二、波动方程和波的能量
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高二物理竞赛课件：波动方程和波的能量
平面波波面
障碍物
平面波
12
惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于其它波， 如电磁波等。
例：在波线上有相距2.5 cm的A、B两点，已知点B
的振动相位比点A落后30，振动周期为2.0 s ，求波 速和波长。
解：因在波线上相距l两点的相位差为2
所以 波速为
l 2π 2.5 102m 0.30m
π
6
P wuS 1 A2 2uS
2 能流密度 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的
平均能流称为能流密度，也称波强度。
I P wu 1 A2 2u
S
2
w 1 A22
28
能量密度 介质中单位体积的波动能量
w E E A2 2 sin 2 (t x )
ΔV SΔx
u
1. 能量密度随时间做周期变化，变化周期为波动周期的1/2
w 1 T wdt 1 A22
T0
2
w
o
t
波的平均能量密度与振幅的平方、 频率的平方和 介质密度的乘积成正比。
7
二、波的能流和能流密度 (energy flux density)
能流：单位时间内通过介质中某 面积的能量
如图，单位时间内通过S 面的 能量，等于体积 uS 中的能量
S u
平均能流 在一个周期内通过S面的能流的平均值
波动方程和波的能量
1
一、波的能量
波源 振动
介质 介质质元运动 波动 介质弹性形变
动能 势能
能量来自波源。 波源的能量随着波传播到波所到达的各处。
现以平面简谐纵波在均匀直棒中的传播为例， 讨论介质中的能量传播
2
纵波 u
a
b
动能
大学物理 波的能量 惠更斯原理
u = Y
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
波动方程与波速 波的能量 惠更斯原理 波的反射与折射
波速小的媒质（光密媒质） 波速大的媒质（光疏媒质）
光密媒质→光疏媒质时， 折射角r >入射角 i ，会发生全反射现象。
光密u1(小)
i
光疏u2(大)
r
动能
v = ∂y = − Aω sinω(t − x )
∂t
u
d
Ek
=
1 2
∆ mv 2
=
1 2
ρ dV
⎜⎛ ∂y ⎟⎞2 ⎝ ∂t ⎠
= 1 ρ dVA 2ω 2 sin 2 ω ⎜⎛ t − x ⎟⎞
2
⎝ u⎠
势 能： 质元长度变化：Δy
质元线应变为
∆y ∆x
由胡克定律，应力为 f = Y ∆y ∆x
F = Y ∂y
S
∂x
Y杨氏模量
F1
=
SY
∂y ( ∂x )x
F2
=
∂y SY ( ∂x )x+∆x
F2
−
F1
=
SY[( ∂y ∂x
)x+∆x
−
∂y ( ∂x )x ]
=
SY
∂ ∂x
( ∂y )∆x ∂x
=
SY
∂2 y ∂x2
∆x
质元的质量 ∆m = ρ S∆x
质元的加速度
a
=
∂2y ∂t 2
（Δx很小）
u1 sin γ = u2 sin i
u2 > u1 ⇒ γ > i
i u1(小) u2(大) r
γ > 900 时，入射波全部反射
回原来介质，称为全反射
i = iC u1(小) u2(大) r = 90°
sin iC
=
u1 u2
第七章 振动和波动(2)
y
u
x
x = u t
O
t
t + t
x
y
O
u t + t
x y A cos[ ( t ) ] u
x
★ 波函数的物理意义
t
— 波函数既描述了波线上各质点振动状态及相位差异， 又描述了随着时间的推移，波形以波速 u 沿传播方向传播的
情况，具有完整的波动意义。
★ 简谐波具有空间和时间周期性：
2
①
t x y 1.0 cos[ 2 ( ) ] 2.0 4.0 2
(2) 将 t = 1.0 s 代入 ①式得出此时刻波形方程:
1.0 x y 1.0 cos[2 ( ) ] 1.0 cos( x ) 2.0 4.0 2 2 2 y /m u ② y 1.0 sin x 1.0 2 由②式可画出 t = 1.0 s 的波形图：
2、横波和纵波
1） 横波: 振动方向⊥传播方向的波。 2）纵波: 振动方向∥传播方向的波。
固体中的波源可以产生横波和纵波。 液体和气体中的波源只能产生纵波。 水面波既不是纵波，也不是横波。
任一波(如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。
3、波的几何描述
1） 波面 — 振动相位相同的各点连成的面(同相面)。
空间上每隔λ的距离出现振动状态相同的点； 时间上每隔 T 的时间波形重复一次。
★ 平面简谐波的波函数既适用于横波，也适用于纵波。
3.波沿着x轴负方向传播
y A cos [ t 2
4.波函数的复数表示
波函数
x
]
]
y A cos [ t 2
波动基本概念-波函数-波的能量
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点(相邻同相点)之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。
, 取决于波源振动频率。
单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。
或
机械波的传播速度完全取决于介质的弹 性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和 介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传 播的机构。
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播 声波，就是由于这原因。
* 能量密度随时间周期性变化，
其周期为波动周期的一半。T
* 能量密度与振幅平方 A2 、频率平方 2
和质量密度 均成正比。
*任意时刻，体元中动能与势能相等，
即动能与势能同时达到最大或极小。 即同相的随时间变化。这不同于孤 立振动系统。
因为波是能量传播的一种形式
波是能量传播的一种形式
波动的能量与振动能量是有区别的。 孤立振动系统的质元动能最大时， 势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;
质元的速度
y
u
A sin[(t
纵波与横波波的幅度与能量的关联分析
纵波与横波波的幅度与能量的关联分析波动现象在我们的日常生活中无处不在，不论是光、声、水波还是地震波，都具有波动特性。
其中，纵波和横波是最常见的两种波动，它们的波幅和波能在物理学研究中具有重要的意义。
本文将从纵波和横波的定义、波动方程以及能量传递等方面，分析纵波和横波波的幅度与能量的关联。
一、纵波和横波的定义1. 纵波：纵波是指介质颗粒振动方向与波传播方向垂直的波动。
在纵波传播过程中，介质颗粒沿波的传播方向做压缩与稀疏的运动。
声波和地震波中的纵波就是典型的例子。
2. 横波：横波是指介质颗粒振动方向与波传播方向平行的波动。
在横波传播过程中，介质颗粒垂直于波的传播方向做水平方向的振动。
光波和水波中的横波就是典型的例子。
二、波动方程的表示纵波和横波的波动方程描述了波动的传播过程。
对于一维纵波来说，它的波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v² ∂²u/∂x²其中，u表示介质的位移，t表示时间，x表示位置，v表示波速。
类似地，对于二维横波来说，它的波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)三、波幅与能量传递1. 波幅：波幅是指波动中介质颗粒的最大位移，它与波动的振幅密切相关。
对于纵波和横波来说，波幅越大，介质颗粒的位移幅度就越大。
2. 能量传递：纵波和横波在传播过程中能量也会随之传递。
纵波和横波的能量密度与波幅有着密切的关系。
根据波动方程，能量与波动振幅的平方成正比。
因此，波幅越大，相应的能量也越大。
四、纵波与横波的能量传递差异尽管纵波和横波的波幅越大，能量传递也越大，但是对于相同的波幅，纵波和横波的能量传递有所差异。
这是因为纵波和横波的传播速度不同。
在弹性介质中，纵波的传播速度通常大于横波的传播速度。
在相同的时间内，纵波能够传播更远的距离，因此能量传递更为迅速。
力学波与波动方程
力学波与波动方程波动是物体能量、信息以及粒子的传播方式之一，它在我们的日常生活中随处可见。
与波动相关的核心理论为力学波和波动方程。
本文将通过简要介绍力学波的基本概念和相关公式，以及解释波动方程的含义和应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的物理学概念。
一、力学波力学波是通过物体或介质中的振动传播的波动现象。
物体或介质振动产生的能量被传递给相邻的分子或粒子，而这些分子或粒子也开始振动，并将能量传递给更远的分子或粒子。
这种能量的传递形成了波动的过程。
力学波可以分为机械波和电磁波两种类型。
机械波是需要介质作为传播媒介的波动，例如水波、声波等。
电磁波则是在真空中传播的波动，包括光波、无线电波等。
力学波的性质可以通过一些基本概念和公式来描述。
其中，波长（λ）表示波的一个完整周期所对应的空间距离；波速（v）表示波动的传播速度；频率（f）表示单位时间内波动的周期数量；振幅（A）表示波动的最大偏离距离。
这些概念之间的关系可以通过波动公式来归纳表达，即波速等于波长乘以频率，即v = λf。
二、波动方程波动方程是描述波动过程的数学公式。
它是基于力学波的性质和传播规律而推导得出的。
一维波动方程是最简单的波动方程形式，它可以用来描述振动在一维空间中的传播。
一维波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²，其中u表示波动的位移，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
在这个方程中，∂²u/∂t²表示波动位移随时间的变化率，v²∂²u/∂x²表示波动位移在空间中的二阶导数。
这个方程反映了波动的传播规律，即波动位移随时间和空间的变化满足一定的关系。
三、波动方程的应用波动方程在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
其中最重要的应用领域之一是声学。
声波是一种机械波，它传播的媒介通常是空气或其他物质。
声波的传播规律可以由波动方程来描述。
简明大学物理第二版 复件 4-6 平面简谐波
x y A cos t 5cos u 2 5cos 2 x t 1 3
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x t 3 2
4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
此方程说明了每个质点振动的 周期性，即波动的时间周期性. 据此可以作出该质点的y-t振动 曲线 。
y
O
A
x x0
t
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4-6 平面简谐波
相位差和波程差
第四章 机械振动与机械波
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：
当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移λ/4的距离. 于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.
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4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
由图中的两条曲线可得到坐标x=λ/4的质点在t=0、T/4时 的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在 不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线， 如图所示.
I P S wu 1 2
A u
2 2
I A 2 I
2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
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4-6 平面简谐波
3 波的振幅
第四章 机械振动与机械波
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
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x t 3 2
4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
此方程说明了每个质点振动的 周期性，即波动的时间周期性. 据此可以作出该质点的y-t振动 曲线 。
y
O
A
x x0
t
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4-6 平面简谐波
相位差和波程差
第四章 机械振动与机械波
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：
当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移λ/4的距离. 于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.
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4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
由图中的两条曲线可得到坐标x=λ/4的质点在t=0、T/4时 的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在 不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线， 如图所示.
I P S wu 1 2
A u
2 2
I A 2 I
2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
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4-6 平面简谐波
3 波的振幅
第四章 机械振动与机械波
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
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u
沿X轴负方向传播： y Acos(t x )
u
波动方程的推论
y Acos(t x )
u
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
y Acos(t x0 ) Acos(t 2πx0 )
u
反映：x0点处质点的振动方程
y Acos(t x )
• 波动方程解题
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐 波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振 幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远 近而改变。
描述波线上质点在每一位置、每一时刻的 位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f (x,t)
设一平面简谐波以速度v 沿 x 轴正方向无衰减地 传播。
设 t 时刻 O 点振动表 o 达式为，
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
ห้องสมุดไป่ตู้
求：A、f、、u。
解：
y
Acos
t
x u
0
y
2
10
3
cos
400
t
x 20
m
u 20m/s 400 A 2103m
机械波的产生和传播
复习简谐振动
机械振动
简谐振动
共振
动力学描述
振动方程
矢量描述
振动能量
振动合成
数学描述
微分方程
三角函数
F kx 动力学方程
d2x dt 2
2
x
0
运动学方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动方程
E
1 2
m02 A2
1 2
k A2
简谐振动能 量
主要内容
一、机械波 二、波动方程 三、波的能量和强度
u f w
T
2
u 20m/s 400
f 400 200Hz 2 2
2c 40 0.1m 400
P 98习 题10： 波 源的 振动 方程y
0.06 cos(
t)
9
x 5m处, y 0.06 cos （t x )
总机械能为：
dE = ρdVω2 A2 sin2[ω(t - x )] u
波的能量密度
• 波的能量密度ε：单位体积内的机械能
E总
A2 2 sin2 (t
x )
V
u
• 波的平均能量密度：能量密度在一个周期内 的平均值
1 T A2 2 sin2 (t x )dt 1 A2 2
y Acost
平面简谐波表示式的推 导
研究任意点 P 点振动表达式
振动从 O 点传播到 P 点需时：t x u
t 时刻P 点的位移等于O处质点在 时刻 (t x )的位移，
u 则P 处质点运动方程：
y Acos t x
u 平面简谐波波动方程
波动方程推导
y A
三、波的能量
• 平面简谐波在弹性媒质中传播，任意坐标x处 的体积元V，在t时刻的动能和势能为：
Ek
Ep
1 2
VA2 2
sin2 (t
x) u
• 体积元V总机械能为：
E总
Ek
Ep
VA2 2
sin2
(t
x) u
说明： 波动中，动能和势能同时达到最大 和最小，步调一致。对任意体积元机械能都 不守恒。该体积元不断从后面的介质获得能 量传给前面的介质，这样能量随波动的传播 而向前传播，所以说波动是能量传播的一种 形式。
u
(2) 当t为某一定值时，设t=t0，方程变为：
y
A cos (t 0
x) u
A cos (t 0
2πx )
反映：t0时刻波线上各质点的位移， 即该时刻的波形。
(3) 当取x、t任意值时，波动方程表示波线 上任意位置x处的质点在任意时刻t的位移。
y Acos(t x )
一、机械波
• 机械波的产生 • 横波、纵波 • 波阵面、波线 • 波长、波速、频率、周期
机械波的产生
• 机械波：机械振动在弹性媒质中的传播。
在弹性媒质中，某一个质点因外界扰 动时，由于质点与质点之间存在着弹性联 系，周围的质点也会跟着振动起来，其振 动由近及远地传播出去，即产生机械波。
振动是波动的基础，波动是振动的传播
波阵面、波线
波线
波前
球面波 波阵面
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波阵面、波线
波线
波阵面 波前
平面波
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波长、波速、频率
u
fT
u f w
T
2
不同媒质中周期频率不变，波速波长不同
二、波动方程
• 波动方程推导
演示
• 波动方程推论
机械波产生条件： （1）机械振动：波源 （2）弹性媒质
机械波的特点： (1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相 位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。
横波和纵波
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相垂直， 则这种波称为横波。 例如在绳波；
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相平 行，这种波称为纵波。 例如声波。
y
u
A
O x
波源振动的初相位
P
u
波动方程正负号
波动方程其它形式
y
A cos [ ( t
x c
)
0
]
u w
T
2
y
A cos（t
2πx
）
0
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
λ、ω
λ、T
波动方程应用
• 已知波动方程求特征量 • 已知特征量求波动方程 • 已知波动曲线求波动方程
9u
y
6.0
10-
2
cos
（t
5 )
(m)
92
t，
（t
5 )
-
5
19 29 2
18
波传播能量
• 对于波来说，伴随着波形和相位的传播， 能量也将随之从一个地方被传递到另一个 地方。
• 在弹性媒质中，介质质元不仅因为有振动 速度而具有动能，而且因为发生了形变而 具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随 着能量的传递。
T0
u2
波的能量密度
E总 A2 2 sin2 (t x )
O
u x
P
相位落后ωx/u
yo Acos t
y
A cos ( t
x )
u
波动方程推导
y
A
u
O
x
x
P
yo Acos t 0
y
A cos [ ( t
x u
)
0
]
波动方程
y
u
A
O
x
相位落后ωx/u
x
P c
相位超前ωx/u
沿X轴正方向传播： y Acos(t x )
沿X轴负方向传播： y Acos(t x )
u
波动方程的推论
y Acos(t x )
u
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
y Acos(t x0 ) Acos(t 2πx0 )
u
反映：x0点处质点的振动方程
y Acos(t x )
• 波动方程解题
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐 波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振 幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远 近而改变。
描述波线上质点在每一位置、每一时刻的 位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f (x,t)
设一平面简谐波以速度v 沿 x 轴正方向无衰减地 传播。
设 t 时刻 O 点振动表 o 达式为，
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
ห้องสมุดไป่ตู้
求：A、f、、u。
解：
y
Acos
t
x u
0
y
2
10
3
cos
400
t
x 20
m
u 20m/s 400 A 2103m
机械波的产生和传播
复习简谐振动
机械振动
简谐振动
共振
动力学描述
振动方程
矢量描述
振动能量
振动合成
数学描述
微分方程
三角函数
F kx 动力学方程
d2x dt 2
2
x
0
运动学方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动方程
E
1 2
m02 A2
1 2
k A2
简谐振动能 量
主要内容
一、机械波 二、波动方程 三、波的能量和强度
u f w
T
2
u 20m/s 400
f 400 200Hz 2 2
2c 40 0.1m 400
P 98习 题10： 波 源的 振动 方程y
0.06 cos(
t)
9
x 5m处, y 0.06 cos （t x )
总机械能为：
dE = ρdVω2 A2 sin2[ω(t - x )] u
波的能量密度
• 波的能量密度ε：单位体积内的机械能
E总
A2 2 sin2 (t
x )
V
u
• 波的平均能量密度：能量密度在一个周期内 的平均值
1 T A2 2 sin2 (t x )dt 1 A2 2
y Acost
平面简谐波表示式的推 导
研究任意点 P 点振动表达式
振动从 O 点传播到 P 点需时：t x u
t 时刻P 点的位移等于O处质点在 时刻 (t x )的位移，
u 则P 处质点运动方程：
y Acos t x
u 平面简谐波波动方程
波动方程推导
y A
三、波的能量
• 平面简谐波在弹性媒质中传播，任意坐标x处 的体积元V，在t时刻的动能和势能为：
Ek
Ep
1 2
VA2 2
sin2 (t
x) u
• 体积元V总机械能为：
E总
Ek
Ep
VA2 2
sin2
(t
x) u
说明： 波动中，动能和势能同时达到最大 和最小，步调一致。对任意体积元机械能都 不守恒。该体积元不断从后面的介质获得能 量传给前面的介质，这样能量随波动的传播 而向前传播，所以说波动是能量传播的一种 形式。
u
(2) 当t为某一定值时，设t=t0，方程变为：
y
A cos (t 0
x) u
A cos (t 0
2πx )
反映：t0时刻波线上各质点的位移， 即该时刻的波形。
(3) 当取x、t任意值时，波动方程表示波线 上任意位置x处的质点在任意时刻t的位移。
y Acos(t x )
一、机械波
• 机械波的产生 • 横波、纵波 • 波阵面、波线 • 波长、波速、频率、周期
机械波的产生
• 机械波：机械振动在弹性媒质中的传播。
在弹性媒质中，某一个质点因外界扰 动时，由于质点与质点之间存在着弹性联 系，周围的质点也会跟着振动起来，其振 动由近及远地传播出去，即产生机械波。
振动是波动的基础，波动是振动的传播
波阵面、波线
波线
波前
球面波 波阵面
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波阵面、波线
波线
波阵面 波前
平面波
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波长、波速、频率
u
fT
u f w
T
2
不同媒质中周期频率不变，波速波长不同
二、波动方程
• 波动方程推导
演示
• 波动方程推论
机械波产生条件： （1）机械振动：波源 （2）弹性媒质
机械波的特点： (1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相 位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。
横波和纵波
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相垂直， 则这种波称为横波。 例如在绳波；
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相平 行，这种波称为纵波。 例如声波。
y
u
A
O x
波源振动的初相位
P
u
波动方程正负号
波动方程其它形式
y
A cos [ ( t
x c
)
0
]
u w
T
2
y
A cos（t
2πx
）
0
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
λ、ω
λ、T
波动方程应用
• 已知波动方程求特征量 • 已知特征量求波动方程 • 已知波动曲线求波动方程
9u
y
6.0
10-
2
cos
（t
5 )
(m)
92
t，
（t
5 )
-
5
19 29 2
18
波传播能量
• 对于波来说，伴随着波形和相位的传播， 能量也将随之从一个地方被传递到另一个 地方。
• 在弹性媒质中，介质质元不仅因为有振动 速度而具有动能，而且因为发生了形变而 具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随 着能量的传递。
T0
u2
波的能量密度
E总 A2 2 sin2 (t x )
O
u x
P
相位落后ωx/u
yo Acos t
y
A cos ( t
x )
u
波动方程推导
y
A
u
O
x
x
P
yo Acos t 0
y
A cos [ ( t
x u
)
0
]
波动方程
y
u
A
O
x
相位落后ωx/u
x
P c
相位超前ωx/u
沿X轴正方向传播： y Acos(t x )