×（x+）＝x2+x（x＞0）．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．抛物线顶点纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的解析式及C点坐标．（2）如图1，过C作x轴的平行线，与抛物线交于点M，连接AM、BM，在y轴上是否存在点N，使∠ANB＝∠AMB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）把线段OC绕O点顺时针旋转，使C点恰好落在抛物线对称轴上的点P处，如图2，再将线段OP绕P点逆时针旋转45°得线段PQ，请计算Q点坐标，并判断Q点在抛物线上吗？解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），函数的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝a（x2﹣6x+5）＝﹣4a＝﹣4，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+5，当x＝0时，y＝5，故点C（0，5）；（2）存在，理由：根据点的对称性，点C（0，5），函数对称轴为x＝3，故点M（6，5），∵∠ANB＝∠AMB，则点N、M、B、A四点共圆，∵△ABM的外接圆圆心在抛物线的对称轴上，故设圆心为H（3，m），设点N（0，t），则MH＝BH，即（5﹣3）2+（m﹣0）2＝（5﹣3）2+（m﹣5）2，解得m＝3，故点H（3，3），同样HM＝HN，即（5﹣3）2+（m﹣0）2＝（0﹣3）2+（t﹣3）2，解得t＝1或5，故点N的坐标为（0，1）或（0，5），根据图象的对称性，符合条件的点N还有（0，﹣1）或（0，﹣5），故点N的坐标为（0，1）或（0，5）或（0，﹣1）或（0，﹣5）；（3）不在，理由：设函数对称轴交x轴于点D，在Rt△OPD中，OP＝OC＝5，OD＝3，则PD＝4，故P（3，4），则OP＝5，设直线PQ交x轴于点K，则KR⊥OP于点R，tan∠POD＝，在Rt△ORK中，设RK＝4x，则OR＝3x，OK＝5x，在Rt△RKP中，∠RPK＝45°，则PR＝RK＝4x，则OP＝OR+PR＝7x＝5，解得x＝，故OK＝5x＝，故点K（，0），由点P、K的坐标得，直线PK的表达式为y＝﹣7x+25，设点Q的坐标为（s，﹣7s+25），由PQ＝PO＝5得：（3﹣s）2+（4+7s﹣25）2＝25，解得s＝（不合题意值已舍去），故点Q的坐标为（，），当x＝时，y＝x2﹣6x+5＝﹣3.5≠，故点Q不在抛物线上．。
四川省绵阳2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题含解析
绵阳2021级高三上期一诊模拟（三）数学（理科）试题（答案在最后）时间：120分钟，满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|lo 1g B x x =<，则A B ⋃=A.()2,3- B.(),3-∞ C.()2,2- D.()0,2【答案】A 【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B ⋃=()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2.复数z =）A.1B.－1C.iD.－i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解.【详解】()()()21i 1i 1i 1i z -===-+-，∴虚部为－1．故选：B3.以下说法正确的有（）A.“24-<<x ”是“22150x x --<”的必要不充分条件B.命题“01x ∃>，0ln(1)0x -≥”的否定是“1x ∀≤，ln(1)0x -<”C.“2b ac =”是“,,a b c ”成等比数列的充分必要条件D.设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.【详解】A 选项，()()2215530x x x x --=-+<，解得35x -<<，所以“24-<<x ”是“22150x x --<”的充分不必要条件，A 选项错误.B 选项，因为由0ln(1)0x -≥，得011x -≥，即02x ≥，所以命题“01x ∃>，0ln(1)0x -≥”的否定是“1x ∀>，2x <”，B 选项错误.C 选项，当0a b c ===时，有2b ac =，但此时“,,a b c ”不是等比数列；当“,,a b c ”成等比数列时，有b ca b=，即2b ac =，所以“2b ac =”是“,,a b c ”成等比数列的必要不充分条件，C 选项错误.D 选项，当0,0a b ≠=时，有0ab =；当0ab ≠时，有0,0a b ≠≠；所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，所以D 选项正确.故选：D.4.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10RAB AC ==，100tan10R BC =-=，25250.760.985R R ==故选:B.5.已知2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.19-B.19C.9-D.9【答案】A 【解析】【分析】由22()266πππθθ+-=+，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin(22sin ()166ππθθ-=+-，即可求值.【详解】由题意有：22()266πππθθ+-=+，∴2cos(2sin(2cos 2()12sin ()26666πππππθθθθ+-=--=+=-+，又2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1sin 269πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：A.6.如图所示的程序框图的输出结果为（）A.20142015B.12015C.20152016D.12016【答案】C 【解析】【分析】运行程序，根据裂项求和法求得正确答案.【详解】运行程序，0,1S i ==，判断否，1101212S =+=⨯⨯，2i =，判断否，11,31223S i =+=⨯⨯，……以此类推，111,2016122320152016S i =+++=⨯⨯⨯ ，判断是，输出111122320152016S =+++⨯⨯⨯ 1111112015112232015201620162016=-+-++-=-=.故选：C7.已知函数ππ()sin()22f x x ωϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，3π8x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.32B.1- C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.【详解】因为函数()f x 在3π7π,88⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，3π8x =是函数()f x 的一条对称轴，所以有7π3π17π3π12π2882882T ωω-≤⇒-≤⋅⇒≤，所以()()3ππ2πZ 182k k ωϕ⋅+=+∈，因为ππsin 88y f x x ωωϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，所以()()ππZ 28m m ωϕ+=∈，由()()12-可得：()422k m ω=-+，而2ω≤，所以2ω=±，当2ω=时，()()2ππZ πZ 84m m m m πϕϕ+=∈⇒=-∈，因为ππ22ϕ-<<，所以π4ϕ=-，即π()sin(24f x x =-，当3π7π,88x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，ππ3π2,422x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，显然此时函数单调递减，符合题意，所以7π7πππ3()sin(2)sin 2424432f =⨯-==；当2ω=-时，()()2πππZ πZ 84m m m m ϕϕ-+=∈⇒=+∈，因为ππ22ϕ-<<，所以π4ϕ=，即π()sin(2)4f x x =+，当3π7π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()π2π,2π4x +∈，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，故选：D8.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，20222023(1)(1)0a a -⋅-<则下列选项正确的是（）A.{}n a 为递增数列B.202220231S S +<C.2022T 是数列{}n T 中的最大项D.40451T >【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和前n 项和公式、数列的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由20222023(1)(1)0a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩．而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1．对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列．故A 不正确；对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =<－，所以202220231S S +>．故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}n T 中的最大项．故C 正确；对于D ：24044404512340444045123404511111()()()T a a a a q a q a qa q a α+++=== 404520224045202240451142020534()a q a q a ⨯===，因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <．故D 错误．故选：C9.如图，ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，则AO BC ⋅=（）A.52B.32C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，分别求出AO AB ⋅ 、AO AC ⋅即可求解作答.【详解】因ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，由圆的性质得1||cos ,||2AO AO AB AB 〈〉=，有21||||cos ,||22AO AB AO AB AO AB AB ⋅=〈〉==，同理219||22AO AC AC ⋅== ，所以5()2AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅= .故选：A【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．10.已知实数0x >，则函数x y x =的值域为（）A.(0,)+∞B.(1,)+∞ C.1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.1ee ,∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】x y x =的两边同时取自然对数得到()ln ln 0y x x x =>，令()()ln 0f x x x x =>，求导得到其单调性，求出()()ln 0f x x x x =>的值域，求出答案.【详解】对x y x =的两边同时取自然对数得，()ln ln 0y x x x =>，令()()ln 0f x x x x =>则()1ln f x x '=+，令()0f x ¢>，解得1e x >，令()0f x '<，解得10ex <<，故()()ln 0f x x x x =>在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()()ln 0f x x x x =>在1ex =上取得极小值，也是最小值，且1111ln e e e ef ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()()ln 0f x x x x =>的值域为1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭，所以xy x =的值域为1e e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D11.若函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则说()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则函数...1220212022()12320222023x x x x x f x x x x x x ++++=++++++++++的对称中心是（）A.(1011,2022)- B.()1011,2022 C.(1012,2023)- D.()1012,2023【答案】C 【解析】【分析】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想1012a =-，计算出(1012)(1012)4046f x f x --++-=，从而求出对称中心.【详解】函数定义域为{|1, 2...,...2022,2023}x x x x x ≠-≠-≠-≠-，定义域的对称中心为(1012,0)-，所以可猜1012a =-，则.10121011101010091010(1012)101110101009101010.11.x x x x xf x x x x x x -+-+-+++-+=+++++-+-+-+++，.10121011101010091010(1012)101110101009101010.11.x x x x xf x x x x x x----------=+++++--------1012101110101009101010111010101..091001011.x x x x x x x x x x+++--=++++++++--，故(1012)(1012)f x f x -+--+101010121009101110121010101110111010101010111011x x x x x x x x x x x x ++++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪=++++-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 622023404=⨯=所以()y f x =的对称中心为(1012,2023)-，故选：C ．12.已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，记()()1g x f x '=+，且(2)(2)4f x f x x +--=，()3g x +为偶函数，则()()717g g '+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为()3g x +为偶函数，()()1g x f x '=+，所以()()44f x f x ''+=-+，对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，得(2)(2)4f x f x ''++-=，所以有(4)()4(4)()4(4)()4(8)(),f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''++-=⇒-+-=⇒++=⇒+=所以函数()f x '的周期为8，在(2)(2)4f x f x ''++-=中，令0x =，所以(2)2f '=，因此()()()171822g f f ''===，因为()3g x +为偶函数，所以有()()()()()()()3373311g x g x g g x g x g ''=-⇒=--⇒=-'+-'+，()()()()()()()(8)()7171712f x f x g x g x g x g x g g ''''''+=⇒+=-⇒+=-⇒=-，由()()1,2可得：()70g '=，所以()()7172g g '+=，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，再利用赋值法进行求解.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______.【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+，又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，所以(2,4)a =-- ，所以a ==故答案为：14.若“[]01,4x ∃∈使20040x ax -+>”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.【答案】[5,)+∞【解析】【分析】将问题转化为“4≥+a x x在[]1,4上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【详解】因为“[]01,4x ∃∈使20040x ax -+>”为假命题，所以“[]1,4x ∀∈，240x ax -+≤”为真命题，其等价于4≥+a x x在[]1,4上恒成立，又因为对勾函数()4f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，而()()145f f ==，所以()max 5f x =，所以5a ≥，即实数a 的取值范围为[5,)+∞.故答案为：[5,)+∞.15.设矩形()ABCD AB BC >的周长为12，把ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折后交DC 于点M ，则ADM △的面积最大值为___________.【答案】27-【解析】【分析】作图，令ABC 折叠后对应为AEC △，且AB x =(36x <<)，易得ADM CEM ≅ ，再设,AM a DM x a ==-且2a x a >>，勾股定理列方程得186a x x=+-，最后应用三角形面积公式、基本不等式求面积最大值，注意取值条件.【详解】如下图，ABC 折叠后对应为AEC △，令AB x =且36x <<，则6BC x =-，由图知：AD BC EC ==，90D E ∠=∠=︒，AMD CME ∠=∠，则ADM CEM ≅ ，所以,DM EM AM CM ==，而AB AE AM EM AM DM ==+=+，令,AM a DM x a ==-且2a x a >>，则222AD DM AM +=，所以22218(6)()6x x a a a x x -+-=⇒=+-，则186DM x =-，则13183(6)(1)273()27272ADM S AD DM x x x x =⋅=--=-+≤-- ，当且仅当x =所以ADM △的面积最大值为27-故答案为：27-16.若存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x yx y x y t -+-=-成立，则实数t 的取值范围为___________.【答案】),2l 2(n2-∞-【解析】【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】()()22e e e e x y x y x y x xt y yt x y t ⇒-+==--++--，构造函数()()2e 0mf m m mt m =-+>，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()f x f y =，显然函数()f m 不是正实数集上的单调函数，()()e 20m f m m t m '=-+>，设()()()e 20e 2m mg m m m g m '=->⇒=-，当ln 2m >时，()()0,g m g m '>单调递增，当0ln 2m <<时，()()0,g m g m '<单调递减，故()()min ln 22ln 2g m g ==-，当2ln 20t -+≥时，即ln 22t ≥-时，()()0,f m f m '≥单调递增，所以不符合题意；当2ln 20t -+<时，即ln 22t <-时，显然存在0m ，使得()00f m '=，因此一定存在区间()()00,0m m εεε-+>，使得()f m '在()()0000,,,m m m m εε-+上异号，因此函数()f m 在()()0000,,,m m m m εε-+上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x yx y x y t -+-=-成立，故答案为：),2l 2(n2-∞-【点睛】关键点睛：本题的关键是由()()e e x y x y x y t -+-=-构造函数()()2e 0mf m m mt m =-+>.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 前n 项和n S ，11a =，满足()1252n n S n a +=++，N*n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21n n n n b S S ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证516<n T .【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；（2）利用等差数列前n 项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】依题意有()121252a a a +=++，11a = ，23a ∴=，又{}n a 为等差数列，设公差为d ，212d a a ∴=-=，()12121n a n n ∴=+-=-.【小问2详解】由（1）可得()21212n n n S n+-==，22221111(2)4(2)n n b n n n n ⎛⎫+∴==- ⎪++⎝⎭12111413b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222111424b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，322111435b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，L ，1221114(1)(1)n b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，221111155144(1)(2)4416n T n n ⎛⎫∴=+--<⨯= ⎪++⎝⎭.18.已知函数()322f x x ax bx =-++（1）若其图象在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=，求a ，b 的值；（2）若1是函数()f x 的一个极值点，且函数()f x x 在[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，0b =（2）,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦【解析】【分析】（1）由题意()132f a b =-+=，且()1321f a b '=-+=，由此即可得解.（2）一方面：由题意()1320f a b '=-+=，且()232f x x ax b '=-+至少有两个零点（否则()f x 单调递增没有极值点）；另一方面：由题意3222()22220f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--=≥ ⎪⎝⎭在[]2,3上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.【小问1详解】点()()1,1f 在切线10x y -+=上，()132f a b ∴=-+=，①()232f x x ax b '=-+，()1321f a b '=-+=，②联立①②解得1a =，0b =.【小问2详解】依题意有()232f x x ax b '=-+，()1320f a b '=-+=，23b a =-，且()()22412234690a a a a ∆=--=-+>，3a ∴≠；又2()223f x x ax a x x =-++-，3222()2222f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则[]2,3x ∈时，32220x ax --≥，即3222x a x -≤，令3222()x g x x-=，23x ≤≤，求导得34()20g x x '=+>，所以()g x 单调递增，min 7()(2)2a g x g ∴≤==；又3a ≠，所以a 的取值范围为,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦ .19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin a b B C c A B ++=-.（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，BAD CAD ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b c +的最小值.【小问1详解】依题意，sin sin sin sin a b B C c A B++=-，由正弦定理得222,a b b c a b bc c c a b ++=-=+-，222c b a bc +-=-，所以2221cos 022b c a A bc +-==-<，所以A 是钝角，所以2π3A =.【小问2详解】1π23BAD CAD A ∠=∠==，ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()333,1b c bc c b bc c b +=+=+=，所以()3312344151527b c b c b c c b c b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当()123,293b c c b c b bc c b ⎧=⎪==⎨⎪=+⎩时等号成立.20.已知向量π2cos ,23a x θ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，ππ2cos ,1062b x θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设()2f x a b =⋅+ ，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.（1）若3tan 2x =，求()f x 的值；（2）若函数()g x 的图象与函数()f x 的图象关于直线π8x =对称，且()g x 在区间5π,12t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，求实数t 的取值范围.【答案】（1）117（2）ππ,124轾犏-犏臌【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合正弦的二倍角公式、正弦型函数的对称性、同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可；（2）根据函数的对称性，结合正弦型函数的性质进行求解即可.【小问1详解】ππππ()24cos cos 224cos sin 3633f x a b x x x x θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=-+----+=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 222sin 2233x x θθ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若()f x 的图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则()ππ2πZ 63k k θ--=∈，()π2πZ 6k k θ∴-=+∈，()ππZ 212k k θ=--∈.π12θ∴=-，()2sin 26πf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.若tan 2x =，则2222sin cos 2tan sin 2sin cos 1tan 7x x x x x x x ===++，同理可得1cos 27x =.πππ4331111()2sin 22sin 2cos cos 2sin 2666147f x x x x ⨯⎛⎫⎛⎫∴=-=-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线π8x =对称，则ππππ()2sin 22sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为5π12x t -≤≤，所以7πππ22633x t -≤-≤-，而()g x 在5π,12t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，则π12sin 223x ⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，即π22sin 213x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因为7π5π2sin 2sin 166⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以πππ2236t -≤-≤，ππ124t ∴-≤≤，故t 的取值范围为ππ,124轾犏-犏臌21.已知函数()e cos sin x a f x x x +=+-.（1）当0a =时，讨论()f x 在()0,∞+上的单调性；（2）当0x >时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）π,2⎡⎫⎪∞⎢⎣+⎭-【解析】【分析】（1）由导数与单调性的关系求解，（2）参变分离后转化为求()()sin cos ,0,ex x x x x ϕ∞-=∈+的最大值.【小问1详解】当0a =时，()()e cos sin ,e sin cos xx f x x x f x x x =+-=--'.令()e sin cos x h x x x =--，则当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，2e e 2,sin cos 2x x x π≥>+<，从而()e sin cos 0xh x x x =-->成立；当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()πe cos sin e 4x x h x x x x ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭'，此时有[)πe 1,14x x ⎛⎫≥-∈- ⎪⎝⎭，从而()()0,h x h x '≥在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()00h x h ≥=，故当0,0a x =≥时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：（分离参数法）e cos sin 0x a x x ++-≥，则sin cos e e axx x -≥.令()()sin cos ,0,e x x x x x ϕ∞-=∈+，则()()2cos ,0,e x x x x ϕ∞=∈+'.故()x ϕ在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π3π+2π,+2π22k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π52π,π2π22k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上单调递增，其中k ∈N ，又ππ2π22k ϕϕ⎛⎫⎛⎫≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π21e e a ≥.故实数a 的取值范围是π,2⎡⎫⎪∞⎢⎣+⎭-.法二：由()0f x ≥对()0,x ∈+∞恒成立，得π02f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即2e 10a π-≥，亦即2a π≥-.下面证明：当2a π≥-时，()0f x ≥对()0,x ∈+∞恒成立.当π2a ≥-时，()2e cos sin e cos sin x x a f x x x x x π-+=+-≥+-，令()2e cos sin x g x x x π-=+-，则()22e sin cos e 4x x g x x x x πππ--⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭'.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 14x x ππ-⎛⎫<+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '<，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 14x x ππ-⎛⎫>+< ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，当()π,x ∈+∞时，22e e 24x x πππ-⎛⎫>>+< ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，所以()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故当π2a ≥-时，()()π02f x g x g ⎛⎫≥≥= ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立.综上：实数a 的取值范围是π,2⎡⎫⎪∞⎢⎣+⎭-.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.如图，在极坐标系Ox 中，圆O 的半径为2，半径均为1的两个半圆弧12,C C 所在圆的圆心分别为1π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 是半圆弧1C 上的一个动点，N 是半圆弧2C 上的一个动点.（1）若2π3O ON ∠=，求点N 的极坐标；（2）若点K 是射线()π03θρ=≥与圆O 的交点，求MOK 面积的取值范围.【答案】（1）11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据图形关系可确定1ρ=，极角11π6θ=，由此可得点N 的极坐标；（2）利用θ表示出OM 和MOK ∠，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到1πsin 226MOK S θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，结合正弦型函数值域可求得结果.【小问1详解】由2π3O ON ∠=知：21O O ON ==，6πAON ∠=，∴点N 的极角为π11π2π66-=，∴点N 的极坐标为11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知：2OK =，π2sin π2OM θθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，π3MOK θ∠=-，1πsin 2sin sin 23MOK S OK OM MOK θθ⎛⎫∴=⋅∠=- ⎪⎝⎭21112sin sin cos sin cos cos 2sin 222222θθθθθθθθ⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π,π2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，π7π13π2,666θ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，π1sin 21,62θ⎛⎫⎡⎫∴+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，30,2MOK S ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x R ∈，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)()1,-+∞(2)()2,3-【解析】【分析】（1）由于不等式可24x x -<+，可平方后求解；（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，利用不等式的三角不等式求得24x x -++的最小值，然后解不等式可得a 的范围．【详解】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，所以a 的取值范围为()2,3-.【点睛】本题考查绝对值不等式的问题，解绝对值不等式常用方法是根据绝对值的定义去绝对值符号后再求解，如果对两边均非负的不等式可平方去绝对值符号．绝对值三角不等式在求含绝对值的最小值时用处较大，而且是常用方法．。
高考试题库—四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题(含答案解析)
由题意，
在 中，令 可得
故数列 的奇数项是以1为首项，16为公比的等比数列；
偶数项是以4为首项，16为公比的等比数列
故奇数项的通项公式为： ，偶数项的通项公式为：
， ，故数列 是公比为4的等比数列，故A正确
由于 ，故数列 为单调递增数列，故B正确；
，故C正确；
由于
故 ，故D错误
故选：D
10．D
（1）证明： ；
（2）若 边上的点 满足 ，求线段 的长度的最大值.
20．已知函数 .
（1）若 时，求 在区间 上的最大值与最小值；
（2）若存在实数 ，使得不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围.
21．已知函数 ，其图象在点 处的切线斜率为 .
（1）证明：当 时， ；
（2）若函数 在定义域上无极值，求正整数 的最大值.
A．数列 是等比数列B．数列 为单调递增数列
C． D．
10．设函数 则满足 的 的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知定义在 上的函数 满足下列三个条件：
①对任意的 ，都有 ；
② 的图象关于 轴对称；
③对任意的 ，都有
则 ， ， 的大小关系是（）
A． B．
C． D．
12．函数 （ ， ），已知 ，且对于任意的 都有 ，若 在 上单调，则 的最大值为（）
参考答案
1．C
【分析】
根据对数函数的单调性求出集合 ，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】
解： ，
所以 .
故选：C.
2．D
【分析】
根据函数 的单调性可判断A是否正确；根据不等式的性质可判断B是否正确；根据函数 的单调性可判断C是否正确；根据函数 的单调性即可判断D是否正确.
四川省绵阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】【分析】 作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．B ．2C ．3D ．32【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出角A ，再由三角形面积公式计算即可.【详解】 由余弦定理得：2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==⋅⋅， 又()0,A π∈，所以得3A π=，故△ABC 的面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅⋅=故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.3．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC V 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ）A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A【解析】【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ，三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=V ，解得2h =，作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC V 的外心，所以CO '=，且2h OO '==，所以在Rt CO O 'V 中，OC ==，此为球的半径，213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A 17B ．32C ．53D ．102【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =；'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．函数()()()22214f x x x x =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()()2222221414f x x x x x x x f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦，该函数为偶函数，排除B 、D 选项；当01x <<时，()()()222140f x xx x =-->，排除C 选项. 故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17 B ．4 C ．2 D ．117+【答案】B【解析】【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-，过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号，∴MP d +的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.7．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++Q 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<.故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】【分析】 根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】 依题意得3322(2)(2)a f f =-=，322223log 8log 9<==<=<Q ， 当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以x y e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题. 9．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项.【详解】函数()3sin 3x f x x π=+ 易知()f x 为奇函数，故排除D.又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>； 又当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增.又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C.故选：B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.10．已知a b r r ，满足23a =r 3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据向量投影的定义，即可求解.【详解】a r 在b r 上的投影为6cos23a b a bθ⋅-===-r r r r . 故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.11．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌（块）银牌 （块） 铜牌 （块） 奖牌总数 245 11 12 28 2516 22 12 54 2616 22 12 50 2728 16 15 59 2832 17 14 63 2951 21 28 100 30 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B【点睛】 此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.12．函数()2cos2cos221x x f x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项.【详解】∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---， ∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >， 故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市高中2021届高三第一学期第一次诊断性考试数学(理)试题 含答案
nHH
nB
a opuv
／
口 3
飞·
－π
fo
、‘，／
(1)求角 C 的大小；
(2）若cosB = __!_, c = 7，求 AB 边 上的高． 7 理科数学试题第 3 页（共 4 页）
20. (12分）
己知函数 f(x）是定义在R 上的奇函数，当 x<O 时， f(x）＝ 兰兰 ＋1. x
(1)求函数 f(x） 的解析式： (2）若对于任意实数x，不等式 f(e勺＋ 2af(ex）二三0恒成立，求实数α的取值范围．
时cosα＝
A. _!_ 2
B. 丘二1
c. 一)一3
D. 豆1
。n+ 11.数列｛αn｝满足
一1一＝一2一一一 1 2 αn+I αn
，α2
L.
1
＝一
5
，α4＝一19
，数列｛
bn｝的前n项和为品，若bn
＝αna
n+!'
4
则便不等式
S“n
＞
一
27
成立的n的最小值为
A. 11
B. 12
c. 13
D. 14
p
极向上的活力．某公司设计方案如图，等腰今PMN 的顶点P
在半径为20m的大①0上，点 M, N在半径为lOm的小①O
上，圆心。与点P都在弦 MN的同侧．设弦 MN 与对应劣弧
所围成的弓形面积为S, LOPM 与 LOPN 的面积之和为S1,
ζMON=2α，当S1-S的值最大时，该设计方案最美，则此
2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是
A.y=tan.x
B.y=ln.x
C.y=x3
四川省绵阳2023-2024学年高三上学期10月月考(一诊模拟)理科数学试题含解析
绵阳南山高2021级高三（上）一诊模拟考试理科数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()UA B = ð（）A.{}12x x << B.{}12x x ≤< C.{}01x x << D.{}01x x <≤【答案】D 【解析】【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<,由{|1}B x x =>得{|1}U C B x x =≤,所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.2.若复数5i43iz =-，则z =（）A.34i 55+ B.34i 55-+ C.34i 55-- D.34i 55-【答案】C 【解析】【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由()5i 43i 5i 34i43i 2555z +===-+-，得34i 55z =--．故选：C3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.4.已知命题p ：x ∃∈R ，使得2210ax x ++<成立为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),1-∞ C.[)0,1 D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当0a ≤时，命题为真命题，当0a >时，需0∆>，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题p 为真命题等价于不等式2210ax x ++<有解．当0a =时，不等式变形为210x +<，则12x <-，符合题意；当0a >时，Δ440a =->，解得01a <<；当a<0时，总存在x ∃∈R ，使得2210ax x ++<；综上可得实数a 的取值范围为(),1-∞．故选：B5.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB AC D.1344+AB AC 【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该萻电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.1.12 B.1.13C.1.14D.1.15【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得1530507.5C λλ=⨯=⨯，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知1530507.5C λλ=⨯=⨯，所以50304157.5λ⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg 2lg23λ=，所以2lg220.3011.151lg310.477λ⨯=≈≈--．故选：D ．8.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.15B.C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin 4αα∴=-=，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.9.函数π()412sin 2x xf x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为()|22|cos x x f x x -=-⋅，()22cos()()xx f x x f x --=-⋅-=，所以()f x 为偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，所以排除A ，C 选项；又1(2)4cos 204f =-<，所以排除B 选项，故选：D ．10.设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A.513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B.519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．11.已知函数()1ex x f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（）A.40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001e ex x x x y x x +--=-，可得()021ex x m +=，设()()21exx g x +=，求()g x '，利用导数求()g x 的单调性和极值，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1e x x f x +=可得()()2e e 1e ex x xx x x f x -⋅+-=='，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为()00e x x kf x -'==，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为：()000001e ex x x x y x x +--=-，因为切线过点()1,P m -，所以()0000011e ex x x x m x +--=--，即()021ex x m +=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，设()()21e xx g x +=，则()()()2222211e e xxx x x x g x +-++'-+==由()0g x '>可得11x -<<，由()0g x '<可得：1x <-或1x >，所以()()21exx g x +=在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，当x 趋近于正无穷，()g x 趋近于0，当x 趋近于负无穷，()g x 趋近于正无穷，()g x 的图象如下图，且()41eg =，要使y m =与()()21e xx g x +=的图象有三个交点，则40em <<.则m 的取值范围是:40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.12.已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧=⎨-+≤⎩，函数()()()g x f f x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A.()3,1- B.()0,1 C.[)1,1- D.()1,3【答案】C【分析】由题意可先做出函数()f x 的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()233f x x ¢=-．由()0f x ¢>，得1x <-，由()0f x '<，得10-<≤x ，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示．设()t f x =，则()m f t =，由图可知当3m >时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意．当3m =时，()m f t =的解是11t =-，23t =．1f x t =（）有2个不同的实根，2f x t =（）有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当13m ≤<时，()m f t =有3个不同的实根3t ，4t ，5t ，且()321t ∈--,，(]41,0t ∈-，[)52,3t ∈．3f x t =（）有2个不同的实根，4f x t =（）有2个不同的实根，5f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有7个不同的实根，不符合题意．当11m -≤<时，()m f t =有2个不同的实根6t ，7t ，且()631t ∈--,，[)71,2t ∈．6f x t =（）有2个不同的实根，7f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有5个不同的实根，符合题意．当3<1m -<-时，()m f t =有2个不同的实根8t ，9t ，且()831t ∈--,，()901t ∈,，8f x t =（）有2个不同的实根，9f x t =（），有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当3m ≤-时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m 的取值范围是[)1,1-．【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m 的讨论应有3m =，13m ≤<，11m -≤<，3<1m -<-，3m ≤-这几种情况,也是解题关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.14.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高200BC =m ，则山高MN =______m ．【答案】300【解析】【分析】先求,AC AMC ∠，由正弦定理得sin sin MCA AMCAM AC∠∠=，最后由sin MN AM MAN =⋅∠可求.【详解】由题意，sin BCAC CAB==∠m ，18045AM C M AC M CA ∠=︒-∠-∠=︒，由正弦定理得2sin sin 22MCA AMC AM AM AC AM ∠∠=⇒=⇒=m ，所以sin 3002MNAM MAN =⋅∠==m.故答案为：30015.已知等比数列{}n a 的前3项和为25168,42a a -=，则6a =___________.【答案】3【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得12q =，196a =，即可求得6a 的值.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，由题意1q ≠，因为前3项和为168，故()3112311681a q a a a q-++==-，又()43251111a a a q a q a q q-=-=-，所以12q =，196a =，则561196332a a q ==⨯=.故答案为：3.16.已知函数()y f x =是R 的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，有下列命题①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ②直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点④函数()y f x =在[7,5]--上为减函数则结论正确的有____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法求得()20f =，进而分析得到1x =时函数()f x 的一条对称轴，，函数()f x 时周期为4的周期函数，且函数()f x 在[1,1]-上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =是R 的奇函数，则()00f =，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当2x =，有()()0220f f ==，即()20f =，则有(2)()f x f x -=，即1x =时函数()f x 的一条对称轴，又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 时周期为4的周期函数，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，可函数()f x 在[1,1]-上单调递增，对于①中，由()()2f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以(1)(2)(3)(2019)504[(1)(2)(3)(4)]f f f f f f f f ++++=+++ ()(1)(2)(3)20f f f f +++==，所以①正确；对于②中，由1x =时函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 时周期为4的周期函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以②正确；对于③中，函数()y f x =在[7,7]-上有7个零点，分别为6,4,2,0,2,4,6---，所以C 错误；对于④中，函数()y f x =在[1,1]-上为增函数且周期为4，可得()y f x =在[5,3]--上为增函数，又由5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7,5]--上为减函数，所以④正确.故答案为：①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.【答案】（1）()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）332⎡-⎢⎣【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A ，由最小正周期求出ω，并确定ϕ.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解】解：根据函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象可得3A =1252632ππππω=-=⋅，所以2ω=.再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，所以3πϕ=，()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后，可得323sin 2333y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()343g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦又 函数()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减∴3(0)2g =-，524g π⎛⎫= ⎪⎝⎭03g π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴3()4,32g x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣∴函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域32⎡-⎢⎣.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥．339S b ==，414b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c a b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n b -=，21n a n =-（2）13n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据对数运算得13n nb b +=，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列{}n a 为等差数列，建立方程求出公差，从而可得{}n a 的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【小问1详解】∵313log 1log n n b b +-=，∴313log log (3)n n b b +=，则13n nb b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+知{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =，∴111327339a d a d +=⎧⎨+=⎩，得11a =，2d =．∴21n a n =-.【小问2详解】因为21n a n =-，13n n b -=，所以()11213nn n n c a b n ++=⋅=+，所以()()1231335373213213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅则()()23413335373213213n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅上面两式作差得()223123232323213n n n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅()()111913922132313n n n n n -++⎛⎫- ⎪=+-+⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，∴13n n T n +=⋅19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac BD b=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c R ABC C R==∠，因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b c BD a R R ⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23b a b b a C +-=⋅．②由①②得2222223(3b a bc a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，333c c a b c +=+<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△，即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b c a b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，即23b c c b =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b =，化简得2sin sin 3C A =．在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+===．故7cos 12ABC ∠=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a a DE EC BE ===．在BED 中，2222(()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c b a c b a c ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =uuu r uuu r ．以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+ ．所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ，即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++，又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠，所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=，2222(2)(1)9x y x y ++-+=．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||||6,32a BC c BA b =====，由余弦定理得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.20.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1x h x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.21.已知函数()()ln 1e x f x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x=（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e xx f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -≤≤,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+≥,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=,令(),1,e x x h x x =>-则1(),1,e x x h x x -'=>-所以()x x h x e =在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()1()1e h x h ≤=，又e e 10a -->，e 1e 10e e a a f a -⎛⎫-≥-+⋅= ⎪⎝⎭，所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减，当()1,0x ∈-，()()1e h x h >-=-，又e 1e 10a -<-<，()e e 1e e 0a f a a -<-=而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4—4：坐标系与参考方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为24y x x =-+，曲线N 的方程为9xy =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M ，N 的极坐标方程；（2）若射线00π:(0,02l θθρθ=≥<<与曲线M 交于点A （异于极点），与曲线N 交于点B ，且||||12OA OB ⋅=，求0θ．【答案】（1）π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2sin 218ρθ=（2）π4【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M 和N 的极坐标方程；（2）将0θθ=代入曲线M 和N的方程，求得||OB ρ==0||4cos OA ρθ==，结合题意求得0tan 1θ=，即可求解.【小问1详解】解：由y =224(0)y x x y =-+≥，即224(04,0)x y x x y +=≤≤≥，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得2π4cos (0)2ρρθθ=≤≤，所以曲线M 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭．由9xy =，可得2cos sin 9ρθθ=，即2sin 218ρθ=，即曲线N 的极坐标方程为2sin 218ρθ=.【小问2详解】解：将0θθ=代入2sin 218ρθ=，可得||OB ρ==将0θθ=代入4cos ρθ=，可得0||4cos OA ρθ==，则||||OA OB ⋅=，因为||||12OA OB ⋅=，所以0tan 1θ=，又因为0π02θ<<，所以0π4θ=．选修4—5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =++-．（1）求不等式()8f x <的解集；（2）设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．【答案】（1）7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得2m =，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】由题意可得：()31,11213,1131,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=++-=--<<⎨⎪-+≤-⎩，当1x ≥时，则()318f x x =-<，解得23x ≤<；当11x -<<时，则()38f x x =-<，解得11x -<<；当1x ≤-时，则()318f x x =-+<，解得713x -<≤-；综上所述：不等式()8f x <的解集为7,33⎛⎫-⎪⎝⎭.【小问2详解】∵()()1112g x f x x x x =++---≥=，当且仅当[]1,1x ∈-时等号成立，∴函数()g x 的最小值为2m =，则2a b c ++=，又∵22a b a b +≥=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立；22b c b c +≥=，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立；22c a c a +≥=，当且仅当2c a a =，即a c =时等号成立；上式相加可得：222222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立，∴2222a b c a b c b c a ++≥++=.。
2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试数学(理)试题word版含解析
2021届四川省绵阳市高三上学期开学考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{ 【答案】A2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R x B ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x【答案】D 【解析】试题分析：p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ，选D.考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】B考点：等差数列4.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 【答案】C 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ，所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2，选C. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 5.设命题p ：1)21(<x ，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元 【答案】B 【解析】试题分析：设购买的商品的标价为x ，则(200)20%10%;(200)20%30;400,350400x x x x x x -⨯>⋅-⨯>⇒>>⇒>，选B.考点：不等式应用7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位【答案】A 【解析】试题分析：因为()sin 2322sin(2)3f x x x x π=+=+，所以可将x y 2sin 2=的图象向左平移3=26ππ，选A.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z).8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos=C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos = 【答案】D9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ）A ．7B ．87C ．45D ．14 【答案】A 【解析】 试题分析：23412345113111111(),()2(),(2)2()1,2()2,2()4,242222222a f a f f a f f a f a f ======+======，所以3451247a a a ++=++=，选A.考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系10.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．1 【答案】C考点：余弦定理11.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ） A ．56 B ．512 C ．524 D ．548【答案】C 【解析】 试题分析：232555AP AC DP DA DC =⇒=+,设DP xDM yDN =+,则1x y +=，又DP mxDA ynDC =+,所以3232,15555mx ny m n==⇒+=，因此321941942423(23)()(12)(122)55555n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=，当且仅当23m n =时取等号，选C.考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞- 【答案】A二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件b a -3与c 垂直，则=x . 【答案】1 【解析】试题分析：(3)0(1,1)(,1)01a b c x x -⋅=⇒-⋅=⇒= 考点：向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a . 【答案】13考点：等差数列 15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行，则)(x f 的极值点是 . 【答案】e 【解析】 试题分析：2(1ln )()a x f x x -'=，所以244(12)1()1a f e a e e -'==-⇒=，因此)(x f 的极值点是1ln 0,x x e -== 考点：导数几何意义，函数极值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t = 【解析】试题分析：由题意得0x <时，3()()f x f x x =-=-，即3()||f x x =，因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥，当0t =时，x R ∈,满足条件；当0t >时，5tx t x ≥≤-或,要满足条件，需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或；当0t <时，5tx x t ≥-≤或,要满足条件，需2123350t t t tt t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或；综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t = 考点：不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+考点：求三角函数解析式，给值求值【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）12-=n n a （2）)643[∞+， 【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥nn 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n nn b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n nn n n nn n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．试题解析：(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分 由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2）， ∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心. （1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值. 【答案】（11442（2）552sin =B 【解析】考点：向量投影，正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k (2)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>，整理得x x k sin <．…………7分 令x x x h sin )(=，则2sin cos )(xx x x x h -='， 令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴g(x)在)24(ππ，∈x 上单调递减， …………………………………………9分 ∴0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ， ∴0sin cos )(2<-='xx x x x h ，即x x x h sin )(=在)24(ππ，上单调递减， ……11分 ∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(.（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a-，；单调递减区间是)21(∞+-，a．（2）m ≥e 3．②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='xme x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='xme x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e ， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e e me x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max ≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.【答案】（1）24y x =（2）415∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=.（1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<< (2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ．令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h 作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得11a -<<．…………10分考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
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绵阳市高中2018级“一诊”
理科数学
一 、 选择题：本大题共12小题， 每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题
目要求的。
1. 已知A = {x |0< x <2}, B = {x |x (l -x )≥0}, 则B A =( )
A.∅
B.(-∞,1]
C. [l, 2)
D.(0,1]
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A.y =tan x
B.y =ln x
C.y =x 3
D.y =x 2
3. 若log a b > 1, 其中a >0且a ≠1， b >1, 则( )
A.0<a <l<b
B.1<a <b
C.1<b <a
D.1<b <a 2
4. 函数ππ()sin()24
f x x =+的图象的一条对称轴是( )
A.x =-3
B. x =0
C.x=
π2
D. x=32
-
5. 函数2
()ln ||f x x x x
=+
的大致图象是( )
6. 已知命题p : 在△ABC 中，若cos A =cos B , 则A =B ；命题q : 向量a 与向量b 相等的充要条件是|a |=| b |且
a //
b ．下列四个命题是真命题的是( ) A.p ∧(⌝q )
B. (⌝p ) ∧(⌝q )
C.(⌝p )∧q
D. p ∧q
7. 若曲线1y x =-+在点(0, -1)处的切线与曲线y =ln x 在点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为( )
A.(e,1)
B.(1,0)
C. (2, ln2)
D. 1(,ln 2)2
-
8. 已知菱形ABCD 的对角线 相交于点O , 点E 为AO 的中 点， 若AB =2, ∠BAD =60°,
则AB DE ⋅＝( )
A.-2
B. 12
-
C. 72
-
D.
12
9. 若a <b < 0, 则下列不等式中成立的是( )
A. 11
a b a <- B. 11a b b a
+
>+
C.
1
1
b b a a -<
-
D. (1)(1)a b a b ->-
10. 某城市要在广场中央的圆形地面设计 一块浮雕，彰显城市积极向上
的活力．某公司设计方案如图， 等腰△PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，
点M , N 在半径为10m 的小⊙O 上， 圆心O 与点P 都在弦MN 的同侧． 设弦MN 与对应劣弧所围成的弓形面积为S , △OPM 与△OPN 的面积之
和为S 1,∠MON =2α, 当S 1-S 的值最大时，该设计方案最美， 则此时cos α=( ) A.
1
2
B.
51
2
- C.
32
D.
21
2
- 11. 数列{a n }满足
2
1
121n n n a a a ++=
-
,2411
,59
a a ==,数列{
b n }的前n 项和为S n ,若b n =a n a n +1，则使不等式4
27
n S >
成立的n 的最小值为( ) A. 11 B. 12
C. 13
D. 14
12. 若18
23,23
a b +==
，则以下 结论正确的有( ) ①b -a <1 ②
11
2a b
+> ③34
ab > ④22b a > A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．
13. 已知向量a =(l, 0), b =(l, 1), 且a +λb 与a 垂直，则实数λ＝ ．
14. 若实数x ,y 满足0,,22,x x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
则z =2x +y 的最大值为 ．
15. 已知sin x +cos y =
1
4
, 则sin x -sin 2y 的最大值为 ． 16. 若函数f (x )=(x 2 +ax +2a )e x 在区间(-2, 1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围
为 ．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考 题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. (12分)
已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 3=15, a 1·a 2=a 7 . (1)求a n ;
(2)若2(1)n a n n b a =+-⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .
18. (12分）
已知函数π3
()23cos sin()()62
f x x x x =+-∈R .
(1)判断函数f (x )在π[0,]2
上的单调性；
(2)将函数f (x )的图象向右平移14个周期后得到函数g(x )的图象，求函数g(x )在区间π[0,]2
上的值域.
19. (12分）
在△ABC 中， 角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,已知π
sin cos()6
c A a C =-. (1)求角C 的大小;
(2)若1cos ,77
B c =-=,求AB 边上的高．
20. (12分)
已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0 时，21
()1x f x x
+=+.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若对于任意实数x , 不等式f (e 2x ) +2af (e x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．
21. (12分）
已知函数3224()22()32
a f x x x ax a +=
-++∈R . (1)若函数f (x ) 在(0, 2)上有唯一零点，求a 的取值范围； (2)当0<a <43时，求证：对任意的125,[0,]2x x ∈,都有128|()()|3
f x f x -<.
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题做答。
如果多做，则按所做的第一题记分。
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程] (10分）
在极坐标系中，O 为极点，如图所示，已知M π
(43,)6
以OM 为直径作圆C .
(1)求圆C 的极坐标方程 ；
(2)若P 为圆C 左上半圆弧OM 的三等分点，求P 点的极坐标．
23. [选修4-5: 不等式选讲] (10分)
已知函数()|21||23|f x x x =+-- 。
(1)在如右的网格图中画出函数f (x )的图象； (2)若实数m 满足f (2m -1)<f (2m +l),求m 的取值范围．
11。