离散数学考试题详细答案

离散数学 考试题 (后附详细答案 )
一、命题符号化（共 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分） 1. 用命题逻辑把下列命题符号化 a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设 P 表示命题“上午下雨” ， Q表示命题“我去看电影” ， R表示命题“在家里读书” ，S 表示
命题“在家看报” ，命题符号化为： （ P? Q） (P ? R S)
a) 证 （ 1） B
P(
（ 2） B→(A ∧
(3) A
∧S
附加条件 ) S) P
T(1)(2) I
(4) A
T(3) I
(5) A
→(B ∧ C) P
(6) B (7) C (8) (E (9) (10) E (11) E (12) B b) 证 (1) (2) (3) (4) Q(c) (5) Q(c) (6) (7) P(c) (8) (9)
x y z((F(x) → G(x)) → (F(y) →
4. 判断下面命题的真假，并说明原因。 （每小题 2 分，共 4 分）
a) （A B ）－ C=(A-B) (A-C)
b) 若 f 是从集合 A 到集合 B 的入射函数，则 |A| ≤ |B|
a) 真命题。 因为（ A B ）－ C=（ A B） ~C=（ A ~C） （B ~C）=（A-C ） （ B-C ）
( （ P Q R） (P
Q
R)) (( P Q R) （ P
Q R） )
(P
Q
R) ( P
Q R) 这是主合取范式
公式的所有成真赋值为 000,001,010,100,101,111, 故主析取范式为
（ P Q R （ P Q R （ P Q R （P Q R （P Q R
（P Q R
2. 设个体域为 {1,2,3} ，求下列命题的真值（ a) x y(x+y=4) b) y x (x+y=4) a) T b) F
b) 我今天进城，除非下雨。
设 P 表示命题“我今天进城” ，Q表示命题“天下雨” ，命题符号化为：
c) 仅当你走，我将留下。
设 P 表示命题“你走” ， Q表示命题“我留下” ，命题符号化为： Q→ P
2. 用谓词逻辑把下列命题符号化
a) 有些实数不是有理数 设 R(x) 表示“ x 是实数”， Q(x) 表示“ x 是有理数”，命题符号化为：
x P(x)
EG(8)
2. 设 R1 是 A 上的等价关系， R2 是 B 上的等价关系， A ≠ 且 B≠ ，关系 R 满足： <<x 1,y1>,<x 2,y2>> ∈ R，当且仅当 < x 1, x 2>∈ R1 且 <y 1,y2>∈ R2。试证明： R 是 A × B 上的 等价关系。（ 10 分）
b) 真命题。因为如果 f 是从集合 A 到集合 B 的入射函数，则 |ranf|=|A| ，且 ranf 命题成立。
B, 故
5. 设 A 是有穷集， |A|=5 ，问（每小题 a) A 上有多少种不同的等价关系？ b) 从 A 到 A 的不同双射函数有多少个？ a) 52 b) 5!=120
2 分，共 4 分）
7. 已知有限集 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ={a 1,a 2, …,a n},N 为自然数集合， R 为实数集合，求下列集合的基数 S;P(S);N,N n;P(N);R,R × R,{o,1} N（写出即可） (6 分 )
K[S]=n; K[P(S)]= 2n ; K[N]=
,K[{0,1} N]=
0,K[N n]=
0, K[P(N)]= ; K[R]= , K=[R × R]=
6. 设有偏序集 <A, ≤ >，其哈斯图如图 1，求子集 B={b,d,e} 的最小元，最大元、极大元、
极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，
(5 分 )
f
g
d
e
b
c
a
图1
B 的最小元是 b，无最大元、 极大元是 d 和 e、极小元是 b、上界集合是 {g} 、下界集合是 {a,b} 、 上确界是 g、下确界是 b.
x(R(x)
Q(x)) 或
x(R(x) →Q(x))
Q→P 或 P→ Q
b) 对于所有非零实数 x，总存在 y 使得 xy=1 。
设 R(x) 表示“ x 是实数”， E(x,y) 表示“ x=y ” ,f(x,y)=xy,
x(R(x)
E(x,0) → y(R(y)
E(f(x,y),1))))
命题符号化为：
c) f 是从 A 到 B 的函数当且仅当对于每个 a∈A 存在唯一的 b∈B ，使得 f(a)=b. 设 F(f) 表示 “f 是从 A 到 B 的函数” , A(x) 表示“ x∈ A ”, B(x) 表示“ x∈ B”,E(x,y) 表示“ x=y”,
命题符号化为： F(f) ? a(A(a) → b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) → E(a,b))))
三、证明题（共 3 小题，共计 40 分）
1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。 （每小题 5 分，共 10 分） a) A→ (B ∧ C),(E → F) → C, B → (A ∧ S) B→E
b) x(P(x) → Q(x)),
x(Q(x) ∨ R(x)) ， x R(x)
x P(x)
4 分）
3. 求 x(F(x) → G(x)) → ( xF(x) → xG(x)) 的前束范式。 （ 4 分）
x(F(x) → G(x)) →( xF(x) → xG(x))
x(F(x) →G(x)) → ( yF(y) → zG(z))
x(F(x) →G(x)) → y z(F(y) → G(z)) G(z)))
∧C
T(4)(5) I
T(6) I
→ F) → C P
(E→ F) T(7)(8) I
∧F
T(9) E
T(10) I
→E
CP
x R(x)
P
R(c)
ES(1)
x(Q(x) ∨ R(x)) P
∨ R(c) US(3)
T(2)(4) I
x(P(x) → Q(x)) P
→ Q(c) US(6)
P(c)
T(5)(7) I
二、简答题（共 6 道题，共 32 分）
1. 求命题公式 (P → (Q→ R)) (R→ (Q→ P)) 的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋 值。（ 5 分）
(P→ (Q→ R)) (R→ (Q→ P)) （ P
Q R） (P
Q
R)
(（ P
Q R）→(P
Q
R)) ((P
Q
R) →（ P
Q R）).