比例和黄金分割讲解
第15讲 线段的比与黄金分割
线段的比与黄金分割【知识要点】1.两条线段的比的概念1.大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ 两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作ba；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.2由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？两条线段的比就是两条线段长度的比.3对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？4大家同意他的观点吗？不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. 5那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？线段的比定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么 就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.求两条线段的比时要注意的问题（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 二、熟悉比例线段的概念1、与比例线段有关的概念 (1)比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果dcb a =（或a :b =c :d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
0.618黄金分割比例讲解
有关“0.618黄金分割比例”的讲解
有关“0.618黄金分割比例”的讲解如下：
黄金分割是一种比例关系，它表示将一个整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比。
黄金分割比例为0.618，这是指较长部分与整体的比例等于较短部分与较长部分的比例。
假设我们有一个线段，长度为L。
按照黄金分割，较长的部分长度为0.618L，而较短的部分长度为(1-0.618)L，也就是0.382L。
黄金分割比例可以用分数表示为：
●较长部分/整体= 1/1.618
●较短部分/较长部分= 1/0.618
黄金分割比例在自然界和艺术中经常出现，例如：
●许多植物的叶子和花瓣的排列方式遵循黄金分割比例。
●在建筑和设计中，黄金分割比例被广泛使用，因为它被认为是美的象征。
●在音乐中，作曲家和演奏家有时会使用黄金分割比例来安排乐曲的结构。
黄金分割比例是一个无理数，其近似值为0.618。
尽管我们无法精确地表示它，但我们可以使用它来创造和谐和平衡的设计。
《比例的性质与黄金分割》示范教学方案
第二十一章 相似形22．1 比例线段第3课时 比例的性质与黄金分割一、教学目标1.理解比例的基本性质;2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.二、教学重点及难点重点：比例的基本性质.难点：掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题．三、教学用具多媒体课件．四、相关资源无五、教学过程【课堂导入】配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.你有什么发现？设计意图：以糖水为例，吸引学生的学习兴趣 【新知讲解】 1. 比例的基本性质两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.(1)基本性质如果“ab =cd”,那么ad=bc (b,d≠0).反之也成立，即如果ad =bc ,那么ab =ca(b,d≠0).2.合比性质：如果ab =ca，等式两边同时加上1.得a+bb=c+dd即：如果ab =ca，那么a+bb=c+dd(b,d≠0).3.等比性质如果a1b1=a2b2=⋯=a1b n且b1+b2+⋯+b n≠0，那么a1+a2+⋯+a n b1+b2+⋯+b n =a1 b1设a1b1=a2b2=⋯=a1b n=k,得a1=b1k，a2=b2k，…, a n=b n k代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质.4.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割(golden section)，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值√5−12叫做黄金数.设计意图：通过练习，使学生掌握比例性质与黄金分割得概念．【典型例题】例1如果四条线段a,b,c,d构成ab =cd,m>0,则下面推理正确的有()①ab =cmdm;②ab=7a+cm7b+dm;③ab=c+md+m;④aa+cm=bb+dm.A.1个B.2个C.3个D.4个解①∵ab =cd,m>0,∴ab=cmdm;②∵ab=cd,m>0,∴ab=7a7b=cmdm,∴ab=7a+cm7b+dm;③ab=c+md+m错误;④设ab =cd=k,则a=kb,c=kd,所以aa+cm=bkbk+kdm=bb+dm.综上所述,推理正确的有①②④.例2若x∶y=2∶3,y∶z=2∶5,则x∶y∶z=4∶6∶15.例3如图,在△ABC中,ABAC =BDCD,且AB=6,AC=4,BC=5,求CD和BD的长.解:∵AB AC =BD CD ,∴ABAC =BC -CDCD , ∵AB=6,AC=4,BC=5,∴64=5-CDCD,解得CD=2,∴BD=BC-CD=5-2=3.设计意图：通过练习，灵活运用比例性质． 【随堂练习】1. 如图，已知AB DB ＝ACEC.求证：(1)AD DB ＝AE EC ；(2)AB AC ＝ADAE.证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ，∴AB －DB DB ＝AC －EC EC ，即AD DB ＝AEEC ；(2)∵AD DB ＝AE EC ，∴DB AD ＝EC AE .∴DB ＋AD AD ＝EC ＋AE AE (合比性质)．∴AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE. 2. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB 长为20米,一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点C 处,则下列结论一定正确的是( )①AB ∶AC =AC ∶BC ;②AC ≈6.18米;③AC =10(√5-1)米;④BC =10(3-√5)米或10(√5-1)米. A.①②③④ B.①②③ C.①③D.④解：若AC <BC ,则AB ∶BC =BC ∶AC ,所以①不一定正确;AC ≈0.618AB ≈12.36或AC ≈20-12.36=7.64,所以②错误;若AC 为较长线段时,AC =√5-12AB =10(√5-1),BC =10(3-√5);若BC 为较长线段时,BC =√5-12AB =10(√5-1),AC =10(3-√5),所以③不一定正确,④正确. 3. 如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD 内,点E 是AB 的黄金分割点,BE>AE ,若AB=2a ,则BE 长为( )A.(√5+1)aB.(√5-1)aC.(3-√5)aD.(√5-2)a设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对知识的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1.比例的基本性质两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.(1)基本性质如果“ab =cd”,那么ad=bc (b,d≠0).反之也成立，即如果ad =bc ,那么ab =ca(b,d≠0).2.合比性质：如果ab =ca，等式两边同时加上1.得a+bb=c+dd即：如果ab =ca，那么a+bb=c+dd(b,d≠0).3.等比性质如果a1b1=a2b2=⋯=a1b n且b1+b2+⋯+b n≠0，那么a1+a2+⋯+a n b1+b2+⋯+b n =a1 b1设a1b1=a2b2=⋯=a1b n=k,得a1=b1k，a2=b2k，…, a n=b n k代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质.4.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割(golden section)，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值√5−12叫做黄金数.设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计22.1比例线段第3课时比例的性质与黄金分割11.比例的基本性质2.合比性质3.等比性质4.黄金分割。
摄影中的构比例与黄金分割法则
摄影中的构比例与黄金分割法则摄影中的构图比例与黄金分割法则摄影是通过镜头记录图像，捕捉瞬间的艺术形式。
在创作中，构图比例和黄金分割法则是摄影师常用的手段之一。
它们能够有效地提高照片的美感和吸引力。
本文将介绍摄影中的构图比例和黄金分割法则的基本概念及应用。
一、构图比例的概念与应用构图比例是指图像中各个元素之间的相对大小和位置关系。
合理的构图比例可以帮助摄影师传达意图，并引导观众的目光。
以下是几种常用的构图比例：1. 对称比例：将画面分为两个相等的部分，左右对称。
这种构图比例对称美感强烈，适用于拍摄对称的主题，如建筑物或自然景观中的对称构造。
2. 黄金比例：黄金比例是指将画面按照1：1.618的比例进行分割。
根据黄金比例的原理，将画面分割为上下或左右两个部分后，视觉上的平衡和美感可以得到提升。
这种比例常用于拍摄人物肖像、风景和静物等主题。
3. 三分法则：将画面水平和垂直分为三个相等的部分。
在这种构图比例下，主题常位于画面的交叉点处，能够形成动态和平衡的效果。
三分法则常用于拍摄风景和运动主题。
4. 黄金螺旋比例：黄金螺旋比例是一种利用黄金螺旋曲线的构图比例。
它可以将画面引导观众的目光，传递出一种流动感和连续性。
黄金螺旋比例常用于拍摄自然景观和旋转的主题。
在应用构图比例时，摄影师需要根据拍摄主题和意图进行选择。
同时，合理的对比和搭配不同的构图比例也能够创造出更加多样的视觉效果。
二、黄金分割法则的概念与应用黄金分割法则是指将整个画面分割为两个部分，比例约为1：0.618。
根据这种比例，主题可以选择在两个分割线上的交叉点处，以产生一种视觉上的平衡和美感。
黄金分割法则常用于摄影中的构图和设计。
应用黄金分割法则的关键是确定好构图的主要元素，将它们放置在合适的位置。
通过运用黄金分割法则，可以使画面更加有层次感和创造力。
例如，在人物肖像摄影中，将主体头部放置在黄金分割线的交叉点处，可以增强人物形象的吸引力和动感。
此外，在风景摄影中，利用黄金分割法则可以更好地表达空间和景深感。
黄金分割的三个公式短比整
黄金分割的三个公式短比整
黄金分割的三个公式是：黄金分割比例公式、黄金分割点公式和
黄金分割线公式。
1.黄金分割比例公式：黄金分割比例公式是指黄金分割的比值，
即将一条线段分为两段时，两段之比等于整条线段与较长一段之比。
用数学表示为a/b=b/(a+b)（a>b>0），其中a为较短的线段，b为较
长的线段。
该比例约等于1.618。
2.黄金分割点公式：黄金分割点公式是指根据黄金分割比例，确
定一个线段上的分割点。
设整条线段长度为L，较短线段长度为a，则
黄金分割点离起始点的距离为a/L=0.618。
3.黄金分割线公式：黄金分割线公式是指通过黄金分割点划出一
条线段，使得线段划分后的两段比例与原线段的比例相等。
设整条线
段长度为L，黄金分割点离起始点的距离为x，则划分线段的长度为
xL/L=0.618L。
黄金分割在数学、艺术和设计领域被广泛应用。
除了上述公式外，黄金分割还有一些其他衍生的应用，例如黄金矩形、黄金螺旋等。
黄
金分割的特性被认为具有美感和视觉上的和谐，因此常被用于设计画作、建筑等领域。
拓展应用包括金融市场中的价格分析、人体比例的研究等。
平面设计中的比例与黄金分割原则
平面设计中的比例与黄金分割原则在平面设计中，比例和黄金分割原则是非常重要的概念和技巧。
它们被广泛应用于各种设计中，包括海报、广告、标志和网页设计等。
通过正确地运用比例和黄金分割原则，设计师可以创造出视觉上令人愉悦和吸引人的作品。
比例是指元素之间的相对大小关系，它使得设计看起来和谐、平衡和统一。
在平面设计中，常见的比例技巧有等分比例、近似比例和尺寸比例等。
首先是等分比例。
等分比例是指将设计元素进行相等的分割，如将画布水平或垂直等分为几块相同的区域。
这种比例可以帮助设计师创造出简洁、直观的视觉效果。
例如，在海报设计中，可以使用等分比例将文本和图像区域划分为几块，并在每个区域中放置相关的内容。
其次是近似比例。
近似比例是指设计元素之间的尺寸和比例关系接近，但不是完全相同。
这种比例方法可以帮助设计师创造出一种逐渐变化和动态的效果。
在标志设计中，设计师可以使用近似比例将一个元素渐变为另一个元素，从而创造出一种流畅和连贯的视觉效果。
最后是尺寸比例。
尺寸比例是指通过不同尺寸的元素创造出相对大小的关系。
设计师可以使用不同尺寸的元素来引导观众的注意力和焦点。
在网页设计中，可以使用大尺寸的标题吸引读者的注意力，并使用小尺寸的副标题或文本来提供详细信息。
除了比例，黄金分割原则也是平面设计中常用的构图方法。
黄金分割原则基于黄金比例（1:1.618），它将一个整体分成两个部分，其中一部分与整体的比例等于另一部分与整体的比例。
这种比例被认为是最具吸引力和和谐感的比例。
在平面设计中，黄金分割原则可以应用于布局、构图和元素之间的关系。
例如，在海报设计中，可以将主题元素放置在画布的黄金分割点上，从而使设计更加有吸引力和平衡感。
在网页设计中，可以使用黄金分割原则来定义主要内容区域和辅助内容区域的比例，从而使页面更具艺术性和美感。
总结而言，在平面设计中，比例和黄金分割原则是创造出优雅、平衡和有吸引力设计的关键。
通过正确运用这些原则，设计师可以使作品更具视觉冲击力，并引导观众的视线和注意力。
比例中项黄金分割课件
黄金分割的应用
建筑学
艺术
古希腊建筑帕台农神庙、埃及金字塔等都 运用了黄金分割，使建筑具有强烈的视觉 美感。
艺术家利用黄金分割创作出许多经典画作 、雕塑和摄影作品，如达芬奇的《蒙娜丽 莎》等。
音乐
日常生活
音乐作曲中运用黄金分割，可以创作出和 谐动听的旋律和节奏，如巴赫的《G弦上的 咏叹调》等。
在日常生活中，黄金分割也随处可见，如 服装设计、家居布局等都运用了黄金分割 的原则。
在音例如 巴赫的《G弦上的咏叹调》等。
04
比例中项与黄金分割在生活中 的应用
艺术领域中的应用
绘画
黄金分割被广泛应用于绘画构图 ，通过将画面分为9个等分，将主
体放置在分割线或交点上，以达 到最佳视觉效果。
雕塑
在雕塑艺术中，比例中项和黄金分 割的应用有助于塑造出和谐、平衡 的作品。
比例中项的性质
唯一性
在一个比例中，比例中项是唯一的，即如果 a:b = c:d，则 b 是唯一的比例中项。
传递性
如果 a:b = b:c 和 b:c = c:d，则 a:b = c:d，即比例中项具有 传递性。
比例中项的应用
数学解题
在数学解题中，比例中项可以用于解 决比例问题，例如求两个未知数的比 值。
音乐领域中的应用
音乐创作
作曲家利用比例中项和黄金分割 来创作出和谐、动人的音乐作品
。
乐器制作
乐器制作过程中也涉及到比例中 项和黄金分割的应用，以确保乐
器发声的准确性和美感。
音乐表演
在音乐表演中，表演者通过运用 比例中项和黄金分割来达到最佳
的演奏效果。
摄影领域中的应用
构图
摄影师利用黄金分割来安排画面元素，以创造出具有视觉冲击力的作品。
比例线段和黄金分割
比例线段和黄金分割一．比例线段：[基本概念]比例:如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
比例的基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那么a/ b=c/d；如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。
比例线段：1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。
2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
3.一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
4.d为第四比例项。
若a:b=c:d(b.d≠0)，则有1）ad=bc2）b:a=d:c （a.c≠0）3）a:c=b:d ; c:a=d:b4）(a+b):b=(c+d):d5）a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)6）(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)二．黄金分割：介绍把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。
另一侧则是3-5^/2。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
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比例和黄金分割讲解
一、知识要点
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念
（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n
m b a =，或写成n m b a ::=．
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a
d c b =．②()a c a b c d b d
==在比例式
：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2
15-=≈0.618AB ．
注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）
（1） 基本性质：
①bc ad d c b
a =⇔=::；②2::a
b b
c b a c =⇔=⋅．。