动态规划法解决01背包

算法设计与分析--01背包问题
问题描述：
给定N中物品和一个背包。

物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为C。

问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？
在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能讲物品i 装入多次，也不能只装入物品的一部分。

因此，该问题被称为0-1背包问题。

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:
(1) V(i,0)=V(0,j)=0
(2) V(i,j)=V(i-1,j) j<wi
V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi
式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；
第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况：
(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。

显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

1 #include <stdio.h>
3 int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
4 int max(int a,int b)
5 {
6 if(a>=b)
7 return a;
8 else return b;
9 }
10
11 int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
12 {
13 int i,j;
//式子（1）
14 for(i=0;i<=n;i++)
15 V[i][0]=0;
16 for(j=0;j<=C;j++)
17 V[0][j]=0;
//式子（2）
18 for(i=0;i<=n-1;i++)
19 for(j=0;j<=C;j++)
20 if(j<w[i])
21 V[i][j]=V[i-1][j];
22 else
23 V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
24 j=C;
25 for(i=n-1;i>=0;i--)
26 {
27 if(V[i][j]>V[i-1][j])
28 {
29 x[i]=1;
30 j=j-w[i];
31 }
32 else
33 x[i]=0;
34 }
35 printf("选中的物品是:\n");
36 for(i=0;i<n;i++)
37 printf("%d ",x[i]);
38 printf("\n");
39 return V[n-1][C];
40
41 }
42
43 void main()
44 {
45 int s;//获得的最大价值
46 int w[15];//物品的重量
47 int v[15];//物品的价值
48 int x[15];//物品的选取状态
49 int n,i;
50 int C;//背包最大容量
51 n=5;
52 printf("请输入背包的最大容量:\n");
53 scanf("%d",&C);
54
55 printf("输入物品数:\n");
56 scanf("%d",&n);
57 printf("请分别输入物品的重量:\n");
58 for(i=0;i<n;i++)
59 scanf("%d",&w[i]);
60
61 printf("请分别输入物品的价值:\n");
62 for(i=0;i<n;i++)
63 scanf("%d",&v[i]);
64
65 s=KnapSack(n,w,v,x,C);
66
67 printf("最大物品价值为:\n");
68 printf("%d\n",s);
69
70
71 }。